李 琳, 石 峰, 項(xiàng) 松, 趙為平, 王艷冰

(1. 沈陽開放大學(xué)數(shù)字化資源制作管理服務(wù)中心，沈陽 110003;2. 沈陽航空航天大學(xué)遼寧省通用航空重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽 110136)

0 引言

復(fù)合材料層合板具有較高的比強(qiáng)度，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于航空、航天、建筑、船舶等領(lǐng)域。很多學(xué)者研究了復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)問題，Khdeir 和Reddy[1]用二階剪切變形理論分析了復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)問題，Roque 等[2]用三角分層理論和徑向基函數(shù)分析了復(fù)合材料層合板和夾芯板的振動(dòng)問題，F(xiàn)erreira 等[3]利用一階剪切變形理論和徑向基函數(shù)分析了對(duì)稱復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)問題，Aagaah 等[4]用三階剪切變形理論計(jì)算了復(fù)合材料層合板的固有頻率，Akhras 和Li[5]用樣條有限條和高階剪切理論計(jì)算了復(fù)合材料板的靜力和振動(dòng)問題，Baharlou 和Leissa[6]計(jì)算了任意邊界條件復(fù)合材料層合板的振動(dòng)和屈曲，Shi 等[7]計(jì)算了任意完全固支復(fù)合材料層合板的振動(dòng)問題，Liew 等[8]利用一階剪切變形理論和無網(wǎng)格法分析了復(fù)合材料板的自由振動(dòng)和屈曲，項(xiàng)松和石宏[9]用逆復(fù)合二次徑向基函數(shù)分析了復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)問題，Xiang 等[10]用薄板樣條徑向基函數(shù)分析了固支復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)問題，Xiang 等[11]利用無網(wǎng)格局部徑向基配點(diǎn)法分析了復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)問題，Xiang 等[12]利用n階剪切變形理論分析了復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)問題。

在無網(wǎng)格徑向基配點(diǎn)法分析過程中，針對(duì)所分析問題的不同，徑向基函數(shù)的形狀參數(shù)對(duì)計(jì)算精度有很大影響。文獻(xiàn)[9—12]中的徑向基函數(shù)都是用固定的形狀參數(shù)，導(dǎo)致了計(jì)算精度不高。

遺傳算法是一種隨機(jī)搜索算法，是一種利用復(fù)制、交叉和變異等遺傳操作來模擬自然進(jìn)化，完成問題尋優(yōu)的現(xiàn)代優(yōu)化方法[13]。

本文將遺傳算法引入到復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)問題中，利用遺傳算法對(duì)復(fù)合二次徑向基函數(shù)的形狀參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，用優(yōu)化了形狀參數(shù)的復(fù)合二次徑向基函數(shù)計(jì)算了復(fù)合材料層合板的固有頻率，將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。對(duì)比結(jié)果表明：本文方法具有較高的計(jì)算精度。

1 控制方程和邊界條件

僅由0?鋪層和90?鋪層交替依次疊合、壓制而成的層合板，稱為對(duì)稱正交鋪設(shè)層合板，見圖1。

圖1 對(duì)稱正交鋪設(shè)層合板

對(duì)稱正交鋪設(shè)層合板的位移場(chǎng)如下

式(1)中，w、?x、?y是中面的位移分量，h是層合板的厚度。

應(yīng)變分量如下

x ?y ?z坐標(biāo)系下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為

式(4)中

式(5)中，θ是纖維方向和x軸的夾角

利用虛功原理可以獲得如下的歐拉-拉格朗日方程

式(7)中

式(7)～(9)中，α和β代表x和y，Ii是慣性分量

式(10)中ρ代表材料密度。

將式(8)和式(9)帶入式(7)，可以得到如下方程

n是總層數(shù)，zk和zk+1第k層的下面和上面的z坐標(biāo)

假設(shè)w、?x、?y為

式(19)中，ω是自由振動(dòng)的固有頻率。將式(19)帶入式(11)～式(13)可以獲得如下方程

2 無網(wǎng)格方法

無網(wǎng)格徑向基配點(diǎn)法不需要網(wǎng)格及節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系，將結(jié)構(gòu)離散成一系列節(jié)點(diǎn)，使用問題域中的全部節(jié)點(diǎn)對(duì)偏微分方程的解進(jìn)行近似，具有耗時(shí)少、計(jì)算精度高等優(yōu)點(diǎn)。

根據(jù)無網(wǎng)格徑向基配點(diǎn)法，W、Φx、Φy可以用如下函數(shù)近似

將式(23)帶入簡(jiǎn)支邊界條件，可以對(duì)邊界條件進(jìn)行離散，將離散的邊界條件和控制方程寫成如下形式

3 遺傳算法

遺傳算法是近年來涌現(xiàn)的一種現(xiàn)代優(yōu)化方法，這種算法采用的是“生成+檢驗(yàn)”優(yōu)化模式，它的基本操作包括編碼、產(chǎn)生初始種群、計(jì)算適應(yīng)度、判斷目標(biāo)函數(shù)是否滿足優(yōu)化條件。如果滿足優(yōu)化條件，迭代結(jié)束；如果目標(biāo)函數(shù)不滿足優(yōu)化條件，就經(jīng)過遺傳、交叉、變異操作產(chǎn)生下一代種群，然后返回重新每個(gè)個(gè)體計(jì)算適應(yīng)度，依次循環(huán)。具體步驟如下：

步驟1 隨機(jī)產(chǎn)生一定規(guī)模的初始種群，對(duì)每個(gè)個(gè)體計(jì)算適應(yīng)度；

步驟2 按照一定的法則對(duì)種群進(jìn)行選擇，通常采用輪盤賭的方法對(duì)種群進(jìn)行選擇；

步驟3 然后對(duì)選擇下來的種群進(jìn)行一定概率的兩兩交叉產(chǎn)生新種群；

步驟4 新的種群中的個(gè)體按一定概率發(fā)生變異；

步驟5 判斷是否滿足優(yōu)化條件，滿足則結(jié)束，不滿足則轉(zhuǎn)到步驟2。

遺傳算法框圖如圖2 所示。

圖2 遺傳算法框圖

在遺傳算法中，目標(biāo)函數(shù)的選取對(duì)遺傳算法的影響很大，它是用遺傳算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)的指標(biāo)。而對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的使用是通過評(píng)價(jià)個(gè)體的適應(yīng)度來體現(xiàn)的。

徑向基函數(shù)的形狀參數(shù)對(duì)計(jì)算精度有很大影響，本文采用遺傳算法對(duì)復(fù)合二次徑向基函數(shù)的形狀參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，可以獲得最優(yōu)的形狀參數(shù)，以提高計(jì)算精度。

4 數(shù)值算例

復(fù)合材料層合板每層的材料屬性如下

圖3 為復(fù)合材料方板規(guī)則的節(jié)點(diǎn)離散方式，本文中采用的節(jié)點(diǎn)數(shù)為15×15，固有頻率按下式進(jìn)行無量綱處理

圖3 方板的規(guī)則節(jié)點(diǎn)離散

本文優(yōu)化的參數(shù)是αc，取值范圍[0.5,?5]；選擇簡(jiǎn)支方板(0?/90?/0?, E1/E2 =40, a/h= 2,5,10,100)的無量綱基頻的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[14]中結(jié)果的差值的和最小作為目標(biāo)函數(shù)。

樣本個(gè)數(shù)越大，越可能找到全局解，但運(yùn)行時(shí)間也相對(duì)較長(zhǎng)，一般在40～100 之間取值，本文使用的樣本個(gè)數(shù)為50，遺傳操作時(shí)交叉概率pc=0.8，變異概率pm=0.2。采用二進(jìn)制編碼，經(jīng)過100 代尋優(yōu)。

在上述條件下最后得到優(yōu)化的參數(shù)值為αc= 1.920 8，用優(yōu)化了形狀參數(shù)的復(fù)合二次徑向基函數(shù)計(jì)算了復(fù)合材料層合板的固有頻率，將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，如表1 至表3 所示。

表1 列出了簡(jiǎn)支方板(0?/90?/0?, E1/E2 = 40)的無量綱基頻，從表1 可以看出本文結(jié)果與文獻(xiàn)[14]的結(jié)果的一致性較好。

表1 簡(jiǎn)支方板的無量綱基頻(0?/90?/0?, E1/E2 =40)

表2 列出了簡(jiǎn)支方板(0?/90?/90?/0?, E1/E2 = 40)的無量綱基頻，從表2 可以看出本文結(jié)果與文獻(xiàn)[15]的結(jié)果具有較好的一致性。

表2 簡(jiǎn)支方板的無量綱基頻(0?/90?/90?/0?, E1/E2 =40)

表3 列出了簡(jiǎn)支方板(0?/90?/0?, E1/E2 = 40, a/h= 10)的無量綱前三階固有頻率，從表3 可以看出本文結(jié)果與文獻(xiàn)[16]的結(jié)果具有較好的一致性。

表3 簡(jiǎn)支方板的無量綱前三階固有頻率(0?/90?/0?, E1/E2 =40, a/h=10)

5 結(jié)論

本文采用無網(wǎng)格徑向基配點(diǎn)法分析了復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)問題，利用遺傳算法對(duì)復(fù)合二次徑向基函數(shù)的形狀參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，最后得到優(yōu)化的參數(shù)值為1.920 8。用優(yōu)化了形狀參數(shù)的復(fù)合二次徑向基函數(shù)計(jì)算了復(fù)合材料層合板的固有頻率，將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。對(duì)比結(jié)果表明：遺傳算法在形狀參數(shù)優(yōu)化方面具有很大的潛力，本文方法具有較高的計(jì)算精度。