張暄軒，曹 旭，張久樓，張 琳

(1.西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710121;2.西安電子科技大學(xué) 生命科學(xué)技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710071；3.南京醫(yī)科大學(xué) 醫(yī)學(xué)影像學(xué)院，江蘇 南京 210029；4.山東師范大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250014)

生物發(fā)光斷層成像(Bioluminescence Tomography,BLT)是一種預(yù)臨床成像技術(shù)，其通過(guò)采集生物體表透射出的生物發(fā)光，能夠非侵入式地揭示活體動(dòng)物體內(nèi)的功能活動(dòng)[1-2]。生物發(fā)光位于可見(jiàn)光或近紅外波段，產(chǎn)生自生物體內(nèi)的某些生物發(fā)光反應(yīng)，如熒光素酶催化反應(yīng)。生物發(fā)光的機(jī)理來(lái)源于分子層面的化學(xué)反應(yīng)，因此生物發(fā)光光源的分布能夠反映這些特異性分子的分布，成為一種重要的分子影像技術(shù)。作為一種分子影像技術(shù)，BLT通過(guò)編碼生物發(fā)光蛋白基因，能夠可視化地體現(xiàn)多種多樣的細(xì)胞層面和亞細(xì)胞層面的生物過(guò)程，業(yè)已在諸多生物醫(yī)學(xué)研究中展現(xiàn)出強(qiáng)大的潛力，如腫瘤放療[3]、癌細(xì)胞檢測(cè)[4]和治療評(píng)價(jià)[5]。

BLT的成像理念類(lèi)似于諸如擴(kuò)散光學(xué)斷層成像[6](Diffuse Optical Tomography,DOT)和熒光分子斷層成像[7](Fluorescence Molecular Tomography,FMT)的其他光學(xué)斷層成像技術(shù)，都是通過(guò)探測(cè)生物體表的光子密度，再利用數(shù)學(xué)模型反向推算出以某種物理參數(shù)為對(duì)比度的斷層圖像。不同的是，BLT的光源位于生物體內(nèi)并且不需要外部激發(fā)?？紤]不需要外部激發(fā)光源，BLT的測(cè)量數(shù)據(jù)不會(huì)像FMT那樣被背景光干擾，使得BLT具有更高的靈敏度。在BLT的成像過(guò)程中，需要先在生物體表測(cè)量生物發(fā)光的光子密度，再建立某種數(shù)學(xué)模型描述生物發(fā)光在生物體內(nèi)的擴(kuò)散過(guò)程。最后，利用測(cè)量數(shù)據(jù)求解該數(shù)學(xué)模型的逆向問(wèn)題重建出生物發(fā)光光源的分布。擴(kuò)散方程[8]是最常用的正向模型，其是輻射傳輸方程的一種近似，方程形式為一個(gè)橢圓型偏微分方程，能夠被許多數(shù)值方法求解，如有限元方法[8](Finite Element Method,FEM)?；谡蚰Ｐ停軌蛲ㄟ^(guò)最小化測(cè)量數(shù)據(jù)與正向模型的預(yù)測(cè)值之間的差距建立逆向問(wèn)題。類(lèi)似于其他光學(xué)斷層成像技術(shù)，BLT的逆向問(wèn)題也具有高度病態(tài)性，其由測(cè)量數(shù)據(jù)的維度與待重建參數(shù)的維度之間的不平衡造成[9]。在BLT中，生物體表所獲取的測(cè)量數(shù)據(jù)具有部分相關(guān)性，且不能像DOT和FMT中那樣通過(guò)增加投影角度擴(kuò)增，使得BLT的病態(tài)性問(wèn)題要比DOT和FMT更加嚴(yán)重。為了增加BLT測(cè)量數(shù)據(jù)的多樣性，通常需要采集多個(gè)波長(zhǎng)下的生物發(fā)光圖像[10]。此外，如果直接使用DOT或FMT中的算法，如采用牛頓型算法[8]進(jìn)行BLT圖像重建，逆向問(wèn)題的病態(tài)性會(huì)惡化圖像重建結(jié)果的質(zhì)量。為了獲取可靠的重建結(jié)果，BLT重建通常需要添加額外的信息，如利用來(lái)自其他成像模態(tài)的解剖結(jié)構(gòu)信息正則迭代過(guò)程[11-13]，或是利用可行域縮小待重建參數(shù)的維度[14-16]。但是，這些方法并不總是可用的，解剖結(jié)構(gòu)信息需要額外的成像模態(tài)[9]，而可行域的選擇需要一定的先驗(yàn)信息[15]。

近年來(lái)，深度學(xué)習(xí)[17](Deep Learning，DL)受到了各個(gè)領(lǐng)域的廣泛關(guān)注，特別是圖像領(lǐng)域，而近些年關(guān)于深度學(xué)習(xí)在醫(yī)學(xué)成像中應(yīng)用的報(bào)道主要集中在圖像處理或分析[18]。嘗試?yán)蒙疃葘W(xué)習(xí)構(gòu)建圖像重建方法的研究則集中出現(xiàn)于近兩三年，其結(jié)果顯示，基于深度學(xué)習(xí)的圖像重建方法具有巨大潛力[19]。這些研究涵蓋了廣泛的成像模態(tài)，包括X射線(xiàn)計(jì)算機(jī)斷層成像[20-22](X-ray Computed Tomography,X-CT)、磁共振成像[23-24](Magnetic Resonance Imaging,MRI)、正電子發(fā)射斷層成像[25](Positron Emission Tomography,PET)以及多種光學(xué)斷層成像技術(shù)，如DOT[26]、FMT[27]和BLT[28]。深度學(xué)習(xí)是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)型機(jī)器學(xué)習(xí)方法，能夠通過(guò)學(xué)習(xí)從數(shù)據(jù)中抽取出兩個(gè)相關(guān)數(shù)據(jù)域之間的映射關(guān)系。利用機(jī)器學(xué)習(xí)策略實(shí)現(xiàn)圖像重建時(shí)，深度學(xué)習(xí)既可以被用在圖像域也可以被用在數(shù)據(jù)域。對(duì)于圖像域，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以被用來(lái)獲取兩種不同條件下圖像的轉(zhuǎn)換關(guān)系，如被噪聲污染的圖像與無(wú)噪聲圖像之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，這種策略是一種后處理方法而不是圖像重建，但通常卻被用來(lái)解決某些傳統(tǒng)圖像重建問(wèn)題，如X-CT中的低劑量重建[20]、稀疏角度重建[21]、有限角度重建問(wèn)題[22]以及MRI中的稀疏重建[23]。對(duì)于數(shù)據(jù)域，深度學(xué)習(xí)可以被用來(lái)預(yù)處理數(shù)據(jù)或是構(gòu)建一個(gè)端到端的模型直接將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為斷層圖像，如Würfl等[22]提出了一種含有錐形束反投影層的深度學(xué)習(xí)方法實(shí)現(xiàn)端到端的X-CT有限角度重建；Zhu等[24]針對(duì)MRI提出了一種由若干卷積層和全連接層組成的端到端神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，稱(chēng)為流形逼近自動(dòng)變換(Automated Transform by Manifold Approximation,AUTOMAP)，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)域到圖像域的直接重建； Yedder等[26]嘗試使用端到端的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)從DOT投影數(shù)據(jù)到斷層圖像的直接重建；Guo等[27]提出一種三維深度編碼-解碼網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)端到端的FMT圖像重建；Yao等[28]使用一種4層的端到端全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)BLT圖像重建。

在以往的研究中，BLT的圖像重建策略被迭代法所主導(dǎo)。迭代法計(jì)算耗時(shí)，且需要一個(gè)較精確的數(shù)學(xué)模型描述生物發(fā)光的傳輸過(guò)程。與迭代法相比，DL作為一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)型機(jī)器學(xué)習(xí)方法，一旦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被訓(xùn)練好，即具有極快的推斷速度，且能夠直接從數(shù)據(jù)中抽取映射關(guān)系，不需要人為選擇特殊的正向模型。DL的應(yīng)用難點(diǎn)在于收集大量數(shù)據(jù)用以訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。文獻(xiàn)[28]的研究顯示了通過(guò)深度學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)BLT圖像重建的可行性，其所使用的數(shù)據(jù)集由蒙特卡洛方法[29]生成。蒙特卡洛方法通過(guò)大量重復(fù)單個(gè)光子在生物體內(nèi)的傳輸過(guò)程并統(tǒng)計(jì)結(jié)果實(shí)現(xiàn)對(duì)光場(chǎng)分布的估計(jì)，其精度由所重復(fù)的光子個(gè)數(shù)所決定，通常需要重復(fù)上億個(gè)光子。雖然大量的光子能夠保證精度，但同時(shí)也耗費(fèi)了較長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間?？紤]深度學(xué)習(xí)需要大量的訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測(cè)試數(shù)據(jù)，計(jì)算時(shí)間問(wèn)題的考量對(duì)于深度學(xué)習(xí)的應(yīng)用尤為重要。BLT中被成像物體和被成像目標(biāo)會(huì)隨著所研究問(wèn)題的不同有所變化，需要對(duì)不同的研究問(wèn)題生成不同的數(shù)據(jù)集，這就增強(qiáng)了對(duì)數(shù)據(jù)生成速度的要求。使用FEM求解擴(kuò)散方程[8]的策略可以作為另一種數(shù)據(jù)生成的可行方案，相比蒙特卡洛方法，這種方案具有極快的計(jì)算速度。因此，更適合頻繁生成大規(guī)模數(shù)據(jù)集。

1 基于FEM的BLT數(shù)據(jù)生成

1.1 擴(kuò)散方程

擴(kuò)散方程配以FEM是一種被廣泛使用的光子擴(kuò)散模擬方法。其中擴(kuò)散方程是一個(gè)橢圓型偏微分方程，源自輻射傳輸方程，是其近似形式，穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散方程式[8]為

(1)

式中：D和μa分別表示擴(kuò)散系數(shù)和吸收系數(shù)；Φ(r)表示空間位置r處的光子密度，r∈Ω；X(r)表示光源項(xiàng)，在BLT中即待重建的未知參數(shù)；Ω表示求解的空間域，在BLT中即生物體內(nèi)的空間。

1.2 有限元方程

作為一個(gè)偏微分方程，擴(kuò)散方程在無(wú)限介質(zhì)中的解析解有其確定形式，但具有復(fù)雜邊界的介質(zhì)上的解析解形式卻難以獲得，因而通常使用數(shù)值方法求解擴(kuò)散方程。FEM是求解偏微分方程的常用數(shù)值方法之一，其需要將空間域Ω離散為一個(gè)由若干節(jié)點(diǎn)和單元組成的網(wǎng)格，并將方程中的函數(shù)使用基函數(shù)展開(kāi)，由基函數(shù)所構(gòu)成的線(xiàn)性空間被稱(chēng)為有限元空間。通過(guò)離散空間域形成的有限元空間具有有限維度，那么在有限元空間上展開(kāi)的任意函數(shù)都可以被一組展開(kāi)系數(shù)表示，由此能將一個(gè)偏微分方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)線(xiàn)性方程組求解，稱(chēng)為有限元方程。

為了描述復(fù)雜邊界情況，需要引入以下Robin邊界條件[8]，其表達(dá)式為

(2)

通過(guò)引入Robin邊界條件，能夠通過(guò)FEM將擴(kuò)散方程離散為有限元方程[8]，其表達(dá)式為

KΦ=X

(3)

式中：Φ和X分別表示光子密度向量和源向量，都是維度為N的列向量，N表示網(wǎng)格中節(jié)點(diǎn)的數(shù)量；K是一個(gè)N×N的方陣，在FEM中一般被稱(chēng)為剛度矩陣。矩陣K以及向量X的元素是基函數(shù)的函數(shù)，表達(dá)式分別為[8]

離了林強(qiáng)信，景花廠(chǎng)沒(méi)有倒。林強(qiáng)信不甘心，他是個(gè)精明的生意人，從不做賠了夫人又折兵的買(mǎi)賣(mài)，他不甘心白吃了這個(gè)啞巴虧。景花廠(chǎng)后來(lái)漸漸有了起色，訂單多了，員工多了，林強(qiáng)信更不甘心了。他要擊敗景花廠(chǎng)，要阿花像只無(wú)家可歸的貓，乖乖回到他的懷抱。

(4)

(5)

式中：υ表示有限元空間的基函數(shù)；i和j分別表示行或列的索引。

剛度矩陣K是一個(gè)稀疏、對(duì)稱(chēng)且滿(mǎn)秩的方陣，因此有限元方程是一個(gè)具有唯一解的非其次線(xiàn)性方程組，可以通過(guò)諸多成熟的數(shù)值方法進(jìn)行快速求解。對(duì)于某一被成像物體，只要先構(gòu)建相應(yīng)的幾何體并且進(jìn)行網(wǎng)格剖分，再構(gòu)建有限元空間產(chǎn)生剛度矩陣K。同時(shí)，通過(guò)人為設(shè)計(jì)構(gòu)建特定光源分布的X，最后求解有限元方程即可實(shí)現(xiàn)大量BLT數(shù)據(jù)的快速獲取。

2 基于深度學(xué)習(xí)的BLT圖像重建

2.1 深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)[17]是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)型機(jī)器學(xué)習(xí)方法，其能夠使用由多個(gè)層級(jí)結(jié)構(gòu)結(jié)合激活單元所組成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似任意非線(xiàn)性函數(shù)。深度學(xué)習(xí)有兩種標(biāo)準(zhǔn)訓(xùn)練模式，分別稱(chēng)為監(jiān)督學(xué)習(xí)和無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)。在監(jiān)督學(xué)習(xí)中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需使用成對(duì)的輸入數(shù)據(jù)和標(biāo)簽數(shù)據(jù)訓(xùn)練解決分類(lèi)或回歸問(wèn)題，而無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)則不需要標(biāo)簽數(shù)據(jù)，通常用來(lái)尋找數(shù)據(jù)中的范式。總體來(lái)說(shuō)，無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)因其自動(dòng)挖掘數(shù)據(jù)范式的能力而更適合人工智能任務(wù)，但其研究相對(duì)較少，理論體系尚不完善，在許多問(wèn)題中仍不能使用。與無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)相比，監(jiān)督學(xué)習(xí)應(yīng)用的更廣泛，并且只要有標(biāo)簽數(shù)據(jù)可用，通?？梢垣@取可靠的結(jié)果。與計(jì)算機(jī)視覺(jué)中的一些問(wèn)題不同，生物醫(yī)學(xué)成像對(duì)模型的穩(wěn)定有著較高的要求，如X-CT和MRI圖像常被用來(lái)診斷人的疾病，細(xì)微的成像圖像差異會(huì)造成難以估計(jì)的損失。因此，目前大部分有關(guān)使用深度學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)圖像重建的研究均使用監(jiān)督學(xué)習(xí)。

2.2 基于深度學(xué)習(xí)的光子密度分布補(bǔ)全

為了使真實(shí)空域的復(fù)雜形狀邊界能夠和離散后的網(wǎng)格邊界更好的貼合，F(xiàn)EM通常使用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格構(gòu)建有限元空間，二維情形一般使用三角形網(wǎng)格，而三維情形則使用四面體網(wǎng)格。與結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格不同，非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格由不規(guī)則連接的節(jié)點(diǎn)組成，沒(méi)有規(guī)則的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，所有節(jié)點(diǎn)的拓?fù)潢P(guān)系需要進(jìn)行記憶存儲(chǔ)。而非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的不規(guī)則性會(huì)對(duì)圖像重建產(chǎn)生影響[7]，其通常會(huì)因重建目標(biāo)的稀疏性增加而加劇。因此，預(yù)先測(cè)試了直接使用一個(gè)全連接網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建端到端的BLT圖像重建，結(jié)果顯示網(wǎng)格的不規(guī)則性會(huì)顯著地惡化圖像重建質(zhì)量。為了消除網(wǎng)格不規(guī)則性的影響，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)光子密度分布的補(bǔ)全而非直接重建出圖像。在生物體表獲取的測(cè)量數(shù)據(jù)實(shí)際上是光子密度在表面的采樣值。因此，光子密度分布的補(bǔ)全就是要從體表部分光子密度值推測(cè)出整個(gè)空間的光子密度分布，在獲取完整的光子密度分布后，再通過(guò)將剛度矩陣與光子密度向量相乘獲得生物發(fā)光光源分布。光子密度分布是一個(gè)連續(xù)變化的函數(shù)，基本不會(huì)受到網(wǎng)格不規(guī)則性的影響。受網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的啟發(fā)，設(shè)計(jì)了一種網(wǎng)格拓?fù)鋵咏尤塍w表測(cè)量數(shù)據(jù)。網(wǎng)格拓?fù)鋵佑啥鄠€(gè)子級(jí)層級(jí)結(jié)構(gòu)組成，子層級(jí)之間的連接關(guān)系又由網(wǎng)格的拓?fù)潢P(guān)系決定。所使用的網(wǎng)格拓?fù)鋵雍蜕窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的組成結(jié)構(gòu)如圖1所示，使用了一個(gè)具有少量節(jié)點(diǎn)的粗糙三角形網(wǎng)格解析網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。根據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，圖1(左)所示的網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)可以被分為5層，最外層的節(jié)點(diǎn)是表面采樣節(jié)點(diǎn)，測(cè)量數(shù)據(jù)是在這些節(jié)點(diǎn)上獲取的，根據(jù)拓?fù)溥B接關(guān)系，其余內(nèi)部節(jié)點(diǎn)可以分為4層。網(wǎng)格拓?fù)鋵拥淖訉蛹?jí)數(shù)量及每個(gè)子層級(jí)的神經(jīng)元數(shù)量與內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的層級(jí)結(jié)構(gòu)相對(duì)應(yīng)，相鄰兩個(gè)子層級(jí)之間的神經(jīng)元使用全連接。網(wǎng)格拓?fù)鋵拥妮敵鍪撬凶訉蛹?jí)輸出的合集，該輸出被接入一個(gè)由若干全連接層組成的子網(wǎng)絡(luò)，子網(wǎng)絡(luò)每層的神經(jīng)元數(shù)為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的總數(shù)。最終，子網(wǎng)絡(luò)的輸出和輸入的測(cè)量數(shù)據(jù)組成完整的光子密度分布，將其與剛度矩陣相乘得到光源分布。

圖1 所使用的網(wǎng)格拓?fù)鋵雍蜕窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)示意圖

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

為了驗(yàn)證所提方法，進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。使用一個(gè)直徑為3 cm的圓形物體作為成像介質(zhì)，其被進(jìn)一步離散成一個(gè)由2 168個(gè)節(jié)點(diǎn)和4 206個(gè)單元組成的三角形網(wǎng)格。通過(guò)FEM生成了3個(gè)不同數(shù)據(jù)集分別用于訓(xùn)練、驗(yàn)證和測(cè)試。訓(xùn)練集由2 219個(gè)樣本組成，每個(gè)樣本都是通過(guò)在介質(zhì)中嵌入一個(gè)直徑為0.2 cm的圓形光源獲得，光源的位置規(guī)則排列在介質(zhì)內(nèi)。驗(yàn)證集和測(cè)試集分別由500個(gè)樣本組成，這些樣本均使用介質(zhì)內(nèi)的隨機(jī)光源位置獲得。每個(gè)樣本都是由光子密度表面采樣值和內(nèi)部值所組成的成對(duì)數(shù)據(jù)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)使用Python 3.6和Tensorflow搭建，訓(xùn)練的硬件平臺(tái)為一臺(tái)配有Nvidia GeForce RTX 2080 Ti顯卡和16 GB內(nèi)存的個(gè)人電腦。使用平方損失函數(shù)為

(6)

還使用了一個(gè)全連接網(wǎng)絡(luò)(Fully Connected Network，F(xiàn)CN)[28]和基于可行域的迭代法(Optimized Permission Source Region，OPSR)[14]對(duì)測(cè)試集數(shù)據(jù)進(jìn)行重建。FCN由4個(gè)全連接層組成，每層的神經(jīng)元數(shù)與網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)數(shù)相同。與所提出的方法不同，F(xiàn)CN使用端到端的訓(xùn)練方式，即網(wǎng)絡(luò)的輸入為表面測(cè)量數(shù)據(jù)，而輸出直接為光源的分布。FCN的訓(xùn)練策略與所提的方法相同。OPSR中的Nf參數(shù)設(shè)置為1，迭代次數(shù)設(shè)置為50。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)的重建結(jié)果如圖2所示，共展示了7組具有代表性的圖像。考慮所提方法使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)光子密度分布的補(bǔ)全，圖2也展示了光子密度的分布，所有圖像均使用最大值進(jìn)行了歸一化。為了定量評(píng)價(jià)重建結(jié)果，引入了均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)，其結(jié)果如表1所示。進(jìn)一步對(duì)比了處理單幅圖像所需要的計(jì)算時(shí)間，其結(jié)果如表2所示。

圖2 BLT重建結(jié)果

表1 訓(xùn)練集重建結(jié)果的RMSE

表2 單幅圖像的處理時(shí)間

由圖2可以看出，所提方法能從表面采樣數(shù)據(jù)較好地預(yù)測(cè)介質(zhì)內(nèi)整個(gè)光子密度分布，即圖2第3行，這種高質(zhì)量的光子密度補(bǔ)全保證了與K相乘所得的重建結(jié)果也具有較高質(zhì)量，平均RMSE僅為0.033 01，遠(yuǎn)小于FCN和OPSR，即圖2第4行和表1第1行。相比之下，F(xiàn)CN的重建結(jié)果表現(xiàn)較差，即圖2第5行和表1第2行，重建出的目標(biāo)趨向于集中在某個(gè)或某幾個(gè)孤立的點(diǎn)上，這種現(xiàn)象常出現(xiàn)在網(wǎng)格比較細(xì)小的光學(xué)斷層成像重建中，其主要原因是網(wǎng)格的不規(guī)則性。此外，F(xiàn)CN在重建某些目標(biāo)時(shí)會(huì)失效，如圖2(e4)，這些樣本的FCN輸出會(huì)是一個(gè)全為零的空向量。圖2第6行顯示，OPSR能夠重建出目標(biāo)的位置，但卻很難重建出其輪廓?？紤]OPSR是一種迭代法，決定目標(biāo)輪廓的可行域會(huì)在每次迭代時(shí)通過(guò)移除低貢獻(xiàn)節(jié)點(diǎn)的方式進(jìn)行收縮。因此，可行域的最終形狀很大程度上依賴(lài)于算法的參數(shù)設(shè)置，包括最終節(jié)點(diǎn)數(shù)量及迭代次數(shù)。最終節(jié)點(diǎn)數(shù)量的推薦值為1[14]，也就是說(shuō)可行域會(huì)隨著迭代盡可能地縮小，這樣的設(shè)置不需要任何先驗(yàn)信息。但是，最終結(jié)果會(huì)趨向于集中在一個(gè)很小的區(qū)域上，結(jié)合一定的先驗(yàn)信息設(shè)置最終節(jié)點(diǎn)數(shù)量才能使可行域最終收斂在一個(gè)合適的大小上。

由圖2和表1可以看出，所提方法表現(xiàn)優(yōu)于FCN和OPSR。FCN的結(jié)果表明，對(duì)于FEM框架下的BLT重建，由于FEM網(wǎng)格的不規(guī)則性，直接訓(xùn)練端到端的全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)很難取得較好的效果。所提方法和FCN的差別能夠解釋這種表現(xiàn)上的差異，其使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)光子密度分布的補(bǔ)全，而非直接端到端的重建出光源分布。光源分布和光子密度分布的區(qū)別在于分布的形式不同，前者具有明確的邊界，是一個(gè)分片連續(xù)的函數(shù)且包含大量的零值，后者則是一個(gè)連續(xù)函數(shù)且沒(méi)有零值。相比稀疏的分片連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)受到網(wǎng)格不規(guī)則性的影響更弱。此外，結(jié)果表明網(wǎng)格拓?fù)鋵幽軌蚋纳凭W(wǎng)絡(luò)的性能，其模擬了光子密度分布的補(bǔ)全應(yīng)該是一個(gè)由外向內(nèi)逐步遞進(jìn)的過(guò)程。

與傳統(tǒng)迭代法相比，基于深度學(xué)習(xí)的BLT圖像重建方法在計(jì)算效率方面表現(xiàn)卓越。如表2所示，基于深度學(xué)習(xí)的兩種方法重建一副圖像只需不到1 ms的時(shí)間，而作為迭代法的OPSR則需要超過(guò)10 s，OPSR的大量耗時(shí)主要源于必不可少的迭代過(guò)程。相比之下，基于深度學(xué)習(xí)的方法只需要將測(cè)量數(shù)據(jù)輸入至神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)過(guò)程則只需要若干次矩陣乘法即可完成，這樣不僅計(jì)算效率極高，且可以同時(shí)饋送多組測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行同時(shí)計(jì)算。深度學(xué)習(xí)的這種計(jì)算高效性，源于其預(yù)測(cè)時(shí)較低的時(shí)間復(fù)雜度。與迭代法不同，深度學(xué)習(xí)的預(yù)測(cè)過(guò)程僅由若干個(gè)矩陣乘法組成，而不存在求逆過(guò)程，也不需要計(jì)算梯度，降低了計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度。但是，深度學(xué)習(xí)的網(wǎng)絡(luò)模型通常較大，需要存儲(chǔ)大量的權(quán)重參數(shù)，因此較迭代法具有更高的空間復(fù)雜度。

此外，還對(duì)初始化、初始學(xué)習(xí)率以及NFCL等3種因素對(duì)網(wǎng)絡(luò)性能的影響進(jìn)行了測(cè)試，結(jié)果如圖3所示。初始化的測(cè)試通過(guò)重復(fù)4次訓(xùn)練過(guò)程實(shí)現(xiàn)，結(jié)果如圖3(a)所示，權(quán)重值的初始值由正態(tài)分布確定，因此每次訓(xùn)練都具有不同的初始化。初始學(xué)習(xí)率的測(cè)試中分別測(cè)試了10-6、10-5、10-4和10-3等4種不同初始學(xué)習(xí)率下的網(wǎng)絡(luò)性能，結(jié)果如圖3(b)所示。NFCL的測(cè)試中分別為網(wǎng)格拓?fù)鋵咏永m(xù)了1～5層的全連接層，結(jié)果如圖3(c)所示。

圖3 初始化、初始學(xué)習(xí)率以及NFCL對(duì)網(wǎng)絡(luò)性能的影響

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練是深度學(xué)習(xí)的關(guān)鍵步驟，一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的表現(xiàn)很大程度上取決于訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和訓(xùn)練策略。對(duì)于BLT，基于FEM的擴(kuò)散方程求解長(zhǎng)久以來(lái)被廣泛用于模擬仿真和圖像重建。FEM的高效計(jì)算特性適應(yīng)深度學(xué)習(xí)對(duì)大規(guī)模數(shù)據(jù)和頻繁訓(xùn)練場(chǎng)景的需求。對(duì)于訓(xùn)練策略，作者測(cè)試了3種可能會(huì)影響網(wǎng)絡(luò)性能的因素。如圖3(a)所示，網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的初始化對(duì)網(wǎng)絡(luò)性能的影響非常微弱，不同初始化的驗(yàn)證損失基本上變化一致。圖3(b)顯示，初始學(xué)習(xí)率會(huì)顯著影響網(wǎng)絡(luò)性能，一個(gè)較大的初始學(xué)習(xí)率會(huì)導(dǎo)致過(guò)早的訓(xùn)練停滯，而一個(gè)較小的初始學(xué)習(xí)率會(huì)降低收斂速度，初始學(xué)習(xí)率為10-4時(shí)會(huì)帶來(lái)最好的網(wǎng)絡(luò)性能。圖3(c)表明，3個(gè)全連接層能夠充分應(yīng)付當(dāng)前數(shù)據(jù)集的訓(xùn)練，少于3個(gè)全連接層會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)性能的明顯降低，而大于3個(gè)全連接層基本上不會(huì)帶來(lái)性能的提升但會(huì)增加訓(xùn)練時(shí)間。

利用有限元方法產(chǎn)生訓(xùn)練樣本可以快速產(chǎn)生大量訓(xùn)練樣本。空間域固定，則K就是固定的，對(duì)于不同的樣本僅需計(jì)算一次，只要設(shè)計(jì)不同的X分布即可同時(shí)獲得大量樣本。而利用蒙特卡洛方法產(chǎn)生訓(xùn)練樣本，每個(gè)樣本都需要進(jìn)行獨(dú)立的光子輸運(yùn)模擬，計(jì)算時(shí)間會(huì)隨著樣本數(shù)的增加成倍增長(zhǎng)。利用有限元方法產(chǎn)生訓(xùn)練樣本的缺陷是有限元的計(jì)算精度與網(wǎng)格的細(xì)分程度直接相關(guān)，網(wǎng)格越精細(xì)，則計(jì)算的精度越高，但網(wǎng)格密度的提升會(huì)同時(shí)增大神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模，將會(huì)增加網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的難度。目前，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的快速訓(xùn)練依賴(lài)于圖形處理器(Graphics Processing Unit,GPU)加速，而GPU的顯存容量有明確的界限，限制了單顯示卡下所能訓(xùn)練的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模，間接限制了有限元網(wǎng)格的精細(xì)化程度。分布式計(jì)算能夠在一定程度上解決該問(wèn)題，但其計(jì)算效率提升不如單顯示卡訓(xùn)練，并且會(huì)增加硬件成本。

4 結(jié) 語(yǔ)

提出一種基于FEM和深度學(xué)習(xí)的BLT圖像重建方法。該方法使用FEM求解擴(kuò)散方程生成數(shù)據(jù)集，采用一種由網(wǎng)格拓?fù)鋵雍腿B接層組成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)光子密度分布的補(bǔ)全，而非構(gòu)造直接端到端的圖像重建。在獲取完整的光子密度分布后，再通過(guò)將剛度矩陣與光子密度向量相乘獲得生物發(fā)光光源分布。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提方法的表現(xiàn)優(yōu)于直接端到端的FCN和基于可行域的迭代法OPSR。