蘇子祺, 趙 彬

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 西安 710119)

m-半格是一個(gè)重要的代數(shù)結(jié)構(gòu), 其將并半格的結(jié)構(gòu)和半群的乘法運(yùn)算相結(jié)合, 從而剩余格、 Frame,Quantale和格序半群等都是特殊的m-半格. Rosenthal[1]指出每個(gè)凝聚式Quantale都同構(gòu)于某個(gè)含最大元的m-半格的理想之集構(gòu)成的Quantale; 文獻(xiàn)[2]在m-半格上定義了(素)模糊理想, 討論了(素)模糊理想和(素)理想之間的關(guān)系, 并研究了模糊理想之集的性質(zhì)； 文獻(xiàn)[3]給出了m-半格矩陣M-P廣義逆的定義, 得到了m-半格矩陣存在M-P廣義逆的一些等價(jià)刻畫; 文獻(xiàn)[4-7]在多種格序結(jié)構(gòu)中研究了濾子的拓?fù)湫再|(zhì)； 文獻(xiàn)[8]通過在Quantale中引入濾子的概念, 討論了Quantale中濾子的拓?fù)湫再|(zhì), 得到了一系列重要結(jié)論. 而m-半格是Quantale的一般化, 基于此, 本文在更廣泛的m-半格結(jié)構(gòu)上給出濾子的概念, 研究濾子的若干性質(zhì), 構(gòu)造濾子拓?fù)洳⒂懻摓V子空間的一系列性質(zhì).首先, 證明每個(gè)濾子空間是連通的且滿足第一可數(shù)性公理, 并分別給出濾子空間是T0空間和滿足第二可數(shù)性公理的等價(jià)刻畫; 其次, 通過在m-半格上引入素濾子的概念, 討論素濾子與素理想之間的關(guān)系, 證明m-半格上的分離引理; 最后, 證明在雙側(cè)m-半格上, 其對(duì)偶素譜空間是T0的, 并給出其為T1空間的等價(jià)刻畫.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[9]設(shè)(S,∨)是并半格, (S,·)是半群.若S滿足下列條件:

1)S有最大元1;

2) ?a,b,c∈S,a·(b∨c)=(a·b)∨(a·c), (b∨c)·a=(b·a)∨(c·a).

則稱(S,∨,·)是m-半格, 簡(jiǎn)稱S是m-半格.

這里定義的m-半格比文獻(xiàn)[1]定義的m-半格更一般化.

定義2[9]設(shè)S是m-半格,a∈S.

1) 若a·1≤a, 則稱a是S的右側(cè)元;

2) 若1·a≤a, 則稱a是S的左側(cè)元;

3) 若a既是右側(cè)元又是左側(cè)元, 則稱a是S的雙側(cè)元;

4) 若a·a=a, 則稱a是S的冪等元.

定義3[9]設(shè)S是m-半格.

1) 若S中的每個(gè)元都是雙側(cè)元, 則稱S是雙側(cè)m-半格;

2) 若S中的每個(gè)元都是冪等元, 則稱S是冪等m-半格.

定義4[10]設(shè)S1,S2是m-半格,f:S1→S2是映射.若f滿足下列條件:

1) ?a,b∈S1,f(a·b)=f(a)·f(b);

2) ?a,b∈S1,f(a∨b)=f(a)∨f(b).

則稱f是從S1到S2的m-半格同態(tài).

若f是滿的, 則稱f是m-半格滿同態(tài); 若f保最大元, 即f(1S1)=1S2, 則稱f是m-半格強(qiáng)同態(tài).

定義5[11]設(shè)(X,T )是拓?fù)淇臻g,A?X.如果點(diǎn)x∈X的每個(gè)鄰域U都有A中異于x的點(diǎn), 即U∩(A-{x})≠?, 則稱點(diǎn)x是集合A的凝聚點(diǎn).集合A所有凝聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為A的導(dǎo)集, 記作d(A).

定義6[11]設(shè)(X,T )是拓?fù)淇臻g,A?X.如果A的每個(gè)凝聚點(diǎn)都屬于A, 即d(A)?A, 則稱A是拓?fù)淇臻gX中的閉集.

命題1[11]設(shè)X是集合, B是X的子集族.如果B滿足下列條件:

2) 設(shè)B1,B2∈B, 對(duì)任意x∈B1∩B2, 存在B∈B, 使得x∈B?B1∩B2.

本文中用到而未提及的拓?fù)渑c格的概念和性質(zhì)參見文獻(xiàn)[11-12].

2 m-半格中的濾子拓?fù)?/h2>

定義8設(shè)S是m-半格, ?≠F?S.如果F滿足下列條件:

1)F=↑F, 即?a,b∈S,a≤b,a∈F?b∈F;

2)F關(guān)于乘法運(yùn)算·封閉, 即a∈F,b∈F?a·b∈F.

則稱F是S中的濾子.m-半格S中全體濾子構(gòu)成的集合記為Fil(S).

例1設(shè)S=(0,1].

1) 若·為實(shí)數(shù)上的乘法運(yùn)算, 則(S,∨,·)是m-半格.易知{1}是濾子.

2) 若·=∧, 則(S,∨,·)是m-半格.因此, 對(duì)任意a∈(0,1], ↑a是濾子.

例2設(shè)S=[0,1],c∈[0,1], 定義S上的乘法運(yùn)算·為

易驗(yàn)證(S,∨,·)是m-半格.取c=0.5, 則可以證明當(dāng)x>0.25 時(shí), ↑x是濾子.

例3設(shè)S={a,b,1},S上的偏序關(guān)系≤為

定義S上的乘法運(yùn)算·為

易驗(yàn)證(S,∨,·)是m-半格, 且↑b是濾子.

命題2設(shè)(S,∨,·)是m-半格, 則Fil(S)關(guān)于包含序是完備格.

注1設(shè)S是m-半格, ?≠A?S, 則∩{F∈Fil(S)|A?F}是包含A的最小濾子, 稱其為由A生成的濾子, 記為〈A〉F.特別地, 如果A={a}, 則〈{a}〉F簡(jiǎn)記為〈a〉F.

命題3設(shè)S是m-半格, ?≠A?S,a,b∈S,F∈Fil(S), 則:

1) 〈a〉F=∪{↑an|n∈+}; 特別地, 如果a是冪等元, 則 〈a〉F=↑a;

2) 〈A〉F=∪{↑(a1·a2·…·an)|存在n∈+, 使得ai∈A, 1≤i≤n};

若S是雙側(cè)的, 則:

4) 〈a〉F∩〈b〉F=〈a∨b〉F;

5) 〈a〉F∨〈b〉F=〈a·b〉F.

證明: 1) 顯然∪{↑an|n∈+}是上集.如果x,y∈∪{↑an|n∈+}, 則存在正整數(shù)m,n, 使得x≥am,y≥an, 所以x·y≥am·an=am+n, 即x·y∈∪{↑an|n∈+}.因此∪{↑an|n∈+}是含有元素a的濾子.下面說明其為含有元素a的最小濾子.設(shè)F是含有元素a的濾子, 由于F對(duì)乘法運(yùn)算·封閉, 所以對(duì)任意的正整數(shù)n, 有an∈F.又由于F是上集, 所以↑an?F, 故

〈a〉F=∪{↑an|n∈+}.

2) 證明方法同1).

4) 因?yàn)椤碼〉F,〈b〉F為上集, 所以a∨b∈〈a〉F,a∨b∈〈b〉F, 從而a∨b∈〈a〉F∩〈b〉F, 故〈a∨b〉F?〈a〉F∩〈b〉F.另一方面, 對(duì)任意的x∈〈a〉F∩〈b〉F, 存在正整數(shù)m,n, 使得x≥am,y≥bn.取k=max{m,n}, 由于S是雙側(cè)的且乘法·對(duì)有限并分配, 所以x≥ak∨bk≥(a∨b)2k, 從而x∈〈a∨b〉F, 于是〈a〉F∩〈b〉F?〈a∨b〉F.因此〈a〉F∩〈b〉F=〈a∨b〉F.

5) 因?yàn)镾雙側(cè), 所以a·b≤a·1≤a,a·b≤1·b≤b, 即a∈〈a·b〉F,b∈〈a·b〉F.故〈a〉F?〈a·b〉F, 〈b〉F?〈a·b〉F.因此〈a〉F∨〈b〉F?〈a·b〉F.另一方面, 由于a∈〈a〉F∨〈b〉F,b∈〈a〉F∨〈b〉F, 所以a·b∈〈a〉F∨〈b〉F, 從而〈a·b〉F?〈a〉F∨〈b〉F.因此〈a〉F∨〈b〉F=〈a·b〉F.

注2設(shè)S是m-半格, 由命題2可知, Fil(S)是S上某一拓?fù)涞幕? 稱該拓?fù)錇闉V子拓?fù)? 記為TF.稱拓?fù)淇臻g(S,TF)為濾子空間.

命題4設(shè)S是雙側(cè)m-半格, 則集族{〈a〉F|a∈S}是濾子空間(S,TF)的一個(gè)基.

命題5設(shè)S1,S2是m-半格,f:S1→S2是從S1到S2的m-半格強(qiáng)同態(tài), 則S2中的最大元是冪等元當(dāng)且僅當(dāng)f-1(1S2)={a∈S1|f(a)=1S2}是S1中的濾子.

證明: 必要性.由于f(1S1)=1S2, 所以1S1∈f-1(1S2), 即f-1(1S2)≠?.因?yàn)閒是保序映射, 所以f-1(1S2)是上集.如果a,b∈f-1(1S2), 則f(a)=f(b)=1S2, 所以

f(a·b)=f(a)·f(b)=1S2·1S2=1S2,

從而a·b∈f-1(1S2).因此f-1(1S2)是S1中的濾子.

充分性.由于f是m-半格強(qiáng)同態(tài), 所以1S1∈f-1(1S2).由于f-1(1S2)是S1中的濾子, 所以1S1·1S1∈f-1(1S2), 從而f(1S1)·f(1S1)=1S2, 即1S2·1S2=1S2.因此S2中的最大元是冪等元.

命題6設(shè)S1,S2是m-半格,f:S1→S2是從S1到S2的m-半格強(qiáng)同態(tài),F是S2中的濾子, 則f-1(F)={x∈S1|f(x)∈F}是S1中的濾子.

證明: 因?yàn)閒(1S1)=1S2且1S2∈F, 所以1S1∈f-1(F), 即f-1(F)≠?.設(shè)a∈f-1(F),b∈S1且a≤b, 則f(b)≥f(a)∈F.因?yàn)镕是上集, 所以f(b)∈F, 即b∈f-1(F), 從而f-1(F)是上集.如果a,b∈f-1(F), 則f(a),f(b)∈F, 從而f(a·b)=f(a)·f(b)∈F.于是a·b∈f-1(F), 因此f-1(F)是S1中的濾子.

定理1設(shè)S1,S2是m-半格,f:S1→S2是m-半格強(qiáng)同態(tài), 則f關(guān)于濾子拓?fù)涫沁B續(xù)映射.

證明: 由命題6知,S2中濾子的原象是S1中的濾子, 所以f關(guān)于濾子拓?fù)涫沁B續(xù)映射.

注3設(shè)S是m-半格,a∈S, 則{F∈Fil(S)|a∈F}是a在(S,TF)中的一個(gè)鄰域基, 記為Ua.顯然, 〈a〉F是Ua中的最小元.

設(shè)A?S, 用c(A)和i(A)分別表示A在濾子空間(S,TF)中的閉包與內(nèi)部.

命題7設(shè)S是m-半格,A?S, 則:

1)d(A)={x∈S|〈x〉F∩(A{x})≠?};

若S是雙側(cè)的, 則:

2)c(A)=∩{S〈a〉F|〈a〉F∩A=?};

3)i(A)=∪{〈a〉F|〈a〉F?A}.

證明: 1) 根據(jù)導(dǎo)集的定義,x∈d(A)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)x的任一鄰域U, 均有U∩(A{x})≠?.而〈x〉F是Ux中的最小元, 所以對(duì)任意的U∈Ux,U∩(A{x})≠?當(dāng)且僅當(dāng)〈x〉F∩(A{x})≠?.因此1)成立.

2)

3)

i(A)= ∪{F|F?A,F∈TF}= ∪{F|F?A,F∈Fil(S)}= ∪{〈a〉F|a∈S,〈a〉F?A}.

推論1設(shè)S是m-半格, 1是冪等元,A?S, 則1?d(A).若A∈Fil(S)且1≠x∈A, 則x∈d(A).

命題8設(shè)S是m-半格,A?S, 則A是閉集當(dāng)且僅當(dāng)?x?A, 有〈x〉F∩A=?.

證明: 必要性.設(shè)A是閉集, 則d(A)?A.于是?x?A, 有x?d(A), 所以由命題7中1)可知, 〈x〉F∩A=〈x〉F∩(A{x})=?.

充分性.設(shè)x∈d(A), 由命題7中1)可知, 〈x〉F∩(A{x})≠?.于是〈x〉F∩A≠?.假設(shè)x?A, 則〈x〉F∩A=?, 這與〈x〉F∩A≠?矛盾, 所以x∈A.從而d(A)?A, 因此A是閉集.

注4設(shè)S是m-半格, 則?a,b∈S,a·b是{a,b}的下確界當(dāng)且僅當(dāng)S是雙側(cè)冪等的.

定理2設(shè)S是雙側(cè)m-半格, 則(S,TF)是T0空間當(dāng)且僅當(dāng)?a,b∈S,a·b是{a,b}的下確界.

證明: 必要性.設(shè)(S,TF)是T0空間, 要證?a,b∈S,a·b是{a,b}的下確界, 只需證明S是冪等的.假設(shè)存在x∈S不是冪等元, 即x≠x2.由命題3中1)可知,x2∈〈x〉F.因?yàn)镾是雙側(cè)的, 所以x2=x·x≤x, 從而〈x〉F?〈x2〉F, 即x∈〈x2〉F.?U∈Ux, 因?yàn)閤2∈〈x〉F?U∈Ux, 所以U∈Ux2.?V∈Ux2, 因?yàn)閤∈〈x2〉F?V∈Ux2, 所以V∈Ux.于是Ux=Ux2, 這與(S,TF)是T0空間矛盾.因此x是冪等元, 即S是冪等的.

充分性.設(shè)x,y∈S,x≠y.假設(shè)Ux=Uy, 由已知條件可知S是冪等的, 則〈x〉F=↑x, 〈y〉F=↑y.因此x≤y且y≤x, 從而x=y, 這與x≠y矛盾.于是Ux≠Uy, 從而(S,TF)是T0空間.

命題9設(shè)S是m-半格, |S|≥2, 則濾子空間(S,TF)不是T1空間.

證明: 因?yàn)閨S|≥2, 所以S{1}≠?且S{1}不是開集, 故{1}不是閉集.因此(S,TF)不是T1空間.

定理3設(shè)S是m-半格, 則濾子空間(S,TF)是連通空間.若S有最小元, 則(S,TF)是緊的.

證明: 假設(shè)存在既開又閉的非空真子集A?S.因?yàn)锳是閉集, 故由命題8可知, ?x?A, 有〈x〉F∩A=?.由于A是開集, 所以1∈A.于是1∈〈x〉F∩A, 這與〈x〉F∩A=?矛盾.因此, (S,TF)中不存在既開又閉的非空真子集, 從而(S,TF)是連通空間.

定理4設(shè)S是雙側(cè)m-半格, 則:

1) (S,TF)滿足第一可數(shù)性公理;

2) (S,TF)滿足第二可數(shù)性公理當(dāng)且僅當(dāng)集族{〈a〉F|a∈S}是可數(shù)的.

證明: 1) ?a∈S, 由于〈a〉F是Ua中的最小元, 所以{〈a〉F}?Ua是a的一個(gè)可數(shù)鄰域基.因此(S,TF)滿足第一可數(shù)性公理.

充分性.設(shè)集族{〈a〉F|a∈S}是可數(shù)的, 由于{〈a〉F|a∈S}是(S,TF)的一個(gè)基, 所以(S,TF)滿足第二可數(shù)性公理.

3 m-半格上的對(duì)偶素譜

定義9設(shè)S是m-半格,F∈Fil(S),F≠S.若?a,b∈S,a∨b∈F?a∈F或b∈F, 則稱F是S中的素濾子.S中全體素濾子構(gòu)成的集合記為DspecS.

例4可以驗(yàn)證例1～例3中的濾子均為素濾子.

定義10設(shè)S是m-半格,I是S的非空真子集.若I滿足下列條件:

1)I=↓I, 即?a,b∈S,a≤b,b∈I?a∈I;

2)a∈I,b∈I?a∨b∈I;

3) ?a,b∈S,a·b∈I?a∈I或b∈I.

則稱I是S中的素理想.

命題10設(shè)S是m-半格, ?≠F?S, 則F是S中的素濾子當(dāng)且僅當(dāng)SF是S中的素理想.

證明: 必要性.設(shè)F是S的素濾子, 且a∈SF,b≤a, 則a?F.因?yàn)镕是上集, 所以b?F.于是SF為下集.如果a,b∈SF, 則a,b?F.若a∨b∈F, 則a∈F或b∈F, 與a,b?F矛盾.故a∨b?F, 從而SF是S的理想.設(shè)a·b∈SF, 假設(shè)a∈F且b∈F, 則由F是濾子可知a·b∈F, 與a·b?F矛盾.故a?F或b?F, 即a∈SF或b∈SF.因此SF是S的素理想.

充分性.設(shè)SF是S的素理想, 且a∈F,a≤b, 則a?SF.因?yàn)镾F是下集, 所以b?SF.于是F為上集.設(shè)a,b∈F, 則a?SF,b?SF.假設(shè)a·b∈SF, 則a∈SF或b∈SF, 與a,b?SF矛盾.于是a·b?SF.因此F是S中的濾子.設(shè)a,b∈S,a∨b∈F, 若a∈SF且b∈SF, 則由SF是理想得a∨b∈SF, 與a∨b?SF矛盾.故a?SF或b?SF, 即a∈F或b∈F.因此F是S中的素濾子.

命題11設(shè)S1,S2是m-半格,f:S1→S2是m-半格滿同態(tài).若F是S2中的素濾子, 則f-1(F)={x∈S1|f(x)∈F}是S1中的素濾子.

證明: 由命題6可知,f-1(F)是S1的濾子.設(shè)a,b∈S1且a∨b∈f-1(F), 則f(a∨b)∈F, 所以f(a)∨f(b)∈F.由于F是S2中的素濾子, 所以f(a)∈F或f(b)∈F, 從而a∈f-1(F)或b∈f-1(F).因?yàn)閒是滿同態(tài), 所以f-1(F)≠S1.因此f-1(F)是S1中的素濾子.

推論2設(shè)S1,S2是m-半格,f:S1→S2是m-半格滿同態(tài).如果1S2是S2中的冪等元, 且{1S2}是S2中的素濾子, 則f-1(1S2)是S1中的素濾子.

定理5(m-半格上的分離引理) 設(shè)S是雙側(cè)m-半格,F∈Fil(S),F≠S.如果I是S中的理想且I∩F=?, 則存在S中的素濾子P, 使得I∩P=?且F?P.

下證P是素濾子.?x,y∈S且x∨y∈P, 假設(shè)x?P且y?P, 則〈P∪{x}〉F,〈P∪{y}〉F均真包含P.又因?yàn)镻是極大元, 于是

I∩〈P∪{x}〉F≠?,I∩〈P∪{y}〉F≠?.

從而存在z1,z2∈S, 使得z1∈I∩〈P∪{x}〉F,z2∈I∩〈P∪{y}〉F.由命題3中2)可知, 不失一般性, 存在p1,p2,p3,p4∈P, 使得z1≥p1·x·p2,z2≥p3·y·p4.于是

z1∨z2≥(p1·x·p2)∨(p3·y·p4).

由于S是雙側(cè)m-半格, 所以

因?yàn)閜1·p3∈P,x∨y∈P,p2·p4∈P, 所以(p1·p3)·(x∨y)·(p2·p4)∈P.由于P是濾子, 所以z1∨z2∈P.但z1∨z2∈I, 故z1∨z2∈I∩P, 與I∩P=?矛盾.因此x∈P或y∈P, 從而P是素濾子.

推論3設(shè)S是雙側(cè)m-半格, 則:

1) 若F∈Fil(S)且a∈SF, 則存在素濾子P, 使得a?P且F?P;

2) 若1·1=1且1≠a∈S, 則存在素濾子P, 使得a?P;

3)F∈Fil(S),F≠S, 則F=∩{P∈Fil(S)|F?P且P是素的}.

證明: 1) 設(shè)F∈Fil(S), 且a∈SF, 則↓a是S中的理想, 且↓a∩F=?.于是由定理5可知, 存在素濾子P, 使得↓a∩P=?且F?P, 即a?P且F?P.

2) 若1·1=1, 則{1}是濾子.由a≠1可知,a?{1}, 從而存在素濾子P, 使得↓a∩P=?且{1}?P, 即a?P.

3)F?∩{P∈Fil(S)|F?P且P是素的}顯然成立.?x∈∩{P∈Fil(S)|F?P且P是素的}, 假設(shè)x?F, 則x∈SF.于是由1)可知, 存在素濾子T, 使得x?T且F?T.因?yàn)門是素濾子且F?T, 所以x∈T, 與x?T矛盾.從而x∈F, 進(jìn)而F?∩{P∈Fil(S)|F?P且P是素的}.故F=∩{P∈Fil(S)|F?P且P是素的}.

設(shè)S是m-半格,a∈S, 記

Ua={P∈DspecS|a?P}, B={Ua|a∈S}.

若A?S, 記UA={P∈DspecS|AP}.

命題12設(shè)S是m-半格,a,b∈S,F,F1,F2∈Fil(S), {Fλ}λ∈Λ?Fil(S), 則:

1)U〈a〉F=Ua;

2)UF1∩UF2=UF1∩F2;

4)Ua∩Ub=Ua∨b;

若S是雙側(cè)的, 則:

5)Ua∪Ub=Ua·b.

證明: 1) ?P∈DspecS, 〈a〉FP當(dāng)且僅當(dāng)a?P, 因此U〈a〉F=Ua.

2) 首先, 設(shè)P∈UF1∩UF2, 則P∈UF1且P∈UF2.故F1P且F2P.于是存在x∈F1,y∈F2, 使得x?P,y?P, 從而x∨y∈F1∩F2.由于x∨y?P, 所以F1∩F2P.從而P∈UF1∩F2, 于是UF1∩UF2?UF1∩F2.

其次, 設(shè)P∈UF1∩F2, 則F1∩F2P, 即F1P且F2P.從而P∈UF1且P∈UF2, 進(jìn)而P∈UF1∩UF2, 故UF1∩UF2?UF1∩F2.于是UF1∩UF2=UF1∩F2.

4)P∈Ua∩Ub當(dāng)且僅當(dāng)P∈Ua,P∈Ub當(dāng)且僅當(dāng)P∈DspecS且a?P,b?P當(dāng)且僅當(dāng)P∈DspecS且a∨b?P當(dāng)且僅當(dāng)P∈Ua∨b.

5) 由S是雙側(cè)的可知,P∈Ua∪Ub當(dāng)且僅當(dāng)P∈DspecS且a?P或b?P當(dāng)且僅當(dāng)P∈DspecS且a·b?P當(dāng)且僅當(dāng)P∈Ua·b.

引理1設(shè)S是雙側(cè)m-半格,F∈Fil(S),a∈S, 則a∈F當(dāng)且僅當(dāng)Ua?UF.

證明: 必要性.?P∈Ua, 有a?P.由于a∈F, 所以FP.從而P∈UF, 進(jìn)而Ua?UF.

充分性.設(shè)Ua?UF.假設(shè)a?F, 則由推論3中1)可知, 存在素濾子P, 使得a?P且F?P, 即P∈Ua且P?UF, 與Ua?UF矛盾.因此a∈F.

設(shè)S是m-半格, 由推論4和命題12可知, B是DspecS上某一拓?fù)涞囊粋€(gè)基.記由基B生成的拓?fù)錇門D, (DspecS,TD)稱為S上的對(duì)偶素譜空間.

定理6設(shè)S是雙側(cè)m-半格,F∈Fil(S), 則UF是對(duì)偶素譜空間(DspecS,TD)中的開集.反之, ?V∈TD, 存在S中唯一的濾子F, 使得V=UF.

故UF是(DspecS,TD)中的開集.

假設(shè)存在兩個(gè)濾子F1,F2, 使得V=UF1=UF2, 則由引理1可知,

a∈F1?Ua?UF1=UF2?a∈F2,

從而F1=F2.因此存在唯一的濾子F使得V=UF.

定理7設(shè)S是雙側(cè)m-半格,P∈DspecS, 則DspecSUP是{P}在(DspecS,TD)中的閉包.

證明: 因?yàn)镻?UP, 所以P∈DspecSUP.由于DspecSUP是閉集, 所以DspecSUP是包含{P}的閉集.設(shè)Ψ是(DspecS,TD)中的閉集, 且P∈Ψ.下證DspecSUP?Ψ.?A∈DspecSUP, 有A?UP, 從而P?A.假設(shè)A?Ψ, 則A∈DspecSΨ.由于DspecSΨ是開集, 所以由定理6可知, 存在濾子F, 使得DspecSΨ=UF, 于是FA.故FP, 從而P∈DspecSΨ, 與P∈Ψ矛盾.因此A∈Ψ, 于是DspecSUP是{P}在(DspecS,TD)中的閉包.

定理8設(shè)S是雙側(cè)m-半格, 則S上的對(duì)偶素譜空間(DspecS,TD)是T0空間.

證明: ?P,Q∈DspecS且P≠Q(mào), 由引理1可知,UP≠UQ.由定理7可知, {P}和{Q}在(DspecS,TD)中的閉包不同, 故(DspecS,TD)是T0空間.

定理9設(shè)S是雙側(cè)m-半格, 則S上的對(duì)偶素譜空間(DspecS,TD)是T1空間當(dāng)且僅當(dāng)?P,Q∈DspecS,P≠Q(mào)?PQ≠?.

證明: 必要性.設(shè)(DspecS,TD)是T1空間, 則{P}=DspecSUP, 從而UP=DspecS{P}.因此Q∈UP, 故PQ≠?.

充分性.?P∈DspecS, 顯然{P}?DspecSUP.?Q∈DspecSUP, 有Q?UP, 即P?Q.假設(shè)P≠Q(mào), 則由已知可知QP≠?, 與P?Q矛盾.因此Q=P, 于是{P}=DspecSUP是閉集, 從而(DspecS,TD)是T1空間.

定理10設(shè)S是m-半格, 若{〈a〉F|a∈S}是一個(gè)可數(shù)集, 則S上的對(duì)偶素譜空間(DspecS,TD)滿足第二可數(shù)性公理.

證明: 如果{〈a〉F|a∈S}是一個(gè)可數(shù)集, 則{U〈a〉F|a∈S}是一個(gè)可數(shù)集.因?yàn)閁〈a〉F=Ua, 所以{Ua|a∈S}是一個(gè)可數(shù)集.由于{Ua|a∈S}是對(duì)偶素譜空間(DspecS,TD)的基, 所以對(duì)偶素譜空間(DspecS,TD)滿足第二可數(shù)性公理.

定理11設(shè)S1,S2是m-半格,f:S1→S2是m-半格滿同態(tài), 則f-1: (DspecS2,TD)→(DspecS1,TD)是連續(xù)映射.

證明: 由命題11可知,f-1是良定的.下證映射f-1是連續(xù)的.?a∈S1,P∈DspecS2, 有

P∈(f-1)-1(Ua)?f-1(P)∈Ua?a?f-1(P)?f(a)?P?P∈Uf(a).

故(f-1)-1(Ua)=Uf(a), 因此f-1: (DspecS2,TD)→(DspecS1,TD)是連續(xù)映射.

用S表示以雙側(cè)m-半格為對(duì)象, 以m-半格滿同態(tài)為態(tài)射構(gòu)成的范疇.用Top0表示以T0拓?fù)淇臻g為對(duì)象, 以連續(xù)映射為態(tài)射構(gòu)成的范疇.若S是雙側(cè)m-半格, 則DspecS(S)=(DspecS,TD)∈Ob(Top0).若f是m-半格滿同態(tài), 則DspecS(f)=f-1是連續(xù)映射.

定理12Dspec: Sop→Top0是函子.

從而Dspec(ids)=idDspecS, 故函子Dspec保單位.下證函子Dspec保復(fù)合.?f∈hom(S1,S2),g∈hom(S2,S3), 有

DspecS(g°opf)=(f°g)-1=g-1°f-1=DspecS(g)°DspecS(f).

故函子Dspec保復(fù)合.因此Dspec: Sop→Top0是函子.

綜上所述, 本文通過在m-半格中引入濾子的概念, 討論了m-半格中濾子的若干性質(zhì), 進(jìn)而研究了濾子空間的性質(zhì).并在m-半格上定義素濾子的概念, 討論了素濾子與素理想之間的關(guān)系, 得到了m-半格上的分離引理, 給出了m-半格上對(duì)偶素譜空間的性質(zhì).