邱燕萍 周浩萌 尋天雨 郁高坤

(中國(guó)海洋大學(xué) 青島 266100)

0 引言

聲音對(duì)海洋動(dòng)物的生存非常重要。近年來由人類活動(dòng)產(chǎn)生的水下噪聲嚴(yán)重地破壞了海洋環(huán)境平衡，正在威脅著海洋哺乳動(dòng)物及其他水生生物的生命健康，引起了廣泛的關(guān)注。由人為活動(dòng)產(chǎn)生的噪聲包括船舶噪聲、聲吶工程噪聲以及水下作業(yè)平臺(tái)噪聲等，對(duì)海洋哺乳動(dòng)物的危害主要有生理損傷、生理功能障礙和行為改變[1]。目前人們?cè)诤粲醺鲊?guó)聯(lián)合制定與海洋噪聲污染相關(guān)的法律、規(guī)范來保護(hù)海洋生物的同時(shí)，還從降噪的角度出發(fā)，致力于研究削弱噪聲機(jī)制以降低污染影響，其中比較成熟的方法是利用氣泡進(jìn)行水下低頻聲降噪[2?3]。但是氣泡的抗壓性差，并不適用于高壓的水下環(huán)境，因此設(shè)計(jì)一種具備耐壓性的水下低頻共鳴器十分必要。

亥姆霍茲共鳴器[4?5]作為經(jīng)典的聲學(xué)共振結(jié)構(gòu)，通常由一個(gè)腔體和一個(gè)與外界連通的小孔組成，因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、聲學(xué)效果顯著而被人們廣泛應(yīng)用于噪聲控制等領(lǐng)域。目前已經(jīng)有不少研究者用它進(jìn)行改良構(gòu)造成亞波長(zhǎng)的完美吸收體[6?9]，或者將其按照一定的規(guī)律進(jìn)行排列組成聲學(xué)超構(gòu)材料[10]來實(shí)現(xiàn)對(duì)聲波和彈性波的調(diào)控。但是亥姆霍茲共鳴器也存在其固有缺陷[11]，比如對(duì)頻率的選擇性很強(qiáng)。雖然在共振頻率處，亥姆霍茲共鳴器的消聲效果很好，但工作頻段受品質(zhì)因素影響大，一旦稍微超出范圍，消聲量便會(huì)快速下降，同時(shí)受到自身結(jié)構(gòu)限制，其低頻消聲效果不理想。特別是在水下環(huán)境中，還要考慮材料特性阻抗、耐壓性等問題，應(yīng)用起來并非易事。

本文主要基于共振理念提出了在寬開口的剛性腔體內(nèi)嵌入聚氨酯泡沫來構(gòu)造一種新型的水下共鳴器，以實(shí)現(xiàn)低頻共振、品質(zhì)因素低的效果。首先是掌握聚氨酯泡沫必要的聲學(xué)參數(shù)。在此基礎(chǔ)上建立鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器的理論模型，根據(jù)聲場(chǎng)形式獲得相應(yīng)的聲阻抗率和共振頻率，并對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化檢驗(yàn)，建立集中參數(shù)系統(tǒng)分析其共振機(jī)制，解釋鑲嵌聚氨酯泡沫的共鳴器能夠降低共振頻率、維持較小品質(zhì)因素的原因。最后利用輻射阻抗對(duì)理論模型的共振頻率進(jìn)行補(bǔ)充修正，運(yùn)用有限元軟件完成建模仿真工作，與理論模型作對(duì)比。

1 聚氨酯泡沫的聲速測(cè)定

聚氨酯泡沫塑料是一種非常受歡迎的吸聲材料，具有質(zhì)量輕、易成型、適用范圍廣等優(yōu)點(diǎn)。要想將聚氨酯泡沫應(yīng)用到聲學(xué)設(shè)計(jì)之中，掌握其聲學(xué)特性十分必要。而聚氨酯泡沫塑料泊松比滿足Kerner-Rusch經(jīng)驗(yàn)公式[12]：

其中，?=ρa(bǔ)vg/ρs是基體材料體積比，ρs和ρa(bǔ)vg分別是基體材料和泡沫塑料的密度。根據(jù)文獻(xiàn)[13]，假設(shè)E0是聚氨酯基體材料的楊氏模量，那么聚氨酯泡沫楊氏模量Ef的預(yù)測(cè)可以采用公式(2)：

聚氨酯泡沫的縱波聲速和橫波聲速為

已知聚氨酯基體材料的楊氏模量為E0=2433 MPa，密度為ρs=1200 kg·m?3。如果這時(shí)知道聚氨酯泡沫的密度，就可以根據(jù)式(1)計(jì)算泊松比，再根據(jù)式(2)得到楊氏模量，進(jìn)而代入式(3)和式(4)獲得相應(yīng)的縱波聲速和橫波聲速，具體的參數(shù)理論估算結(jié)果見表1。

表1 聚氨酯泡沫參數(shù)理論估算結(jié)果Table 1 Theoretical estimated results for the parameters of polyurethane foam

因?yàn)榫郯滨ヅ菽穆曀賲?shù)關(guān)系到后續(xù)的理論建模以及將來的實(shí)驗(yàn)研究，所以還需要通過水池實(shí)驗(yàn)測(cè)定。在實(shí)驗(yàn)中，可以由兩個(gè)水聽器之間有無聚氨酯泡沫板的時(shí)間差以及板的厚度來計(jì)算聚氨酯泡沫的聲速，具體操作如圖1所示。在實(shí)驗(yàn)過程中，聲源、水聽器的聲中心、聚氨酯泡沫板的幾何中心要在同一水平線上，確保聲波能夠垂直穿過聚氨酯泡沫板。

圖1 聚氨酯泡沫聲速測(cè)量實(shí)驗(yàn)示意圖Fig.1 Schematic diagram of sound velocity measurement for polyurethane foam

假設(shè)兩個(gè)水聽器之間的距離記為l，聚氨酯泡沫板的厚度為d，沒有聚氨酯泡沫板時(shí)兩個(gè)水聽器接收到聲波的時(shí)間差記為t1，則水的聲速有

當(dāng)聚氨酯泡沫板存在時(shí)，兩個(gè)水聽器接收到聲波的時(shí)間差記為t2，其聲速測(cè)量方程可整理為

其中，d=0.07 m，時(shí)間差t1、t2可以通過水聽器信號(hào)分別與功放信號(hào)做相關(guān)處理后做差獲得。考慮到聲波衍射以及水面散射的影響，兩個(gè)水聽器的距離應(yīng)該盡可能接近，所以在實(shí)驗(yàn)過程中l(wèi)主要采用了0.35 m和0.45 m兩個(gè)距離。

為了保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的正確性，選取4 天不同的時(shí)間段進(jìn)行多次測(cè)量，具體處理結(jié)果見表2。其中聚氨酯泡沫的縱波聲速可以直接由實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到。而橫波速度無法直接測(cè)量，所以需要先通過式(3)計(jì)算出對(duì)應(yīng)的楊氏模量，再根據(jù)式(4)獲得。最后對(duì)這4 天的測(cè)量結(jié)果取平均，聚氨酯泡沫的縱波聲速為970.75 m/s，橫波聲速為495.33 m/s，與理論估算結(jié)果差不多，符合鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的預(yù)期要求。

表2 聚氨酯泡沫聲速測(cè)量處理結(jié)果Table 2 Measured sound velocity of polyurethane foam

2 建立鑲嵌聚氨酯泡沫的水下共鳴器理論模型

2.1 理論模型

求解聲場(chǎng)的理論解法主要有積分方程法和分離變量法[14]。通常認(rèn)為，分離變量法適用于求解有界空間的定解問題，而積分變換法則適用于求解無界空間的定解問題。通常嚴(yán)格理論解只針對(duì)規(guī)則目標(biāo)，對(duì)于現(xiàn)實(shí)中比較復(fù)雜的散射體，則需要用到近似解析法和數(shù)值解法。圖2是本文設(shè)計(jì)的鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器結(jié)構(gòu)，腔壁用鋼制備，中心的圓柱彈性體則為聚氨酯泡沫，其中腔體高度記為h，腔體半徑記為b，鋼壁厚度記為q，聚氨酯泡沫的半徑記為a。在建立理論模型時(shí)，假定水為理想流體，聚氨酯泡沫所制成的彈性圓柱體為理想彈性體，腔壁剛性，聲波的傳播絕熱且結(jié)構(gòu)上界面處的聲壓均勻分布。

圖2 鑲嵌聚氨酯泡沫的水下共鳴器Fig.2 An underwater resonator embedded with polyurethane foam

已知標(biāo)量勢(shì)函數(shù)Φ和矢量勢(shì)函數(shù)Ψ可以分別描述固體中的縱波和橫波[15]。因此由氨酯泡沫所制成的彈性體中的聲場(chǎng)滿足關(guān)于標(biāo)量勢(shì)和矢量勢(shì)的兩個(gè)方程：

彈性體周圍的水中聲場(chǎng)p滿足理想流體中的波動(dòng)方程：

其中，c0是水的聲速。因?yàn)長(zhǎng)aplace算子在柱坐標(biāo)系下的形式為

而當(dāng)Laplace 算子在柱坐標(biāo)系下作用于一個(gè)矢量F時(shí)有

利用Laplace 算子對(duì)式(7)、式(8)、式(9)展開，應(yīng)用積分變換法，代入邊界條件即可求解聲場(chǎng)[16?17]。忽略時(shí)間因子e?jωt并假定腔體聲場(chǎng)呈軸對(duì)稱分布，在z軸方向上對(duì)聲場(chǎng)做傅里葉展開，則聚氨酯泡沫彈性棒的縱波、橫波及其周圍水中的聲場(chǎng)可以整理為以下積分形式

共鳴器聲場(chǎng)模型的邊界條件考慮了聲波在不同媒質(zhì)之間界面上的反射、折射與透射，結(jié)合圖2鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，本文將涉及到的邊界條件整理歸納成表3。根據(jù)表3，只需要將邊界條件逐一代入聲場(chǎng)函數(shù)表達(dá)式就可以列出各個(gè)系數(shù)之間的方程組，然后進(jìn)行聯(lián)立求解即可。注意在求解聲場(chǎng)展開系數(shù)的超定方程組時(shí)需要用到對(duì)角加載奇異值分解方法[18]提高數(shù)值穩(wěn)定性。

表3 邊界條件Table 3 Boundary conditions

對(duì)于理論模型而言，假定鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器開口處的聲壓是均勻的，則該處質(zhì)點(diǎn)振速分布v(r)的形式可以寫為

其中，ρ0表示的是水的密度。此時(shí)質(zhì)點(diǎn)振速分布與徑向位置有關(guān)，對(duì)其取平均就可以得到共鳴器開口處的平均質(zhì)點(diǎn)振速：

如果在邊界條件中設(shè)定開口處的聲壓為1，則聲阻抗率可以寫為

當(dāng)共鳴器發(fā)生共振時(shí)，聲阻抗率的虛部為零，也就是說聲阻抗率虛部為零時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率值即為共鳴器的共振頻率。

2.2 聲場(chǎng)模型的簡(jiǎn)化檢驗(yàn)

為了確保鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器理論模型的正確性，有必要對(duì)結(jié)構(gòu)中的聲場(chǎng)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化檢驗(yàn)，所謂簡(jiǎn)化就是在建模過程用到的近似處理。如果鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器的理論模型成立，那么它理應(yīng)能夠描述一些在原結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上簡(jiǎn)化而來的聲場(chǎng)模式，這里主要考慮了聚氨酯泡沫趨于無以及聚氨酯泡沫趨于填滿整個(gè)共鳴腔兩種情況分別用于檢驗(yàn)水中聲場(chǎng)模式與聚氨酯泡沫彈性體聲場(chǎng)模式。

首先是水中聲場(chǎng)模式的檢驗(yàn)。當(dāng)共鳴腔內(nèi)的聚氨酯泡沫半徑趨于無窮小時(shí)，模型近似于末端被封閉的有限長(zhǎng)直管。而末端被封閉的有限長(zhǎng)直管可以直接利用阻抗轉(zhuǎn)移公式得到開口處的聲阻抗率：

其中，k0=ω/c0。此時(shí)將聚氨酯泡沫半徑趨于0 時(shí)的理論模型的聲阻抗率與直管結(jié)構(gòu)的聲阻抗率進(jìn)行對(duì)比，若是能夠?qū)?yīng)吻合，則可驗(yàn)證模型正確。而且為了說明一般性，本文假設(shè)所有的聲速量和密度量均以水為參考進(jìn)行歸一化，而所有的結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度量都以腔體半徑作為參考。

圖3是當(dāng)鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器的腔體半徑b=0.5，聚氨酯泡沫半徑a=0.0001，不同腔體高度的理論模型與對(duì)應(yīng)高度的直管結(jié)構(gòu)的聲阻抗率對(duì)比結(jié)果，其中星號(hào)、圈、四方形、五角星標(biāo)記代表h依次取值為0.3、0.4、0.5、0.6時(shí)的理論模型的聲阻抗率，紅色、綠色、玫紅色、黃色實(shí)線則為相應(yīng)高度直管的聲阻抗率，二者幾乎對(duì)應(yīng)重合。而且通過理論模型計(jì)算出來的聲阻抗率的實(shí)部均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于與其相對(duì)應(yīng)的虛部，所以可以忽略實(shí)部將聲阻抗率看成一個(gè)純虛數(shù)，這在形式上與式(18)一致。從這兩點(diǎn)來看，水中聲場(chǎng)的建模成立。

圖3 理論模型與直管模型聲阻抗率對(duì)比Fig.3 Comparison of specific acoustic impedance between the theoretical model and a tube model

然后是聚氨酯泡沫彈性體聲場(chǎng)模式的檢驗(yàn)。當(dāng)聚氨酯泡沫的半徑趨于腔體半徑時(shí)，模型近似于一端固定、一端受到均勻聲壓作用的棒。為了更好地貼合實(shí)際棒振動(dòng)情況，本文從棒的縱振動(dòng)方程出發(fā)，同時(shí)考慮徑向運(yùn)動(dòng)，得到彈性體頂端處的聲阻抗率為

其中，kP是聚氨酯泡沫的縱波波數(shù)，而Ef=ρa(bǔ)vgc2L是聚氨酯泡沫的等效楊氏模量。然后將聚氨酯半徑接近腔體半徑的理論模型的聲阻抗率與棒縱振動(dòng)的聲阻抗率進(jìn)行對(duì)比，觀察二者是否一致。

圖4是當(dāng)鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器的腔體半徑b=0.5，聚氨酯泡沫半徑a=0.4999，不同腔體高度的理論模型與對(duì)應(yīng)高度的彈性棒縱振動(dòng)模型的聲阻抗率對(duì)比結(jié)果，其中星號(hào)、圈、四方形、五角星標(biāo)記代表h依次取值為0.3、0.4、0.5、0.6 時(shí)的理論模型的聲阻抗率，紅色、綠色、玫紅色、黃色實(shí)線則為相應(yīng)高度彈性棒縱振動(dòng)的聲阻抗率，二者也幾乎對(duì)應(yīng)吻合。而且同樣的，由理論模型計(jì)算出來的聲阻抗率實(shí)部很小，可以舍去不計(jì)，只考慮虛部情況即可，其聲阻抗率在形式上與式(19)一致。說明了聚氨酯泡沫彈性體聲場(chǎng)模式正確。

圖4 理論模型與棒縱振動(dòng)模型聲阻抗率對(duì)比Fig.4 Comparison of specific acoustic impedance between the theoretical model and the longitudinal vibration model of a rod

從水中聲場(chǎng)以及聚氨酯泡沫彈性體聲場(chǎng)模型的檢驗(yàn)結(jié)果來看，鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器的理論模型完全可以描述兩種極端假設(shè)下的聲場(chǎng)情形，且模型的求解結(jié)果與嚴(yán)格的理論值高度吻合。由此可以認(rèn)為，本文所建立的關(guān)于鑲嵌聚氨酯泡沫的共鳴腔內(nèi)聲場(chǎng)的理論模型是正確的。

2.3 建立鑲嵌聚氨酯泡沫的水下共鳴器的集中參數(shù)模型

本文在2.2 節(jié)聲場(chǎng)模型的簡(jiǎn)化檢驗(yàn)中討論了直管結(jié)構(gòu)以及棒縱振動(dòng)的聲阻抗率，證明了理論模型的正確性，但實(shí)際上鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器的聲阻抗率應(yīng)該由水和聚氨酯泡沫彈性體共同決定。由于鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器的整體尺寸遠(yuǎn)小于本文所關(guān)心頻段的波長(zhǎng)，故在描述其聲學(xué)特性時(shí)，還能夠采用建立集中參數(shù)等效模型的方法。這時(shí)鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器開口處的聲阻抗可以用水中聲場(chǎng)在管口處的聲阻抗與彈性棒縱振動(dòng)自由端的聲阻抗并聯(lián)的形式來進(jìn)行等效。

因?yàn)榫郯滨ヅ菽拇嬖?，開口處的水呈環(huán)形分布，故在管口處水貢獻(xiàn)的聲阻抗為

聚氨酯泡沫貢獻(xiàn)的聲阻抗為

由并聯(lián)規(guī)律求出該理論下開口處總的聲阻抗為

或者用聲阻抗率來表示：

與簡(jiǎn)化檢驗(yàn)時(shí)的做法一樣，繼續(xù)將理論模型和并聯(lián)模型的聲阻抗率進(jìn)行對(duì)比。

圖5是當(dāng)鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器的腔體半徑b=0.5，腔體高度h=0.5，不同半徑的聚氨酯泡沫的理論模型與并聯(lián)模型聲阻抗率對(duì)比結(jié)果，其中星號(hào)、圈、四方形標(biāo)記代表a依次取值為0.25、0.35、0.45 時(shí)的理論模型的聲阻抗率，紅色、綠色、玫紅色實(shí)線則為相應(yīng)并聯(lián)模型的聲阻抗率，二者在數(shù)值以及走勢(shì)方面都高度一致，說明了并聯(lián)模型的猜想正確。

圖5 理論模型與并聯(lián)結(jié)構(gòu)模型聲阻抗率對(duì)比Fig.5 Comparison of specific acoustic impedance between the theoretical model and a parallel model

除此之外建立集中參數(shù)系統(tǒng)也有利于繼續(xù)討論分析內(nèi)嵌聚氨酯泡沫對(duì)共鳴器共振機(jī)制的影響。所以繼續(xù)對(duì)結(jié)構(gòu)開口處的聲阻抗率式(23)進(jìn)行展開：

當(dāng)Zst=0 時(shí)，得到或者其中n=,1,2,...。由這兩個(gè)等式求得兩類共振頻率，分別記為frw和frP，則有

其中，frw是沒有聚氨酯泡沫時(shí)大開口共鳴器的共振頻率，而frP則是純聚氨酯泡沫彈性棒做縱振動(dòng)時(shí)的共振頻率。由于cL

從另一個(gè)角度來看，聚氨酯泡沫的存在可以增大共鳴器的聲容。由式(18)和式(24)可以分別得到無聚氨酯泡沫和有聚氨酯泡沫時(shí)共鳴器的聲阻抗率。當(dāng)結(jié)構(gòu)作為低頻散射體存在時(shí)，對(duì)其做泰勒展開，并只取第一項(xiàng)做近似得到

進(jìn)而得到二者的聲容：

為了比較無聚氨酯泡沫時(shí)共鳴器腔體的聲容和有聚氨酯泡沫時(shí)共鳴器腔體聲容的大小，將這二者做差?=Cat?Caw并化簡(jiǎn)得到

因?yàn)榍懊嬖趯?duì)聚氨酯泡沫做聲速測(cè)定的時(shí)候，已經(jīng)知道c20ρ0>Ef，所以?>0，嚴(yán)格證明嵌入聚氨酯泡沫確實(shí)使得聲容變大了。

3 模型仿真研究

前面已經(jīng)建立了鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器的理論模型，并做了大量的理論分析和檢驗(yàn)，本節(jié)主要應(yīng)用有限元軟件進(jìn)行建模仿真以實(shí)現(xiàn)進(jìn)一步的驗(yàn)證，更好地分析鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器的聲學(xué)特性。

考慮到現(xiàn)實(shí)中共鳴器是作為水下散射體存在的，整個(gè)水下環(huán)境可以被認(rèn)為是無限大的自由空間，聲場(chǎng)模態(tài)均需要外界入射聲波的激勵(lì)才能產(chǎn)生，此時(shí)共鳴器中的水和聚氨酯泡沫彈性體會(huì)發(fā)生振動(dòng)，并向外輻射聲能量。輻射抗作為同振質(zhì)量的存在對(duì)系統(tǒng)的共振頻率影響很大，所以在描述鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器的散射特性時(shí)，需要加上輻射阻抗。假定平面波沿軸向入射，且腔體壁是剛性的，輻射波只能經(jīng)由管口傳出，這與無限大剛性障板上圓形活塞的輻射有一定的類似性，因此可以直接利用活塞的輻射阻抗對(duì)所求得的聲阻抗率進(jìn)行修正。已知無限大剛性障板上活塞的輻射聲阻抗率的實(shí)部和虛部[19]分別為

在這里，r1是活塞的半徑，R1和X1分別是活塞的阻函數(shù)和抗函數(shù)，如果令x=2kr1，則它們的具體形式為

在原來聲阻抗率虛部的基礎(chǔ)上增添一項(xiàng)輻射聲阻抗虛部就能得到鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器的修正聲阻抗率虛部，進(jìn)而得到修正后的共振頻率。然后將修正后的理論模型與有限元軟件仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

為了與理論模型對(duì)應(yīng)起來，本文在運(yùn)用有限元軟件建模仿真時(shí)同樣也使用了歸一化參數(shù)，即所有材料的聲速量和密度量均以水為參考進(jìn)行歸一化，而所有的結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度量都以腔體半徑作為參考，具體使用到的參數(shù)見表4。因?yàn)榫郯滨ヅ菽霃絘是本文的設(shè)計(jì)變量，故沒有在表4中給出具體的參數(shù)歸一化結(jié)果。

表4 鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器模型歸一化參數(shù)Table 4 Normalized parameters of the resonator embedded with polyurethane foam in simulations

為了更加充分地進(jìn)行模型驗(yàn)證，根據(jù)表4的參數(shù)，再令聚氨酯泡沫半徑a分別為0.0001、0.05、0.1、0.15、0.2、0.25、0.3、0.35、0.4、0.45、0.47 來構(gòu)造不同的鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器，通過有限元軟件建模仿真，計(jì)算其共振頻率以及對(duì)應(yīng)的聲場(chǎng)分布情況。

圖6是鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器(a=0.45)歸一化模型在共振頻率0.11578?0.0063008j 下的聲場(chǎng)圖與振型圖，其聲壓和振動(dòng)位移也分別用最大值進(jìn)行了歸一化處理，圖例顏色越深代表相對(duì)幅值越大。其中0.11578?0.0063008j 的實(shí)部表示的是共振頻率的大小，虛部表示結(jié)構(gòu)的聲波輻射能力，當(dāng)虛部很小時(shí)可認(rèn)為不具備傳播性。圖6(a)表示鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器在共振頻率下的歸一化聲壓分布，顯然開口處的聲壓呈向外輻射狀態(tài)，證明了本文在做理論模型分析時(shí)考慮聲輻射并用輻射阻抗對(duì)共振頻率進(jìn)行修正的做法是合理且必要的。同時(shí)，高聲壓值主要集中于聚氨酯泡沫彈性棒的頂端，由彈性棒的圓心向四周逐漸減小，說明此時(shí)發(fā)生的確實(shí)是聚氨酯泡沫彈性棒的軸向共振。而圖6(b)是模型在該共振頻率下的歸一化振動(dòng)位移狀態(tài)，以縱振動(dòng)模式進(jìn)行振動(dòng)，頂端振動(dòng)幅度最大，證明了聚氨酯泡沫彈性棒確實(shí)能夠通過其縱振動(dòng)降低共鳴器的共振頻率。

圖6 歸一化的聲壓與總位移(a=0.45) (共振頻率為0.11578?0.0063008j)Fig.6 Normalized pressure distribution and total displacement at the complex frequency 0.11578?0.0063008j for a=0.45

圖7是鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器擁有不同半徑聚氨酯泡沫時(shí)的品質(zhì)因素。品質(zhì)因素越小，共振頻帶越寬，而共鳴器共振頻率的降低往往是以犧牲共振帶寬為代價(jià)的。但是從圖7來看，共鳴器嵌入聚氨酯泡沫并沒有使品質(zhì)因素產(chǎn)生大幅度的變化，且數(shù)值基本維持在10 以下。這意味著本文所設(shè)計(jì)的鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器在實(shí)現(xiàn)低共振頻率的同時(shí)依然擁有令人滿意的共振帶寬。

圖7 鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器的品質(zhì)因素Fig.7 Quality factors of the resonator embedded with polyurethane foam

圖8則是鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器擁有不同半徑的聚氨酯泡沫時(shí)的歸一化共振頻率。帶圈、帶星、帶菱形的3 條曲線分別對(duì)應(yīng)了未修正的理論模型、輻射修正后的理論模型以及通過有限元軟件仿真的模型計(jì)算得到的共振頻率。當(dāng)聚氨酯泡沫半徑接近0 也就是共鳴器沒有嵌入聚氨酯泡沫的時(shí)候，三者計(jì)算得到的共振頻率依次大約為0.5、0.323、0.318，與考慮了輻射修正的鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器相比，產(chǎn)生差別的原因是前者沒有考慮輻射阻抗，而后者鋼壁參與了振動(dòng)。當(dāng)嵌入聚氨酯泡沫以后，沒有經(jīng)過修正的模型獲得的共振頻率始終為0.323，而考慮了輻射修正的理論模型與有限元軟件仿真模型計(jì)算的結(jié)果基本一致，且隨著聚氨酯泡沫半徑的增加而呈現(xiàn)降低趨勢(shì)，當(dāng)聚氨酯泡沫半徑增加至0.45時(shí)，二者的共振頻率分別降低至0.113和0.116，與空共鳴器相比，頻率降低至1/3。但是不可否認(rèn)，二者確實(shí)還存在著一定的差異，這可以從兩個(gè)方面進(jìn)行解釋。

圖8 鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器模型與有限元仿真模型的共振頻率對(duì)比Fig.8 Resonant frequencies of the resonator embedded with polyurethane foam obtained by the theoretical model and the finite element simulation

一方面，無限大剛性障板上圓形活塞的輻射阻抗不能完全替代鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器的真實(shí)輻射阻抗。本文用來對(duì)共振頻率進(jìn)行修正的輻射阻抗公式是建立在活塞表面振速為均勻分布的假設(shè)下的，而從有限元軟件仿真出來的結(jié)果看，開口處的聲壓并非均勻分布，所以質(zhì)點(diǎn)振速也就不可能滿足均勻分布的條件，導(dǎo)致其實(shí)質(zhì)上與活塞輻射沒有嚴(yán)格等價(jià)。而開口處振速不均勻最本質(zhì)的原因是聚氨酯泡沫和水各自在開口處的聲阻抗不同。再加上共鳴器的腔體淺，水中的共振基頻又高，因此在做有限元仿真時(shí)共鳴器腔體內(nèi)的水可能包含了非平面波模態(tài)，而本文的理論模型只考慮了平面波模態(tài)。

另一方面，鋼壁沒有滿足理論上嚴(yán)格意義的絕對(duì)剛要求，在水中會(huì)產(chǎn)生輕微振動(dòng)，這點(diǎn)可以從圖6(b)的振型圖看出來?？紤]到現(xiàn)實(shí)中人們對(duì)水下物體很難做到徹底隔振[20]，因此在誤差影響允許的范圍之內(nèi)，依然認(rèn)為二者是對(duì)應(yīng)一致的，也就是本文建立的鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器的理論模型是有效的。

4 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器，應(yīng)用近似解析法求解腔體內(nèi)聲場(chǎng)建立了理論模型，獲得了鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器的聲阻抗率以及共振頻率的理論表達(dá)式。通過與一端封閉的有限長(zhǎng)直管結(jié)構(gòu)以及棒縱振動(dòng)的聲阻抗率對(duì)比，證明了理論模型的正確性。在此基礎(chǔ)上，建立集中參數(shù)系統(tǒng)，分析鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器共振頻率降低的原因，一是聚氨酯泡沫彈性體的嵌入，使得共振結(jié)構(gòu)的一階共振頻率變成了彈性棒的共振基頻；二是聚氨酯泡沫彈性體的存在增加了共鳴腔的聲容。利用有限元軟件建模仿真，與經(jīng)過輻射修正的理論模型進(jìn)行對(duì)比，兩者的共振頻率相差不大，進(jìn)一步體現(xiàn)理論模型的正確性，也說明鑲嵌聚氨酯泡沫共鳴器在維持大開口共鳴器品質(zhì)因素小、共振頻帶寬優(yōu)勢(shì)的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了共振頻率的降低，為設(shè)計(jì)新型水下低頻聲學(xué)共振結(jié)構(gòu)提出了一種新的思路。