王曉艷 馬驥

（1.山西工程科技職業(yè)大學(xué) 山西省晉中市 030619）

（2.中國能源建設(shè)集團山西省電力勘測設(shè)計院有限公司 山西省太原市 030000）

1 引言

1.1 經(jīng)典粗糙集理論的基本概念

可見，給定知識庫K（U，R），對于每個子集X U和一個等價關(guān)系R∈ind（K），可以根據(jù)R的基本集合的描述來劃分集合X。為了衡量{des(Yi)： Yi∈R}精確地說明X中對象的隸屬情況，考慮兩個子集：

R_(X)=∪{Y∈U/R：Y X}

R—(X)=∪{Y∈U/R：Y∩X≠?}

分別稱它們?yōu)閄的R下近似集和R下近似集。集合bnR(X)= R—(X)-R_（X）稱為X的R邊界。

通常把posR（X）=R_（X）稱為X的正域，把negR（X）=R—(X)稱為X的R負域，把bnR（X）稱為X的邊界域。

正域posR（X）或X的下近似是那些對于知識R能完全確定地歸入集合X的對象的集合。類似地，negR（X）是那些對于知識R毫無疑問不屬于集合X的元素的集合，它們是屬于X的補集。邊界域是某種意義上論域的不確定域，對于知識R屬于邊界域的對象不能確定地劃分是屬于X或是-X。X的上近似是由那些對于知識R不能排除它們屬于X的可能性的對象構(gòu)成的，從形式上看，上近似就是正域和邊界域的并集。

關(guān)于粗糙集理論的詳細描述請參見文獻。

1.2 泛系理論

泛系理論是研究廣義系統(tǒng)的學(xué)科。廣義系統(tǒng)可看成廣義硬件與廣義軟件的復(fù)合體或軟硬兼設(shè)體，這里廣義硬件可以是任何事物集，包括是另外的廣義系統(tǒng)或廣義軟件集，而廣義軟件則是有關(guān)的某些關(guān)系或帶參量的關(guān)系以及它們的迭代生成。形式上，可以定義廣義系統(tǒng)：（（廣義硬件，廣義軟件））。廣義硬件：（任何事物集；任何廣義系統(tǒng)集；任何廣義軟件集）；廣義軟件：（廣義硬件與參量的泛權(quán)關(guān)系族；廣義硬件與參量的泛系關(guān)系族；廣義軟件*廣義軟件）。系統(tǒng)觀是一切研究的基礎(chǔ)，粗集理論首先是以知識庫（近似空間）為研究基礎(chǔ)的，知識庫（近似空間）就是一個關(guān)系系統(tǒng)。

2 粗糙集近似的拓撲結(jié)構(gòu)

2.1 泛系拓撲

為了規(guī)范化地研究極限和極限過程，數(shù)學(xué)家引入了拓撲空間的概念，它是泛系論中一種特殊的廣義系統(tǒng)：S=(A,B)，B?P(A)，B叫做拓撲空間S或者A的拓撲結(jié)構(gòu)，實際上是A的一子集族，但是要加入一些規(guī)定（四條公理），B的元素（A的子集合）就叫做鄰域，任何A元素x，y?b?B，則稱x，y是按照b意義下近鄰的，而對于任何廣義的點（元素）x，假如存在b?B使得x?b，則稱x為拓撲空間S的內(nèi)點，所有內(nèi)點的總和就形成拓撲空間S的內(nèi)域。A中的子集合假如都是內(nèi)點，則叫做開集合。假如C?A，x?A，不一定屬于C，對于任何給定的b?B，x?b，則必然存在C的點y?C，使得y也屬于b，y?b，這時候就叫做x是C的凝聚點。自然也是C的極限。當x同時是C和C的補集合的凝聚點的時候，就叫做C的邊界點。這里可以自然地看到，林林總總的b?B 就是許多泛極，是許多廣義的零，是廣義的零距離，同時它們也是許多泛系論下的泛系尺度，它們是用測量廣義的遠近的，是泛系量化（相對地辨異同，排泛序）的手段。而且，有趣的是，這些泛極，這些泛系尺度本身又是相互有泛系量化關(guān)系的，即可以再相對地辨異同，排泛序，自然也可以顯運轉(zhuǎn)（b是集合，它們可以相對地進行廣義的四則運算/加減乘除），這里泛極成為泛系尺度，泛系尺度是泛系量化的工具，泛系尺度族又可以再進行泛系量化。而現(xiàn)代拓撲學(xué)就是用B這一組“泛極/泛系尺度/廣義的尺子/廣義的先驗的知識庫”來建構(gòu)或者研究各種iceb——內(nèi)外、邊界、運轉(zhuǎn)、連續(xù)性、連通性、拓撲變換、拓撲泛對稱等等。這樣現(xiàn)代拓撲學(xué)的理法又可以和泛系相對論聯(lián)系起來，也成為泛系相對論論述相對性的有力工具。

定義3：串并空間：對于論域U上給定的某些泛權(quán)關(guān)系族{fi}經(jīng)過廣義的串行（復(fù)合*）與并行（關(guān)系的并∪與交∩）反復(fù)運算生成的類，記為，它指出：(1)fi?Sp(fi)，??Sp(fi)，U?Sp(fi)；(2)若g，g?Sp(fi)，則g*g，g∪g，g∩g?Sp(fi)。其中，由廣義的串行（復(fù)合*）反復(fù)運算生成的類為串空間；由廣義的并行（關(guān)系的并∪，交∩）反復(fù)運算生成的類為并空間。

定義4：泛系拓撲：假使S=(A,B)，BíA2是一泛系系統(tǒng)，HíA，x?A：

2.2 基于泛系拓撲的粗集近似

定義5：基于泛系拓撲（定義4），對于S=(A,B)，我們約定A為論域U的冪集，記為p(U)，B為A上的偏序關(guān)系（一般為包含關(guān)系），則S構(gòu)成U的冪集上的格，記為S=，R為U上的等價關(guān)系，決定了U上的一個劃分，H則為U上的劃分決定的并空間（H為p(U)的子格），給定集合x?p(U)，若x?H，則 和 即為x的下近似和上近似；若x?H，則x本身即為x的下近似和上近似。

下面舉實例加以說明：

例1：論域U={1,2,3,4},則p(U)={{1,2,3,4},{1,2,3}, {1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1},{2},{3},{4},?}，下圖(圖1)為泛系拓撲S=，設(shè)U上關(guān)系R決定的U上的一個劃分：U={{1,2},{3},{4}}，由定義3其對應(yīng)的并空間H={?,{1,2},{3},{4},{1,2,3},{1,2,4},{3,4},{1,2,3,4}}（圖1中加下劃線部分）。

圖1：泛系拓撲S

若討論集合x={1,3}，基于定義5，我們可以從上圖2.2.1的并空間H中一眼得出集合x的上下近似分別為{1,2,3}和{3}。

圖2：泛系拓撲S3

若討論集合x={1,2}，基于定義5，{1,2}本身即為集合x的上下近似。

實質(zhì)上，上近似和下近似分別體現(xiàn)了泛系拓撲結(jié)構(gòu)中的上逼近（右逼近、外逼近）和下逼近（左逼近、內(nèi)逼近），也就是說，粗集近似的本質(zhì)也屬于一種逼近，那么，將它與泛系逼近轉(zhuǎn)化論聯(lián)系起來將是一個新的方向。

2.3 基于泛系拓撲的決策表屬性約簡

定義6：K=（U，A）為一知識表達系統(tǒng)，且C，D A是兩個屬性子集，分別稱為條件屬性，且C∪D=A，C∩D=?具有條件屬性和決策屬性的知識表達系統(tǒng)可表達為決策表，記做T=(U，A，C，D)。關(guān)系ind（C）和關(guān)系ind（D）的等價類分別稱為條件類和決策類。當且僅當C D（即ind（C） ind（D）），決策表T=(U，A，C，D)是相容的。

我們都知道，粗糙集的屬性約簡從系統(tǒng)觀來看是系統(tǒng)間的問題。在此基于泛系拓撲，可以把屬性約簡問題轉(zhuǎn)化為一個系統(tǒng)內(nèi)的問題。集合的包含關(guān)系能夠推導(dǎo)出集合的細分關(guān)系。給定集合U，那么U上的所有等價關(guān)系就決定了U上的一組劃分，同時U上的所有等價關(guān)系就組成了泛系拓撲，可以表示為(P (U), Δ)，其中“P (U)”表示U上的一組劃分，“Δ”表示細分關(guān)系。在泛系拓撲(P (U), Δ)中，來討論粗糙集中決策表的相容性及屬性約簡，由于(P (U), Δ)是一個系統(tǒng)， 所以基于泛系拓撲討論粗糙集中決策表的相容性及屬性約簡，在此就是一個系統(tǒng)內(nèi)的問題了，而不是系統(tǒng)間的問題。泛系拓撲實質(zhì)上就是泛系中廣義系統(tǒng)的一種體現(xiàn)。

廣義系統(tǒng)可以形式地遞歸定義為廣義系統(tǒng)：（（廣義硬件，廣義軟件）），廣義硬件：（任何事物集；任何廣義系統(tǒng)集；任何泛系集），廣義軟件：（廣義硬件的泛權(quán)關(guān)系族；泛系硬件的泛權(quán)泛系關(guān)系族；廣義軟件的復(fù)合）。各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，各種系統(tǒng)概念均可用廣義系統(tǒng)來描述。一種泛系一元觀也認為萬事萬物、百科千題均自成廣義系統(tǒng)又互成廣義系統(tǒng)。廣義系統(tǒng)的概念比流行的一般系統(tǒng)的概念在哲理普適性、數(shù)理確切性與簡明性及便于研究方面，以及在技理具體性方面均更突出而具有融哲理、數(shù)理與技理于一體的一體性，它也是一種廣義的量，是廣義量化的工具。泛系理論（泛系哲學(xué)、泛系數(shù)學(xué)、泛系工學(xué)）已把許多百科理法顯生為系統(tǒng)科學(xué)在哲理、數(shù)理與技理三種層次上提供新的建樹。

下面我們舉例加以說明。

例：給定U= {1, 2, 3, 4}，條件屬性表是一個系統(tǒng)，如S1= (U, C)，決策屬性表是另一個系統(tǒng)，如S2= (U, D)，所以，粗糙集的屬性約簡是一個系統(tǒng)間的問題。下面將其轉(zhuǎn)換為一個系統(tǒng)內(nèi)的問題來討論，這個系統(tǒng)就是泛系拓撲S3，S3= (P (U), Δ)。

S1= (U, C) S2= (U, D)R1 R2 R3 1 1 1 1 2 1 1 0 3 1 0 0 4 0 0 -1 D 1 1 2 -1 3 0 4 0

這里，U上所有等價關(guān)系決定的一組劃分如下：{{1, 2, 3, 4}}, {{1, 2, 3}, {4}}, {{2, 3, 4}, {1}}, {{1, 2, 4}, {3}}, {{1, 3, 4}, {2}}, {{1, 2}, {3, 4}}, {{1, 3}, {2, 4}}, {{1, 4}, {2, 3}}, {{1}, {2}, {3, 4}}, {{1}, {3}, {2, 4}}, {{1}, {4}, {2, 3}}, {{2}, {3}, {1, 4}}, {{2}, {4}, {1, 3}}, {{3}, {4}, {1, 2}}, {{1}, {2}, {3}, {4}}。由此組成的泛系拓撲S3= (P (U), Δ)如下：

如圖2所示，從S3中，可以得到一些規(guī)則：

定義7：基于定義4，設(shè)A=P (U), B A是一細分關(guān)系，即S=(P (U), Δ)，其中條件類，條件類的交集，決策類分別是S=(P (U), Δ)中的元素，由定義3，H就是一個由條件類、條件類的交集組成的并空間，顯然(H, Δ)是S=(P(U), Δ)的子拓撲。假定x∈P(U)是決策類，如果min(H)△x or min(H)=x (min(H)={t | , , such that })，即min（H）） x，由定義6，決策表是相容的，否則是不相容的。且構(gòu)成值為min（H）的條件類的最小集合，即為該決策表的約簡。

下面舉實例加以說明：

例2：已知論域U={1, 2, 3, 4}，條件類分別為：U/R1={{1, 2, 3}, {4}}，U/R2={{1, 2}, {3, 4}}，U/R3={{1}, {4}, {2, 3}}，決策類為 U/D= {{1}, {2}, {3, 4}}，則：

U/R=U/ {R1, R2, R3} = {{1}, {2}, {3}, {4}}

pos(D)= {1, 2, 3, 4}

U/ {R1, R2} = {{3}, {4}, {1, 2}} pos(D) = {3, 4}

U/ {R1, R3} = {{1}, {4}, {2, 3}} pos(D) = {1, 4}

U/ {R2, R3} = {{1}, {2}, {3}, {4}} pos(D) = {1, 2, 3, 4}

所以屬性R2和R3是D不可缺少的，所以約簡為{R2, R3} ，也是核。

例2的泛系拓撲S=(P (U), Δ)如圖3所示。

圖3：泛系拓撲S

由定義7，加下劃線部分為并空間 H（由條件類，條件類的交集組成），加方框部分為決策類x={{1}, {2}, {3, 4}}，min(H) = {{1}, {2}, {3}, {4}}, 由于min(H)△x，所以該決策表是相容的，而且min(H)= U/{R1, R2, R3} 或 U/{R2, R3}，顯然最小集合為{R2, R3}，所以{R2, R3}是決策表的約簡。

3 結(jié)論

本文將粗糙集與泛系拓撲、串并空間聯(lián)系起來，從本質(zhì)上刻畫粗糙集的一些概念，并加以擴展，得出粗糙集近似就是串并空間下，上逼近（右逼近、外逼近）和下逼近（左逼近、內(nèi)逼近）的體現(xiàn)；同時從泛系拓撲的角度，結(jié)合泛系逼近轉(zhuǎn)化論等理論研究決策表的相容性與屬性約簡問題，將系統(tǒng)間的問題轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)內(nèi)的問題來討論，得出相應(yīng)的結(jié)論。