信玉暄，辛萬青，王 勇

(1.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076； 2.中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院， 北京 100076)

1 引言

RCS主要應(yīng)用于航天器中，指利用執(zhí)行器排出的工質(zhì)產(chǎn)生反作用力形成控制力或力矩的動(dòng)力系統(tǒng)。隨著航天科技的發(fā)展，航天器執(zhí)行任務(wù)要求越來越高，動(dòng)力系統(tǒng)組成越來越復(fù)雜，RCS故障逐漸成為影響航天器任務(wù)完成可靠性的關(guān)鍵因素之一。在系統(tǒng)發(fā)生故障后，有效進(jìn)行容錯(cuò)控制，可以提升航天器在故障下的任務(wù)完成能力。RCS由噴管組成，其執(zhí)行器數(shù)量大于控制通道數(shù)量，為一種過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，其控制器也通常分為控制律和控制分配算法兩級(jí)。因此可以結(jié)合容錯(cuò)控制律設(shè)計(jì)和控制重分配2種方法實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)控制。

為使系統(tǒng)在故障時(shí)仍能實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間穩(wěn)定，基于終端滑?？刂频娜蒎e(cuò)控制方法由于具有使系統(tǒng)沿滑模面有限時(shí)間收斂的特性，被廣泛應(yīng)用于航天器容錯(cuò)控制中。而為了解決控制過程中的奇異問題，文獻(xiàn)[8]提出了一種基于非奇異終端滑模(non-singular terminal sliding mode，NTSM)的方法。以上文獻(xiàn)中，作者均根據(jù)故障信息構(gòu)造補(bǔ)償控制律以容忍故障，但未考慮系統(tǒng)控制能力有限的問題。對(duì)于RCS，噴管提供的控制力矩有限，若控制律過大，使系統(tǒng)難以提供相匹配的控制力矩，會(huì)導(dǎo)致控制性能下降甚至失穩(wěn)。針對(duì)以上問題，文獻(xiàn)[10-11]基于滑?？刂圃O(shè)計(jì)抗飽和容錯(cuò)控制律以補(bǔ)償執(zhí)行器控制能力有限對(duì)系統(tǒng)造成的影響。文獻(xiàn)[12-15]基于終端滑?？刂圃O(shè)計(jì)有限時(shí)間容錯(cuò)控制律并利用飽和函數(shù)或Tanh函數(shù)對(duì)控制律限幅，以匹配控制律與系統(tǒng)控制能力。終端滑模控制中為保證系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面運(yùn)動(dòng)并最終收斂到零，需根據(jù)滑模面導(dǎo)數(shù)設(shè)計(jì)等效控制律，但以上文獻(xiàn)均將限幅函數(shù)作用于控制律整體，限幅后的等效控制律難以保證系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面收斂到零，因此文獻(xiàn)[12-13]僅能保證控制律限幅前的有限時(shí)間穩(wěn)定或固定時(shí)間穩(wěn)定，而文獻(xiàn)[14-15]僅能使系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間到達(dá)滑模面，無法保證其到達(dá)滑模面后的有限時(shí)間穩(wěn)定。

控制重分配是一種通過在控制分配過程中引入故障信息進(jìn)行重分配實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)控制的方法。其中基于優(yōu)化的重分配算法不僅可以實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)控制，還可以優(yōu)化系統(tǒng)能量消耗，受到學(xué)者青睞。但直接力組合系統(tǒng)中，噴管輸出控制力與標(biāo)稱控制力間存在一定偏差，造成控制力矩不確定。為處理系統(tǒng)和故障診斷中存在的不確定性，基于優(yōu)化的魯棒控制重分配的概念被提出。其中文獻(xiàn)[21-22]針對(duì)系統(tǒng)不確定性，文獻(xiàn)[23-24]針對(duì)故障診斷不確定性，設(shè)計(jì)min-max問題，在不確定性對(duì)重分配影響最大時(shí)求解使系統(tǒng)能量消耗最小的分配指令。以上文獻(xiàn)均將其轉(zhuǎn)化為二階凸錐問題(second order cone problem，SOCP)求解，但每次求解該問題時(shí)需消耗一個(gè)較長的時(shí)間，難以在線應(yīng)用。

綜合以上分析和討論，本文針對(duì)RCS執(zhí)行器推力下降故障，提出了一種容錯(cuò)控制方法。首先，基于NTSM設(shè)計(jì)有限時(shí)間限幅容錯(cuò)控制律(fault tolerant control，F(xiàn)TC)。控制律分為等效控制律與趨近律兩部分，區(qū)別于文獻(xiàn)[12-15]，僅對(duì)趨近律部分限幅。其中等效控制律保證系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面有限時(shí)間按收斂到零，趨近律保證系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間收斂到滑模面。為使控制律與故障后系統(tǒng)剩余控制能力匹配，根據(jù)故障設(shè)計(jì)控制律最大容許幅值，并根據(jù)該幅值和等效控制律設(shè)計(jì)趨近律最大容許幅值，對(duì)趨近律限幅?；贚yaounov理論證明了限幅后控制律仍可以使系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定。在噴管控制力矩存在偏差情況下，給出了一種魯棒控制重分配算法，建立min-max優(yōu)化問題，通過對(duì)控制力矩偏差求最大實(shí)現(xiàn)魯棒性，通過對(duì)噴管開啟時(shí)間求最小實(shí)現(xiàn)推進(jìn)劑消耗優(yōu)化，通過引入故障信息重分配控制信號(hào)實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)控制。將該問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求解，提高求解速度便于在線應(yīng)用。

2 動(dòng)力學(xué)模型

本文的研究對(duì)象為某采用RCS的航天器，由布置在航天器周向的姿控噴管組成，如圖1中1～12號(hào)噴管所示。其中黃色的1～6號(hào)噴管代表小推力姿控噴管，綠色的7～12號(hào)噴管代表大推力姿控噴管。不同的姿控噴管開啟時(shí)分別對(duì)航天器產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)、偏航、俯仰三通道的控制力矩。通過姿控噴管的開閉可以實(shí)現(xiàn)航天器的姿態(tài)控制。

圖1 航天器RCS示意圖Fig.1 The RCS

建立系統(tǒng)模型如下式所示:

(1)

噴管實(shí)際輸出控制力與標(biāo)稱控制力間存在一定推力偏差，因此其實(shí)際輸出的控制力矩與標(biāo)稱力矩間也會(huì)存在偏差，因此實(shí)際上：

=+Δ

(2)

其中:為標(biāo)稱控制力矩，Δ為執(zhí)行器輸出控制力矩不確定性。

令=，=，()=-，=則系統(tǒng)模型變?yōu)?

(3)

令矩陣為故障矩陣，當(dāng)系統(tǒng)無故障時(shí)=diag(,,…,)，為單位陣。當(dāng)?shù)趥€(gè)噴管發(fā)生常閉故障時(shí)，矩陣中相應(yīng)元素置0，即=0，當(dāng)?shù)趥€(gè)噴管發(fā)生推力下降故障時(shí)，矩陣中相應(yīng)元素置下降程度(0<<1)。則系統(tǒng)模型如下：

(4)

1控制過程中大小推力姿控噴管不會(huì)同時(shí)開啟，設(shè)定一開關(guān)門限threshold，當(dāng)三通道控制律均在threshold以內(nèi)時(shí)僅開啟小噴管，其余情況僅開啟大噴管。

2下文中下標(biāo)i均表示該向量在滾轉(zhuǎn)、偏航、俯仰3個(gè)通道中的分量，符號(hào)“·”表示點(diǎn)乘。

3 容錯(cuò)控制方法

本文的研究對(duì)象為過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，因此其控制器分為控制律和控制分配算法兩級(jí)。本文首先基于NTSM設(shè)計(jì)一種限幅有限時(shí)間FTC，隨后給出一種魯棒控制重分配算法，并給出一種求解方法。

3.1 基于非奇異終端滑模的控制律設(shè)計(jì)

首先設(shè)計(jì)每一個(gè)通道的最大容許幅值。針對(duì)每一個(gè)通道，RCS健康時(shí)能提供的最大標(biāo)稱控制力矩如表1所示。

表1 RCS能提供的最大控制力矩Table 1 The maximum control torques that the RCS can provide

為保證滾轉(zhuǎn)通道控制效果，在系統(tǒng)健康時(shí)令控制律中俯仰通道最大容許幅值為400，因此得到系統(tǒng)健康時(shí)滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航控制律最大容許幅值為

=[190,-190,400,-400,400,-400]

(5)

噴管發(fā)生推力下降故障時(shí)，需根據(jù)系統(tǒng)剩余控制能力重構(gòu)最大容許幅值，使其與系統(tǒng)剩余控制能力匹配，以達(dá)到更好的控制性能。

噴管故障時(shí)，系統(tǒng)控制能力變化Δ為

Δ=(-)

(6)

此時(shí)重構(gòu)最大容許幅值：

2=2+Δ(Δ> 0)

2-1=2-1+Δ(Δ< 0)

(7)

即為重構(gòu)后的最大容許幅值。

下面設(shè)計(jì)根據(jù)最大容許幅值設(shè)計(jì)限幅有限時(shí)間FTC。首先給出控制律的形式如下：

=+

(8)

其次設(shè)計(jì)等效控制律，選擇非奇異終端滑?？刂泼嫒缦拢?/p>

(9)

(10)

由于有界，因此知等效控制律有界，且可通過設(shè)計(jì)參數(shù)使等效控制律在最大容許幅值內(nèi)。

為使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間到達(dá)滑模面，設(shè)計(jì)趨近律為

(11)

限制趨近律幅值，引入tanh函數(shù)：

為使控制律在最大容許幅值內(nèi)，考慮控制律形式，根據(jù)等效控制律給出參數(shù)取值如下：

2-1=(2-1)-(= 1,2,3)

2=(2)-(= 1,2,3)

(13)

此時(shí)本文提出的控制律可由式(5)～(13)表示。

(14)

代入等效控制律式(10)得：

(15)

為證明本文提出的控制律可以使系統(tǒng)狀態(tài)和在有限時(shí)間內(nèi)收斂，首先介紹以下定義及引理。其中定義1給出了系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的定義，引理1給出了系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定與Lyapunov函數(shù)之間的關(guān)系。

(16)

結(jié)合定義1及引理1，基于Lyapunov理論證明以下定理。

1對(duì)于系統(tǒng)式(4)，利用式(5)—式(13)所示的控制律，在當(dāng)>>時(shí)可使系統(tǒng)狀態(tài)和在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零。

設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)為

(17)

對(duì)其求導(dǎo)并代入切換函數(shù)導(dǎo)數(shù)式(26)得：

(18)

代入趨近律得：

(19)

(20)

由tanh()<1得：

(21)

由≤(12)max‖‖知：

(22)

其中max為的最大特征值。令=3/σ，當(dāng)‖‖>時(shí)，有

(23)

由定理1知本文提出的控制律可以使系統(tǒng)狀態(tài)和在有限時(shí)間內(nèi)收斂。

3.2 魯棒控制重分配算法設(shè)計(jì)

對(duì)于過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，其控制器分為控制律和分配算法兩級(jí)，其中控制律在上一節(jié)給出。本節(jié)為在考慮執(zhí)行器輸出控制力矩不確定性和推力下降故障的基礎(chǔ)上最小化系統(tǒng)總推進(jìn)劑消耗，設(shè)計(jì)一種魯棒控制重分配算法，并給出一種基于線性規(guī)劃的求解方法。

321 算法設(shè)計(jì)

對(duì)于直接力組合系統(tǒng)，其通過噴管開閉實(shí)現(xiàn)姿態(tài)控制，為將噴管開啟時(shí)間與控制律匹配，設(shè)立一控制周期，則控制律在該周期內(nèi)產(chǎn)生的虛擬沖量為T。因此，分配算法的目標(biāo)即求解噴管開啟時(shí)間，使直接力組合在控制周期產(chǎn)生的實(shí)際沖量與虛擬沖量為T相等。但由于控制力矩矩陣中存在未知項(xiàng)Δ且執(zhí)行器會(huì)發(fā)生故障導(dǎo)致輸出控制力矩下降，因此實(shí)際上=T的等式約束難以滿足。為此，借鑒文獻(xiàn)[21]，給出一種魯棒控制重分配算法，即求解min-max優(yōu)化問題如下：

(24)

‖(+Δ)-T‖≤‖-T‖+

(25)

將其代入原優(yōu)化問題得：

(‖-T‖)}

(26)

322 問題求解

(27)

變量約束為0≤≤，≤‖diag()‖。該問題可用內(nèi)點(diǎn)法求解。

首先給出線性規(guī)劃問題為

=

subject to 0≤≤,=

(28)

定義函數(shù)

令=′-T，則=()，=(-)，因此

=-, 0≤, 0≤

(30)

在=1時(shí)將問題(8)轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題如下：

(31)

3對(duì)于min-max問題(26)，文獻(xiàn)[21]將2范數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)形式并轉(zhuǎn)化為SOCP求解，本文將1范數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)形式并轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求解。兩者優(yōu)化目標(biāo)相同，但目標(biāo)函數(shù)形式不同，因此其優(yōu)化結(jié)果可能存在一定差異。

4 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文提出方法的有效性，本節(jié)針對(duì)第2節(jié)介紹的RCS，在8號(hào)噴管和10號(hào)噴管在起控0.3 s后發(fā)生推力下降故障，下降程度均為30%的工況下對(duì)本文提出的方法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。除此之外，為驗(yàn)證本文所提出方法的必要性與優(yōu)越性，首先利用控制律未限幅的方法，其次利用文獻(xiàn)[21]中方法對(duì)該工況進(jìn)行仿真分析。

RCS每個(gè)噴管輸出的控制力較標(biāo)稱值可能有最大5%的偏差，因此假設(shè)每個(gè)噴管輸出力偏差為一滿足正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，在-5%～5%之間。

仿真結(jié)果如圖2所示。其中力矩圖中虛線為控制律，實(shí)線為實(shí)際控制力矩。

從圖2(a)可以看出，本文提出的方法可以在系統(tǒng)姿態(tài)角故障情況下使其在4.5 s內(nèi)收斂到0.04°，達(dá)到較好的容錯(cuò)控制性能，同時(shí)，從圖2(b)可以看出，系統(tǒng)實(shí)際輸出力矩由于控制力矩不確定有一定抖動(dòng)，但由于分配算法具有魯棒性，因此不確定性未對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定控制造成影響。

圖2 本文提出方法的仿真結(jié)果曲線Fig.2 The method proposed in this paper

為驗(yàn)證本文提出的限幅FTC的必要性，將其與控制律未限幅的方法的仿真結(jié)果作圖，有關(guān)曲線如圖3。

圖3 控制律未限幅方法的仿真結(jié)果曲線Fig.3 The method with unsaturated control law

對(duì)比圖2(a)與圖3(a)可以看出，控制律未限幅情況下，控制律超出故障后系統(tǒng)控制能力，系統(tǒng)姿態(tài)角在4.5 s時(shí)收斂到0.1°，相比控制律重構(gòu)情況下容錯(cuò)控制性能較差。

下面對(duì)比分析將魯棒控制重分配問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題的方法，即本文提出的方法，與將其轉(zhuǎn)化為SOCP的方法，即文獻(xiàn)[21]中方法。仿真結(jié)果如圖4及表2所示。

對(duì)比圖4(a)與圖2(a)可以看出，利用文獻(xiàn)[21]中方法與利用本文提出的方法，系統(tǒng)姿態(tài)角收斂速度及控制精度相近，均在4.5 s內(nèi)收斂到0.04°。從表2可以看出，利用2種方法得到的推進(jìn)劑消耗量存在43 N·m的差異，為利用文獻(xiàn)[21]中方法得到的推進(jìn)劑消耗量的4.38%，優(yōu)化結(jié)果相差不大。但比較二者仿真時(shí)間可以看出，利用本文提出的方法，計(jì)算時(shí)間由8.755 5 s縮短到0.373 4 s，相比文獻(xiàn)[21]中方法縮短了95.7%，求解速度得到了較明顯的提升。

圖4 文獻(xiàn)[21]的仿真結(jié)果曲線Fig.4 The method proposed in reference[21]

表2 仿真時(shí)間Table 2 The simulation time comparison

綜合以上結(jié)果可以看出，本文提出的限幅有限時(shí)間FTC可以使系統(tǒng)在故障下實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間穩(wěn)定。本文給出的控制重分配方法可以在控制力矩不確定和故障情況下實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定控制，提出的求解方法可以減小計(jì)算時(shí)間。

5 結(jié)論

針對(duì)RCS執(zhí)行器推力下降故障，提出了一種基于滑模和控制重分配的容錯(cuò)控制方法。仿真結(jié)果表明：

1) 所設(shè)計(jì)的終端非奇異滑模容錯(cuò)控制律可有效容忍故障，在執(zhí)行器故障下仍使系統(tǒng)姿態(tài)角在4.5 s內(nèi)收斂到0.04°。

2) 設(shè)計(jì)的魯棒控制重分配方法能有效實(shí)現(xiàn)對(duì)控制力矩不確定性的魯棒，且能根據(jù)故障信息重分配控制器控制力矩。將其轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，能有效縮短求解時(shí)間，相比將其轉(zhuǎn)化為SOCP的求解時(shí)間縮短了95.7%。