王曉輝

（山東省泰安市教育科學(xué)研究院，山東 泰安 271000）

沖量是力在時(shí)間上的積累，高中階段恒力或隨時(shí)間線性變化力的沖量均可直接定量求解，而隨時(shí)間非線性變化力的沖量往往通過動(dòng)量定理等方法間接求解.有一種特殊力，即單棒切割磁感線問題中的安培力，它隨時(shí)間按指數(shù)函數(shù)非線性變化，但它的沖量卻隨空間位移均勻變化，由此編制的定量求解題目成為考查學(xué)生能力的一類好題，在高考試卷中也身影不斷.下面就來探討這個(gè)特殊的沖量和因此造就的特殊運(yùn)動(dòng)形式.

1 問題提出

如圖1所示，水平放置的光滑U形金屬導(dǎo)軌間距L，左端接一個(gè)阻值為R的電阻.空間存在豎直向上的勻強(qiáng)磁場，磁感強(qiáng)度大小為B.一質(zhì)量為m、電阻為r的導(dǎo)體棒，垂直導(dǎo)軌置于導(dǎo)軌平面上，與導(dǎo)軌接觸良好，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)，現(xiàn)給導(dǎo)體棒一個(gè)水平向右的初速度v0，設(shè)t=0時(shí)，x=0，v=v0.試討論：

圖1 討論模型

（1）安培力沖量與滑行位移x的關(guān)系；

（2）導(dǎo)體棒滑行的速度和滑行的位移x的關(guān)系；

（3）導(dǎo)體棒所受安培力與速度的關(guān)系；

（4）導(dǎo)體棒所受安培力與位移的關(guān)系；

（5）通過導(dǎo)體棒的電荷量與位移的關(guān)系.

討論：由動(dòng)量定理有

（1）安培力沖量為

安培力的沖量與滑行位移x呈線性關(guān)系.

（2）由（1）、（2）式得

速度與位移呈線性關(guān)系，這也是我們常說的“另類勻變速直線運(yùn)動(dòng)”關(guān)系.

（3）所受的安培力為

棒受安培力與運(yùn)動(dòng)速度呈線性關(guān)系.

（4）由（3）、（5）式得

棒受安培力與運(yùn)動(dòng)位移呈線性關(guān)系.

（5）電荷量為

棒中通過的電荷量與棒的運(yùn)動(dòng)位移呈線性關(guān)系.

我們以安培力沖量與位移成正比以及安培力作用下速度與位移的“另類勻變速直線運(yùn)動(dòng)”［2］為核心展開下面題目的探討.

2 安培力作用下導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)

2.1 經(jīng)典模型

例1.如圖2所示，已知導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m=5 g，光滑U形導(dǎo)軌水平固定且足夠長，其寬為L=0.4 m，左端接有電阻R=1Ω，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5 T.若棒保持與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，以某一初速度沿平行導(dǎo)軌方向開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)一段時(shí)間后停止.測得棒從運(yùn)動(dòng)到停止的過程中通過導(dǎo)線的電荷量q=10-2C，棒接入電路部分電阻r=1Ω.試求棒運(yùn)動(dòng)的位移x與初速度v0的大小.

圖2 安培力阻尼

解析：由（7）式可知

得x=0.1 m.

2.2 分段變式

例2.如圖3所示，空間等間距分布著水平方向的條形勻強(qiáng)磁場，豎直方向磁場區(qū)域足夠長，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1 T，每一條形磁場區(qū)域的寬度及相鄰條形磁場區(qū)域的間距均為d=0.5 m，現(xiàn)有一邊長L=0.2 m、質(zhì)量為m=0.1 kg、電阻R=0.1Ω的正方形線框MNOP以v0=7 m/s的初速從左側(cè)磁場邊緣水平進(jìn)入磁場.求：線框能穿過的完整條形磁場區(qū)域的個(gè)數(shù)n.

圖3

2.3 驅(qū)動(dòng)變式

例3.如圖4所示，兩條相距L的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，其左端接一阻值為R的電阻，質(zhì)量為m的金屬桿靜置在導(dǎo)軌上，其左側(cè)的矩形勻強(qiáng)磁場區(qū)域MNPQ的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向下.當(dāng)該磁場區(qū)域以速度v0勻速地向右掃過金屬桿后，金屬桿的速度變?yōu)関.金屬桿ab的電阻為r，導(dǎo)軌的電阻不計(jì)，導(dǎo)軌光滑且足夠長，桿在運(yùn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌垂直且兩端與導(dǎo)軌保持良好接觸.求：

圖4

（1）若磁場部分區(qū)域掃過金屬桿經(jīng)歷的時(shí)間為t，那么桿加速運(yùn)動(dòng)的距離s是多少？

（2）要使桿獲得最大速度，磁場寬度PN應(yīng)滿足的條件是什么？

（2）導(dǎo)體棒最大速度為v0，由（8）式得

3 恒力牽引背景下導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)

3.1 經(jīng)典模型

例4.如圖5所示，水平地面上固定一U形光滑導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間距為L，導(dǎo)軌電阻均不計(jì)，左端接有一阻值為R的定值電阻，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒垂直導(dǎo)軌放置，整個(gè)裝置置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場中.導(dǎo)體棒接入電路部分電阻為r.現(xiàn)給導(dǎo)體棒一水平向右大小為F恒力作用，讓其由靜止開始運(yùn)動(dòng)，已知導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到穩(wěn)定速度所用的時(shí)間為t，求在此過程中導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的位移x.

圖5

由此看出此運(yùn)動(dòng)可以分解為兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)：一個(gè)是恒力F作用下的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，即（9）式中的第1項(xiàng)；一個(gè)是安培力作用下的“另類勻減速直線運(yùn)動(dòng)”，即（9）式中的第2項(xiàng).由以上各式得

3.2 多過程變式

例5.已知金屬棒的質(zhì)量為m，接入電路部分電阻為r，光滑水平導(dǎo)軌固定且足夠長，其寬為L，左端接有電阻R，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.如圖6所示，若棒在水平向左的恒力F作用下，以初速度v0從x=0處沿導(dǎo)軌水平向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中棒始終與導(dǎo)軌緊密接觸且保持垂直，經(jīng)時(shí)間t后又返回x=0處.

圖6 往復(fù)雙程

（1）分析比較導(dǎo)體棒向右運(yùn)動(dòng)時(shí)間和向左運(yùn)動(dòng)時(shí)間的長短；

（3）求棒返回x=0處時(shí)的速度大小v.

圖7

（3）向右過程：

向左過程：

設(shè)向右最大位移為xm，則

由（10）、（11）式有F（t1+t2）=mv+mv0，得

4 結(jié)語

通過安培力沖量的空間線性特性在不同情境中的應(yīng)用探討，形成對其立體、豐富的認(rèn)知，從而在更為復(fù)雜的情境中快速、準(zhǔn)確地進(jìn)行模型識(shí)別，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題的簡單化和程序化.我們還可將探討融入常見重力、摩擦力、彈簧彈力、與速度或與位移呈線性關(guān)系的各種力，做進(jìn)一步的研究和總結(jié).