費兆宇 馬宇翰 孫昌璞，2

（1.中國工程物理研究院研究生院 100193;2.北京計算科學研究中心 100193）

波是物理學中的基本概念之一。作為描述波傳播的物理量，相速度和群速度在物理學的科研與教學中扮演十分重要的角色。物理及相關專業(yè)的本科生最早會在力學部分的振動與波章節(jié)中接觸到這兩個概念，此后還會在光學、電磁學、電動力學、固體物理等專業(yè)課程中進一步學習與討論它們。

在自然界中，光的相速度和群速度在某些條件下可以超過真空中的光速c(以下簡稱光速)。然而這種超光速現(xiàn)象并不能傳遞信息，因而不會破壞狹義相對論所要求的因果律。具體來說，相速度和群速度能否超光速，取決于波傳播的介質(zhì)的色散關系。例如，在折射率小于1的介質(zhì)中，波的相速度可以超過光速；而在反常色散介質(zhì)中波的群速度也可以超過光速。這一事實在此前的一些教材①②和文獻中③④已經(jīng)有明確的說明。

然而，在日常科研和教學中，筆者發(fā)現(xiàn)仍然有不少人認為波的相速度或群速度是不可能超過光速的。最近，我們調(diào)查了本課題組的學生(包括正在實習的本科生)和博士后共計23人對此問題的理解。結果顯示，17.4%的人認為群速度和相速度都可以超光速；60.9%的人認為相速度可以超光速而群速度不能超光速，因為他們認為群速度代表信息傳播的速度；還有21.7%的人認為群速度和相速度都不能超光速。我們小范圍抽樣的結果意味著，大多數(shù)物理專業(yè)的學生對這一問題的認知可能仍然存在誤區(qū)。本文將從幾個具體例子出發(fā)，討論波的相速度和群速度在什么條件下可以超光速，旨在厘清在物理教學中可能存在的關于相速度和群速度能否超光速問題的誤區(qū)。

1.相速度超光速

根據(jù)麥克斯韋方程組(Maxwell’s equations)，在均勻穩(wěn)態(tài)非耗散介質(zhì)中傳播的電磁波滿足波動方程

其中，E為電場強度，B為磁感應強度，n為介質(zhì)的折射率⑤?？紤]沿x方向傳播的圓頻率為ω，波數(shù)為k的單色平面波解u(x，t)=u0eikx-iωt(u(x，t)的實部為E或B沿垂直于波傳播方向的分量)，代入上述波動方程后得

u(x，t)的等相位點滿足kx-ωt=常數(shù)，這樣可以定義等相位點的速度vp，即相速度為

在有色散的介質(zhì)中，折射率n和圓頻率ω都是波數(shù)k的函數(shù)，且通常n ＞1。因此，相速度vp ＜c。而相速度超光速常見于以下兩種情形。

(1)折射率小于1介質(zhì)中的超光速

當電磁波的頻率接近介質(zhì)的共振頻率時，會發(fā)生共振吸收。此時，介質(zhì)的折射率可以小于1(見圖1)。另外，當電磁波的頻率超過介質(zhì)的最高共振頻率時，折射率也會小于1。例如，北京玻璃研究所提供的一種單管材料對波長為1.238 nm 的X 光的折射率為0.9995358④。這種超光速并不違反因果律(即信息的傳播不會超過光速)。具體來說，由于單色平面波必須是無限延展的，且波的頻率和振幅為常數(shù)，因此它不能攜帶信息。

圖1 介質(zhì)中的折射率示意圖(圖摘取自文獻②)

(2)波導中的超光速

由于邊界條件的限制，即使是在真空中傳播的電磁波仍然能夠超光速?？紤]在中空金屬柱體內(nèi)傳播的電磁波(即波導，見圖2)，其色散關系如下①⑥

圖2 矩形波導示意圖(圖摘取自文獻⑥)

其中ωc是波導內(nèi)傳播的波的最低頻率，稱為截止頻率。

根據(jù)式(4)，波的相速度為

必定大于c，并且當ω →ωc時，相速度會趨于無窮大。這種超光速并不違反因果律，這是因為在波導中信息傳遞的速度是群速度vg(見下節(jié))?？梢宰C明，在無介質(zhì)波導中波的相速度和群速度滿足的關系為①因此相速度超光速必然導致群速度小于光速。

2.群速度超光速

為了使電磁波能夠攜帶信息，在實際應用中，總會對波的頻率和振幅進行調(diào)制。此時的電磁波是各種單色波的線性組合，即①

其中A(k)是展開系數(shù)。如果A(k)是以波數(shù)k0為中心的相當尖銳的峰形曲線(如圖3)，那么可以把圓頻率ω(k)在k0附近做微擾展開

圖3 A(k)的峰形曲線示意圖①

其中ω0=ω(k0)。

將式(9)帶入式(8)后，我們得到

上式表明，除了一個總相位之外，波的包絡以群速度vg行進

并且其形狀不發(fā)生畸變。如果波的包絡在行進過程中發(fā)生了畸變，那么就需要考慮式(9)中高階項的貢獻。此時，群速度vg只是由式(11)定義的速度，而不能被認為是信息的傳播速度。

根據(jù)式(4)，群速度vg還可以用折射率n(ω) 來表示

對于正常色散來說，(dn/dω)＞0，且通常n＞1，這時群速度小于相速度，并且也小于c。但是，在反常色散區(qū)域中，dn/dω為負值，且絕對值可以很大。這時群速度就可以大于c，甚至可以為負值。

需要注意的是，這種超光速并不違反因果律。由于(dn/dω)很大，ω隨k的變化很快，因此式(9)的近似不再成立，波的包絡在行進中會發(fā)生畸變①。這樣一來，群速度在這里不再是一個有意義的概念。在下一節(jié)關于實驗“增益超光速光脈沖傳播”⑦的討論中，我們會更具體地解釋群速度超光速和負群速度的物理現(xiàn)象。事實上，光信號的傳播速度與相速度和群速度都沒有必然的聯(lián)系。A.Sommerfeld 和L.Brillouin 曾對信號的傳播速度進行過細致的討論。他們的結論是信號的傳播速度不能超過c①⑧。

3.實驗中觀測到負群速度和超光速現(xiàn)象

2000 年，普林斯頓高等研究院的王力軍(現(xiàn)為清華大學物理系、精密儀器與機械學系雙聘教授)等人在英國《自然》雜志上發(fā)表了文章“增益超光速光脈沖傳播”⑦，報道了他們的測量結果：銫原子氣體在反常色散區(qū)域的群速度是-c/310，進入銫原子氣體的光脈沖比真空中的光脈沖超前62 ns通過氣體池。

在這項實驗中，研究人員利用泵浦光技術，使得實驗中的銫原子氣體表現(xiàn)出了如下的光學特性：不同頻率的光在其中會有不同的增益和不同的速度。圖4是實驗中測得的銫原子氣體中光的振幅的增益系數(shù)以及折射指數(shù)(即折射率)隨光波頻率的變化曲線。利用折射率反常色散區(qū)域的測量結果(對應圖4 中增益系數(shù)雙峰之間的區(qū)域)，根據(jù)式(11)計算出群速度為-c/(330±30)。該計算結果與實驗測量結果在誤差范圍內(nèi)一致。圖5是兩個高斯光脈沖通過氣體池后的強度隨時間的變化。其中，曲線A 為以光速c行進的光束，曲線B 為探測光束?？梢娞綔y光束比真空中的光束超前62(±1) ns 通過氣體池，即發(fā)生了超光速現(xiàn)象。

圖4 光的振幅的增益系數(shù)以及折射指數(shù)隨光波頻率的變化曲線(圖摘取自文獻⑨)

圖5 兩個光脈沖通過氣體池后的強度隨時間的變化(圖摘取自文獻⑨)

實驗中的負群速度和超光速現(xiàn)象一經(jīng)發(fā)現(xiàn)就引起了眾多物理學家的研究興趣⑨-?。雖然大家分析這些現(xiàn)象的角度各不相同，但是結論都表明上述超光速現(xiàn)象并不會導致光信號超光速。我們接下來介紹文獻⑩對該實驗現(xiàn)象的理論解釋。圖6左側是對負群速度現(xiàn)象的模擬示意圖，模擬時取vg=-c/2 和c=1，t=0 為高斯光束的峰值到達氣體池左邊界的時刻。從圖中可以看出，由于增益介質(zhì)的性質(zhì)，雖然探測光束還沒有到達氣體池左邊界，但是在氣體池的右邊界處已經(jīng)出現(xiàn)了兩束光脈沖。其中氣體池內(nèi)部的光束以群速度c/2 向左運動，并在氣體池左邊界處與探測光相干相消。而氣體池外部的光束，則以群速度c向右運動。如果將測量儀器放在氣體池右側，那么就可以探測到超光速的光脈沖。

圖6 (a)負群速度現(xiàn)象的模擬示意圖。z為空間位置，E為光束的電場強度。模擬時取vg=-c/2 和c=1；(b)(a)圖中電場強度取對數(shù)后的結果(圖摘取自文獻⑩)

這種超光速現(xiàn)象之所以不違反因果律，是因為將0時刻視為光信號到達氣體池左邊界的時刻實際上是一種誤解。將圖6(a)中的數(shù)據(jù)取對數(shù)(即圖6(b))后就能發(fā)現(xiàn)，早在0 時刻之前，光束的前端就已經(jīng)穿過了氣體池。因為此時，探測光束已經(jīng)發(fā)生了明顯的變形，存在多個峰值，這就是第二節(jié)中所討論的波包畸變現(xiàn)象。此時將峰值的運動速度(即群速度)視為光信號的傳播速度顯然是錯誤的，進而該超光速現(xiàn)象也不能被視為光信號的超光速傳播。

4.小結

本文從幾個具體例子出發(fā)，詳細討論了電磁波的相速度和群速度的超光速問題。例如，在以下兩種情況中相速度可以超光速：a)介質(zhì)的折射率小于1；b)在波導中傳播的電磁波。另外，在介質(zhì)的反常色散區(qū)域，dn/dω為負值，且絕對值很大時，群速度可以超光速，甚至可以為負值。需要注意的是，由于電磁波信號的傳播速度與相速度和群速度都沒有必然的聯(lián)系，因此這些超光速現(xiàn)象并不違反因果律。

通過整理、介紹和分析幾個相速度和群速度超光速的示例，筆者希望本文的論述能糾正廣泛存在的關于相速度或群速度不能超光速這一錯誤認知，并對相關物理課程的教學起到一定的啟發(fā)作用。

致謝：感謝課題組成員田西城同學對本文的仔細閱讀與建議。本研究受國家自然科學基金(批準號：12088101)，NSAF基金-科學研究中心項目(批準號：U1 930403;U1930402)，中國博士后科學基金(批準號：BX2 021030;2021M700359)的資助。