向楓樺， 楊賓鋒， 李 博， 趙 震， 郭嬌嬌

(空軍工程大學信息與導航學院，西安，710077)

目前，關于定位的手段和方法有諸多種，但是許多定位方法都有一個局限性，就是容易被干擾。另外，在一些特殊的場合，例如室內、地下、水下以及一些其他的復雜環(huán)境，諸多導航定位手段就無法應用[1-3]。無線電導航系統(tǒng)可以實現飛機的進場和著陸保障，但信號非常容易被干擾[4]。衛(wèi)星導航可以實現高精度定位，但在室內等特殊場合無法接收到信號[5]。而磁場信號擁有穿透性強和抗干擾能力強的優(yōu)點，可以應用在室內、地下等特殊場合[6]。因此，利用磁信號進行導航定位具有非常大的發(fā)展?jié)摿Α?/p>

關于磁信號定位的方法，目前有多種不同方法，其中梯度張量方法由于計算相對簡單，因此應用也最廣泛。對于梯度張量方法，國內諸多專家學者提出了不同的計算模型。鄧國慶推導了一階梯度張量定位機理，并將其應用在永磁體中，但傳統(tǒng)的一階梯度張量定位受地磁場和背景磁場影響大[7]。李青竹等推導了二階梯度張量定位機理，由于地磁場和背景磁場的二階梯度張量十分小，因此該方法可以提高定位精度，但是無法直接測量二階梯度張量矩陣[8]。以上這些算法都是基于單磁偶極子推導，在遠距離能夠保持不錯的測量精度，但是在距離較近或者磁源體積比較大時，單磁偶極子定位就存在誤差大的不足，因此出現了許多誤差補償方法。袁鵬等運用梯度張量不變原理消除了橢圓誤差，在正六面體測量陣列上有效提高磁信號的定位精度[9]。Wang等利用最小二乘法對磁信號進行優(yōu)化處理并運用一階梯度張量進行定位計算，結果表明能夠有效提高定位精度[10]。為了解決梯度張量算法在進場定位誤差大的不足，本文提出了基于免疫克隆算法的一階磁梯度張量定位方法。

本文將免疫克隆算法融入到一階磁梯度張量定位原理中，探究了新算法在進場時的定位精度。在一階磁梯度張量定位原理的基礎上，根據磁場衰減規(guī)律，提出了誤差梯度矩陣的概念并推導了其計算方法。然后，利用免疫克隆算法對誤差矩陣進行優(yōu)化處理。為了驗證新方法的有效性，在Matlab中采用了三條不同的路線進行計算并與一階梯度張量定位算法進行對比分析。最后，通過無磁轉臺的旋轉永磁體實際定位實驗對算法的定位效果進行進一步的驗證。研究發(fā)現：基于免疫克隆算法的一階磁梯度張量定位方法在距離較近時，能夠有效提高磁定位精度 。

1 一階梯度張量定位原理

1.1 梯度張量矩陣

以磁偶極子為原點，建立空間坐標系，在距離磁偶極子任意一點r(x,y,z)的磁感應強度表達式為：

(1)

磁梯度張量是磁感應強度在不同方向的偏導數，包括一階梯度張量和二階梯度張量，可以反應磁場在不同方向的變化率，擁有大量的磁場信息。磁感應強度的三分量在3個軸向方向上的分量變化率就是一階磁梯度張量矩陣[11]，因此，一階磁梯度張量矩陣一共有9個元素，記作G，如下式所示：

(2)

根據Maxwell方程組，磁感應強度的旋度和散度均為0[11]，可以得到：

(3)

(4)

將式(3)展開化簡，可以得到：

(5)

由式(5)可知一階磁場梯度張量矩陣G滿足4個關系式，有6個不同的量滿足兩兩相等的關系，剩下3個量滿足一個等式，也就是說要想知道梯度張量矩陣G，最少要知道5個量的值并且都是獨立的量。

將式(1)中的磁場三分量分別進行求偏導數計算，可以得到9個梯度張量的理論值，只取5個獨立元素的表達式為：

(6)

1.2 測量陣列

用于測量磁梯度張量的傳感器模型有諸多種，其中十字形傳感器精度最高[13]。如圖1所示，該模型一共由5個參數一模一樣的傳感器組成，每個軸上都分布3個相同的傳感器，其中0號傳感器是公用的傳感器。另外，任意相鄰兩個傳感器之間的距離都相等，大小為d。

圖1 十字形傳感器

根據數值微分知識中的三點法求導方法，可以得到相應的偏導數為：

(7)

1.3 一階梯度張量定位

磁場的歐拉反褶積方程為：

(8)

式中：H為磁感應強度；P為環(huán)境噪聲；k為常數。對于磁偶極子來說，k的值為3[14]。因此可以得到磁場的定位表達式為：

(9)

1.4 誤差理論分析

如圖2所示，十字形傳感器是根據兩點法來求解導數，而磁場的衰減并非線性關系，因此十字形傳感器實際求解的是B點的梯度張量矩陣，而對于永磁體來說，應該求解D點的梯度張量值。因此，采用十字形傳感器模型對梯度張量矩陣進行測量必然在原理上就存在誤差。

圖2 誤差分析圖

如圖3所示，為了減小這種在原理上的測量誤差，下面打算將測量的基線進行移動，保持測量基線AC的長度不變，將測量點A和測量點C進行平移至測量點A1和測量點C1，此時十字形傳感器實際測量的點為B1，相對于之前的測量點B來說，進行平移之后的測量點B1更加接近理論值D點。因此，該思路能夠在一定程度上減小十字形傳感器的測量誤差。

圖3 解決思路圖

2 免疫克隆算法優(yōu)化

2.1 目標函數構建

在實際測量中，由于磁場的衰減與距離并非線性關系，而求解偏導數是基于磁場衰減規(guī)律是線性的基礎上，因此梯度張量矩陣肯定存在誤差，可以將梯度張量的實測值GT記為：

為了便于計算求解，假設以下這幾個等式成立：

(11)

式中：rx+、ry+、rx-、ry-分別表示十字形磁力儀模型第1、2、3、4號磁力儀到永磁體的距離；x、y、z分別表示第0磁力儀在空間三維坐標系x、y、z軸上的坐標值；d表示十字形磁力儀模型中第1、2、3、4號磁力儀到第0磁力儀的距離；a、b分別表示實際測量時x軸上的第1、3磁力儀、y軸上的第2、4磁力儀的實際測量位置到以固定距離d建立的十字形磁力儀模型的第1、3磁力儀和第2、4磁力儀位置的距離偏差。

由于采用兩點法求導必然存在誤差，因此根據磁場的衰減規(guī)律，誤差矩陣系數為：

(12)

(13)

因此，目標函數可以表示為：

f=g1k1+g2k2+g3k3+g5k5+g6k6

(14)

式中:k1、k2、k3、k5和k6分別表示各自系數的權重。

2.2 算法實現流程

由于免疫克隆算法不受目標函數以及維數的限制，能夠較好地解決優(yōu)化問題，因此下面采用免疫克隆算法對目標函數進行優(yōu)化求解。

具體求解步驟如下:

Step 1 目標函數的構建。

F（產品質量信用）=a1*f1（產品質量信用意愿）+a2*f2（產品質量提供能力）+a3*f3（產品質量保障能力）

確定問題的維數并根據磁場的衰減規(guī)律，構建梯度張量誤差矩陣，設置目標函數為f。

Step 2 產生初始種群。

初始種群根據免疫維數、免疫個數以及免疫的上下門限來產生初始種群。

g=rand(D,n)*(r+-r-)+r-

(15)

Step 3 計算個體濃度和激勵度。

個體濃度采用歐式距離進行計算，激勵度根據相似度閾值來確定。

(16)

Step 4 免疫循環(huán)。

免疫循環(huán)階段根據種群的親和度，不斷挑選親和度最高的個體，并將親和度最高的個體帶入目標函數中進行計算。

親和力計算公式為：

(17)

式中:tk是抗原和抗體k的結合強度。

Step 5 種群更新。

在不滿足最優(yōu)解的條件下，將新種群與舊種群進行合并并重新進入免疫循環(huán)階段。

3 仿真計算

3.1 計算路線

為了驗證免疫克隆算法優(yōu)化的效果，設置了如圖4所示的3條不同的路線。路線1保持z軸的坐標為0.4 m，x軸坐標與y軸坐標保持一定比值，路線2保持y軸的坐標為0.4 m，x軸坐標與z軸坐標保持一定比值，路線3保持x軸的坐標為0.4 m，y軸坐標與z軸坐標保持一定比值。因此，這3條路線能夠代表整個空間的大體情況。在這3條不同的路線上，分別采用原始的一階梯度張量和經過免疫克隆算法優(yōu)化后的一階梯度張量算法進行仿真定位實驗。

圖4 測量路線分布圖

3.2 定位精度

為了進一步比較定位效果，引入均方根誤差進行對比分析：

(18)

對3條路線分別進行一階梯度張量和經過免疫克隆算法優(yōu)化的一階梯度張量定位，不同路線的誤差分布圖如圖5所示。

圖5 不同路線的誤差分布圖

在圖5的3個誤差分布圖中可得以下結論：在比較近的距離條件下，經過免疫克隆算法優(yōu)化后的一階梯度張量定位精度明顯比原算法定位精度高。

4 實驗驗證

4.1 實驗步驟

根據文獻[2]，當磁力儀與永磁體之間的距離大于永磁體尺徑的10倍時，可以將永磁體視為磁偶極子分析。本實驗使用長為9.6 cm、寬為4.7 cm、高為1.7 cm的長方體永磁體。將永磁體放置在距離測量陣列1 m以上的位置，由于磁力儀與永磁體之間的測量距離遠大于永磁體的尺徑，因此，可以將永磁體當做磁偶極子分析。具體實驗步驟如下。

Step 1 安裝設備。

首先，調整三腳架，使支架的氣泡位于中間；然后，如圖6所示，將5個磁力儀分別安裝在固定位置并給設備加上24 V的電源。當數據采集模塊的5個指示燈全亮時，說明磁力儀連接方式都對，設備可以正常工作。

圖6 傳感器模型

Step 2 放置永磁體。

如圖7所示，將長方體永磁體固定放置在無磁轉臺的正中心上，設置無磁轉臺的旋轉速率為4 rad/s，給設備通上24 V的電源，使其勻速旋轉。當數據采集模塊出現調制波形時，說明成功接收了永磁體的磁場。

圖7 無磁轉臺

Step 3 數據采集。

設置數據采集的模式為連續(xù)采集，采集時間為10 s ，將10 s內采集的數據導入到文檔中并且永磁體產生的磁場分布情況將會在磁場測量系統(tǒng)中顯示出來。

Step 4 調整測量位置。

當上一個測量點的數據記錄完畢時，調整十字形傳感器的位置，將其放置在不同位置，繼續(xù)重復數據采集模塊的數據采集過程。

4.2 數據處理

當永磁體以固定速率勻速旋轉10 s時，將會得到永磁體在這一階段產生的永磁體的磁場分布如圖8所示。

圖8 旋轉永磁體磁場分布

在圖8中，所有波形圖的橫坐標表示時間，單位為秒。圖8(a)的縱坐標表示x軸的磁場強度大小，圖8(b)的縱坐標表示y軸的磁場強度大小，圖8(c)的縱坐標表示z軸的磁場強度大小，圖8(d)的縱坐標表示總磁場強度大小，所有單位都為納特。當永磁體勻速旋轉時，Bx、By、Bz、B都是調制信號，并且以一個固定信號波形周期性的重復出現。

盡管實驗的環(huán)境處于一個較為空曠的地方，但是測量數據難免會受到地磁場和環(huán)境磁場的影響，因此，必須對數據進行濾波處理。

由于永磁體的旋轉速率為4 r/s，因此濾波器的中心頻率為4，通過濾波的方式，可以過濾掉地磁場和環(huán)境磁場，盡量減小外部環(huán)境對測量精度的影響。以傳感器1為例，混有地磁場和環(huán)境磁場的原始數據見圖9，通過濾波處理后的數據見圖10。

圖9 原始數據分布圖

圖10 永磁體數據分布圖

在圖9中，旋轉永磁體產生的Bx、By、Bz、B都是類似于正弦波的調制信號，并且這種信號具有周期性。傳感器2、3、4、5的永磁體磁場信號與傳感器1的永磁體磁場信號的趨勢與之類似。

在圖10中，磁場強度的大小明顯下降，說明通過濾波的方式，將靜止的干擾磁場成功地濾掉。由于無磁轉臺剛開始需要一個加速的過程，因此在圖10中，剛開始的磁場不是恒定的，當轉臺勻速旋轉時，磁場慢慢趨于穩(wěn)定。當采樣點到600左右時，磁場信號逐漸趨向于穩(wěn)定狀態(tài)。當磁場信號穩(wěn)定后，提取磁場信號在每一周期的最大值，將其視為測量值，分別代入到原始算法和優(yōu)化算法中，得到測量點的相對誤差。然后，繼續(xù)在實驗室隨機取點，重復以上步驟，得到其他測量點的相對分布如表1所示。

表1 定位誤差對比

從表1可以看出，在距離較近時，經過免疫克隆算法優(yōu)化后的定位精度比原算法定位精度平均高5%左右，說明經過免疫克隆算法優(yōu)化的定位效果略比原始算法的定位精度好。

5 結語

本文研究了免疫克隆算法在一階梯度張量中的應用。在一階梯度張量算法的基礎上，提出了誤差梯度張量矩陣并運用免疫克隆算法進行優(yōu)化處理。在不同的路線上，將原算法和免疫克隆優(yōu)化的定位算法進行對比分析并利用實際實驗對優(yōu)化算法進行實際驗證。研究表明：在比較近的距離條件下，經過免疫克隆算法優(yōu)化后的一階梯度張量定位精度得到明顯提高。