海春龍，何磊，梅立泉，錢煒祺

1.西安交通大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，西安 710049

2.中國空氣動力研究與發(fā)展中心 計算空氣動力研究所，綿陽 621000

0 引 言

試驗設(shè)計是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的一個分支，是科學(xué)試驗和統(tǒng)計分析方法相互交叉形成的一門學(xué)科。試驗設(shè)計以揭示設(shè)計變量與目標(biāo)變量之間的關(guān)系為導(dǎo)向，選取設(shè)計變量空間中具有代表性的向量進(jìn)行試驗并獲得結(jié)果，通過分析建立具有驗證及預(yù)測功能的模型。20世紀(jì)90年代，NASA 蘭利中心將不斷發(fā)展的試驗設(shè)計方法理論應(yīng)用于空氣動力學(xué)試驗，形成了不同于傳統(tǒng)單因子試驗設(shè)計方法（One Fact at A Time，OFAT）的現(xiàn)代試驗設(shè)計方法（Modern Design Of Experiments，MDOE）并付諸實踐。試驗設(shè)計理論在風(fēng)洞試驗及數(shù)值計算中的應(yīng)用顯著提高了試驗效率；同時，由于試驗和計算的高度復(fù)雜性和非線性，使得這一領(lǐng)域的試驗設(shè)計理論與方法仍然具有極大的發(fā)展空間。

試驗設(shè)計理論與方法眾多，各有利弊，彼此又有一定聯(lián)系。目前與試驗設(shè)計相關(guān)的文獻(xiàn)大多結(jié)合各領(lǐng)域的背景進(jìn)行描述，缺乏系統(tǒng)性和通用性。MDOE 方法本身自空氣動力學(xué)研究中提出，目前快速發(fā)展的CFD（Computational Fluid Dynamics）技術(shù)、人工智能技術(shù)更使試驗設(shè)計技術(shù)成為近年來空氣動力學(xué)研究的熱點之一。本文以空氣動力學(xué)試驗設(shè)計問題為背景，介紹不同試驗設(shè)計方法及其最新進(jìn)展，演示試驗設(shè)計方法算例，并對該領(lǐng)域的發(fā)展方向進(jìn)行討論。

1 MDOE 方法概述

1.1 試驗設(shè)計問題的基本描述

應(yīng)用于空氣動力學(xué)研究的試驗設(shè)計通常需要考察多個設(shè)計變量對目標(biāo)變量的影響。目標(biāo)變量往往是性能數(shù)據(jù)，如氣動六分量數(shù)據(jù)。選取合適的點來反映設(shè)計變量對目標(biāo)變量的影響，從而對尚未試驗的點作出良好的估計，是試驗設(shè)計的首要任務(wù)。

1.2 MDOE 方法與OFAT 方法的區(qū)別

Giunta 等將經(jīng)典試驗設(shè)計限定為全因子設(shè)計、中心組合設(shè)計、Box-betoken 設(shè)計和D 優(yōu)化方法等，而現(xiàn)代試驗設(shè)計包括擬蒙特卡羅、正交試驗設(shè)計、均勻試驗設(shè)計和拉丁超立方設(shè)計等。在空氣動力學(xué)試驗中，兩者的區(qū)別不僅體現(xiàn)在方法上，更體現(xiàn)在試驗思想上：OFAT 是傳統(tǒng)試驗方法，即固定其他變量進(jìn)行風(fēng)洞試驗，獲取單一變量的數(shù)據(jù)；MDOE 傾向于統(tǒng)籌全局，從風(fēng)洞試驗中歸納結(jié)果、獲取知識。MDOE 與OFAT 的主要區(qū)別為：

1）試驗?zāi)康牟煌?。OFAT 方法試圖通過覆蓋盡可能廣的試驗參數(shù)組合來測試某變量對氣動載荷的影響，側(cè)重于直接獲取大量風(fēng)洞試驗數(shù)據(jù)，強(qiáng)調(diào)的是通過改進(jìn)風(fēng)洞模擬的真實性和測試手段來提高試驗數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)度；MDOE 方法則是以精心設(shè)計試驗為基礎(chǔ)，通過開展少量風(fēng)洞試驗來建立模型，進(jìn)而獲取科學(xué)結(jié)論。

2）試驗過程組織策略不同。OFAT 方法以獲取大量豐富的數(shù)據(jù)為目的，對試驗對象氣動特性的先驗信息依賴小，試驗方案規(guī)模較大，資源消耗大；MDOE 方法以揭示變量間的關(guān)系為目的，對試驗對象氣動特性的先驗信息依賴相對較大，試驗方案需要精心設(shè)計，且可能出現(xiàn)分階段增加試驗樣本點的情況，但資源消耗相對較小。

3）試驗結(jié)果及其使用方式不同。OFAT 方法產(chǎn)生的是結(jié)構(gòu)化的氣動數(shù)據(jù)，主要用于構(gòu)建試驗對象的基準(zhǔn)氣動數(shù)據(jù)集，通過插值獲取輸入狀態(tài)下的氣動數(shù)據(jù)；MDOE 方法生成的數(shù)據(jù)通常是非結(jié)構(gòu)化的，需要先對數(shù)據(jù)建模，然后通過模型來開展后續(xù)應(yīng)用。

2 MDOE 方法研究進(jìn)展

MDOE 方法主要包括試驗設(shè)計、試驗實施、試驗分析3 個環(huán)節(jié)，流程如圖1所示。不同的設(shè)計問題可能會有不同的結(jié)束條件，比如建模次數(shù)或鄰近兩次建模函數(shù)結(jié)果作差等。

圖1 MDOE 方法流程圖Fig.1 MDOE method flow chart

整個流程可以概括為以下3 個步驟：1）進(jìn)行全空間填充試驗設(shè)計，確定初始選點方案；2）進(jìn)行風(fēng)洞試驗；3）基于風(fēng)洞試驗結(jié)果進(jìn)行分析，一般包括構(gòu)建模型（或確定模型參數(shù)）以及誤差和不確定性分析，根據(jù)分析結(jié)果進(jìn)行序貫設(shè)計。相關(guān)理論方法主要涉及第1 步和第3 步，包括4 個方面：填充設(shè)計、序貫設(shè)計、模型構(gòu)建和結(jié)果分析。

2.1 填充設(shè)計

20世紀(jì)50年代，F(xiàn)isher 創(chuàng)立正交試驗設(shè)計方法，系統(tǒng)給出了實現(xiàn)方法及其方差分析模型。國內(nèi)學(xué)者簡化了正交試驗設(shè)計的應(yīng)用方法，編寫了系統(tǒng)的正交試驗表。正交試驗設(shè)計方法有如下要求：

1）任一設(shè)計變量的諸水平做相同數(shù)目的試驗；

2）任兩個設(shè)計變量的水平組合做相同數(shù)目的試驗。

對于固定設(shè)計變量個數(shù)和水平組合數(shù)的問題，可以給出正交設(shè)計表。正交設(shè)計表有如下要求：

1）任一列的諸水平的重復(fù)數(shù)相同；

2）任兩列所有可能的水平組合有相同重復(fù)數(shù)。

正交試驗設(shè)計要求一種數(shù)學(xué)上的緊湊性，有利于后續(xù)的數(shù)據(jù)分析，更容易得出可靠的結(jié)論。

王元教授和方開泰教授創(chuàng)立了均勻性評價準(zhǔn)則和均勻設(shè)計方法。在能夠確定模型形式的情況下，正交試驗設(shè)計往往事半功倍；但若模型未知，正交試驗設(shè)計的試驗摸索往往耗時費(fèi)力。方開泰提出的均勻設(shè)計對真實模型的逼近能力更為穩(wěn)定，其理論對均勻性的定義以中心化L偏差表示。而對均勻性理解的不同，或者評價標(biāo)準(zhǔn)的不同，會產(chǎn)生不同的均勻設(shè)計方法。因此，關(guān)鍵在于對均勻性的定義，設(shè)計良好的均勻性標(biāo)準(zhǔn)，然后給出滿足此均勻性的試驗設(shè)計方法。

從均勻設(shè)計的理念出發(fā)，需要考慮的是在給出要求的試驗點個數(shù)的同時如何兼顧均勻性。均勻設(shè)計的求解是一個優(yōu)化問題，而求解是在離散空間中進(jìn)行的，缺乏有效的優(yōu)化手段。針對此問題，發(fā)展了多種方法直接構(gòu)造或者近似求解均勻設(shè)計，其中最為常見的是拉丁超立方設(shè)計（Latin Hypercube Design，LHD）。LHD 是一種行之有效、應(yīng)用廣泛的試驗設(shè)計方法，取樣均勻，適用于影響因素較多的情況，可顯著降低試驗規(guī)模。LHD 的選點方式確保了在每個維度上選點均勻，但這種均勻性并非全局均勻性的等價條件，有時會出現(xiàn)質(zhì)量不高的選點設(shè)計。因此基于拉丁超立方設(shè)計發(fā)展了多種改進(jìn)策略，例如最大最小距離準(zhǔn)則、減少相關(guān)性準(zhǔn)則、最小綜合均方誤差準(zhǔn)則和極大熵準(zhǔn)則等。

香農(nóng)最早提出用“熵”的概念描述信息量，在試驗設(shè)計中，同樣可以用“熵”的概念衡量試驗設(shè)計獲取的信息。采用極大熵準(zhǔn)則，使得一次試驗設(shè)計獲取的信息量最大，即相當(dāng)于一次試驗設(shè)計樣本點集P的先驗協(xié)方差矩陣行列式最大：

式中，為樣本點的先驗方差，為樣本點的相關(guān)系數(shù)矩陣，為可以選擇的先驗協(xié)方差函數(shù)。假設(shè)樣本點間的先驗協(xié)方差函數(shù)為高斯函數(shù)，則：

式中，n為樣本點向量的維數(shù)，為未知相關(guān)參數(shù)。可由最大似然估計法計算得到，通過優(yōu)化下式可以得出的值：

而對于已有樣本點集P={x，x，…，x}，選擇增加一個樣本點x使其獲得的信息極大，即熵極大，可通過優(yōu)化下式得到x的選點位置：

式中，

其中，

作為一種極為常用的試驗設(shè)計方法，拉丁超立方設(shè)計是均勻設(shè)計的一種近似求解方法，極大熵準(zhǔn)則的應(yīng)用則是對拉丁超立方設(shè)計的改進(jìn)。以先驗矩陣行列式的值最大來定義點之間的混亂程度最高；行列式的值高，代表矩陣行向量之間的無關(guān)性達(dá)到最大，傾向于獲取全空間信息的初始樣本點集。因此，在對問題特異性尚不清楚的最初階段，利用極大熵準(zhǔn)則獲取首次試驗點，能夠在全空間獲取全面信息，提高近似模型的精度。

2.2 序貫設(shè)計

在MDOE 方法的應(yīng)用過程中，發(fā)現(xiàn)組織一次試驗往往并不能達(dá)到最終需要的效果。為了避免各種資源的浪費(fèi)，在試驗開始階段往往傾向于選取較少的試驗點，然后進(jìn)行序貫加點。序貫加點的準(zhǔn)則有兩種，其一是以模型誤差為依據(jù)，增加預(yù)估誤差較大的試驗點，從而減小模型誤差，包括交叉驗證準(zhǔn)則、累積誤差準(zhǔn)則等；其二是以模型優(yōu)化為依據(jù)，主要包括最小化代理模型預(yù)測誤差準(zhǔn)則、期望提高準(zhǔn)則和均方差準(zhǔn)則等。

實際上，序貫設(shè)計是試驗設(shè)計內(nèi)涵與所用建模過程數(shù)學(xué)內(nèi)涵的緊密結(jié)合。以機(jī)器學(xué)習(xí)建模過程為例，機(jī)器學(xué)習(xí)的目的在于建立具有良好泛化能力的模型；試驗設(shè)計則是通過設(shè)計試驗點的選取，達(dá)到用更少的點獲取更多空間信息及問題信息的目的。帶有不確定性評估的機(jī)器學(xué)習(xí)模型可以給出用以改善不確定性的點，從而產(chǎn)生一種序貫加點準(zhǔn)則。序貫加點設(shè)計可以明顯降低選點數(shù)量。常用到的序貫加點準(zhǔn)則如下：

最小化代理模型預(yù)測誤差準(zhǔn)則是操作最為簡單、最為直接的加點準(zhǔn)則，通過直接求解代理模型的最小值點，作為增加的樣本點進(jìn)行序貫設(shè)計。其求解問題主要為：

期望提高（Expect Improvement，EI）準(zhǔn)則也稱為高效全局優(yōu)化（Efficient Global Optimization，EGO）準(zhǔn)則。其求解問題主要為：

基本思想是通過計算目標(biāo)函數(shù)提高的期望，把期望最大值點作為新樣本點。程詩信將這一思想推廣到處理多目標(biāo)函數(shù)的情況，提出了一種超體積算子與EI 函數(shù)相結(jié)合的加點準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則適用于多目標(biāo)設(shè)計變量的問題。王彥將目標(biāo)函數(shù)提高的期望分解為兩部分，一部分描述局部搜索能力，一部分描述全局搜索能力，通過對這兩部分賦予不同的權(quán)值構(gòu)建了不同的算法。

均方差（Mean Square Error， MSE） 準(zhǔn)則是Kriging 代理模型中的一種加點準(zhǔn)則，直接運(yùn)用Kriging 代理模型提供的均方差估計最大處作為新樣本點的位置。均方差估計如下：

上述3 種準(zhǔn)則的序貫設(shè)計方法有一個共同點，即運(yùn)用加點準(zhǔn)則獲得相應(yīng)的優(yōu)化問題，通過求解優(yōu)化問題確定新的樣本點。

加上約束條件，優(yōu)化問題變?yōu)椋?/p>

對于最小化代理模型預(yù)測誤差準(zhǔn)則，利用遺傳算法進(jìn)行序貫設(shè)計時，也有類似的對約束的處理方法。對于期望提高準(zhǔn)則，文獻(xiàn)發(fā)展了類似于上述約束的改進(jìn)EGO 算法。

交叉驗證準(zhǔn)則是考慮誤差大小的一種加點準(zhǔn)則。對于由n 個樣本點構(gòu)成的樣本點集P={x，x，…，x}，去掉其中一個樣本點x（1≤i≤n），用剩余樣本點構(gòu)成的集合建立近似模型，以此模型估計樣本點x的值，并計算該點的交叉驗證誤差e：

交叉驗證誤差能夠在一定程度上體現(xiàn)近似模型在各個樣本點附近的可信度和規(guī)則程度，交叉驗證誤差越大，可信度越低，不規(guī)則的概率越大。因此，交叉驗證準(zhǔn)則就是以所有樣本點的交叉驗證誤差為基礎(chǔ)，對全局空間設(shè)計點的誤差進(jìn)行估計，將最大的誤差估計點作為新點加入樣本點，以此增加對不可信區(qū)域或不規(guī)則區(qū)域的抽樣數(shù)量，提高在該區(qū)域的近似精度。全空間誤差估計近似模型表示如下：

式中，DOI（x，x）表示樣本點x對點x 的影響度，亦即兩點間的相關(guān)性。目前有很多相關(guān)函數(shù)可用于描述設(shè)計空間兩點間的相關(guān)性。例如高斯函數(shù)：

式中，為自定義系數(shù)。當(dāng)樣本點增加時，若對每一個點都進(jìn)行交叉驗證，就會耗費(fèi)大量計算時間，大大降低效率。從式（12）可以看出，交叉驗證誤差越大的點對全空間誤差估計的貢獻(xiàn)越大。因此，從提高交叉驗證效率的角度出發(fā)，發(fā)展出了部分交叉驗證思想，即通過對部分關(guān)鍵點的交叉驗證估計全局近似誤差。

序貫建模累積變化準(zhǔn)則用于記錄序貫建模過程中全空間各點誤差隨模型的不斷改變而累積的變化。設(shè)定累計變化如下：

式中，為權(quán)重系數(shù)。模型在序貫累積誤差大的點具有較低的可信度，可以此為準(zhǔn)則獲取極大序貫建模累積變化點對樣本點集進(jìn)行擴(kuò)充，提高該區(qū)域的近似精度。通過式（15）優(yōu)化，可獲取極大序貫建模修正累積變化點，將其加入樣本點集更新模型，即可有針對性地提高模型在不規(guī)則區(qū)域或低可信度區(qū)域的近似精度。

在實際應(yīng)用中，可以采取多準(zhǔn)則結(jié)合的方式提高效率和效果。姚雯、Giunta和Swiler等提出了綜合應(yīng)用極大熵準(zhǔn)則和拉丁超立方設(shè)計進(jìn)行全空間填充設(shè)計的方法，以該方法構(gòu)造初始樣本點集，然后運(yùn)用部分交叉驗證和累積誤差準(zhǔn)則進(jìn)行序貫設(shè)計，并給出了完整的試驗設(shè)計流程。杜麗等提出了一種適用于約束空間的多準(zhǔn)則加點方法。張澤斌等結(jié)合“MSE 和EI”的并行加點準(zhǔn)則進(jìn)行了試驗設(shè)計。

對于多項式模型，有一類基于模型信息矩陣的加點方法。多項式模型可表示為：

式中：

矩陣G 為結(jié)構(gòu)矩陣，它既包含了試驗設(shè)計的信息，又包含了擬合模型的信息；參數(shù)為模型系數(shù)；為隨機(jī)誤差，誤差的期望為0，先驗方差為。

式中：取決于方法外的其他因素；信息矩陣M=GG，式中要求M 是非退化的。通常希望通過試驗最準(zhǔn)確地建立模型，即對參數(shù)作最準(zhǔn)確的估計，根據(jù)這一要求來設(shè)計因素x 的取值?；谶@一思想，產(chǎn)生了“最優(yōu)設(shè)計”的概念（這種“最優(yōu)”是指統(tǒng)計范式下的最優(yōu)）。通過選擇試驗點，使得信息矩陣包含更多信息，對矩陣大小比較的定義不同，就產(chǎn)生了不同的最優(yōu)設(shè)計方法：

D–最優(yōu)設(shè)計：取試驗點使M 行列式值達(dá)到極大；

A–最優(yōu)設(shè)計：取試驗點使tr（M）達(dá)到極大；

E–最優(yōu)設(shè)計：取試驗點使M的最大特征根達(dá)到極?。?/p>

G–最優(yōu)設(shè)計：取試驗點使響應(yīng)預(yù)報值的最大方差達(dá)到極小。

以上最優(yōu)設(shè)計方法都是通過增加序列、減少樣本點來實現(xiàn)，因此可視為序貫設(shè)計策略。

2.3 模型構(gòu)建

試驗樣本為建立模型提供數(shù)據(jù)，新樣本點的加入能提升模型的精度和泛化能力，而模型本身的預(yù)測和泛化能力又會對樣本點的選取產(chǎn)生影響。因此，無論是依據(jù)試驗結(jié)果構(gòu)建模型還是確定模型參數(shù)，試驗設(shè)計與模型選取都是息息相關(guān)的。目前工程上常用的方法主要分為兩類，一類是基于機(jī)理建模的方法，如多項式模型、徑向基函數(shù)、混沌多項式模型和基于對稱性的三角多項式模型等，其核心思想是運(yùn)用某一個完備的函數(shù)空間，通過確定合適的線性組合系數(shù)，使模型更準(zhǔn)確地擬合現(xiàn)有數(shù)據(jù)；另一類方法是包括機(jī)器學(xué)習(xí)在內(nèi)的多種黑箱模型，比如Kriging 模型、高斯過程、支撐向量機(jī)、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型決策樹方法、模糊邏輯建模方法、RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模方法等，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型又有淺層網(wǎng)絡(luò)和深層網(wǎng)絡(luò)之分。這些方法的基本思想是通過訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)，對模型的結(jié)構(gòu)、權(quán)值參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，建立隨機(jī)過程、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等輸入–輸出之間的映射模型，使其對數(shù)據(jù)具有最佳的擬合及預(yù)測效果。兩類方法各有優(yōu)勢與弱點：運(yùn)用機(jī)理建模方法構(gòu)建的模型，往往能對其組合項進(jìn)行物理含義解釋，因此模型更具有普適性和較強(qiáng)的泛化能力，但擬合能力較差；包括機(jī)器學(xué)習(xí)在內(nèi)的“黑箱”建模方法對非線性數(shù)據(jù)的擬合能力通常優(yōu)于機(jī)理建模方法，但泛化能力較弱，可解釋性差，增加網(wǎng)絡(luò)層數(shù)可以改善泛化能力，但需要增加樣本量。

在近年的相關(guān)研究中出現(xiàn)了一些改進(jìn)模型，例如，Li和Khang等采用試驗設(shè)計方法研究翼型性能對翼型幾何形狀的總體響應(yīng)，構(gòu)建了多項式模型，提出了一種篩選多項式項的方法；Thurman 等在水動力試驗中提出了統(tǒng)計預(yù)測元模型，Thiele和Golovnya等提出了交互圖模型，Wang和Meng等在這方面也做了大量工作，提出了多種組合網(wǎng)絡(luò)模型。

2.4 結(jié)果分析

MDOE 方法往往以獲取知識為目的，這些知識一方面包括代理模型本身，另一方面也包括模型中各變量的影響規(guī)律。通過影響分析，可以更好地指導(dǎo)序貫樣本選取，獲得更為準(zhǔn)確的代理模型。目前比較通用的影響分析方法包括總響應(yīng)面分析、導(dǎo)函數(shù)分析、干擾分析、圖標(biāo)分析、識別基礎(chǔ)模型、多目標(biāo)優(yōu)化等，此外還有對靈敏度、不確定性和數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)性等目標(biāo)的分析方法。近年來，設(shè)計變量影響分析的研究大都從上述幾個方面開展工作，有學(xué)者在吸進(jìn)式高超聲速飛行器中實現(xiàn)了參數(shù)化建模、正交試驗設(shè)計、CFD 氣動性能計算和方差分析相結(jié)合的靈敏度分析方法；也有學(xué)者用自組織映射等方法分析了飛行器設(shè)計參數(shù)與氣動結(jié)果之間的數(shù)據(jù)相關(guān)性。在多數(shù)情況下，協(xié)同使用多種數(shù)據(jù)處理手段對結(jié)果進(jìn)行分析，以達(dá)到綜合驗證和對比的目的。

3 試驗設(shè)計方法算例

針對兩個典型算例，同時采用均勻設(shè)計和序貫設(shè)計方法，建立BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和Kriging 模型，基于建模誤差對兩種試驗設(shè)計方法進(jìn)行驗證和對比分析。

3.1 一維標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)算例

考慮一維函數(shù)式：該函數(shù)在前一小段較為平滑，而后段頻率較高，以此來驗證均勻設(shè)計和序貫設(shè)計的不同效果。

以BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行擬合，序貫設(shè)計采用交叉驗證準(zhǔn)則。圖2為序貫設(shè)計結(jié)果，靠近底部的虛線高度代表全空間誤差大小，每次選取全空間誤差最大處作為下一步加點?？梢钥闯?，序貫設(shè)計曲線與真實曲線吻合得很好。

圖2 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)序貫設(shè)計誤差圖Fig.2 BP neural network sential design error plot

表1給出了模型的最大誤差和均方差，可以看出：隨著樣本點增加，模型的結(jié)果越來越準(zhǔn)確；在每一組相同的樣本點中，序貫設(shè)計都比均勻設(shè)計更為準(zhǔn)確。

表1 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型誤差表Table 1 BP neural network model error table

使用Kriging 模型進(jìn)行擬合，序貫設(shè)計采用最大均方差準(zhǔn)則。圖3給出了Kriging 模型的序貫設(shè)計結(jié)果。圖中藍(lán)點標(biāo)注了均方差最大的位置，即下一步需要添加的點，可以看出序貫設(shè)計結(jié)果與真實函數(shù)曲線吻合較好。

圖3 Kriging 序貫設(shè)計結(jié)果Fig.3 Kriging sential design result plot

表2給出了模型的最大誤差和均方差?？梢钥闯觯弘S著樣本點增加，模型的結(jié)果越來越準(zhǔn)確；序貫設(shè)計的最大誤差結(jié)果更好，均方差有更快的下降梯度。

表2 Kriging 模型誤差表Table 2 Kriging model error table

3.2 空氣動力學(xué)算例

以鈍錐標(biāo)模計算得到的阻力系數(shù)為研究對象，以馬赫數(shù)Ma 和迎角為設(shè)計變量（馬赫數(shù)變化范圍0.4～7.0，間隔取0.1；迎角變化范圍0°～25°，間隔取0.5°），進(jìn)行數(shù)值計算，獲得氣動阻力系數(shù)C，結(jié)果如圖4所示，可以看到跨聲速段的氣動特性變化較為劇烈。

圖4 氣動數(shù)據(jù)圖Fig.4 Pneumatic data plot

以BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對氣動數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，序貫設(shè)計采用交叉驗證準(zhǔn)則。圖5為序貫設(shè)計結(jié)果。表3給出了不同設(shè)計方法的最大誤差和均方差?？梢钥闯?，無論是最大誤差還是均方差，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的序貫設(shè)計結(jié)果都明顯優(yōu)于均勻設(shè)計。

圖5 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)序貫設(shè)計誤差圖Fig.5 BP neural network sential design error plot

表3 氣動數(shù)據(jù)BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型誤差表Table 3 Pneumatic data BP neural network model error table

使用Kriging 模型對氣動數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，序貫設(shè)計中使用最大均方差準(zhǔn)則。圖6為Kriging 模型的序貫設(shè)計結(jié)果。表4給出了不同設(shè)計方法的最大誤差和均方差。從表中可以看出：隨著樣本點增加，模型結(jié)果越來越準(zhǔn)確；在相同樣本點數(shù)下，序貫設(shè)計比均勻設(shè)計具有更高的精度。

表4 氣動數(shù)據(jù)Kriging 模型誤差表Table 4 Pneumatic data Kriging model error table

圖6 Kriging 模型序貫設(shè)計誤差圖Fig.6 Kriging sential design error plot

以上4 組算例都顯示了序貫建模的優(yōu)勢；另外，從一維函數(shù)和氣動數(shù)據(jù)兩個問題均可以看出，在相同取點規(guī)模下，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)合交叉驗證的建模精度略優(yōu)于kriging 模型結(jié)合最大均方差準(zhǔn)則的建模精度，這說明樣本與模型之間具有關(guān)聯(lián)，需要根據(jù)研究對象選取樣本和模型。

4 試驗設(shè)計后續(xù)重點發(fā)展方向

近年來，隨著信息化技術(shù)和智能技術(shù)在風(fēng)洞試驗中的應(yīng)用，風(fēng)洞試驗呈現(xiàn)出日益精細(xì)化的趨勢，科學(xué)、高效、智能是試驗設(shè)計技術(shù)的主要發(fā)展方向。

1）序貫試驗設(shè)計與模型的緊密耦合。與其他試驗設(shè)計相比，序貫試驗設(shè)計更高效、資源消耗更少，模型選取和樣本點選取有很強(qiáng)關(guān)聯(lián)。例如，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中，模型構(gòu)建與選點位置相互影響，因此以模型優(yōu)化為目標(biāo)的序貫試驗設(shè)計方法的創(chuàng)新與應(yīng)用是主流方向，在實踐中需要根據(jù)不同的模型采用不同的加點策略。例如，目前廣泛采用的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對樣本需求量較大，可以通過生成對抗網(wǎng)絡(luò)（Generative Adversarial Network，GAN）方法產(chǎn)生滿足試驗設(shè)計需求的樣本。

2）融入物理知識的試驗設(shè)計?，F(xiàn)有試驗設(shè)計方法大多依據(jù)數(shù)學(xué)理論描述的評價進(jìn)行選點，而空氣動力學(xué)所研究的問題都具有較強(qiáng)的物理背景，在激波、分離點等流動特性變化比較劇烈的位置，需要適當(dāng)增加樣本點。例如，文獻(xiàn)在氣動優(yōu)化試驗點選取中加入了對流動狀態(tài)的考量。在現(xiàn)有試驗設(shè)計方法中，如何對知識進(jìn)行有效描述以及如何將知識融入試驗設(shè)計過程都需要開展深入研究。

3）試驗設(shè)計統(tǒng)計學(xué)理論的深入研究。試驗設(shè)計本身來源于統(tǒng)計學(xué)理論，因而對試驗設(shè)計方法的基礎(chǔ)理論研究也是一個研究重點，例如對不同試驗方法所能實現(xiàn)的精度的統(tǒng)計學(xué)分析描述、對所用數(shù)據(jù)建模的可解釋性等。文獻(xiàn)對機(jī)器學(xué)習(xí)可解釋性在數(shù)據(jù)建模領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行了有益的探索。

4）樣本空間搜索策略的改進(jìn)完善。理想的樣本空間搜索策略是：不遍歷樣本空間即可快速找到目標(biāo)函數(shù)全局最優(yōu)點。這一方面需要搜索算法具有較強(qiáng)的全局搜索能力，另一方面也需要對目標(biāo)函數(shù)特性有較為準(zhǔn)確的描述?？梢钥紤]的方法包括采用多條并行馬爾科夫鏈進(jìn)行空間探索，例如文獻(xiàn)中的多鏈算法；或是采用序貫加點準(zhǔn)則和隨機(jī)搜索策略相結(jié)合的試驗設(shè)計方法，例如文獻(xiàn)中的激勵探索策略。在結(jié)合得當(dāng)?shù)那闆r下，這些方法有望增強(qiáng)加點方式的自適應(yīng)能力，從而進(jìn)一步增強(qiáng)試驗設(shè)計的實用性。

5）多源數(shù)據(jù)融合分析時的試驗設(shè)計理論與方法研究。目前的試驗設(shè)計研究主要針對的是單一手段的試驗過程，而空氣動力學(xué)研究常常要面對三大試驗手段（風(fēng)洞試驗、數(shù)值計算和飛行試驗）提供多源數(shù)據(jù)條件下的試驗設(shè)計問題。在此情況下，應(yīng)進(jìn)一步考慮多源數(shù)據(jù)之間的冗余性、銜接性、關(guān)聯(lián)性以及精度匹配等。將試驗設(shè)計的理念有效推廣至多源數(shù)據(jù)、多準(zhǔn)則、多模型的試驗設(shè)計，在空氣動力學(xué)研究中將具有更強(qiáng)的理論與實用價值。