許晨舟，杜濤，韓忠華,，昝博文，牟宇，張津澤

1.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072

2.翼型、葉柵空氣動力學(xué)國家級重點實驗室，西安 710072

3.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076

0 引 言

飛行器氣動設(shè)計的核心工作之一是提供準確、完備的氣動特性數(shù)據(jù)，其中最為重要的是凍結(jié)外形氣動特性數(shù)據(jù)，國外一般稱為“設(shè)計氣動數(shù)據(jù)庫”。然而，對于流動條件變化復(fù)雜的高超聲速飛行器，建立設(shè)計氣動數(shù)據(jù)庫通常需要開展規(guī)模龐大和復(fù)雜的風(fēng)洞試驗和CFD 計算，導(dǎo)致氣動研制經(jīng)費和進度難以控制。因此工程應(yīng)用迫切需要發(fā)展新的方法降低氣動數(shù)據(jù)庫建立成本。

近年來，隨著數(shù)字化飛行器設(shè)計技術(shù)的發(fā)展，研究人員在人工智能技術(shù)與空氣動力學(xué)結(jié)合方面開展了諸多有益的嘗試與探索。其中具有代表性的機器學(xué)習(xí)方法已經(jīng)成為最主流的人工智能實現(xiàn)方式，被廣泛應(yīng)用于飛行器多源氣動數(shù)據(jù)融合與建模。機器學(xué)習(xí)方法可以快速預(yù)測不同工況下飛行器的氣動特性，對建立完備的氣動數(shù)據(jù)庫、降低飛行器設(shè)計成本以及提升飛行器綜合性能具有重要意義。

變可信度融合模型是機器學(xué)習(xí)方法中的代表性方法。它是一種針對小樣本數(shù)據(jù)的監(jiān)督式機器學(xué)習(xí)方法，其核心思想是先利用大量的低可信度（成本低、精度差）數(shù)據(jù)去近似氣動特性的變化趨勢，再融合高可信度（成本高、精度好）數(shù)據(jù)進行修正，實現(xiàn)對未知狀態(tài)下氣動特性的高精度預(yù)測。目前常用的變可信度融合模型大致可以分為以下4 類：

1）基于標度函數(shù)的修正模型

基于標度函數(shù)的修正模型是在低可信度模型基礎(chǔ)上，以相加、相乘或兩者混合的方式引入標度函數(shù)，從而構(gòu)建高可信度模型的近似模型。Haftka和Chang 等最早提出了乘法標度函數(shù)的修正方法，通過縮放比例系數(shù)可使低可信度模型在局部近似于高可信度分析的結(jié)果。Alexandrov 等將其與置信域法結(jié)合，提出了一階加法和乘法標度函數(shù)，并應(yīng)用于翼型和機翼的優(yōu)化設(shè)計之中，顯著降低了計算成本。舒樂時等和Park 等建立了更符合全局模型變化趨勢的差異函數(shù)，提高了變可信度模型的預(yù)測精度。Wang提出了一種基于最小二乘法的加法標度函數(shù)構(gòu)造方法，提高了模型的泛化能力。杜濤等提出了一種針對變可信度模型的自適應(yīng)預(yù)處理技術(shù)，解決了加法標度函數(shù)修正模型在原始數(shù)據(jù)絕對值較小情況下出現(xiàn)數(shù)據(jù)失真的問題。韓忠華等改善了混合標度函數(shù)修正方法，并引入了梯度等信息，進一步提高了模型的預(yù)測精度。

2）空間映射模型

該方法最早由Bandler 在1994年提出，Bandler建立了高、低設(shè)計空間的映射關(guān)系，使低可信度函數(shù)的局部特性能夠逼近高可信度函數(shù)。而后Robinson等提出了一種改進的空間映射方法，并應(yīng)用于撲翼的氣動建模與優(yōu)化中。Jonsson 等也將此方法應(yīng)用于跨聲速機翼的氣動優(yōu)化設(shè)計中?？臻g映射模型最主要的特點是允許高、低可信度模型的設(shè)計空間維數(shù)不一致，并且適用于高可信度樣本較少的高維建模問題。

3）Co-Kriging 類模型

Co-Kriging 是在Kriging 模型基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一類針對多可信度數(shù)據(jù)的高斯回歸模型，被認為是一種淺層機器學(xué)習(xí)方法。其基于貝葉斯理論，通過建立自回歸模型將多種精度的數(shù)據(jù)進行融合，利用交叉協(xié)方差來衡量不同精度數(shù)據(jù)間的相關(guān)性。Kennedy 和O’Hagan首次將其應(yīng)用于工程科學(xué)領(lǐng)域，提出了經(jīng)典的KOH 模型。之后，該模型的算法理論被不斷改進，包括采用多項式縮放系數(shù)、引入更多不同可信度層數(shù)據(jù)、建模樣本非嵌套化等。韓忠華和 Zimmermann 等提出了一種能夠避免復(fù)雜交叉協(xié)方差計算的Co-Kriging 模型。此外，韓忠華等還提出了一種通用性更強、建模更加簡潔的分層Kriging 模型（Hierarchical kriging，HK）。該模型的基本思想是以大量的低可信度數(shù)據(jù)建立全局趨勢模型，通過少量的高可信度樣本進行修正，最終建立起高精度的預(yù)測模型。HK 方法的后續(xù)改進研究可以參閱文獻[6]和[8]。

4）多可信度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

多可信度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（Multi-Fidelity Neural Network，MFNN）采用最新發(fā)展的深度學(xué)習(xí)技術(shù)，先根據(jù)低可信度樣本建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，再將低可信度模型的預(yù)測值和高可信度樣本同時作為高可信度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，最后根據(jù)輸出的預(yù)測值與高可信度樣本標簽值之間的差異來構(gòu)建損失函數(shù)，迭代訓(xùn)練模型參數(shù)。Meng 等在MFNN 模型的基礎(chǔ)上提出了多可信度貝葉斯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，該方法可提供模型預(yù)測值的均方誤差。何磊等將MFNN 網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于亞聲速翼型的氣動特性建模。張鑫帥等則將MFNN 網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于翼型與翼身組合體的氣動優(yōu)化設(shè)計。

雖然變可信度融合模型理論與算法在近十年已取得了長足的進步，但現(xiàn)有方法的泛化能力仍明顯不足，大多數(shù)模型還停留在實驗室研究階段，缺乏工程研制中復(fù)雜應(yīng)用場景的適應(yīng)性研究。

2019年，在我國首次開展的在役火箭子級落區(qū)控制項目中，由于飛行操態(tài)較多，跨越馬赫數(shù)范圍廣，氣動研制工作面臨經(jīng)費和進度的雙重壓力。本文作者所在團隊首次嘗試引入變可信度融合模型技術(shù)，在解決了4 項關(guān)鍵算法和技術(shù)問題、提升了模型在復(fù)雜工程問題中的適應(yīng)性，利用加法標度函數(shù)修正模型和HK 模型學(xué)習(xí)了項目部分風(fēng)洞試驗及CFD計算結(jié)果后，預(yù)測了全部工況的氣動特性，按時建立了飛行氣動數(shù)據(jù)庫，并大幅降低了風(fēng)洞試驗和數(shù)值仿真的需求。2019年7月，飛行搭載試驗取得成功，預(yù)測結(jié)果的正確性獲得了驗證。

本文是上述研究工作的繼續(xù)。在應(yīng)用中作者發(fā)現(xiàn)相關(guān)函數(shù)和模型的選擇對預(yù)測結(jié)果的正確性和質(zhì)量有較大影響，因此，本文將深入研究影響機理，進一步發(fā)掘變可信度融合模型在工程復(fù)雜場景中應(yīng)用的魯棒性和適應(yīng)性。除文獻[2]中的加法標度函數(shù)修正模型和HK 模型外，本文還將額外對比2 種變可信度融合模型—Co-Kriging 模型和MFNN 模型。這4 種變可信度融合模型幾乎代表了當前主流的氣動融合建模思路。通過對建模結(jié)果的對比分析，討論不同相關(guān)函數(shù)和模型的工程適應(yīng)性，并給出變可信度融合模型的使用建議。

1 變可信度模型理論與算法

1.1 基本假設(shè)

對于一個維的建模問題，假設(shè)存在通過不同來源或不同精度的分析模型得到的高、低可信度樣本數(shù)據(jù)集：

以及對應(yīng)的響應(yīng)值：

其中，下標“1”表示高可信度，“2”表示低可信度；和分別為高、低可信度樣本點個數(shù)， R為實數(shù)集。

變可信度模型構(gòu)建中所需要解決的核心問題是如何有效地融合高、低精度分析模型的數(shù)據(jù)，使預(yù)測結(jié)果能更逼近真實的高精度結(jié)果。下面將介紹4 種常見的變可信度融合模型理論。

1.2 加法標度函數(shù)修正模型

基于加法標度函數(shù)修正的變可信度融合模型（Additive Scaling Function Based Multi-fidelity Surrogate Model，AS-MFS）是一種以低可信度模型為基礎(chǔ)、通過加法標度函數(shù)的方式引入高可信度數(shù)據(jù)輔助構(gòu)建高可信度分析模型的近似模型，具體的公式推導(dǎo)可參見文獻[8]。在AS-MFS 中，標度函數(shù)（）定義為高可信度樣本點處高、低可信度分析模型輸出響應(yīng)間的差值：

由于概念直觀且模型簡潔，AS-MFS 已成為標度函數(shù)修正模型中最常用的方法，被廣泛應(yīng)用于工程問題的建模和設(shè)計過程中。

1.3 Co-Kriging 模型

本文選用的Co-Kriging 模型來自文獻[29]。假設(shè)模型預(yù)估值為已知樣本響應(yīng)值的線性加權(quán)：

為了降低模型的復(fù)雜程度，文獻[29]假設(shè)高、低可信度數(shù)據(jù)具有相同的過程方差。同時為了描述不同可信度數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，額外引入了一個模型超參數(shù)[0，1]，于是通過拉格朗日乘子法可將公式（6）轉(zhuǎn)為矩陣形式：

經(jīng)過推導(dǎo)可得，Co-Kriging 模型的預(yù)估值表達式為：

1.4 分層Kriging 模型

韓忠華等于2012年提出了分層Kriging 模型，它是對傳統(tǒng)Kriging 模型理論的進一步發(fā)展。首先，針對低可信度數(shù)據(jù)集建立Kriging 模型：

其次，假設(shè)在高可信度樣本點處存在靜態(tài)隨機過程：

其中，Z（x）表示均值為0、差為的靜態(tài)隨機過程。這里低可信度Kriging 模型的預(yù)估值?（）與常數(shù)縮放因子的乘積代替了原先的常數(shù)回歸項，成為高可信度模型的全局趨勢模型。與Kriging 模型類似，可推得HK 模型的均方誤差為：

并滿足如下無偏估計的條件：

最終，HK 模型的預(yù)估值可表示為：

1.5 多可信度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

除了基于貝葉斯理論的變可信度模型，近年來新發(fā)展了一種基于深度學(xué)習(xí)的多可信度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（MFNN），其模型結(jié)構(gòu)如圖1所示，具體推導(dǎo)過程可以參閱文獻[31]。

圖1 多可信度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of multi-fidelity neural network

假設(shè)高、低可信度數(shù)據(jù)之間的關(guān)系可以表示為：

其中，（）表示數(shù)據(jù)從低可信度層到高可信度層的映射關(guān)系。一般認為在高、低可信度數(shù)據(jù)層均存在線性和非線性相關(guān)性，于是映射函數(shù)（）可拆為兩部分：

為了描述高、低可信度數(shù)據(jù)間線性和非線性相關(guān)性的程度，引入超參數(shù)縮放因子，于是MFNN 模型的預(yù)估值表達式為：

2 在柵格舵氣動建模與預(yù)測上的應(yīng)用和比較

2.1 模型訓(xùn)練樣本集

預(yù)測對象為在役火箭的一子級，如圖2所示，其級間段設(shè)計了4 片對稱分布的柵格舵，對再入過程的俯仰、偏航和滾轉(zhuǎn)通道進行氣動操縱。本文將以俯仰通道氣動特性為研究對象，輸入變量為馬赫數(shù)、攻角（）和俯仰舵偏角。

圖2 火箭一子級落區(qū)控制的柵格舵方案示意圖[2]Fig.2 Illustration of grid fins in the rocket first stage landing area control project[2]

項目以風(fēng)洞試驗（圖3）為主，輔以少量CFD 計算（圖4）。由于進度和經(jīng)費的原因，風(fēng)洞試驗和CFD 計算的結(jié)果并不充分。亞聲速和跨聲速條件的試驗成本低、進度快，均開展了試驗；馬赫數(shù)大于4 的狀態(tài)未開展試驗，最終僅開展了所需工況的54%，如表1所示。理論上，風(fēng)洞試驗狀態(tài)比CFD 計算更加接近飛行器表面真實的流動狀態(tài)，因此，本文將風(fēng)洞試驗數(shù)據(jù)視為高可信度數(shù)據(jù)，而CFD 計算結(jié)果是低可信度輔助數(shù)據(jù)。

圖3 火箭一子級帶柵格舵模型在風(fēng)洞中試驗情況[2]Fig.3 Experimental model of rocket first stage with grid fins in the wind tunnel test[2]

圖4 火箭一子級帶柵格舵外形數(shù)值仿真的計算網(wǎng)格[2]Fig.4 Computational grids of CFD simulation for rocket first stage with grid fins[2]

表1 俯仰特性風(fēng)洞試驗情況[2]Table 1 Fundamental state for wind tunnel experiment on pitching moment characteristics[2]

亞聲速段時，火箭一子級帶柵格舵外形的俯仰力矩在0°攻角附近為靜穩(wěn)定配平點，而超聲速段變?yōu)椴环€(wěn)定配平點（圖5），跨聲速段容易出現(xiàn)顯著的壅塞現(xiàn)象。柵格舵的俯仰力矩表現(xiàn)出遠比軸向力和法向力復(fù)雜的變化特性。這種特性能夠代表工程應(yīng)用的復(fù)雜場景，因此本文將俯仰力矩特性的氣動建模與預(yù)測作為主要研究對象。

圖5 火箭一子級帶柵格舵外形跨聲速段和超聲速段俯仰力矩特性Fig.5 Pitching moment characteristics of rocket first stage with grid fins in the transonic and supersonic regimes

從氣動數(shù)據(jù)集中篩選出不同舵偏角、馬赫數(shù)、攻角（輸入數(shù)據(jù)）與俯仰力矩系數(shù)（輸出數(shù)據(jù)），得到不同舵偏角下的310 組風(fēng)洞試驗數(shù)據(jù)和96 組CFD 計算數(shù)據(jù)，其空間分布情況如圖6所示，4 個舵偏角從上往下依次為–20°、–10°、0°和10°。從圖中可以看出：高可信度風(fēng)洞試驗數(shù)據(jù)（綠色球體）主要集中在跨聲速段，缺少高超聲速段數(shù)據(jù)（馬赫數(shù)4 以上）；而CFD 計算數(shù)據(jù)（紅色方塊）覆蓋了全馬赫數(shù)工況，但缺少大攻角下（攻角15°以上）俯仰力矩數(shù)據(jù)。

圖6 柵格舵俯仰力矩系數(shù)數(shù)據(jù)集空間分布情況Fig.6 Pitching moment data set of rocket first stage with grid fins

2.2 模型訓(xùn)練的關(guān)鍵問題

本文采用4 種變可信度融合模型對俯仰力矩系數(shù)進行建模與預(yù)測。下面先對模型訓(xùn)練過程中出現(xiàn)的一些關(guān)鍵問題進行分析和討論。

除了MFNN 模型，其余3 種變可信度融合模型均基于高斯過程回歸理論。高斯過程回歸—本文特指Kriging 模型—是一種使用高斯過程先驗對數(shù)據(jù)進行插值分析的模型。它通常包含不超過兩層的非線性特征變換，因而被認為是一種淺層的機器學(xué)習(xí)模型。文獻[2]中，我們發(fā)現(xiàn)相關(guān)函數(shù)R 和模型超參數(shù)訓(xùn)練對Kriging 模型的預(yù)測效果影響很大。相關(guān)函數(shù)又稱為“核函數(shù)”，是一類僅與樣本點空間距離相關(guān)的光滑函數(shù)，滿足距離為0 時等于1、距離無窮大時等于0，且相關(guān)性隨著距離的增大而減小。對于一個維的建模問題，相關(guān)函數(shù)一般具有如下的形式：

其中，、x為設(shè)計空間中任意兩個不同位置，為待定的模型超參數(shù)。一般來說，帶有的相關(guān)函數(shù)可以更好地反映不同變量在該維空間上的變化尺度，通過訓(xùn)練可以提高Kriging 模型對非線性函數(shù)的擬合能力。另外，還有一類不帶的相關(guān)函數(shù)，如薄板樣條函數(shù)，它們往往對非線性函數(shù)的擬合較差，而對線性函數(shù)的擬合較好。

目前常用的帶的相關(guān)函數(shù)包括三次樣條函數(shù)和高斯指數(shù)函數(shù)。本節(jié)將著重考察這兩種相關(guān)函數(shù)對預(yù)測效果的影響。

三次樣條函數(shù)的解析表達式為：

其中，ξ=θ|x-x|，=1，2，，。該函數(shù)二階可導(dǎo)，在光滑性和魯棒性方面能取得很好的折中。

高斯指數(shù)函數(shù)的解析表達式為：

其中，p為相關(guān)函數(shù)光滑程度的各向異性參數(shù)。p=2時，相關(guān)函數(shù)無窮階次可導(dǎo)；p ＜2時，相關(guān)函數(shù)一階可導(dǎo)。

圖7、8 分別為超參數(shù)取不同值時三次樣條函數(shù)和高斯指數(shù)函數(shù)的變化情況。從圖中可以看到，隨著的增大，相關(guān)函數(shù)曲線逐漸變“陡峭”，這意味著較大的會縮小作用范圍。取值相同時，對比三次樣條函數(shù)和高斯指數(shù)函數(shù)（p = 2），可以發(fā)現(xiàn)：三次樣條函數(shù)隨樣本空間距離的變化更劇烈，并且當樣本空間距離大到一定程度時，二者的相關(guān)性消失。文獻[35]將這類樣本局部性影響較大而全局性影響較小的相關(guān)函數(shù)稱為“緊支撐性函數(shù)”。圖9展示了= 1 時高斯指數(shù)函數(shù)取隨參數(shù)p 的變化情況?？梢钥吹?，隨著參數(shù)p 的增大，相關(guān)函數(shù)在樣本距離較小的情況下過渡得更為平緩。為了保持這種光滑的過渡性，本文限制高斯指數(shù)函數(shù)參數(shù)p 的取值范圍為[1.5，2]，且參數(shù)p 與超參數(shù)都可以通過最大似然估計的方法優(yōu)化得到。

圖7 不同超參數(shù)下的三次樣條函數(shù)變化Fig.7 Influence of θ on the cubic correlation function

圖8 不同超參數(shù)下的高斯指數(shù)函數(shù)變化（p = 2）Fig.8 Influence of θ on the Gauss correlation function with p = 2

圖9 不同參數(shù)p 時的高斯指數(shù)函數(shù)變化（θ = 1）Fig.9 Influence of index p on the Gauss correlation function with θ = 1

上文通過理論分析解釋了兩種相關(guān)函數(shù)的差異性，下面將其應(yīng)用于柵格舵的俯仰力矩參數(shù)建模問題，考察不同相關(guān)函數(shù)對預(yù)測效果的影響情況。本文以舵偏角=0°時的俯仰力矩系數(shù)建模為例。需要說明的是，當俯仰舵無偏轉(zhuǎn)時，共有100 組風(fēng)洞試驗數(shù)據(jù)和24 組CFD 計算數(shù)據(jù)；模型的第一維輸入是馬赫數(shù)，第二維輸入是攻角。

為在同一標準下進行對比，首先將兩種相關(guān)函數(shù)的超參數(shù)優(yōu)化范圍均限制在[0.001，1.0]。圖10 為HK 模型采用不同相關(guān)函數(shù)的預(yù)測結(jié)果對比。從圖中可以看到，采用緊支撐性較強的三次樣條函數(shù)時，預(yù)測曲面變得不光滑，在離樣本點較遠的區(qū)域出現(xiàn)波浪型“隆起”現(xiàn)象；而采用高斯指數(shù)函數(shù)時，整個預(yù)測曲面在設(shè)計空間內(nèi)的變化都較為光滑。

圖10 基于不同相關(guān)函數(shù)的HK 模型對俯仰力矩系數(shù)建模結(jié)果對比（超參數(shù)優(yōu)化范圍受限制）Fig.10 Comparison of predicted pitching moment coefficients via HK model based on different correlation functions （with optimization boundaries for hyperparameters）

然后，解除對超參數(shù)優(yōu)化范圍的限制，基于最大似然估計理論對超參數(shù)進行徹底優(yōu)化，得到優(yōu)化后的超參數(shù)及俯仰力矩系數(shù)預(yù)測結(jié)果，如圖11 所示。從圖中可以看到：采用三次樣條作為相關(guān)函數(shù)時，優(yōu)化后超參數(shù)的第一維數(shù)值較大，反映在預(yù)測曲面上，俯仰力矩系數(shù)預(yù)測值沿馬赫數(shù)方向出現(xiàn)了過擬合現(xiàn)象；而采用高斯指數(shù)函數(shù)時，預(yù)測模型未出現(xiàn)明顯的過擬合現(xiàn)象。造成這一現(xiàn)象的原因是：三次樣條函數(shù)的緊支撐性使得其在較大時樣本的影響域很?。▓D7），一旦預(yù)測點稍微偏離樣本點，就無法獲取樣本響應(yīng)值的相關(guān)信息，預(yù)測值將迅速靠近模型自身的常數(shù)回歸項。在HK 模型的外插區(qū)域，由于缺少高可信度風(fēng)洞數(shù)據(jù)，采用高斯指數(shù)函數(shù)的模型預(yù)測曲面出現(xiàn)了小范圍凹坑與鼓包。根據(jù)馬赫數(shù)無關(guān)性原理，該現(xiàn)象不符合實際的物理規(guī)律。這也從側(cè)面反映出：并不是模型的超參數(shù)優(yōu)化得越徹底，預(yù)測效果就會越好；而是需要結(jié)合建模問題本身，給出合理的優(yōu)化空間。

圖11 基于不同相關(guān)函數(shù)的HK 模型對俯仰力矩系數(shù)建模結(jié)果對比（超參數(shù)優(yōu)化范圍不作限制）Fig.11 Comparison of predicted pitching moment coefficients via HK model based on different correlation functions （with no optimization boundaries for hyperparameters）

本文將超參數(shù)的優(yōu)化范圍限制在[0.001，1.0]，再對比不同變可信度高斯回歸模型采用這兩種相關(guān)函數(shù)的俯仰力矩系數(shù)預(yù)測曲線，截取了攻角為10°的結(jié)果，如圖12 所示。從圖中可以看到：采用三次樣條作為相關(guān)函數(shù)時，3 種變可信度模型的預(yù)測曲線均出現(xiàn)了不同程度的“振蕩”現(xiàn)象；而采用高斯指數(shù)函數(shù)時，模型預(yù)測曲線變化較為光滑，更符合物理規(guī)律。圖12 充分顯示了相關(guān)函數(shù)對預(yù)測結(jié)果的重要性。在后續(xù)的分析中，選用高斯指數(shù)函數(shù)作為AS-MFS 模型、 Co-Kriging 模型和HK 模型的相關(guān)函數(shù)。

圖12 采用兩種相關(guān)函數(shù)的不同變可信度模型對俯仰力矩系數(shù)建模的結(jié)果對比Fig.12 Comparison of predicted pitching moment coefficients via different variable-fidelity model based on the two correlation functions

如何評估最終建立的變可信度融合模型的預(yù)測精度，是研究人員最關(guān)心、也是其在工程問題中取得成功應(yīng)用的關(guān)鍵性問題之一。本文沿用文獻[2]提出的檢驗方法：交叉驗證與物理規(guī)律檢驗相結(jié)合。交叉驗證，即屏蔽一小部分試驗數(shù)據(jù)，將其設(shè)定為未知，然后與模型預(yù)測進行比較。氣動特性數(shù)據(jù)并非毫無規(guī)律可言，而是需要滿足客觀存在的物理規(guī)律，例如Oswatitsch 高超馬赫數(shù)無關(guān)性原則。這些規(guī)律可以幫助研究人員對氣動模型進一步確認預(yù)測結(jié)果。

鑒于項目數(shù)據(jù)空間分布的特殊性，高可信度風(fēng)洞試驗結(jié)果僅分布在馬赫數(shù)4 以下的狀態(tài)（圖6）。本文將馬赫數(shù)區(qū)間分成兩段，分別采用交叉驗證和物理規(guī)律檢驗的方法。具體而言：

1）對馬赫數(shù)小于4 的內(nèi)插區(qū)域，由于存在高可信度樣本數(shù)據(jù)，因此隨機屏蔽一小部分風(fēng)洞試驗數(shù)據(jù)點作為測試集，計算相關(guān)系數(shù)（r）、相對均方根誤差（RRMSE）和相對最大絕對誤差（RMAE） 3 個指標來表征模型的預(yù)估精度。其中，r和RRMSE 用來表征模型的全局預(yù)測精度，且r越接近1、RRMSE越接近0，模型全局預(yù)測越精確；RMAE 用來表征模型的局部預(yù)測精度，且RMAE 越接近0，模型局部預(yù)測越精確。3 個指標的計算公式如下：

其中，N 為測試集中的樣本個數(shù)。需要說明的是，N 的值不宜過大，否則會導(dǎo)致需要被屏蔽的高可信度風(fēng)洞試驗數(shù)據(jù)過多，從而減少參與氣動建模的高可信度樣本數(shù)據(jù)，造成模型預(yù)測精度的損失。綜合考慮后，從310 組高可信度樣本里抽取了30 組樣本作為測試集。

2）對于馬赫數(shù)大于4 的外插區(qū)域，由于缺乏風(fēng)洞試驗數(shù)據(jù)，無法采用交叉驗證方法進行精度評估，因而采用物理規(guī)律進行檢驗。需要說明的是，火箭一子級帶柵格舵外形的飛行搭載試驗取得了成功，其在再入啟控的過程中經(jīng)歷了外插段的高馬赫數(shù)區(qū)間，也從側(cè)面間接說明了采用變可信度融合模型進行外插的正確性和有效性。后續(xù)研究工作中將發(fā)展對外插結(jié)果的直接驗證方法。

2.3 模型的預(yù)測結(jié)果及對比

本節(jié)采用2.1 小節(jié)介紹的4 種變可信度融合模型分別對–20°、–10°、0°和10°舵偏角下柵格舵的俯仰力矩系數(shù)進行建模。表2為各舵偏角下的樣本個數(shù)分布情況。

表2 不同舵偏角下樣本分布情況Table 2 Data sets for different elevator deflections of grid fins

圖13 為采用高斯指數(shù)相關(guān)函數(shù)的AS-MFS 模型、Co-Kriging 模型、HK 模型和MFNN 模型在馬赫數(shù)[0.4，4]區(qū)間內(nèi)對俯仰力矩系數(shù)的內(nèi)插結(jié)果對比。從圖中可以看到，AS-MFS 模型、Co-Kriging 模型和HK 模型的預(yù)測結(jié)果較為接近，均比較光滑，各舵偏角對應(yīng)的預(yù)測曲面近似平行且相互隔開，不存在交叉現(xiàn)象。MFNN 模型預(yù)測的俯仰力矩系數(shù)在跨聲速、大攻角區(qū)域有較高的隆起現(xiàn)象；在跨聲速區(qū)，–20°和–10°舵偏角下的俯仰力矩系數(shù)有明顯的交叉現(xiàn)象。圖14 為馬赫數(shù)為3.5 時采用交叉驗證方法檢驗不同模型預(yù)測結(jié)果的對比情況。從圖中可以看到，Co-Kriging 模型和HK 模型的預(yù)測值與測試點吻合最好，且二者精度較為接近。AS-MFS 模型的預(yù)測精度稍弱于前兩種模型。由于AS-MFS、Co-Kriging 模型和HK 模型為插值模型，因此預(yù)測曲線均精確通過了訓(xùn)練樣本；而MFNN 的預(yù)測結(jié)果較差，且由于它是擬合模型，因此未精確通過訓(xùn)練樣本。此外，表3還展示了采用交叉驗證方法計算的模型精度指標對比情況。可以看到，在–20°、0°和10°舵偏角下，Co-Kriging 模型的3 項精度指標均優(yōu)于其他3 種模型。在–10°舵偏角下，Co-Kriging 模型除RRMSE 指標稍弱于HK 模型外，其他2 項精度指標仍為最佳。這表明Co-Kriging 模型在柵格舵俯仰力矩系數(shù)的內(nèi)插預(yù)測上具備一定的精度優(yōu)勢。HK 模型的精度指標僅次于Co-Kriging 模型，也表現(xiàn)出了較強的預(yù)測能力。在4 種模型中，MFNN 模型預(yù)測結(jié)果的3 項指標均最差，俯仰力矩系數(shù)的預(yù)測誤差較大。

圖13 不同變可信度模型對俯仰力矩系數(shù)建模內(nèi)插結(jié)果對比Fig.13 Comparison of predicted pitching moment coefficients via different VFMs

表3 針對俯仰力矩系數(shù)建模不同模型精度指標對比Table 3 Comparison of different accuracy indicators for pitching moment coefficients via different VFMs

圖14 不同變可信度模型在馬赫數(shù)為3.5 時俯仰力矩系數(shù)預(yù)測結(jié)果的交叉驗證對比Fig.14 Comparison of cross validation for predicted pitching moment coefficients via different VFMs at Mach 3.5

圖15 為4 種變可信度模型的外插預(yù)測結(jié)果對比，其中單獨截取了馬赫數(shù)為5 和7 下的俯仰力矩系數(shù)隨攻角變化結(jié)果進行展示。從圖中可以看到，AS-MFS 模型和MFNN 模型的外插曲面最光滑，相比之下，Co-Kriging 模型和HK 模型外插曲面的光滑程度略微下降，存在少量凹坑。在馬赫數(shù)為5 的狀態(tài)下，AS-MFS 模型預(yù)測的0°和–10° 舵偏角下的俯仰力矩系數(shù)曲線在攻角14°附近有部分重疊，HK 模型的俯仰力矩系數(shù)曲線在2 個舵偏角下則存在交叉現(xiàn)象。Co-Kriging 模型和MFNN 模型不同舵偏角下的俯仰力矩系數(shù)曲線均無交叉現(xiàn)象。在馬赫數(shù)為7 的狀態(tài)下，HK 模型預(yù)測的2 個舵偏角下的俯仰力矩系數(shù)曲線仍然交叉，而其余3 種模型的預(yù)測結(jié)果較好，符合基本物理規(guī)律。需要注意的是，在0°攻角、0°舵偏角狀態(tài)下，俯仰力矩系數(shù)理論上過零點，但AS-MFS 模型和Co-Kriging 模型預(yù)測值在馬赫數(shù)為5 和7 狀態(tài)下整組預(yù)測曲線均向下略微偏移，俯仰力矩系數(shù)未能過零點；而HK 模型和MFNN 模型預(yù)測值在該狀態(tài)時經(jīng)過了零點，符合客觀物理規(guī)律?？紤]到HK 模型預(yù)測結(jié)果存在交叉現(xiàn)象，因此可以認為MFNN 模型在俯仰力矩系數(shù)外插時的預(yù)測效果更好。

圖15 不同變可信度模型對俯仰力矩系數(shù)建模外插結(jié)果對比Fig.15 Comparison of predicted pitching moment coefficients via different VFMs

綜上所述，Co-Kriging 模型對柵格舵俯仰力矩系數(shù)的內(nèi)插有著較為良好的表現(xiàn)，而采用MFNN模型可以在外插區(qū)域得到相對更加光滑、合理的預(yù)測結(jié)果。

3 結(jié) 論

本文將機器學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)融合方法應(yīng)用于在役火箭一子級柵格舵落區(qū)控制項目的氣動研制中，在開展部分工況風(fēng)洞試驗的基礎(chǔ)上，結(jié)合少量的CFD 計算結(jié)果，預(yù)測獲得了設(shè)計所需的完整氣動特性數(shù)據(jù)。通過對比4 種變可信度融合模型對柵格舵俯仰力矩氣動特性的預(yù)測結(jié)果，得出結(jié)論如下：

1）針對柵格舵氣動建模等全局預(yù)測問題，選用高斯指數(shù)函數(shù)作為高斯過程回歸類機器學(xué)習(xí)模型的核函數(shù)，可以獲得更光滑、魯棒性更好的預(yù)測結(jié)果；合理的超參數(shù)優(yōu)化范圍可以進一步提高模型的預(yù)測精度。

2）對于柵格舵俯仰力矩系數(shù)的內(nèi)插，Co-Kriging模型可以獲得相對較好的預(yù)測結(jié)果，模型的泛化能力更強。

3）HK 模型在俯仰力矩系數(shù)內(nèi)插時表現(xiàn)出較強的預(yù)測能力，但在外插時效果不理想，不同舵偏角下存在不合理的交叉現(xiàn)象。

4）采用MFNN 模型在高馬赫數(shù)下對俯仰力矩系數(shù)外插時可以獲得更為光滑、合理的預(yù)測結(jié)果，但在內(nèi)插時的預(yù)測誤差較大。

5）總體而言，內(nèi)插的預(yù)測可信度更高，外插的風(fēng)險較大，還需要開展更多的研究工作。

后續(xù)將繼續(xù)探索變可信度模型與氣動特性建模的深度融合，考慮改進現(xiàn)有的模型理論與算法，建立融入人工經(jīng)驗或物理認知的變可信度新模型，進一步提高氣動特性預(yù)測的智能化水平。同時，發(fā)展對外插結(jié)果的直接驗證方法，更全面系統(tǒng)地評估不同機器學(xué)習(xí)融合模型的性能，為工程人員提供技術(shù)參考。