江昊，王伯福,，莊啟亮,，盧志明

1.上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072

2.上海市力學(xué)信息學(xué)前沿科學(xué)研究基地，上海 200072

0 引 言

計(jì)算機(jī)性能的快速發(fā)展和精細(xì)化流動(dòng)測(cè)試手段的不斷精進(jìn)，為獲取高分辨率流場(chǎng)數(shù)據(jù)的方法提供了豐富的可能性。在工業(yè)上，我們通常希望以較小的計(jì)算和實(shí)驗(yàn)代價(jià)快速獲得高分辨率（High Resolution，HR）流場(chǎng)數(shù)據(jù)。然而，傳統(tǒng)的獲取高分辨率流場(chǎng)數(shù)據(jù)方法（加密計(jì)算網(wǎng)格、縮短時(shí)間步長以及精細(xì)化實(shí)驗(yàn)測(cè)量等）通常都會(huì)付出很高的成本。

近年來，研究者開始將超分辨率重構(gòu)技術(shù)應(yīng)用于獲取高精度流場(chǎng)數(shù)據(jù)。超分辨率重構(gòu)（Superresolution Reconstruction，SR）方法可以利用低分辨率（Low Resolution，LR）數(shù)據(jù)重建對(duì)應(yīng)的高分辨率數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)的SR 方法主要基于插值算法，例如最近鄰插值法（Nearest Neighbour Interpolation）、線性插值法（Linear Interpolation）以及雙三次插值法（Bicubic Interpolation，即Bicubic 方法）等。其中，Bicubic 方法重構(gòu)的數(shù)據(jù)精度比其他插值方法更高，但是該方法的時(shí)間復(fù)雜度也是最高的，因此通常被用作超分辨算法的基準(zhǔn)線（baseline）。這些插值算法被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，但基于插值算法的超分辨率重構(gòu)方法的精度依賴于插值點(diǎn)的小范圍鄰域信息，在較大的下采樣比情況下，重構(gòu)的數(shù)據(jù)圖像往往較為模糊。

同時(shí)，機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)也為研究者提供了一種直接從數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)角度出發(fā)重構(gòu)高分辨率圖像的方法。香港中文大學(xué)的Dong 等在2014年首次采用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對(duì)低分辨率圖像進(jìn)行超分辨率重構(gòu)，并提出了超分辨率卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Super-Resolution Convolutional Neural Network，SRCNN）。采用SRCNN 方法重構(gòu)的圖像精度和清晰度比傳統(tǒng)的插值算法更高，但該方法的網(wǎng)絡(luò)需要在高分辨率上進(jìn)行卷積操作，存在訓(xùn)練速度慢的問題。Shi等提出了一種直接對(duì)原始低分辨率圖像進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的高效亞像素卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ESPCN）模型，該模型大幅降低了網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練計(jì)算量，提高了重構(gòu)方法的效率。

近年來，機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)被廣泛應(yīng)用于湍流大數(shù)據(jù)中。同樣地，基于深度學(xué)習(xí)的超分辨方法也被推廣至流場(chǎng)數(shù)據(jù)重構(gòu)的應(yīng)用中?；谏疃葘W(xué)習(xí)的超分辨率方法的性能依賴于訓(xùn)練數(shù)據(jù)的完備性。湍流的實(shí)驗(yàn)測(cè)量和數(shù)值模擬獲得的數(shù)據(jù)非常豐富，使得基于深度學(xué)習(xí)的超分辨率方法成為快速生成高分辨率流場(chǎng)的有效途徑。Fukami 等發(fā)展了下采樣跳躍連接多尺度（Downsampled Skip-Connection Multi-Scale，DSC/MS）混合模型用于二維衰減均勻湍流的單瞬時(shí)數(shù)據(jù)的超分辨率重構(gòu)，研究了不同下采樣方法對(duì)DSC/MS 模型的影響，并將DSC/MS 方法推廣至?xí)r空流場(chǎng)數(shù)據(jù)的超分辨率重構(gòu)。Deng等采用兩種基于生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)（Generative Adversarial Network，GAN）的模型—SRGAN 和ESRGAN—對(duì)雙圓柱繞流的數(shù)據(jù)進(jìn)行了超分辨率重構(gòu)。Bai 等利用字典學(xué)習(xí)策略對(duì)不同狀態(tài)下的煙霧流動(dòng)進(jìn)行了超分辨率重構(gòu)。Gao 等利用流體力學(xué)中的守恒定律和邊界條件提出了一種基于物理知識(shí)的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在血管流數(shù)據(jù)的超分辨率重構(gòu)和去噪中展現(xiàn)了出色效果。Kim 等采用無監(jiān)督學(xué)習(xí)模型和CycleGAN 模型，對(duì)湍流場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行了超分辨率重構(gòu)，該模型還可以將大渦模擬數(shù)據(jù)重構(gòu)為直接數(shù)值模擬精度的高分辨率流場(chǎng)。

本文采用ESPCN 方法和Bicubic 方法對(duì)不同下采樣比的直接數(shù)值模擬所獲得的RB 湍流場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行超分辨率重構(gòu)。考慮到實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)中的環(huán)境噪聲對(duì)超分辨率方法存在影響，本文也研究了邊界層湍流實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的超分辨率重構(gòu)。

1 超分辨率重構(gòu)方法

1.1 雙三次插值方法

在基于插值算法的超分辨率重構(gòu)方法中，雙三次插值方法（Bicubic 方法 ）是一種高精度的超分辨率重構(gòu)方法，被廣泛應(yīng)用于圖像和數(shù)據(jù)的處理。

Bicubic 方法是通過在數(shù)據(jù)中插值來增加或減小局部數(shù)據(jù)密度，達(dá)到改變?cè)紨?shù)據(jù)精細(xì)程度的目的。Bicubic 方法計(jì)算了插值點(diǎn)周圍16 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（鄰域大小為4×4）的加權(quán)和，其插值核為：

式中：a 為核函數(shù)的參數(shù)，在本文中取a=–0.5；d為插值點(diǎn)在i 方向到周圍點(diǎn)的距離；x（x）為插值點(diǎn)i 方向的坐標(biāo)；x（x）為原始流場(chǎng)數(shù)據(jù)i 方向的坐標(biāo)；Δx 為原始數(shù)據(jù)均勻網(wǎng)格的網(wǎng)格大小。

1.2 基于深度學(xué)習(xí)的超分辨率重構(gòu)方法

本文采用的基于深度學(xué)習(xí)的超分辨率重構(gòu)方法是Shi 等所提出的高效亞像素卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ESPCN）方法。該方法采用三層卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)低分辨率數(shù)據(jù)，網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)如圖1所示。其中，輸入層的低分辨數(shù)據(jù)是通過Bicubic 方法對(duì)原始高分辨率數(shù)據(jù)（H×W×C；H、W 和C 分別為數(shù)據(jù)網(wǎng)格高度、數(shù)據(jù)網(wǎng)格寬度和數(shù)據(jù)通道數(shù)）進(jìn)行下采樣獲得，下采樣比為r，則下采樣后的低分辨率數(shù)據(jù)的尺寸為（H/r）×（W/r）×C；然后采用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層提取低分辨率數(shù)據(jù)的特征，相當(dāng)于通過一組濾波器對(duì)圖像進(jìn)行卷積，并將這些特征納入網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行優(yōu)化；最后采用亞像素卷積層將這些從低分辨率數(shù)據(jù)中得到的特征上采樣重構(gòu)為高分辨率數(shù)據(jù)。

圖1 ESPCN 模型示意圖Fig.1 Sketch of ESPCN

ESPCN 模型訓(xùn)練所采用的損失函數(shù)（loss function）為均方誤差（Mean Squared Error，MSE）：

該模型的激活函數(shù)為ReLU：并且將70%的數(shù)據(jù)集用作訓(xùn)練集、30%用作驗(yàn)證集。驗(yàn)證集用于在模型訓(xùn)練時(shí)監(jiān)控當(dāng)前模型在驗(yàn)證集上的表現(xiàn)能力，為模型超參數(shù)的調(diào)整提供依據(jù)。

2 研究結(jié)果

2.1 Rayleigh-Bénard（RB）對(duì)流流場(chǎng)重構(gòu)

首先，研究了直接數(shù)值模擬Rayleigh–Bénard（RB）湍流對(duì)流數(shù)據(jù)的超分辨率重構(gòu)。RB 對(duì)流系統(tǒng)的物理模型是一個(gè)下底板加熱、上底板冷卻的對(duì)流系統(tǒng)，系統(tǒng)中充滿流體介質(zhì)。由于上下底板溫度不同，導(dǎo)致不同高度位置的流體之間存在密度差，系統(tǒng)中的流體在浮力驅(qū)動(dòng)下產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)。在Oberbeck–Boussinesq（OB）近似下的無量綱控制方程組為：

控制方程分別為連續(xù)性方程、含有熱浮力項(xiàng)的Navier–Stokes 方程和熱輸運(yùn)方程，Ra、Pr 分別為系統(tǒng)瑞利數(shù)（Rayleigh number）和普朗特?cái)?shù)（Prandtl number）。

通過有限差分法模擬了Pr=0.7、Ra=1×10的RB 對(duì)流流場(chǎng)，上下底板溫度分別為無量綱溫度–0.5 和0.5，計(jì)算網(wǎng)格為720×720。分別采用下采樣比r為3、10、20 和30 獲取低分辨率數(shù)據(jù)進(jìn)行模型訓(xùn)練，模型的輸入層大小為（720/r）×（720/r）×3，維度3 代表流場(chǎng)數(shù)據(jù)的3 個(gè)通道，分別為溫度場(chǎng)、水平速度場(chǎng)u 和垂直速度場(chǎng)v。將70 個(gè)瞬時(shí)RB 流場(chǎng)數(shù)據(jù)用于模型訓(xùn)練，30 個(gè)瞬時(shí)RB 流場(chǎng)數(shù)據(jù)用于模型驗(yàn)證。圖2和3 分別為溫度場(chǎng)數(shù)據(jù)的ESPCN 方法重構(gòu)結(jié)果和Bicubic 方法重構(gòu)結(jié)果（下采樣比r分別為3 和30）。

圖2 下采樣比為3 的RB 系統(tǒng)溫度場(chǎng)數(shù)據(jù)的超分辨率重構(gòu)結(jié)果Fig.2 The super-resolution reconstruction result of the temperature field data of the RB system with rus=3

從圖2和3 可以看出，下采樣比較小時(shí)，ESPCN方法和Bicubic 方法重構(gòu)的結(jié)果都與原始流場(chǎng)數(shù)據(jù)接近；下采樣比較大時(shí)，ESPCN 方法和Bicubic 方法在數(shù)據(jù)過渡比較平滑的中心區(qū)域都可以重構(gòu)出較為精確的流場(chǎng)數(shù)據(jù)，但在數(shù)據(jù)梯度較大的邊壁區(qū)域，ESPCN 方法的重構(gòu)效果明顯優(yōu)于Bicubic 方法。圖4為RB 系統(tǒng)的中心線溫度數(shù)據(jù)剖面（黑色虛線為原始流場(chǎng)結(jié)果，紅色圓圈為Bicubic 方法結(jié)果，藍(lán)色圓圈為ESPCN 方法結(jié)果）。

圖3 下采樣比為30 的RB 系統(tǒng)溫度場(chǎng)數(shù)據(jù)的超分辨率重構(gòu)結(jié)果Fig.3 The super-resolution reconstruction result of the temperature field data of the RB system with rus=30

圖4 RB 系統(tǒng)中心線溫度數(shù)據(jù)剖面的超分辨率重構(gòu)結(jié)果Fig.4 Comparison of the results of the temperature profile of the horizontal centerline of the RB system temperature field data

圖4描述了RB 系統(tǒng)的水平中心線局部的重構(gòu)結(jié)果對(duì)比。下采樣比為3 時(shí)，ESPCN 方法和Bicubic方法的結(jié)果與原始流場(chǎng)數(shù)據(jù)的水平中心溫度剖面基本吻合。下采樣比為30 時(shí)，在x 坐標(biāo)靠近0 和1 處，Bicubic 方法重構(gòu)的溫度數(shù)據(jù)明顯偏離了原始數(shù)據(jù)，ESPCN 方法重構(gòu)的結(jié)果更接近于原始流場(chǎng)數(shù)據(jù)；在離上下板都較遠(yuǎn)的bulk 區(qū)，可以看出ESPCN 方法重構(gòu)的溫度數(shù)據(jù)有小范圍的偏差。

圖5為整個(gè)瞬時(shí)場(chǎng)的概率密度函數(shù)（Probability Density Function，PDF），其中，黑色圓圈為原始流場(chǎng)結(jié)果，紅色星形為Bicubic 方法結(jié)果，藍(lán)色三角形為ESPCN 方法結(jié)果。圖5描述了整個(gè)瞬時(shí)場(chǎng)RB 系統(tǒng)溫度數(shù)據(jù)的PDF 分布對(duì)比。在兩個(gè)不同采樣比的結(jié)果中，ESPCN 方法重構(gòu)的溫度數(shù)據(jù)分布更接近于原始流場(chǎng)溫度數(shù)據(jù)分布。同樣地，下采樣比為30時(shí)，Bicubic 方法重構(gòu)的數(shù)據(jù)在溫度靠近–0.5和0.5 附近的分布與原始流場(chǎng)數(shù)據(jù)分布存在偏差。圖4和5 的結(jié)果都表明：在數(shù)據(jù)梯度較大的邊壁區(qū)域，ESPCN 方法比Bicubic 方法的數(shù)據(jù)重構(gòu)更有優(yōu)勢(shì)，這與圖3的結(jié)果也是相吻合的。

圖5 RB 系統(tǒng)瞬時(shí)溫度場(chǎng)數(shù)據(jù)PDF 分布的超分辨率重構(gòu)結(jié)果Fig.5 Comparison of PDF results of instantaneous temperature field data of the RB system temperature field data

表1給出了不同下采樣比的ESPCN 方法和Bicubic 方法重構(gòu)后的流場(chǎng)數(shù)據(jù)的MSE。從表中可以看出：下采樣比較小時(shí)，ESPCN 方法和Bicubic方法重構(gòu)出的流場(chǎng)誤差較小，且兩者精度接近；在下采樣比較大時(shí)，ESPCN 方法的性能優(yōu)于Bicubic方法。

表1 不同下采樣比的MSETable 1 MSE with different down-sampling rus

2.2 湍流邊界層流場(chǎng)的重構(gòu)

上節(jié)研究了基于直接數(shù)值模擬的RB 系統(tǒng)流場(chǎng)的超分辨率重構(gòu)。由于存在環(huán)境噪聲，從實(shí)驗(yàn)中獲得的流場(chǎng)數(shù)據(jù)對(duì)超分辨率算法具有一定的挑戰(zhàn)。本節(jié)討論對(duì)湍流邊界層（Turbulent Boundary Layer，TBL）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的超分辨率重構(gòu)結(jié)果。

實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[30]，采用粒子圖像測(cè)速法（Particle Image Velocimetry，PIV）獲得。實(shí)驗(yàn)裝置如圖6所示，平板尺寸l×l= 250 cm×80 cm，l和l分別為平板流向和展向長度。平板前緣修型，減小流動(dòng)分離對(duì)下游流場(chǎng)的影響；通過調(diào)整平板后緣角度滿足零壓力梯度條件。自由來流速度u=0.53 m/s。圖中綠色區(qū)域?yàn)閷?shí)驗(yàn)測(cè)量區(qū)域，大小為L×L×L63 mm×15 mm×68 mm，L、L和L分別為測(cè)量區(qū)域的流向、垂向和展向長度。

圖6 湍流邊界層實(shí)驗(yàn)裝置圖[30]Fig.6 Sketch of turbulent boundary layer experimental device[30]

選取距離平板底部0.41 mm 的二維流場(chǎng)截面（圖6中紅色線條表示該截面）數(shù)據(jù)用于訓(xùn)練。被選取的二維截面的網(wǎng)格為64×64，將流向速度u、垂向速度v 和展向速度w 作為ESPCN 的3 個(gè)通道的訓(xùn)練數(shù)據(jù)。同樣地，將140 個(gè)瞬時(shí)TBL 流場(chǎng)數(shù)據(jù)用于模型訓(xùn)練，60 個(gè)瞬時(shí)TBL 流場(chǎng)數(shù)據(jù)用于模型驗(yàn)證。采用ESPCN 和Bicubic 方法對(duì)下采樣比為2、4、8 的低分辨率流場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)。圖7和8 分別為下采樣比為4 和8 的流向速度u 的重構(gòu)結(jié)果對(duì)比。

從圖7和8 可以看出，對(duì)于下采樣比為4 和8 的情況，ESPCN 方法仍具有良好的超分辨率重構(gòu)能力；對(duì)于下采樣比為8 的情況，以Bicubic 方法重構(gòu)后的流場(chǎng)數(shù)據(jù)會(huì)丟失掉很多信息，甚至某些尺度較小的速度結(jié)構(gòu)已經(jīng)無法恢復(fù)。

圖7 下采樣比為4 的TBL 流向速度數(shù)據(jù)的超分辨率重構(gòu)結(jié)果Fig.7 The super-resolution reconstruction result of the TBL streamwise velocity with the down-sampling rus =4

同樣地，圖9為下采樣比為4 和8 的瞬時(shí)TBL流場(chǎng)的流向速度PDF 分布的對(duì)比（黑色圓圈為原始流場(chǎng)的結(jié)果，紅色星形為Bicubic 方法的結(jié)果，藍(lán)色三角形為ESPCN 方法的結(jié)果）。從圖中可以看出，下采樣比為4 時(shí)，ESPCN 方法和Bicubic 方法重構(gòu)的流場(chǎng)流向速度分布與原始流場(chǎng)的流向速度分布接近；下采樣比為8 時(shí)，ESPCN 方法重構(gòu)的流場(chǎng)流向速度分布比Bicubic 方法重構(gòu)的流場(chǎng)流向速度分布更可靠。這說明下采樣比為8 的TBL 實(shí)驗(yàn)流場(chǎng)數(shù)據(jù)對(duì)Bicubic 方法更具有挑戰(zhàn)性。

圖8 下采樣比為8 的TBL 流向速度數(shù)據(jù)的超分辨率重構(gòu)結(jié)果Fig.8 The super-resolution reconstruction result of the TBL streamwise velocity with the down-sampling rus =8

圖9 TBL 流向速度數(shù)據(jù)的PDF 分布結(jié)果對(duì)比Fig.9 Comparison of PDF results of TBL streamwise velocity

表2給出了不同下采樣比的ESPCN 方法和Bicubic方法重構(gòu)后的流場(chǎng)數(shù)據(jù)的MSE。與RB 系統(tǒng)的重構(gòu)結(jié)果類似，ESPCN 方法在大下采樣比情況下仍能展現(xiàn)出不錯(cuò)的性能。

表2 不同下采樣比的MSETable 2 MSE with different down-sampling rus

3 結(jié) 論

本文采用ESPCN 方法和Bicubic 方法分別對(duì)RB 系統(tǒng)的數(shù)值模擬數(shù)據(jù)和TBL 實(shí)驗(yàn)流場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行超分辨率重構(gòu)，得到以下結(jié)論：

1）使用基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的超分辨算法（ESPCN）可以對(duì)數(shù)值模擬及實(shí)驗(yàn)測(cè)量所得的流場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行超分辨率重構(gòu)。

2）對(duì)于數(shù)據(jù)梯度較大的區(qū)域，ESPCN 方法比Bicubic 方法的超分辨率重構(gòu)效果更好。但對(duì)于RB 系統(tǒng)，ESPCN 方法在bulk 區(qū)重構(gòu)的流場(chǎng)數(shù)據(jù)會(huì)稍偏離原始數(shù)據(jù)。針對(duì)這一問題，下一步研究可以考慮加入物理信息約束的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)流場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)。

3）在大下采樣比情況下進(jìn)行超分辨率重構(gòu)時(shí)，Bicubic 方法重構(gòu)的數(shù)據(jù)會(huì)變得平滑，損失掉較多流場(chǎng)結(jié)構(gòu)邊界信息，而ESPCN 方法可以很好地還原原始流場(chǎng)的某些速度結(jié)構(gòu)信息。

感謝天津大學(xué)姜楠教授課題組為本文提供湍流邊界層實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。