高建設， 崔秉奇， 丁順良， 楊林杰

(1.鄭州大學 機械與動力工程學院，鄭州 450000； 2.鄭州機械研究所，鄭州 450000)

齒輪傳動由于具有傳動準確、可靠性高等優(yōu)點，漸漸成為廣泛使用的傳動裝置之一。隨著對齒輪性能要求的提高，如何減少齒輪副沖擊振動和噪聲是當前亟待解決的關鍵問題[1]。為便于潤滑和防止齒輪熱膨脹卡死，齒輪間需具有適當?shù)凝X側間隙，這會導致齒輪副齒面存在沖擊、碰撞等現(xiàn)象，對齒輪的性能、壽命等諸多方面產(chǎn)生一定的影響。例如，隨著齒面的磨損或工況的細微變化，沖擊可能會導致原本正常的周期運動突變?yōu)楫惓５恼駝?，影響齒輪的使用壽命甚至安全性。因此，對齒輪系統(tǒng)的沖擊特性進行深入的研究，不僅有利于推動非光滑動力學的發(fā)展，而且有利于識別齒輪系統(tǒng)可能出現(xiàn)的不利工況，更重要的是通過分析齒輪系統(tǒng)的運動狀態(tài)來獲得理想的工作條件，避免沖擊碰撞以降低噪聲、增加齒輪壽命，提高齒輪系統(tǒng)的工作性能。

目前，齒輪系統(tǒng)動力學特性已經(jīng)被廣泛地研究。向玲等[2]運用周期擴大法的思想，研究了支承阻尼對多自由度齒輪系統(tǒng)的影響。田亞平等[3]運用PNF法和延續(xù)算法對單級齒輪系統(tǒng)的周期運動進行了分析。Shi等[4]建立含接觸比的時變齒隙模型，研究了轉速、扭矩載荷和齒面溫度對時變齒隙的影響。林何等[5]基于OGY混沌控制理論對齒輪-軸承系統(tǒng)的混沌運動進行了多周期控制。陳思雨等[6]研究了在考慮時變剛度和摩擦時，輪齒間隙及載荷參數(shù)對齒輪系統(tǒng)沖擊動力學響應的影響。唐進元等[7]基于圖胞映射法討論了時變嚙合剛度和摩擦對系統(tǒng)全局特性的影響。He等[8]建立了考慮滑動摩擦和真實時變剛度的多自由度齒輪模型。上述研究為齒輪系統(tǒng)動力學的研究提供了重要思路。但關于齒輪副間擦邊碰撞的研究較少，其動力學機理仍然不是十分清楚。尹樁等[9]研究了重合度為1的單級齒輪嚙合過程中齒面沖擊對系統(tǒng)運動狀態(tài)的影響。

對齒輪系統(tǒng)動力學的研究主要采用頻閃映射的方法，但這種方法不能展現(xiàn)出齒輪副嚙入、嚙出時的動力學特性。為此，本文以含間隙齒輪-軸承系統(tǒng)為研究對象，定義齒面碰撞面Poincaré映射以及齒背碰撞面Poincaré映射，結合分岔圖、嚙合力變化圖、相圖、以及最大Lyapunov指數(shù)圖等揭示齒輪副嚙入、嚙出沖擊下系統(tǒng)運動狀態(tài)的變化，分析擦邊碰撞對系統(tǒng)動力學特性的影響。

1 齒輪-軸承系統(tǒng)動力學模型

齒輪-軸承系統(tǒng)由軸承支撐和齒輪副組成[10]，假設主、從動齒輪均為標準的漸開線直齒圓柱齒輪，不考慮運動時齒輪副、支撐軸承的摩擦力，且忽略軸的彎曲和變形。

基于上述假設，齒輪-軸承系統(tǒng)簡化模型如圖1所示。

圖1 齒輪-軸承傳動系統(tǒng)簡化模型Fig.1 Simplified model of gear-bearing transmission system

其動力學方程如下[11-13]

(1)

主、從動齒輪的轉動慣量、質量、基圓半徑、扭轉角位移、軸承的支撐力、外力矩、嚙合阻尼、支撐剛度分別用Ii，mi，Ri，θi，F(xiàn)i，Ti，ci，ki(i=1,2)表示，時變嚙合剛度、靜態(tài)傳遞誤差、嚙合阻尼、齒輪等效質量、沿嚙合線載荷、波動載荷用kh(t)，e(t)，ch,mc,Fm,FaT(t)表示，fi(yi)和fh(p)分別表示軸承徑向間隙和齒側間隙的位移函數(shù)，表達式如下

(2)

(3)

其中

x=R1θ1(t)-R2θ2(t)

p=x+y1-y2-e(t)

Fm=T1/R1=T2/R2

FaT(t)=m1T1(t)/2I1

式中:kh(t)[14]以諧波級數(shù)形式展開;khm為平均嚙合剛度;khar(r=1,2,…)為各諧波分量系數(shù);φhr為對應相位角;ω為齒輪嚙合頻率。

(4)

式中：x1、x3、x5表示軸承徑向和齒輪嚙合綜合誤差無量綱位移；x2、x4、x6分別表示無量綱位移相應的無量綱速度；ki3、ζi3(i=1,2,3)表示時變嚙合剛度和齒面嚙合阻尼系數(shù)；kii、ζii(i=1,2)表示軸承支承剛度和阻尼系數(shù)；Fm、Fah1表示負載系數(shù)和內(nèi)部激勵系數(shù)。

無量綱化后齒輪間隙函數(shù)和軸承徑向間隙函數(shù)為

(5)

(6)

式中：D為無量綱齒側間隙;bi為無量綱軸承徑向側隙。

用最小嚙合綜合誤差xmin與齒側間隙D來判斷齒輪系統(tǒng)中存在的無沖擊、單邊沖擊、雙邊沖擊等沖擊狀態(tài)。

用F表示齒輪嚙合時齒輪副之間產(chǎn)生的無量綱嚙合力

F=-2ζ33x6-k33(t)fh(x5)

(7)

當齒輪嚙合綜合誤差x5=D時，則齒輪副之間發(fā)生齒面擦邊碰撞;若x5=-D，則發(fā)生齒背擦邊碰撞。

定義符號“P-Q-R”為系統(tǒng)的運動狀態(tài)，其中P表示系統(tǒng)的周期數(shù),Q表示一個嚙合周期內(nèi)齒面碰撞數(shù)，R表示一個嚙合周期內(nèi)齒背碰撞數(shù)。即P-0-0表示無沖擊，P-Q-0表示單邊沖擊，P-Q-R表示雙邊沖擊。

2 Poincaré截面分析

根據(jù)系統(tǒng)相軌跡和碰撞面(x5=±D)相交的情況，可以分為以下幾種類型[15-17]：

(1) 相軌跡和碰撞面Σ始終保持無交集的狀態(tài)，即相軌跡只在區(qū)域Σ+內(nèi)運動。

(2) 相軌跡從區(qū)域Σ+穿越碰撞面Σ到區(qū)域Σ-，運動一定時間后再次穿越碰撞面Σ回到區(qū)域Σ+，并且可能會發(fā)生多次類似運動。

(3) 相軌跡和碰撞面Σ相切，即相軌跡和碰撞面Σ僅相交于一點X3，整個過程中，相軌跡僅在區(qū)域Σ+內(nèi)運動。

一般分析系統(tǒng)非線性特性使用頻閃映射的方法[18-19]，但是，這種方法會掩蓋碰撞面(圖2碰撞點Xi(i=1,2,3))處的特性。因此，在相軌跡每次到達碰撞面時采樣，若存在采樣點，則說明相軌跡經(jīng)過碰撞面。據(jù)此探究擦邊碰撞對系統(tǒng)動力學特性的影響。

圖2 相軌跡和碰撞面Σ相交示意圖Fig.2 Schematic diagram of the intersection of phase trajectory and impact surface Σ

根據(jù)以上碰撞分析，針對模型定義三種Poincaré截面：

(1) 時間Poincaré截面

時間Poincaré截面也稱頻閃采樣，即每隔一個激勵周期2π/Ω對相軌跡進行采樣。Poincaré截面可記為

σ1={(x1,x2,x3,x4,x5,x6,θ)∈6×S1,

θ=Ωt=0mod(2π)}

(2) 齒面碰撞面Poincaré截面

選擇主、從動齒輪嚙合綜合誤差x5=D作為Poincaré截面，取嚙合后的瞬間建立Poincaré映射。每當相軌跡到達齒面碰撞面時進行采樣，并計算此時的無量綱嚙合力F，揭示此時齒輪系統(tǒng)所處的沖擊狀態(tài)。Poincaré截面可記為

σ2={(x1,x2,x3,x4,x5,x6,F,θ)∈7×S1,x5=D}

(3) 齒背碰撞面Poincaré截面

選擇主、從動齒輪嚙合綜合誤差x5=-D作為Poincaré截面，采樣方法和齒面碰撞面Poincaré截面類似，Poincaré截面可記為

σ3={(x1,x2,x3,x4,x5,x6,F,θ)∈7×S1,x5=-D}

3 非線性動力學擦邊特性分析

3.1 無量綱激勵頻率Ω對擦邊特性的影響

首先研究激勵頻率變化下的擦邊碰撞特性。忽略軸承徑向間隙的非線性力-位移關系，取基準參數(shù)為：Fm=0.2,Fah1=0.05，ε=0.2，D=1.0，ξ11=ξ22=0.01，ξ13=ξ23=0.012 5，ξ33=0.05，F(xiàn)1=F2=0.1，k11=k22=1.25，無量綱激勵頻率Ω∈[0.7,1.6]。運用Runge-Kutta法對方程組(4)進行求解并計算碰撞面嚙合力，結合最大Lyapunov指數(shù)圖[20]分析擦邊碰撞對系統(tǒng)的影響。

對Poincaré截面進行分析，圖3為σ1截面的分岔圖。圖4為σ2和σ3截面嚙合力F的周期變化圖。其中，虛線(F=0)以下區(qū)域表示σ2截面上采樣點計算的嚙合力，虛線以上區(qū)域表示σ3截面上采樣點計算的嚙合力。圖中虛線以上區(qū)域不存在點，說明相軌跡未到達齒背碰撞面。當Ω∈[0.811 75,1.301 00]時，系統(tǒng)處于無沖擊狀態(tài)，當Ω∈[0.700 00,0.811 75]∪[1.301 00,1.600 00]時，系統(tǒng)處于單邊沖擊狀態(tài)。圖5為最大Lyapunov指數(shù)圖(the largest Lyapunov exponents, TLE)。

圖3 齒輪嚙合綜合誤差x隨Ω變化分岔圖Fig.3 The bifurcation diagram of gear comprehensive error of meshing x changing with Ω

圖4 無量綱嚙合力F的周期變化圖Fig.4 The periodic variation diagram of dimensionless meshing force F

圖5 最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.5 The largest Lyapunov exponent

當Ω>1.530 00時，系統(tǒng)為周期1運動，無量綱齒面嚙合力F也為1周期，這說明主、從動齒輪每次齒面嚙合時，嚙入點的速度均相同，運動規(guī)律，TLE值小于零且保持穩(wěn)定，此時系統(tǒng)處于單邊沖擊狀態(tài)。當Ω=1.530 00時，由“1-1-0”(根據(jù)上文定義，第一個“1”代表系統(tǒng)周期為1，第二個“1”代表齒面碰撞為1周期，第三個“0”代表無齒背碰撞情況)向“2-1-0”轉遷時發(fā)生倍周期分岔，突變點處TLE值近似為0。

當Ω=1.506 75時，無量綱齒面嚙合力F趨近于0，系統(tǒng)發(fā)生擦邊碰撞(x=D，齒面碰撞面)并發(fā)生分岔。無量綱齒面嚙合力F由2周期突變?yōu)?周期，突變點TLE近似為0，系統(tǒng)由“2-2-0”向“4-3-0”轉遷。擦邊碰撞點前后的相圖如圖6(a)、圖6(b)和圖6(c)所示。當Ω=1.508 00時，相軌跡穿越σ2截面4次，發(fā)生2次脫嚙。隨著Ω的減小，系統(tǒng)發(fā)生擦邊碰撞(圖6(b))，系統(tǒng)相圖的拓撲結構發(fā)生突變?？梢妶D6(c)，相軌跡穿越σ2截面6次，發(fā)生3次脫嚙。

當Ω=0.811 75時，系統(tǒng)再次發(fā)生擦邊碰撞(x=D，齒面碰撞面)，由“1-0-0”向“1-1-0”轉遷，無量綱齒面嚙合力F突變?yōu)?周期，但擦邊碰撞未對系統(tǒng)周期造成影響，TLE值保持穩(wěn)定。擦邊碰撞前后系統(tǒng)相圖如圖7(a)、圖7(b)和圖7(c)所示。當Ω=0.812 50時，如圖7(a)所示，系統(tǒng)處于無沖擊狀態(tài)，相軌跡全部位于x=1的右側。隨著Ω的減小，系統(tǒng)發(fā)生擦邊碰撞(圖7(b))，當Ω=0.811 00時(圖7(c))，系統(tǒng)由無沖擊狀態(tài)轉變?yōu)閱芜厸_擊狀態(tài)，但其相軌跡和圖7(a)、圖7(b)相軌跡相同，其拓撲結構未發(fā)生改變，可看作是相軌跡向左平移而系統(tǒng)周期保持不變。

當Ω=0.804 40時，向“2-2-0”遷移時發(fā)生倍周期分岔，分叉點TLE值向0發(fā)生突變。當Ω=0.797 00時，系統(tǒng)再次發(fā)生擦邊碰撞(x=D，齒面碰撞面)，轉遷至“2-3-0”運動。此次擦邊碰撞依然未對系統(tǒng)周期造成影響，TLE值保持穩(wěn)定。擦邊碰撞前后系統(tǒng)相圖如圖8(a)、圖8(b)和圖8(c)所示?？梢婟X輪副在一個嚙合周期內(nèi)脫嚙次數(shù)增加一次，相軌跡的拓撲結構未發(fā)生改變且沖擊狀態(tài)保持不變。隨著Ω的持續(xù)減小，系統(tǒng)逐漸由倍周期分岔通向混沌。TLE值突變并大于0，呈震蕩上升態(tài)勢。

由上述分析可知，隨著Ω的變化，系統(tǒng)會不斷地改變其運動的軌道。而齒面擦邊碰撞的發(fā)生，有可能會對系統(tǒng)的運動狀態(tài)(P-Q-R)產(chǎn)生不可預見的影響，改變系統(tǒng)的運動周期和沖擊狀態(tài)。當擦邊碰撞發(fā)生，TLE值突變時，系統(tǒng)產(chǎn)生分岔，齒輪的運動狀態(tài)發(fā)生較大改變。而當TLE值保持穩(wěn)定時，系統(tǒng)未出現(xiàn)分岔現(xiàn)象，系統(tǒng)周期數(shù)保持穩(wěn)定但嚙合力發(fā)生改變，相軌跡可視為向左平移穿過碰撞面而其拓撲結構未發(fā)生變化。

3.2 齒側間隙D對擦邊特性的影響

為了保證正常的裝配和潤滑，齒輪副必須保證必要的齒側間隙，其大小對擦邊碰撞特性會產(chǎn)生一定影響。忽略軸承徑向間隙引發(fā)的非線性力-位移關系，取基準參數(shù)固定為：Fm=0.2,Fah1=0.05，ε=0.2，Ω=1.45，ξ11=ξ22=0.01，ξ13=ξ23=0.012 5，ξ33=0.05，F(xiàn)1=F2=0.1，k11=k22=1.25，無量綱齒側間隙D∈[0,1.0]。

圖9為σ1截面上分岔圖。圖10為σ2和σ3截面上嚙合力F的周期變化圖，D<0.171 60時虛線(F=0)以上和以下區(qū)域均存在點，系統(tǒng)處于雙邊沖擊狀態(tài)，D>0.171 60時僅虛線以下區(qū)域存在點，系統(tǒng)處于單邊沖擊狀態(tài)。圖11為最大Lyapunov指數(shù)圖。

圖9 齒輪嚙合綜合誤差x隨D變化分岔圖Fig.9 The bifurcation diagram of gear comprehensive error of meshing x changing with D

圖10 無量綱嚙合力F的周期變化圖Fig.10 The periodic variation diagram of dimensionless meshing force F

圖11 最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.11 The largest Lyapunov exponent

由圖9可見，當D∈[0,0.596 40]時，系統(tǒng)為周期1運動，齒面嚙合力和齒背嚙合力同時存在并且均為1周期。隨后系統(tǒng)運動在D=0.059 72和D=0.065 24處發(fā)生跳躍且于前一點處發(fā)生分岔。跳躍點處TLE值出現(xiàn)突變且近似為零。值得注意的是，D=0.065 24處齒面嚙合力突然急劇減小至零附近但未極限接近零，系統(tǒng)處于“2-1-1”運動，為探究此時系統(tǒng)是否發(fā)生擦邊碰撞，其相圖如圖12所示。此時，xmin<-D，運動狀態(tài)和圖9、10相互對應，但未存在擦邊碰撞的情形。

圖12 D=0.065 24系統(tǒng)相圖Fig.12 Phase portraits of system in D=0.065 24

當D=0.106 80時，齒背碰撞面發(fā)生擦邊碰撞(x=-D，齒背碰撞面)，σ3截面上無量綱齒背嚙合力F突變?yōu)?周期，系統(tǒng)轉遷為“2-1-2”運動，TLE值未發(fā)生改變。擦邊碰撞點前后的相圖如圖13(a)、圖13(b)和圖13(c)所示。當D=0.106 10時(圖13(a))，相軌跡穿越齒背碰撞面2次，發(fā)生1次脫嚙。擦邊碰撞(圖13(b))后，當D=0.107 60時(圖13(c)),相軌跡穿越齒背碰撞面4次，發(fā)生2次脫嚙，但相軌跡拓撲結構未發(fā)生改變，系統(tǒng)始終保持雙邊沖擊的狀態(tài)。

當D=0.121 86時，齒背碰撞面再次發(fā)生擦邊碰撞(x=-D，齒背碰撞面)并發(fā)生分岔，系統(tǒng)發(fā)生分岔且TLE值突變至零附近，齒背嚙合力F突變?yōu)?周期，齒面嚙合力F突變?yōu)?周期。系統(tǒng)由“2-1-2”向“4-2-3”狀態(tài)轉遷。碰撞前后相圖如圖14所示。當D=0.120 80時(圖14(a))，相軌跡穿越齒背碰撞面4次，發(fā)生2次脫嚙。相軌跡和齒背碰撞面發(fā)生擦邊碰撞(圖14(b))后，拓撲結構發(fā)生變化。如圖14(c)所示，相軌跡穿越齒背碰撞面6次，發(fā)生3次脫嚙。

隨后，當D=0.141 00時系統(tǒng)突變至“n-n-n”運動，TLE值突變并大于0，呈高位震蕩態(tài)勢，齒面嚙合力和齒背嚙合力均突變?yōu)殚L周期。當D=0.172 20時，系統(tǒng)發(fā)生邊界激變向“4-3-0”轉遷。隨后，TLE值和系統(tǒng)的運動狀態(tài)保持基本穩(wěn)定，系統(tǒng)對齒側間隙D的變化不再敏感。

綜上所述，齒背擦邊碰撞會對系統(tǒng)的運動狀態(tài)產(chǎn)生影響。擦邊碰撞發(fā)生時，當系統(tǒng)相圖未發(fā)生拓撲變化且TLE值保持穩(wěn)定，齒輪副間嚙合力改變而周期數(shù)保持不變。當相圖發(fā)生拓撲變化時，系統(tǒng)運動狀態(tài)改變，特征同前。并且，當齒側間隙較小時，系統(tǒng)的運動狀態(tài)較不穩(wěn)定且存在雙邊沖擊的現(xiàn)象，擦邊碰撞現(xiàn)象頻繁。當D>0.172 20時，系統(tǒng)發(fā)生激變后運動狀態(tài)保持穩(wěn)定，齒輪嚙合綜合誤差隨著齒側間隙的改變呈線性變化。

4 結 論

本文在齒輪-軸承傳動系統(tǒng)模型的基礎上，分析了擦邊碰撞對系統(tǒng)動力學特性的影響，研究表明：

(1) 隨著激勵頻率或齒側間隙的改變，擦邊碰撞對系統(tǒng)運動狀態(tài)(P-Q-R)有較大影響，引起系統(tǒng)周期和嚙合力的改變。當TLE值近似等于零時，系統(tǒng)發(fā)生分岔，系統(tǒng)周期數(shù)和齒輪副間嚙合力均發(fā)生較大變化。當TLE值未出現(xiàn)向零突變時，齒輪副間嚙合力發(fā)生變化但系統(tǒng)周期數(shù)保持不變，相軌跡的拓撲結構未發(fā)生改變。

(2) 擦邊碰撞容易發(fā)生在激勵頻率較高/低時或齒側間隙較小的工況下，同時易伴隨著沖擊狀態(tài)的改變。此時，齒輪系統(tǒng)的振動特性較不穩(wěn)定。適當控制激勵頻率和齒側間隙，避開系統(tǒng)的擦邊碰撞和不理想的沖擊狀態(tài)能夠提高齒輪傳動的穩(wěn)定性。