顏美玲

(浙江省杭州外國語學(xué)校，310023)

一、問題的提出

近年來,作為我國高中數(shù)學(xué)課程的六大核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)建模越來越受到重視.新的課程標(biāo)準(zhǔn)也首次將數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)納入必修課程,并安排了具體的課時(shí).有專家學(xué)者基于大樣本的測(cè)試數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),我國學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的測(cè)試平均分是最低的[1].

數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段,也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力[2].這里所說的實(shí)際問題既包含現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題,也包含數(shù)學(xué)內(nèi)部的實(shí)際問題.很多一線教師正在積極探討如何進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)以及如何開展數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)等問題[3][4],讀后受益匪淺.與此同時(shí),筆者也開始思考:除了主題式的數(shù)學(xué)建模教學(xué),教材中有沒有值得我們一線教師好好開發(fā)利用的素材呢?本文以人教版《數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)P227中的例10——“扇形內(nèi)接矩形的面積問題”為例,與同行們共同探討如何利用教材例題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

二、原題及教材用意分析

該例題在教材中呈現(xiàn)如下:

教材在第五章三角函數(shù)中的“簡(jiǎn)單的恒等變換”第2課時(shí)中設(shè)置了如上例題.筆者覺得教材在此處設(shè)置該問題有兩個(gè)用意:一是在例9的基礎(chǔ)上,再通過具體的幾何問題讓學(xué)生掌握將形如y=asinx+bcosx的函數(shù)化為y=Asin(x+φ)的形式,進(jìn)而求出最值等性質(zhì)的方法;二是促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)模型多樣性的理解,特別是讓學(xué)生感受以角為自變量的優(yōu)點(diǎn),為后續(xù)三角函數(shù)的應(yīng)用做好適當(dāng)?shù)匿亯|和準(zhǔn)備.

三、教學(xué)片斷

1.原題的重新設(shè)計(jì)

師:關(guān)于最值問題,我們一般的解決方法和路徑是怎樣的?

生1:選擇合適的自變量,求出其取值范圍,建立函數(shù)模型求出最值.

設(shè)計(jì)意圖筆者沒有將教材中的例10直接呈現(xiàn)給學(xué)生,而是先作一定的改動(dòng),即將條件中的“記∠POC=α”去掉,并且將設(shè)問改成了“求矩形ABCD的最大面積.”主要目的是想通過開放性的探究方式讓學(xué)生能自主地選擇自變量建立函數(shù)關(guān)系,這樣的設(shè)置比直接告訴學(xué)生設(shè)“∠POC=α”更能促進(jìn)他們對(duì)函數(shù)模型多樣性的理解.另外,在問題呈現(xiàn)后就讓學(xué)生思考解決最值問題的一般方法,是希望學(xué)生能形成考慮一類數(shù)學(xué)問題的一般路徑.

2.探究環(huán)節(jié)1(建立模型)

筆者并沒有急著去評(píng)價(jià)上述兩種解法,也沒有急著去引導(dǎo)學(xué)生如何求上述兩個(gè)函數(shù)的最大值,而是暫且將問題擱置,先讓其他同學(xué)發(fā)表不同的解法,最后希望學(xué)生通過后續(xù)的探究自主解決上述問題.

師:還有沒有其它的方法呢?

此時(shí)有一位學(xué)生舉手了.

師:剛才三位同學(xué)選取三種不同的自變量建立函數(shù)關(guān)系,再考慮其最值問題.大家在此過程中有什么體會(huì)與感想呢?

眾生:選取不同的自變量可以建立不同的函數(shù).但此問題中,以角為自變量建立的函數(shù)求最值問題具有明顯的優(yōu)點(diǎn),比較容易求.

此時(shí)又有另一個(gè)學(xué)生舉手了.

設(shè)計(jì)分析由于個(gè)體差異及解題習(xí)慣的不同,加上學(xué)生在本節(jié)課之前還沒有真正經(jīng)歷以角為自變量建立三角函數(shù)模型求解幾何最值問題的過程,因此筆者在此處設(shè)置成開放式探究的形式,并讓他們充分表達(dá)自己的想法和見解.從課堂反映來看,果不其然,在筆者巡視的過程中發(fā)現(xiàn)只有極少數(shù)的同學(xué)設(shè)角為自變量,絕大部分同學(xué)都采用了解法1或解法2.

3.探究環(huán)節(jié)2(模型求解)

既然有不少學(xué)生采用了解法1和解法2,筆者覺得有必要探討如何求這兩種解法得出的函數(shù)的最大值.這也是他們非常期待和關(guān)心的問題.

師: (引導(dǎo))我們接著來求解法1中的函數(shù)S的最大值.大家能否從解法3中獲得啟發(fā)?

師:那么該如何求解法2中S的最值呢?

接著師生對(duì)含有二次根式的函數(shù)共同小結(jié),可用三角換元進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再通過一系列的恒等變形將其轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,最后結(jié)合自變量的取值范圍求出其最值.

設(shè)計(jì)意圖雖然上述三種解法建立的函數(shù)模型不盡相同,但我們可以通過換元將函數(shù)類型進(jìn)行轉(zhuǎn)化.通過這樣的探究過程可讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)模型之間并不是割裂的,是可以互相轉(zhuǎn)化的.當(dāng)然,對(duì)于此問題來說,直接設(shè)角為自變量,會(huì)更方便更直接.

4.探究環(huán)節(jié)3(意外的探究)

解法3是教材例10給出的解法.但并不是所有的學(xué)生都是按此步驟求面積的最大值.當(dāng)學(xué)生4講完解法3后就有學(xué)生舉手了,以下是她的想法.

看其他同學(xué)也是這樣的反應(yīng)!筆者繼續(xù)引導(dǎo).

經(jīng)過幾分鐘的思考,不少同學(xué)解決了該問題.

師:上述方法和解法3看似不同,它們有什么共同之處嗎?

生10:都是通過恒等變形將有關(guān)三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,所以本質(zhì)上是一致的.

師:大家認(rèn)同嗎?

生(全體):是的.我們可通過考慮y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值及其它性質(zhì)得到原來函數(shù)的最值及其它性質(zhì)了.

5.探究環(huán)節(jié)4(拓展探究)

生11:將問題一般化:對(duì)任意角α,β,類似推導(dǎo)可得恒等式

師:既然如此,我們是否可以有更進(jìn)一步的猜想呢?

師:非常好!請(qǐng)大家課后繼續(xù)探究并完成證明.

設(shè)計(jì)意圖新教材將“和差化積,積化和差”公式作為三角恒等變換的應(yīng)用簡(jiǎn)單提出,雖然公式已不要求學(xué)生掌握,但需要讓學(xué)生感知其中蘊(yùn)含的思想方法.生8提出的疑惑恰好可以非常自然地推導(dǎo)出上述這兩個(gè)公式,可謂一舉兩得.另外,將∠POQ一般化,雖然解的過程基本類似,但對(duì)學(xué)生來說還是有一定困難的,考慮課堂時(shí)間有限,所以筆者將此猜想的證明放到了課后,希望一些學(xué)有余力的學(xué)生自主探究完成.