曾立峰 ，邵龍?zhí)?，牛 庚 ，郭曉霞

（1.工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（大連理工大學(xué)）, 遼寧 大連 116024；2.大連理工大學(xué)工程力學(xué)系, 遼寧 大連 116024；3.青島理工大學(xué)理學(xué)院, 山東 青島 266033）

非飽和土的有效應(yīng)力方程是非飽和土力學(xué)的基本方程[1]。對于理論問題而言，非飽和土的有效應(yīng)力方程是研究非飽和土的強(qiáng)度[2-3]、變形[4]和水-力耦合[5]等問題的基礎(chǔ)；對于工程問題而言，基于非飽和土有效應(yīng)力方程的抗剪強(qiáng)度公式因形式簡單，物理意義清晰，已被廣泛地應(yīng)用于求解非飽和土的邊坡穩(wěn)定性[6]、地基承載力[7]和擋土墻土壓力[8]等工程問題。鑒于非飽和土有效應(yīng)力方程在理論和工程問題上的重要性，自20世紀(jì)50年代以來，大量的學(xué)者從不同的角度提出了眾多的非飽和土有效應(yīng)力方程。其中最具代表性的是Bishop方程[9]：

式中： σ '——非飽和土的有效應(yīng)力/kPa；

(σ-ua)——凈應(yīng)力/kPa；

(ua-uw)——基質(zhì)吸力/kPa；

χ——有效應(yīng)力參數(shù)，與飽和度有關(guān)，其值介于0～1之間。

后來，部分學(xué)者[10-11]認(rèn)為有效應(yīng)力參數(shù)等于飽和度，在Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的框架下驗(yàn)證了其對砂土和部分粉土的適用性。另有學(xué)者[3,12]認(rèn)為有效應(yīng)力參數(shù)等于有效飽和度，采用同樣的方法驗(yàn)證了其對砂土和絕大部分粉土的適用性。此外，還有學(xué)者[13-14]認(rèn)為有效應(yīng)力參數(shù)等于其它形式的飽和度并且從強(qiáng)度的角度驗(yàn)證了各自的有效性。以上研究極大地推動了非飽和土有效應(yīng)力方程的發(fā)展，然而它們未能較好地考慮孔隙水的微觀賦存形態(tài)對有效應(yīng)力的影響，這在一定程度上制約了有效應(yīng)力方程的適用性。

鑒于以上問題，本文將分析非飽和粉土中孔隙水的微觀賦存形態(tài)；在孔隙水微觀分析的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)非飽和粉土的有效應(yīng)力方程；從抗剪強(qiáng)度的角度驗(yàn)證推導(dǎo)的有效應(yīng)力方程。

1 非飽和粉土中孔隙水的微觀賦存形態(tài)

一般來講，非飽和土是由礦物顆粒、水和空氣組成的三相系統(tǒng)。然而，由于三相之間存在著極其復(fù)雜的物理化學(xué)作用，導(dǎo)致非飽和土中礦物顆粒、水和空氣已不同于它們各自單獨(dú)存在時的狀態(tài)[15]。對于孔隙水而言，在一個非飽和粉土代表性體積單元（representative volume element）中，根據(jù)孔隙水的物理、化學(xué)和力學(xué)性質(zhì)可以將其分為收縮膜（contractile skin）、吸附水（adsorbed water）和毛細(xì)水（capillary water），如圖1所示。這3類形態(tài)的孔隙水反映了非飽和粉土中孔隙水的微觀賦存特性。

1.1 收縮膜

對于非飽和土而言，從力平衡的角度來講，水-氣交界面的具體形態(tài)與孔隙水壓強(qiáng)、孔隙氣壓強(qiáng)、水的表面張力及接觸角密切相關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)平衡后，水-氣交界面一般出現(xiàn)在顆粒接觸點(diǎn)附近。由于表面張力的存在，水-氣交界面會像張緊的彈性薄膜一樣將接觸點(diǎn)附近的顆粒聚攏在一起，從而增加非飽和土的強(qiáng)度和剛度[16-17]。為了形象地描述水-氣交界面的力學(xué)作用，常將其稱為收縮膜[18]，如圖1所示。收縮膜對非飽和土力學(xué)行為的影響主要取決于收縮膜的多少，而收縮膜的多少可以通過非飽和土中收縮膜的比表面積表征。當(dāng)土體由飽和狀態(tài)逐漸變?yōu)楹娓蔂顟B(tài)時，收縮膜的比表面積先增大到某一個峰值然后逐漸減小[19]。

圖1 非飽和粉土RVE中孔隙水的微觀賦存形態(tài)Fig.1 Microstructure of the pore water in an RVE of unsaturated silt

1.2 吸附水

當(dāng)?shù)V物顆粒與水接觸以后，它們之間會形成固-液交界面，其直觀的現(xiàn)象是顆粒被一定厚度的吸附水膜包裹。吸附水膜的形成主要源于交界面附近的短程物理化學(xué)作用，這種短程作用主要包括電場力作用和范德華力作用[20]。短程物理化學(xué)作用使得吸附水的勢能顯著降低、正壓強(qiáng)明顯提高。特別地，短程物理化學(xué)作用在黏性土中尤其顯著，從而導(dǎo)致黏土礦物表面被包裹著較厚的吸附水膜[15]。當(dāng)土體由飽和狀態(tài)逐漸變?yōu)楹娓蔂顟B(tài)時，礦物顆粒表面的吸附水分子會不斷地轉(zhuǎn)換為孔隙氣中的水分子和毛細(xì)水中的水分子，進(jìn)而通過孔隙氣和毛細(xì)水排出土體。因此，吸附水膜的厚度會逐漸減小。當(dāng)土體處于飽和狀態(tài)時，吸附水膜的厚度達(dá)到最大值；當(dāng)土體接近烘干狀態(tài)時，吸附水膜的厚度達(dá)到最小值[21]。吸附水對非飽和土力學(xué)行為的影響在很大程度上取決于吸附水膜的厚度。

1.3 毛細(xì)水

當(dāng)烘干狀態(tài)的土體與水接觸以后，礦物顆粒表面首先會形成一定厚度的吸附水膜。隨著飽和度的增加，顆粒接觸點(diǎn)周圍會形成互不連通的彎月水，常被稱為懸索狀毛細(xì)水（pendular water）。當(dāng)飽和度進(jìn)一步增加時，懸索狀毛細(xì)水會相互連通，形成纖維狀毛細(xì)水（funicular water），如圖1所示。毛細(xì)水的基質(zhì)勢或應(yīng)力狀態(tài)主要受水的表面張力、礦物顆粒與水之間的接觸角以及礦物顆粒圍成的孔隙的幾何特性（如孔隙的形狀、尺寸、分布及連通性等）控制，在微觀上，其可以由Young-Laplace方程表征。當(dāng)基質(zhì)吸力大于某一較大值時，毛細(xì)水會發(fā)生空化，從而使得毛細(xì)水逐漸減少直至消失。與吸附水的正壓強(qiáng)狀態(tài)不同的是，毛細(xì)水呈現(xiàn)出負(fù)壓強(qiáng)狀態(tài)，這種負(fù)壓強(qiáng)狀態(tài)有利于毛細(xì)水周圍的顆粒聚集，從而提高非飽和土的強(qiáng)度和剛度[22]。盡管從微觀上看，毛細(xì)水具有不同于常規(guī)液態(tài)水的屬性，但是從宏觀上看，毛細(xì)水仍然呈現(xiàn)出液態(tài)水的流動行為。

2 考慮孔隙水微觀賦存形態(tài)的有效應(yīng)力方程

2.1 非飽和粉土的擴(kuò)展三相孔隙介質(zhì)模型

基于孔隙水微觀賦存形態(tài)的分析結(jié)果，可以得知：位于顆粒接觸點(diǎn)附近的收縮膜是一層張緊的彈性薄膜，所以其能夠承擔(dān)并傳遞荷載；位于顆粒表面的吸附水膜具有一系列不同于常規(guī)液態(tài)水的獨(dú)特性質(zhì)，例如高度規(guī)律排列的結(jié)構(gòu)[23]、更高的密度[24]、更大的黏度[25]以及更高的剪切模量[26]。正是由于這些獨(dú)特的物理力學(xué)性質(zhì)，吸附水膜表現(xiàn)出類似于固體物質(zhì)的行為，這意味著吸附水可以被視為一種能夠承擔(dān)并傳遞荷載的結(jié)構(gòu)。與此同時，非飽和土中還存在能夠承擔(dān)并傳遞荷載的核心結(jié)構(gòu)—礦物顆粒骨架。鑒于收縮膜、吸附水膜（其含量會隨飽和度或基質(zhì)吸力發(fā)生變化）和礦物顆粒骨架均能承擔(dān)并傳遞荷載，在此將三者組合成一個廣義相，稱為廣義土骨架相（generalized soil skeleton）。于是，廣義土骨架、毛細(xì)水和孔隙氣組成了非飽和土，在此情況下，非飽和粉土可用擴(kuò)展的三相孔隙介質(zhì)模型描述，如圖2所示。

圖2 非飽和粉土的擴(kuò)展三相孔隙介質(zhì)模型Fig.2 An extended three-phase porous medium model for unsaturated silt

基于擴(kuò)展的三相孔隙介質(zhì)模型，在一個非飽和粉土RVE內(nèi)可以定義一組明確的體積—飽和度關(guān)系（圖3）。非飽和粉土RVE內(nèi)各單獨(dú)相的體積應(yīng)滿足以下關(guān)系：

圖3 非飽和粉土的擴(kuò)展三相孔隙介質(zhì)模型的體積—飽和度關(guān)系Fig.3 Schematic diagram of the volume-saturation relations of an extended three-phase porous medium model for unsaturated silt

式中：Va——孔隙氣相的體積/m3；

Vcw——毛細(xì)水相的體積/m3；

Vgs——廣義土骨架相的體積/m3；

V——非飽和粉土RVE的總體積/m3。

非飽和粉土RVE中孔隙氣、毛細(xì)水和廣義土骨架的體積分?jǐn)?shù)可以表示為：

式中：na——孔隙氣相的體積分?jǐn)?shù)/%；

ncw—毛細(xì)水相的體積分?jǐn)?shù)/%；

ngs—廣義土骨架相的體積分?jǐn)?shù)/%。

聯(lián)立式（2）和式（3），可得：

在擴(kuò)展的三相孔隙介質(zhì)模型下，非飽和粉土的有效孔隙體積是孔隙氣的體積與毛細(xì)水的體積之和：

非飽和粉土的有效孔隙的體積分?jǐn)?shù)（或有效孔隙率）可以表示為：

在此情況下，飽和度的定義應(yīng)為毛細(xì)水的體積與有效孔隙體積之比：

2.2 有效應(yīng)力方程的推導(dǎo)

在擴(kuò)展的三相孔隙介質(zhì)模型建立之后，可以在其基礎(chǔ)上采用分相平衡分析法[1]推導(dǎo)非飽和粉土的有效應(yīng)力方程。

選取一個非飽和土整體微元體并對其進(jìn)行受力分析，見圖4（a）。在此整體微元體中分離出孔隙氣相、毛細(xì)水相和廣義土骨架相并分別分析各單獨(dú)相的受力情況，見圖4（b）—（d）。由于收縮膜已被視為廣義土骨架相的組成部分，所以孔隙氣相與毛細(xì)水相之間并不直接接觸，這就意味著孔隙氣相與毛細(xì)水相之間不存在相互作用力。

圖4 非飽和土整體及各分相的微元體的受力示意Fig.4 Illustration for the forces acting on the unsaturated soil, pore air, capillary water and generalized soil skeleton

非飽和土整體微元體的力平衡微分方程為：

式中： σx、 σz——作用在非飽和土整體微元體上的總正應(yīng)力/kPa；

τzxτxz、 ——作用在非飽和土整體微元體上的總剪應(yīng)力/kPa；

ρ——非飽和土的密度/（kg·m-3）；

g——重力加速度/（m·s-2）。

孔隙氣相微元體的力平衡微分方程為：

式中：ua——孔隙氣壓強(qiáng)/kPa；

——廣義土骨架相對孔隙氣相的作用力，其是一種體積力/（kN·m-3）；

ρa(bǔ)——孔隙氣的密度/（kg·m-3）。

毛細(xì)水相微元體的力平衡微分方程：

式中：uw——毛細(xì)水壓強(qiáng)/kPa；

ρw——毛細(xì)水的密度/（kg·m-3）。

廣義土骨架相微元體的力平衡微分方程：

分開考慮孔隙氣壓強(qiáng)和毛細(xì)水壓強(qiáng)作用下廣義土骨架相微元體的受力情況，結(jié)合式（3）—（7），可以計(jì)算得：

將孔隙氣相、毛細(xì)水相和廣義土骨架相微元體的平衡微分方程式（9）—（11）疊加并考慮到以下條件：

3 有效應(yīng)力方程的驗(yàn)證

3.1 驗(yàn)證思路

本次將從抗剪強(qiáng)度的角度驗(yàn)證有效應(yīng)力式（13）。在Mohr-Coulomb準(zhǔn)則框架下，基于有效應(yīng)力式（13），破壞面上的抗剪強(qiáng)度式可表示為：

式中： τf——破壞面上的抗剪強(qiáng)度/kPa；

c'——飽和土的有效內(nèi)黏聚力/kPa

φ'——飽和土的有效內(nèi)摩擦角/（°）。

有效應(yīng)力式（13）的驗(yàn)證問題轉(zhuǎn)變?yōu)榭辜魪?qiáng)度式（14）的驗(yàn)證問題。為了驗(yàn)證式（14），首先需要確定計(jì)算毛細(xì)水有效飽和度的方法?？疾斓谋磉_(dá)式（7），改寫為如下形式：

式中：Vaw——吸附水的體積/m3；

Vv——孔隙的體積/m3，Vv=Va+Vcw+Vaw；

Scw——毛細(xì)水的飽和度；

Saw——吸附水的飽和度。

根據(jù)式（15）可知，當(dāng)毛細(xì)水和吸附水的飽和度隨基質(zhì)吸力的變化規(guī)律明確以后，隨基質(zhì)吸力的變化規(guī)律即可相應(yīng)地明確。為此，本文采用了Lu[21]建立的持水特征曲線（SWRC）模型。該模型不僅可以分別量化毛細(xì)水和吸附水的飽和度隨基質(zhì)吸力的變化規(guī)律，而且也可以考慮空化效應(yīng)（cavitation）對持水行為的影響，所以其在物理機(jī)制上更為合理。這意味著通過Lu[21]的SWRC模型計(jì)算的具有更高的精度，該模型的基本思想包括3 個方面：

①非飽和土的飽和度可分為毛細(xì)水的飽和度和吸附水的飽和度：

式中：S——非飽和土的飽和度；

ψ——基質(zhì)吸力/kPa。

②毛細(xì)水SWRC方程為：

式中： ψcav——平均空化基質(zhì)吸力/kPa；

α——進(jìn)氣值的倒數(shù)/kPa-1；

n——與孔隙尺寸分布相關(guān)的參數(shù)；

erf( )——誤差函數(shù)。

③吸附水SWRC方程為：

式中：Saw0——基質(zhì)吸力為1 kPa時吸附水的飽和度，即吸附水飽和度的最大值；

ψd——烘干狀態(tài)對應(yīng)的基質(zhì)吸力，即基質(zhì)吸力的最大值，取為106kPa；

l——與吸附作用程度有關(guān)的參數(shù)。

考慮到砂土和一部分粉土試驗(yàn)數(shù)據(jù)難以有效地評價不同抗剪強(qiáng)度公式的優(yōu)劣[27-28]，本文從現(xiàn)有文獻(xiàn)[29]中選取了一組重塑粉質(zhì)黏土（成分為20%的Speswhite高嶺土、10%的倫敦黏土和70%的HPF4 硅微粉）的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)既包含一組廣吸力范圍內(nèi)的SWRC數(shù)據(jù)，也包含5種不同圍壓（0，50，100，200，400 kPa）下的抗剪強(qiáng)度數(shù)據(jù)，這為式（14）的驗(yàn)證提供了較為全面和可靠的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。另外，為了全面地評價抗剪強(qiáng)度式（14）的有效性和合理性，在此也給出了其它2 種通用的抗剪強(qiáng)度公式[10,12]：

式中：Se——非飽和土的有效飽和度；

Sres——?dú)堄囡柡投取?/p>

飽和度S、Se和Sres的值均由VG模型確定。

3.2 驗(yàn)證結(jié)果

圖5（a）顯示了VG模型和Lu[21]模型關(guān)于重塑粉質(zhì)黏土SWRC數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果。從圖中可以看出，2種模型對實(shí)測數(shù)據(jù)均具有較好的擬合結(jié)果，其中VG模型的擬合相關(guān)系數(shù)R2=0.990 5，Lu[21]模型的擬合相關(guān)系數(shù)R2=0.990 8。當(dāng)基質(zhì)吸力超過28 MPa時，VG模型預(yù)測的飽和度隨基質(zhì)吸力的增加基本保持不變，Lu[21]模型預(yù)測的飽和度隨基質(zhì)吸力的增加緩慢減小，直至基質(zhì)吸力達(dá)到最大值106kPa?，F(xiàn)有的實(shí)測數(shù)據(jù)[21,30]表明：在高吸力階段，隨著基質(zhì)吸力的增加，飽和度仍然會不斷減小。這就意味著Lu[21]模型更符合實(shí)際的物理過程。

圖5 兩種SWRC模型的擬合結(jié)果Fig.5 Fitting results of two SWRC models

圖5（b）顯示了Lu[21]模型分解為毛細(xì)水SWRC和吸附水SWRC的結(jié)果。從圖中可以看出，對于毛細(xì)水SWRC而言，隨著基質(zhì)吸力的增加毛細(xì)水飽和度先大致保持不變；當(dāng)基質(zhì)吸力達(dá)到800 kPa左右（即進(jìn)氣值附近）時，毛細(xì)水開始從土體孔隙中迅速排出，毛細(xì)水飽和度相應(yīng)地迅速減??；當(dāng)基質(zhì)吸力達(dá)到4 900 kPa左右（即平均空化基質(zhì)吸力附近）時，毛細(xì)水會發(fā)生空化現(xiàn)象。隨著基質(zhì)吸力的進(jìn)一步增加，空化現(xiàn)象會不斷地進(jìn)行。當(dāng)基質(zhì)吸力達(dá)到10 MPa附近時，毛細(xì)水飽和度將趨近于0。然而，由于現(xiàn)有的SWRC模型[14,31]未能較好地考慮毛細(xì)水的空化現(xiàn)象，從而導(dǎo)致高吸力階段毛細(xì)水飽和度普遍被高估。對于吸附水SWRC而言，當(dāng)基質(zhì)吸力小于4 900 kPa時，吸附水飽和度隨基質(zhì)吸力的增加基本保持不變；當(dāng)基質(zhì)吸力大于4 900 kPa時，吸附水飽和度開始迅速減小。當(dāng)基質(zhì)吸力進(jìn)一步增加至43 MPa時，吸附水飽和度開始緩慢減小，直至基質(zhì)吸力達(dá)到最大值106kPa。

圖6顯示了不同凈圍壓下重塑非飽和粉質(zhì)黏土的實(shí)測抗剪強(qiáng)度及3種抗剪強(qiáng)度公式，見式（14）（19）（20），的預(yù)測結(jié)果。從圖中可以看出，對于實(shí)測抗剪強(qiáng)度而言，在相同的凈圍壓下，重塑粉質(zhì)黏土的抗剪強(qiáng)度隨基質(zhì)吸力的變化規(guī)律大致可以分為4 個階段：①抗剪強(qiáng)度快速增加階段，此階段的基質(zhì)吸力范圍約為0～500 kPa（近似飽和階段）；②抗剪強(qiáng)度緩慢增加階段，此階段的基質(zhì)吸力范圍約為500～900 kPa；③抗剪強(qiáng)度的峰值階段，此階段的基質(zhì)吸力約為1 000 kPa；④抗剪強(qiáng)度下降階段，此階段的基質(zhì)吸力超過1 000 kPa。與此同時，在相同的基質(zhì)吸力下，重塑粉質(zhì)黏土的抗剪強(qiáng)度隨凈圍壓的增加而增加。對于重塑粉質(zhì)黏土的抗剪強(qiáng)度隨基質(zhì)吸力和凈圍壓的變化規(guī)律，現(xiàn)有的2 種抗剪強(qiáng)度公式，式（19）（20），未能很好地預(yù)測這種變化規(guī)律，但是本文提出的抗剪強(qiáng)度式（14）較好地預(yù)測了這種變化規(guī)律（圖6）。

圖6 不同凈圍壓下重塑非飽和粉質(zhì)黏土的3種抗剪強(qiáng)度公式的預(yù)測結(jié)果Fig.6 Predictions of three shear strength equations for a reconstituted unsaturated silty clay under different net confining pressures

與式（14）相比，式（19）（20）在基質(zhì)吸力超過500 kPa時嚴(yán)重地高估了重塑粉質(zhì)黏土的抗剪強(qiáng)度，其中式（19）的高估程度更甚。這主要是因?yàn)楫?dāng)基質(zhì)吸力超過500 kPa時，有效應(yīng)力參數(shù)的大小會顯著地影響有效應(yīng)力和抗剪強(qiáng)度的大小。由于式（19）采用了飽和度S作為有效應(yīng)力參數(shù)，認(rèn)為毛細(xì)水和吸附水均對有效應(yīng)力有貢獻(xiàn)，從而高估了抗剪強(qiáng)度的大小。盡管式（20）通過采用有效飽和度Se分離了部分吸附水，在一定程度上改進(jìn)了式（19），但仍然高估了抗剪強(qiáng)度的大小。這主要是由于有效飽和度Se中引入的殘余飽和度Sres并不能描述吸附水飽和度隨基質(zhì)吸力的變化。與上述不同的是，式（14）采用了毛細(xì)水有效飽和度作為有效應(yīng)力參數(shù)，從而合理地區(qū)分了毛細(xì)水和吸附水對有效應(yīng)力的貢獻(xiàn)，然后借助Lu[21]SWRC模型量化了毛細(xì)水和吸附水飽和度隨基質(zhì)吸力的變化規(guī)律，最后較為準(zhǔn)確地預(yù)測了重塑粉質(zhì)黏土的抗剪強(qiáng)度。

4 結(jié)論

（1）微觀分析表明，非飽和粉土中的孔隙水可分為收縮膜、吸附水和毛細(xì)水。由于收縮膜和吸附水具有類固體的性質(zhì)，它們可以與顆粒骨架組合在一起形成廣義土骨架。因此，非飽和粉土可以用擴(kuò)展的三相孔隙介質(zhì)模型（即孔隙氣、毛細(xì)水和廣義土骨架）表征，其為非飽和粉土有效應(yīng)力方程的推導(dǎo)提供了物理基礎(chǔ)。

（2）通過采用毛細(xì)水有效飽和度，本文推導(dǎo)的非飽和土有效應(yīng)力方程較好地考慮了毛細(xì)水對有效應(yīng)力的影響。借助Lu模型，本文較為精確地確定了毛細(xì)水和吸附水飽和度隨基質(zhì)吸力的變化規(guī)律，這為準(zhǔn)確計(jì)算有效應(yīng)力奠定了基礎(chǔ)。

（3）在不同的凈圍壓下，當(dāng)基質(zhì)吸力超過500 kPa時，現(xiàn)有的2種抗剪強(qiáng)度公式均嚴(yán)重地高估了重塑非飽和粉質(zhì)黏土的抗剪強(qiáng)度。但是，本文提出的抗剪強(qiáng)度公式較好地預(yù)測了不同凈圍壓下重塑非飽和粉質(zhì)黏土的抗剪強(qiáng)度隨基質(zhì)吸力的變化規(guī)律。囿于篇幅，本文僅從不同凈圍壓的角度進(jìn)行了驗(yàn)證。從不同土類的角度進(jìn)行驗(yàn)證將是下一步工作的重點(diǎn)。