朱艷

人類社會發(fā)展到21世紀，已進入了數字時代，人們有了基于AI的測距儀、有刻度的尺子、量角器、功能更豐富的圓規(guī)等繪圖工具，使用計算機作圖、制圖與繪圖等已是一件非常平常的事情。在這樣的數字時代下，很多人認為，已有的很多工具就能很方便地實現作圖，再退一步，我們可以用量角器、有刻度的直尺、三角板、圓規(guī)等作圖豈不是更方便、更準確、更實用嗎？為什么還要退回去，只限定用尺規(guī)作圖，這樣的做法嚴重地脫離了實際，是一種倒退。誠然，在目前的時代下，尺規(guī)作圖已經沒有太多的學術價值，在學術領域，它前途渺茫且窮途末路，但是把尺規(guī)作圖只理解為實際生活中的繪圖、畫圖，我認為是一個比較膚淺的看法。

尺規(guī)作圖，有它自己的“規(guī)矩”，即作圖公法與三條規(guī)約。作圖公法就是使用直尺與圓規(guī)的基本功能，在符合歐幾里得幾何公理的基礎上，完成以下圖形：

（1） 通過兩個已知點，可作一條直線 （圖1）;

（2） 兩條已知直線相交，可作其交點;

（3） 以已知點為圓心，已知長為半徑，可作一個圓;

（4） 已知一直線和一已知圓，可作其交點;

（5） 兩個已知圓相交，可作其交點。

在作圖公法的基礎上，還要有三條規(guī)約，才能是真正的尺規(guī)作圖，規(guī)約如下：

（1） 無刻度的直尺與圓規(guī);

（2） 有限次地使用直尺圓規(guī);

（3） 作出的圖形必須能用邏輯推理的方法證明它的正確性。

作圖公法與規(guī)約就是尺規(guī)作圖的“規(guī)矩”，依據這個“規(guī)矩”，如果在實踐過程中能作出圖形，那么這個圖形就是存在的，如果不能作出圖形，那么這個圖形就是不存的，在現實中的評價只存在哪些可以完成或哪些不能完成，這也是尺規(guī)作圖在現實中的實際意義。但那些不能完成的，也不代表在實現生活中是不存在的，比如，任意角的三等分點，在實際中是存在的，但尺規(guī)作圖就不能辦到。從哲學意義來看，結果僅是條件的產物。

數學史上著名的三大幾何學問題：三等分任意角、倍立方問題和化圓為方。這三個問題從古希臘人開始嘗試解決，即便是阿基米德，也是在有瑕疵的情況下解決了三等分任意角，直到19世紀，萬芝爾才證明了三等分任意角和倍立方問題是尺規(guī)作圖不能解決的問題，因為所求解問題的結果超出了尺規(guī)作圖的數量范圍，也就是沒有有理根;林德曼證明了 e 是超越數的基礎上，證明了 π 也是超越數，從而證明了化圓為方也是尺規(guī)作圖不能解決的問題。從此以后，籠罩在數學家頭上的三大幾何問題才徹底被解決。

幾何作圖留下的三大難題，其實隱藏著一個深刻的本質，也就是怎樣證明某個問題是不可解的，通過對問題不可解的證明的探索，在數學上具有非常重要而影響深遠的價值。假設給出了已知條件，根據條件設法作出圖形，這就是作圖問題。如果能作出圖形，就可以說滿足某種條件的圖形是存在的，在某種意義上說，是證明了事物的存在性，但反過來說，僅用尺規(guī)作不出來的圖形，卻不意味著該對象一定不存在，比如，任意三角形的三等分線是客觀存在的，但作不出來。事情的結果以條件為前提，條件發(fā)生變化，結果的存在性也會發(fā)生變化。如果改變尺規(guī)作圖工具的限制，幾何三大難題變得輕而易舉。

對于在初中階段將要學習平面幾何的學生來說，要想學好這門科學，那么要讓孩子們在小學階段就要適時、適度地引入尺規(guī)作圖，這將能引導小學生有意識地將生活中物品抽象成線條和圓，能處理線條與圓的一些簡單關系，使小學生對幾何有直觀的感覺。將來到初中學習平面幾何時，就會容易得多。

到目前為止，筆者認為尺規(guī)作圖是一種非常簡單易行的數學素質培訓手段，是一種成本低、效益高的手段。它的本質并不在畫圖，而是一種性價比很高，嚴格的邏輯分析與論證的高效訓練，經過這種訓練的人，數學素質將伴隨他的一生，使之成為一個人一生的修養(yǎng)。

數學訓練的核心是什么呢？是一個人面對問題時，能提出解決問題的方案，能將方案模型化、流程化，并能得出這樣解決問題行不行，如果不行，是問題的條件不能滿足結果，還是流程中出現問題，也就是通常所說的邏輯思維能力訓練。通過尺規(guī)作圖，一個人能夠懂得，在某個特定條件下，用正確的邏輯思維推論，將會產生怎樣的結果，不能光靠“拍腦袋”決定一件事情的進行與否，然后再“拍大腿”，光靠“拍腦袋”決定一件事情，對工作與生活會產生很多不利的影響。

一、建立幾何觀念的重要手段;克服學生讀死書的好辦法。

二、使用尺規(guī)作圖，通過幾何圖形學習幾何，用命題解決某些具體問題，還能證明命題的正確性。

三、學生動手操作，具有實踐意義。

四、學生在解題、作圖的過程中，要運用一系列相當復雜的邏輯思維，即猜想、分析、操作、證明、討論等連續(xù)的思維活動。

正確認識尺規(guī)作圖的教育功能，與正確認識數學訓練的功能是一致的，我希望能夠普及這樣一個思想——數學是講究邏輯思維的，經常問一問自己，為什么這樣做？操作步驟是什么？我得到的結果對不對？怎樣驗證我的結果？讓學生親身體驗數學推理的過程能幫助學生形成數學素養(yǎng)。其過程不僅給學生留下的感受是深刻的，更能幫助學生形成數學素養(yǎng)，從分析、猜想、操作、結論到證明結論的正確性，完成一個只屬于操作者個人所獨有的智慧。

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