陳 臣

（安徽省阜陽(yáng)水文水資源局，安徽 阜陽(yáng) 236000）

在適當(dāng)設(shè)計(jì)和建造時(shí)，反弧形溢洪道能夠高效安全地通過(guò)水流，并具有相對(duì)良好的流量測(cè)量能力，在各種情況下可以將其用作排水結(jié)構(gòu)［1］。在設(shè)計(jì)水頭下，反弧形會(huì)在壩頂部分產(chǎn)生接近大氣壓力。在低于設(shè)計(jì)水頭的水頭處，由于壩頂阻力，流量較小。在較高水頭下，流量大于充氣尖頂堰，因?yàn)樨?fù)頂壓會(huì)吸入更多流量。與標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)參數(shù)的偏差會(huì)改變流量特性。溢洪道對(duì)大壩安全起著重要作用［2］，因此在分析溢洪道的影響時(shí)，物理模型得到了廣泛的應(yīng)用［3］。但物理模型所需成本高、時(shí)間長(zhǎng)，原型與模型比例的增加可能會(huì)導(dǎo)致由尺度效應(yīng)引起的誤差嚴(yán)重性增加。因此，數(shù)值建模雖不能用于設(shè)計(jì)的最終確定，但計(jì)算成本較低，具有一定的可取性。

目前，大量研究采用各種數(shù)學(xué)模型和計(jì)算方法來(lái)解決溢洪道上的水流問(wèn)題。該問(wèn)題的主要難點(diǎn)在于從亞臨界流向超臨界流的流動(dòng)過(guò)渡。此外，流量排放是未知的，尤其當(dāng)溢洪道上游的流速水頭是總上游水頭的重要組成部分時(shí)，這一點(diǎn)必須解決。劉夢(mèng)超等［4］通過(guò)應(yīng)用帶有變量代換的解析泛函邊值理論推導(dǎo)出非奇異邊界積分方程，擴(kuò)展了勢(shì)流理論。該方法已成功應(yīng)用于具有自由落差的溢洪道。艾叢芳等［5］將有限元法和有限體積法應(yīng)用于溢洪道流量計(jì)算。結(jié)果表明，該模型可作為溢洪道水力設(shè)計(jì)的主要分析工具。最近，有研究者使用商用計(jì)算流體力學(xué)程序FLOW-3D對(duì)反弧形溢洪道上的流動(dòng)進(jìn)行了研究［6］，該程序可求解雷諾平均方程（RANS方程）。結(jié)果表明，壓力和流量的物理模型和數(shù)值模型之間存在相當(dāng)好的一致性。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 尺度和粗糙度

尺度效應(yīng)的嚴(yán)重性會(huì)隨著原型與模型尺寸比例的增加或同時(shí)復(fù)制的物理過(guò)程數(shù)量增加而增加。通常，明渠水流與水工建筑物之間的穩(wěn)定非均勻流動(dòng)特性可表示為式（1）：

式中 Sw為水面坡度，用百分比表示；So河道底坡度，用百分比表示；h為水深（m）；k為固體邊界粗糙度高度（mm）；V為流速（m/s）；g為重力加速度（m/s2）；υ，ρ，σ分別為水的動(dòng)態(tài)黏度（N·s/m2）、密度（kg/m3）和表面張力（N/m）。式（1）指出水面線用底坡、相對(duì)粗糙度高度、弗勞德數(shù)、雷諾數(shù)和韋伯?dāng)?shù)表示。

在明渠水流和水工建筑物的水力模型中，通常使用弗勞德數(shù)相似性來(lái)實(shí)現(xiàn)幾何相似性（So）。水被用于分析比例模型的流動(dòng)特性，由于水的特性未縮放，因此建模精度會(huì)受到影響。小比例模型可能會(huì)導(dǎo)致無(wú)法模擬流體特性附帶的力，從而表現(xiàn)出與原型不同的流動(dòng)行為。此外，由于實(shí)驗(yàn)材料的限制，無(wú)法準(zhǔn)確再現(xiàn)比例模型的相對(duì)粗糙度高度。

對(duì)于溢洪道的設(shè)計(jì)運(yùn)行范圍，溢洪道頂部的模型流動(dòng)深度應(yīng)至少為75 mm，長(zhǎng)度比例Lr=30～100。表1給出了幾種用于建造水工結(jié)構(gòu)和比例模型材料的粗糙度高度值。

表1 粗糙度高度的近似值

為定量確定尺度和粗糙度效應(yīng)對(duì)模型結(jié)果的影響，本文使用不同表面粗糙度（包括原型）的比例模型，在合理的時(shí)間和成本內(nèi)對(duì)反弧形溢洪道上的流動(dòng)行為進(jìn)行數(shù)值研究。

1.2 反弧形溢洪道

圖1所示為標(biāo)準(zhǔn)反弧形溢洪道（類型1）。流量的經(jīng)驗(yàn)公式如式（2）：

圖1 標(biāo)準(zhǔn)反弧形溢洪道形狀（類型1）

式中 C為流量系數(shù)；Le為橫向波峰長(zhǎng)度（m）；He為總水頭。通常，式（2）需要一個(gè)附加的能量方程和迭代解來(lái)確定流量，因?yàn)樵谟?jì)算流量之前，流速水頭是未知的。由于流速水頭只占總水頭的小部分，因此經(jīng)過(guò)多次迭代后，方程收斂到一個(gè)解。

2 數(shù)值模型

2.1 控制方程和計(jì)算方案

FLOW-3D使用有限體積法來(lái)求解RANS方程，通過(guò)實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)面積或體積障礙表示法來(lái)定義障礙物，給出了不可壓縮流的一般控制RANS和連續(xù)性方程，包括有利變量，如式（3）：

式中 ui為x，y，z方向的對(duì)應(yīng)速度（m/s）；t為時(shí)間（s）；Ai為在下標(biāo)方向開(kāi)放流動(dòng)的分?jǐn)?shù)面積；VF為每個(gè)單元中流體的體積分?jǐn)?shù)；ρ為密度（kg/m3）；p為靜水壓力（N/m2）；gi為下標(biāo)方向上的重力（N）；fi為雷諾應(yīng)力，閉合時(shí)需要湍流模型。

2.2 數(shù)值模型實(shí)現(xiàn)

二維數(shù)值建模如圖2。為了建模方便，z方向代替圖1中向上的y方向。建模區(qū)域的尺寸為7Hd長(zhǎng)和3Hd高。為了加速收斂到穩(wěn)態(tài)解，采用人工多重網(wǎng)格法。使用初始粗網(wǎng)格快速計(jì)算近似水面和流速。然后，通過(guò)將先前的計(jì)算值內(nèi)插到網(wǎng)格上來(lái)初始化一個(gè)順序更精細(xì)的網(wǎng)格。最終使用正交網(wǎng)格，其中△x為0.01Hd～0.14Hd，△z為0.01Hd～0.04Hd。

圖2 建模區(qū)域的尺寸和邊界條件

為了研究尺度和粗糙度效應(yīng)，在PR00、PR05、PR30上進(jìn)行粗糙度效應(yīng)研究的數(shù)值模擬，在PR05、M50、M100、M200上進(jìn)行尺度效應(yīng)研究。原型反弧形溢洪道一般是混凝土結(jié)構(gòu)，因此其粗糙度高度選擇為0.5mm。為了分析與式（1）中相對(duì)粗糙度高度相關(guān)的粗糙度效應(yīng)，對(duì)液壓光滑表面和3.0mm表面粗糙度高度進(jìn)行數(shù)值模擬。為了分析與式（1）中與雷諾數(shù)和韋伯?dāng)?shù)相關(guān)的尺度效應(yīng)，對(duì)1/50、1/100和1/200比例模型進(jìn)行數(shù)值模擬。在比例模型的建模中，網(wǎng)格分辨率與原型建模一樣保持不變。本文未考慮表面張力效應(yīng)，因此默認(rèn)只有黏度效應(yīng)影響尺度效應(yīng)。

2.3 邊界條件

給定流量的邊界條件如圖2。采用以下邊界條件：上游靜水壓力；下游流出；底部上游被下方障礙物阻擋（無(wú)滑移）；底部下游流出；頂部對(duì)稱。在這種配置下，水流在無(wú)滑移底板和堰及頂部大氣壓力邊界之間從左向右移動(dòng)。無(wú)滑移定義為零切向速度和法向速度。這些邊界條件使用“壁函數(shù)”設(shè)置，即假設(shè)壁附近存在對(duì)數(shù)速度剖面用于計(jì)算壁處的有效剪切應(yīng)力。因此，使用局部雷諾數(shù)和考慮用分流面積算法將壁面剪應(yīng)力施加到堰表面。

上游邊界條件可以用兩種壓力邊界條件之一（靜態(tài)和停滯）計(jì)算。對(duì)于靜水停滯狀態(tài)，pbcs=He且u=0；對(duì)于靜態(tài)狀態(tài)，pbcs=Ho且u≠0。本研究采用靜水停滯條件，原型設(shè)計(jì)水頭為10m。式（2）和能量方程用于確定上游高程水頭和進(jìn)場(chǎng)速度水頭。表2總結(jié)了不考慮壁面摩擦引起能量損失的上游邊界條件。

表2 上游邊界條件和建模時(shí)間

3 結(jié)果

3.1 反弧形溢洪道泄流量

表3總結(jié)了幾種粗糙度高度下溢洪道的單位流量。由表1可知混凝土的粗糙度高度約0.1～3.0mm，因此對(duì)表面粗糙度高度為液壓光滑條件進(jìn)行數(shù)值建模，并對(duì)k=0.5mm和k=3mm進(jìn)行了試驗(yàn)研究。式（2）比較了水位流量的結(jié)果。排放流量隨著表面粗糙度高度的增加而略有下降。由于粗糙度導(dǎo)致最大流量減少率僅0.4%，導(dǎo)致建模結(jié)果高估了式（2）的結(jié)果約2.0%。如果考慮式（2）的簡(jiǎn)單性和適用性，則2.0%的差異是式（2）有用的證據(jù)。

表3 幾種表面粗糙度高度下反弧形溢洪道的單位流量

表4總結(jié)了幾種模型比例下單位排放流量。原型表面粗糙度高度取0.5mm作為混凝土表面粗糙度高度。將幾種模型的表面粗糙度高度調(diào)整為幾何相似性。原型和比例模型的計(jì)算網(wǎng)格也調(diào)整為幾何相似性，以排除不同比例網(wǎng)格中產(chǎn)生的不同數(shù)值誤差。由表4可知，隨著模型與原型的長(zhǎng)度比例增加，排放流量略有下降。在1/200比例模型中，原型最大流量的最大減少率僅0.6%。表明從排放流量角度來(lái)看，因最小化原型導(dǎo)致的雷諾數(shù)失真并不重要。

表4 幾種模型比例下反弧形溢洪道的單位流量

3.2 反弧形溢洪道水面

圖3描繪了3個(gè)不同上游水頭下的反弧形溢洪道水面，以及水道實(shí)驗(yàn)站（WES）的試驗(yàn)結(jié)果。圖3（a）是原型建模結(jié)果，其為液壓光滑表面（PR00）和表面粗糙度k=3.0mm（PR30）。圖3（b）為原型（PR05）和1/200比例模型（M200）溢洪道水面的建模結(jié)果。從圖3可看出，隨著表面粗糙度和模型尺度的變化，水面波動(dòng)幅度很小。因此，可以推斷若僅使用混凝土的一般粗糙度高度，由表面粗糙度引起的數(shù)值誤差很小。從溢洪道水面的角度來(lái)看，模型比例小于100或200，則模型的尺度效應(yīng)出現(xiàn)在可接受的誤差范圍內(nèi)。

圖3 反弧形溢洪道上方水面

3.3 反弧溢洪道頂部的壓力分布

3種不同上游水頭下的反弧形溢洪道壩頂壓力分布如圖4，無(wú)量綱圖中Hp為壓力水頭。圖4（a）是原型的建模結(jié)果，對(duì)比描述了液壓光滑表面（PR00）和表面粗糙度k=3mm（PR30）時(shí)溢洪道上的頂部壓力。圖4（b）為原型（PR05）和1/200比例模型（M200）溢洪道頂部壓力分布的建模結(jié)果。若溢洪道剖面設(shè)計(jì)為自由溢流下推覆體形狀，則設(shè)計(jì)水頭下溢洪道頂部壓力理論上應(yīng)為零。由于溢洪道必須在設(shè)計(jì)水頭以外的水頭下運(yùn)行，因此較低水頭下的壓力會(huì)增加，較高水頭下的壓力會(huì)降低。數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論壓力分布和試驗(yàn)結(jié)果基本一致。即隨著表面粗糙度和模型比例的變化，頂部壓力發(fā)生了微小變化。

圖4 反弧形溢洪道壩頂壓力

3.4 壓力水頭的垂直分布

He/Hd=1.33時(shí)，反弧形溢洪道頂部壓力水頭的垂直分布如圖5。圖5（a）是原型建模結(jié)果，對(duì)比描繪了液壓光滑表面（PR00）和表面粗糙度k=3.0mm（PR30）時(shí)溢洪道上壓力水頭的垂直分布。在波峰軸上游，隨著水流深度的增加，壓力分布一定程度上類似于靜水壓力分布，隨著水流深度接近ho，壓力迅速降低至負(fù)壓。在壩頂軸線下游，當(dāng)溢洪道頂部壓力接近大氣壓時(shí)，壓力分布幾乎與所有深度的大氣壓力一致。隨著溢洪道表面粗糙度變光滑，負(fù)壓會(huì)有所增加，但無(wú)論表面粗糙度如何，壓力分布幾乎相同。圖5（b）為原型（PR05）和1/200比例模型（M200）溢洪道上壓力分布的建模結(jié)果，結(jié)果與圖5（a）相同。He/Hd=1.0和0.5的壓力分布如圖6和圖7，壓力分布的總體趨勢(shì)與圖5一致。

圖6 壓力水頭的垂直分布（He/Hd=1.0）

圖7 壓力水頭的垂直分布（He/Hd=0.5）

3.5 最大速度及其垂直位置

利用速度的垂直分布圖分析研究了任何截面的最大速度及垂直位置。沿x軸任何截面的最大速度如圖8。圖8（a）是原型建模結(jié)果，圖中對(duì)比描繪了液壓光滑表面（PR00）和表面粗糙度k=3mm（PR30）的最大速度。隨著表面粗糙度的增加，最大速度略有下降。隨著上游水頭的增加，最大流速的降低率也增加，即表面粗糙度的影響增加。圖8（b）顯示了原型（PR05）和1/200比例模型（M200）沿軸的最大速度分布。比例模型上的最大速度小于原型上的最大速度，因?yàn)楸壤?yīng)會(huì)因粗糙度效應(yīng)引起類似現(xiàn)象。He/Hd=0.5，1.0，1.33時(shí)，出現(xiàn)最大速度的垂直位置如圖9?？梢钥闯?，當(dāng)上游水頭增加時(shí)，出現(xiàn)最大流速的垂直位置位于較低位置，且該位置隨距溢洪道前端距離呈線性增加。

圖9 最大速度發(fā)生的垂直位置

4 結(jié)語(yǔ)

本文采用CFD模型，在6種試驗(yàn)情況下詳細(xì)研究了反弧形溢洪道流量、水面、頂部壓力等流動(dòng)特性以及考慮模型尺度和表面粗糙度影響下速度和壓力垂直分布。得出結(jié)論：

（1）若僅使用建筑材料的一般粗糙度高度，則由于表面粗糙度引起的數(shù)值誤差不顯著，如果模型比例小于100或200，模型的尺度效應(yīng)出現(xiàn)在可接受的誤差范圍內(nèi)。

（2）以hm作為參考點(diǎn)，參考點(diǎn)以下為原型速度大于比例模型速度，參考點(diǎn)以上相反。粗糙度和尺度效應(yīng)在參考點(diǎn)以下更為嚴(yán)重。

（3）隨著表面粗糙度和模型比例的變化，溢洪道頂部壓力有所不同，但垂直壓力分布幾乎相同。

（4）隨著表面粗糙度和模型比例的增加，任一截面上的最大速度都有所減小。出現(xiàn)最大速度的垂直位置隨著上游水頭的增加而位于較低位置，且與距溢洪道前端距離呈線性增加。