◎謝小兵

(甘肅省天水石馬坪中學(xué)，甘肅 天水 741000)

初中階段的學(xué)生比小學(xué)階段的學(xué)生在解題思路上更加靈活對(duì)于初中學(xué)生心理特點(diǎn)上的變化教師如果能夠加以運(yùn)用，就能夠?qū)W(xué)生的思維進(jìn)行一定程度上的優(yōu)化，更好地培養(yǎng)學(xué)生的解題能力逆向思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中呈現(xiàn)出極大的優(yōu)勢(shì)，數(shù)學(xué)思維要求的就是一種理性思維，所有的思維模式不是正向被推倒就是反向被推倒，所以說(shuō)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中，在答案上沒(méi)有兩面性，但是在題目的思維推導(dǎo)上卻是有多面性，逆向思維就是其中一種

一、逆向思維——逆向判定數(shù)學(xué)知識(shí)定理

在初中數(shù)學(xué)中學(xué)生所接觸到的逆向判定教學(xué)知識(shí)定理是最基礎(chǔ)的反推數(shù)理思維模式在數(shù)學(xué)教學(xué)中，這一領(lǐng)域所涵蓋的內(nèi)容受到了許多教育研究者的重視逆向思維解決數(shù)學(xué)知識(shí)定理有著數(shù)學(xué)特有的抽象性和邏輯性逆向思維對(duì)于現(xiàn)代化教學(xué)有很大價(jià)值

例如，在初中數(shù)學(xué)《平行線的性質(zhì)和平行線的判定》的學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師面臨的教學(xué)難點(diǎn)以及學(xué)生將要掌握的難點(diǎn)就是對(duì)于平行線性質(zhì)定理和判定定理的區(qū)分教師可以將教學(xué)大致分為兩部分，首先，理解和分析“性質(zhì)”和“判定”這兩個(gè)詞的含義平行線的性質(zhì)就是已知兩直線平行的關(guān)系，得出兩角之間的關(guān)系，也就是說(shuō)，性質(zhì)是一種由線定角的過(guò)程如一條直線被平行線所截：(如圖1所示)直線和平行，這兩條直線被所截，產(chǎn)生的角是∠1和∠2，證明∠1=∠2就是平行線的性質(zhì)反過(guò)來(lái)說(shuō)，如果在圖1中，已知的是∠1=∠2，那么,求證∥就是平行線的判定教師利用逆向思維給學(xué)生講解完判定和性質(zhì)的區(qū)別之后，就可以讓學(xué)生學(xué)著在證明題中學(xué)會(huì)運(yùn)用判定和性質(zhì)(如圖2所示)已知∥，∥,求證∠=∠,∠=∠在證明過(guò)程中，已知的是兩直線平行，要判定的是角之間的關(guān)系，也就是說(shuō)，這一題是由線定角，用到的是平行線的性質(zhì)，在已知中，學(xué)生可以提取到的要點(diǎn)是∠+∠=180°，∠+∠=180°，所以，根據(jù)量的等同轉(zhuǎn)換，∠=∠;然后同理就可以證明∠=∠；對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)具有一定的抽象性，其中所包含的數(shù)學(xué)理論知識(shí)很難用生活道理解釋，這就造成學(xué)生很難將數(shù)學(xué)理論運(yùn)用到數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中，逆向思維能夠以一種簡(jiǎn)易的方式進(jìn)行反向解題

圖1

圖2

數(shù)學(xué)理論是抽象的，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題難以用具象的東西解釋清楚，所以開(kāi)發(fā)學(xué)生的逆向思維有助于學(xué)生巧妙解題學(xué)生可以從逆向的角度去理解定理，而避免死記硬背又不會(huì)運(yùn)用的艱難境況突破常規(guī)思維，轉(zhuǎn)換學(xué)習(xí)方法，創(chuàng)新思維能力

二、逆向思維——逆向求解數(shù)學(xué)錯(cuò)題難題

逆向思維是學(xué)生解決問(wèn)題的重要手段，一道題目并不是只能通過(guò)正向思維解決或者只能通過(guò)逆向思維解決，當(dāng)正向思維解題過(guò)程過(guò)于復(fù)雜，可以尋求另一種方式解決問(wèn)題用逆向思維解題，能夠使題目的困難程度大幅度的降低逆向思維的應(yīng)用是將未知的數(shù)已知化，然后利用未知數(shù)求解已知數(shù)看其是否和所給的已知的數(shù)相同，從而理清整個(gè)解題思路，問(wèn)題解決之后，學(xué)生可以將逆向思維正向化，重新求解

例如，對(duì)于初中數(shù)學(xué)一元二次方程的求解問(wèn)題，問(wèn)：有一個(gè)兩位數(shù)，它的十位數(shù)和個(gè)位數(shù)相加和是5，將個(gè)位數(shù)和十位數(shù)對(duì)調(diào)位置之后，原來(lái)的兩位數(shù)與對(duì)調(diào)后新的兩位數(shù)的乘積是736，求原來(lái)的兩位數(shù)是多少？這道題要運(yùn)用一元二次方程求解，設(shè)十位上的未知數(shù)為，個(gè)位上的未知數(shù)是,由已知個(gè)位數(shù)與十位數(shù)相加和是5可以列出第一個(gè)方程+=5，由已知原來(lái)的兩位數(shù)(10+)與對(duì)調(diào)位置后得到的新的兩位數(shù)(10+)的乘積是736,能夠得到第二個(gè)方程(10+)(10+)=736然后連立這兩個(gè)方程求解在求解的過(guò)程中，一些學(xué)生由于計(jì)算能力欠缺，可能會(huì)導(dǎo)致思路是正確的，答案是錯(cuò)誤的這種現(xiàn)象的出現(xiàn)，所以，教師可以提醒一些計(jì)算能力欠佳的學(xué)生，在計(jì)算完之后，可以將已知的和代到題目中，計(jì)算帶入之后加是否等于5？以及(10+)(10+)是否等于736？逆向思維可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)解題思路和方式上的創(chuàng)新對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要作用逆向思維幫助學(xué)生在一定程度上避免了在解題過(guò)程中進(jìn)入思維誤區(qū)還不自知的情況

逆向思維能夠幫助學(xué)生及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤學(xué)生習(xí)慣于從因到果去分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，而這個(gè)果究竟正不正確，是需要學(xué)生謹(jǐn)慎求證的，因而要求學(xué)生學(xué)會(huì)從果到因地去分析數(shù)學(xué)答案是否正確這樣做可以大大降低學(xué)生做題的錯(cuò)誤率，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生解題的耐心和反向思維邏輯能力逆反思可以使學(xué)生從關(guān)注解題本身轉(zhuǎn)向關(guān)注數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練本身，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索心和求知欲，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變成自身的樂(lè)趣

三、逆向思維——逆向解決數(shù)學(xué)證明誤區(qū)

在解證明類題目時(shí)，一些學(xué)生盲目將數(shù)學(xué)中的定理套用在數(shù)學(xué)證明的過(guò)程中，學(xué)生自以為寫(xiě)出來(lái)的證明過(guò)程是正確的，實(shí)則在其中存在著很多漏洞初中數(shù)學(xué)的證明題求解就相當(dāng)于小學(xué)生在做計(jì)算題時(shí)，教師要求學(xué)生在正向計(jì)算的旁邊再進(jìn)行反向的驗(yàn)算一樣所以教師在證明題解答的教學(xué)環(huán)節(jié)中，可以讓學(xué)生利用逆向思維更好的完善數(shù)學(xué)題里存在的證明誤區(qū)這種方式在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中叫作反證法，學(xué)生的正向證明如果是正確的話，那么學(xué)生進(jìn)行證明流程反向推理時(shí)是不會(huì)出現(xiàn)矛盾的，如果在反向證明中出現(xiàn)了矛盾，也就是說(shuō)學(xué)生在證明時(shí)還存在著一些漏洞

例如：如圖3所示，已知正方形中存在一點(diǎn),且∠=∠=15°，證明正方形中所含的三角形是否為等邊三角形？學(xué)生在證明過(guò)程中一定要找到每一個(gè)可以證明的點(diǎn)，避免在做證明題時(shí)出現(xiàn)一種意念證明的現(xiàn)象，就是學(xué)生自以為某個(gè)條件是客觀存在的，所以教師在對(duì)于學(xué)生證明題的訓(xùn)練過(guò)程中，一定要講清楚，每一道題的證明都要有理有據(jù)，有因有果因?yàn)椤?∠=15°，所以=，又因?yàn)樵谡叫沃?，?∠,∠=∠=15°,所以∠=∠,在三角形和三角形中，由于=,∠=∠,=,所以三角形≌三角形，然后就能得出=，且還能計(jì)算出∠=60°，這幾點(diǎn)就可以證明三角形是正三角形在這個(gè)證明環(huán)節(jié)中，證明過(guò)程比較簡(jiǎn)單，但簡(jiǎn)單的證明過(guò)程不代表學(xué)生可以在做題環(huán)節(jié)中將其忽略，證明題對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō)也是一項(xiàng)思維上的挑戰(zhàn)，要求學(xué)生的做題思維不僅僅要靈活還要縝密，學(xué)生在做證明題時(shí)，一定要主動(dòng)挖掘所給的已知條件在證明過(guò)程中的作用，要知道，在一般性的證明題目中，沒(méi)有一項(xiàng)所給的條件可以被學(xué)生在做題過(guò)程中忽略掉，題目中的每一句話都有設(shè)題者的意圖

圖3

以上案例表明，反證法是學(xué)生運(yùn)用逆向思維解決數(shù)學(xué)證明問(wèn)題的一個(gè)具體操作法對(duì)于數(shù)學(xué)能力比較貧乏的學(xué)生而言，學(xué)會(huì)這個(gè)方法能夠清晰地認(rèn)識(shí)到自身思維上的漏洞，避免做題時(shí)盲目自信逆向思維能夠幫助學(xué)生彌補(bǔ)分析漏洞，加強(qiáng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性和思路的清晰性

四、逆向思維——逆向運(yùn)用數(shù)學(xué)公式和運(yùn)算法則

“授人以魚(yú)，不如授人以漁”，初中數(shù)學(xué)中很多公式和運(yùn)算法則其實(shí)都具有雙向性，即是可逆的因此，教師在課堂上不僅要講授數(shù)學(xué)公式的具體運(yùn)用方法，讓學(xué)生將數(shù)學(xué)公式和運(yùn)算法則銘記于心，同時(shí)，還需要要求學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)公式和運(yùn)算法則時(shí)懂得融會(huì)貫通面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以正向操作也可以逆向解決教師要善于找到數(shù)學(xué)運(yùn)用中的典型例子，讓學(xué)生運(yùn)用逆向思維思考逆向思維能夠培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維，因?yàn)閿?shù)學(xué)理論知識(shí)是抽象的，很多數(shù)學(xué)題目的解答難以用具象的東西解釋清楚，所以開(kāi)發(fā)學(xué)生的逆向思維有助于學(xué)生巧妙解題

五、逆向思維——逆向?qū)?shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行二次回顧

在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以先用正向思維解答題目，然后再用逆向思維重新定位題目，這樣就能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行雙重的理解和記憶如學(xué)生在做自己曾經(jīng)做錯(cuò)的題目時(shí)，題目的答案對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是明確的，但是正向的用流程解答題目對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)確實(shí)困難，遇到這種情況學(xué)生可以使用逆向思維倒推正向解題所需要的條件和結(jié)論也就是說(shuō)，如果正向推理題目是一種由因到果的過(guò)程，那么逆向思維下的解題就是一種由果到因的過(guò)程

例如，在學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)等腰三角形這一節(jié)內(nèi)容時(shí)，學(xué)生首先要對(duì)等腰三角形有一定程度的了解等腰三角形是一種特殊形式的三角形，其不僅僅是兩腰、兩底角相等，還具有三線合一的性質(zhì)，不管是在平時(shí)考試中還是在中考中，等腰三角形三線合一的性質(zhì)都是必不可少的重要考點(diǎn)對(duì)于這一知識(shí)點(diǎn)中存在的錯(cuò)題，學(xué)生在整理時(shí)不要一概而論，要進(jìn)行分門(mén)別類，這也是做題上的逆向思維，如這一章的題目可分為三種，第一種考察的是等腰三角形的性質(zhì)，第二種考察的是等邊三角形的性質(zhì)，第三種考察的是垂直平分線的性質(zhì)學(xué)生將自己做錯(cuò)的題劃分到這三大領(lǐng)域，然后對(duì)于同領(lǐng)域的題目進(jìn)行對(duì)比分析，不斷總結(jié)自己對(duì)于這一類型題目的解題技巧

由以上案例表明，逆向思維是一個(gè)幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的好方法數(shù)學(xué)題目就好似有七十二變，但萬(wàn)變不離其宗，任何一道題目都可以追根溯源到課本的概念中概念能夠幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，但同時(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決也有助于學(xué)生對(duì)概念的理解因而，在數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)當(dāng)中，學(xué)生可以多從題目中回顧所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，加深記憶

逆向思維是新課標(biāo)教育理念的有效教學(xué)實(shí)踐，其在教育環(huán)節(jié)中的優(yōu)勢(shì)是在現(xiàn)代教學(xué)成果反應(yīng)中顯而易見(jiàn)的，所以，現(xiàn)代教師還需在逆向思維的教學(xué)方法和教學(xué)流程上不斷做出改變和創(chuàng)新根據(jù)學(xué)生的反映情況和課后效果的展現(xiàn)情況及時(shí)作出應(yīng)對(duì)和改變將逆向思維融入教師的每一節(jié)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)當(dāng)中，將其作為重中之重，讓學(xué)生在平常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，潛移默化地學(xué)會(huì)用逆向思維思考問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)邏輯分析能力，提高思維創(chuàng)新力，為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)添磚加瓦