劉愛華,楊 娜,占 凱,黃 飛,周 焯

(上海無線設(shè)備研究所,上海 201109)

0 引言

多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)雷達(dá)發(fā)射正交波形,在空間實現(xiàn)寬波束覆蓋,在接收端采用匹配濾波實現(xiàn)正交波形分離,形成虛擬通道,提升系統(tǒng)的自由度。MIMO 雷達(dá)通過對虛擬接收通道的回波數(shù)據(jù)進(jìn)行波束形成處理,可進(jìn)行空間同時多波束接收,實現(xiàn)大空域多目標(biāo)測角。利用陣列波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)估計方法,可實現(xiàn)主瓣內(nèi)目標(biāo)角度超分辨處理。相比于陣元數(shù)相同的相控陣?yán)走_(dá),MIMO 陣列雷達(dá)具有更多的接收通道、更大的有效孔徑、更高的測向精度和角度分辨力,因而在波束形成與DOA 估計領(lǐng)域受到廣泛的關(guān)注。

經(jīng)典的陣列DOA 估計方法有兩大類:一類為傳統(tǒng)的子空間方法,典型的為多信號分類(multiple signal classification,MUSIC)算法及其變體,該類算法需要信號有多次快拍,不能處理單次快拍數(shù)據(jù)；另外一類算法為壓縮感知方法,該類算法可以處理單次快拍數(shù)據(jù),其中基于網(wǎng)格的壓縮感知方法存在網(wǎng)格失配問題,而無網(wǎng)格的壓縮感知方法可以避免網(wǎng)格失配問題。

另外,可以通過互質(zhì)陣列提升陣列雷達(dá)的孔徑和陣列自由度。互質(zhì)陣列本質(zhì)上是一種非均勻直線陣列,可將其分解成兩個稀疏均勻直線陣列。稀疏陣列的陣元間距大于工作頻率的半波長,且兩個稀疏均勻直線陣列的歸一化陣元間距互為質(zhì)數(shù)。為了避免稀疏帶來的角度模糊問題,一般利用互質(zhì)空間的解模糊特點實現(xiàn)目標(biāo)角度估計的解模糊。利用互質(zhì)陣列,在使用個陣元的情況下,最多能獲得個自由度。對于一個由個陣元組成的均勻直線陣列,其陣列自由度為1。相比均勻直線陣列,互質(zhì)陣列的自由度得到了較大的提升。另外由于其陣元間距大于半波長,其陣列孔徑更大,角度分辨力更高。

為了進(jìn)一步提升MIMO 雷達(dá)陣列的等效孔徑和自由度,可以在MIMO 雷達(dá)中采用互質(zhì)多載頻模式,通過將MIMO 等效陣列的陣元間距設(shè)置為大于半波長,提升等效陣列的等效孔徑。通過采用互質(zhì)載頻,即發(fā)射的多個載頻歸一化后兩兩互質(zhì),實現(xiàn)角度解模糊處理,同時在互質(zhì)空間形成具有更多等效陣元的虛擬陣列,進(jìn)一步提升MIMO 雷達(dá)的自由度。

本文給出了互質(zhì)多載頻MIMO 雷達(dá)陣列的信號模型與等效陣列DOA 估計方法,并仿真分析了信噪比對互質(zhì)空間DOA 估計精度的影響。

1 互質(zhì)多載頻MIMO 信號模型

1.1 互質(zhì)多載頻MIMO 等效虛擬陣列原理

考慮一個簡單的MIMO 雷達(dá)模型,發(fā)射和接收陣列都為均勻直線陣列,兩個陣列都位于軸上。發(fā)射陣列由個發(fā)射陣元組成,陣元之間的間距為,接收陣列由個接收陣元組成,陣元之間的間距為,其中=。發(fā)射陣列中每個輻射單元都能同時發(fā)射個互質(zhì)載頻f =M f(=1,2,…,),其中M 為兩兩互質(zhì)的整數(shù),為參考頻率。

假設(shè)空域中存在個遠(yuǎn)場非相干目標(biāo),其對應(yīng)的波達(dá)方向角為=[θ],其中矩陣元素θ∈[0,π)(1,2,…,)為目標(biāo)回波與軸正向的逆時針方向夾角,MIMO 發(fā)射和接收陣列模型示意如圖1所示。

圖1 MIMO 發(fā)射和接收陣列模型示意

在MIMO 的發(fā)射陣列端,第個陣元輻射信號s ()(1,2,…,)被同時調(diào)制到個互質(zhì)載頻上,然后通過第個陣元輻射到空間；在接收陣列端,第個接收陣元首先通過混頻濾波,實現(xiàn)個載頻回波的分離,分離后的回波繼續(xù)與個正交參考信號進(jìn)行匹配處理,從而實現(xiàn)個發(fā)射正交回波的分離。接收端的每個接收陣元通過混頻濾波和匹配處理,都可以獲得個等效接收通道,即,接收端共計可以獲得個等效接收通道。傳統(tǒng)的相控陣采用個接收陣元,其自由度為1。采用多載頻MIMO 體制,系統(tǒng)的自由度可以增加到,極大地提高了雷達(dá)的陣列自由度。

通過以上分析可知,對于載頻f ,其接收信號模型為

式中:(f )=[(f ,θ)]是載頻為f 的MIMO等效陣列流型矩陣,其中(f,θ)=(f,θ)?(f,θ)是載頻為f的MIMO 等效接收陣列在θ方向上的陣列導(dǎo)向矢量,(f ,θ)和(f ,θ)分別是發(fā)射陣列和接收陣列在θ方向上的陣列導(dǎo)向矢量,運算符?表示Kronecker 乘積；(f ,)[s (f,)]是個遠(yuǎn)場非相干目標(biāo)在載頻為f 的信號照射下的反射系數(shù)矩陣,其中s (f ,)為第個目標(biāo)的反射系數(shù),T 表示矩陣或者向量的轉(zhuǎn)置；(f ,)是方差為的高斯白噪聲矩陣。

采用參考頻率對載頻f 進(jìn)行歸一化處理,可以獲得載頻f 的等效接收陣列的陣元位置集合

式中:M =f /為一個與載頻和參考頻率相關(guān)的固定常數(shù)。通過分析式(2)可知,僅僅使用個物理陣元就能獲取一個孔徑大小為M [(1)+(1)]=M M Nd的等效虛擬陣列。由于=,載頻f 的等效陣列為一個均勻直線陣列。一般地,設(shè)置=/2,其中為參考頻率對應(yīng)的波長,此時載頻f 的等效陣列為陣元間距為M λ/2的稀疏均勻直線陣列。

利用MIMO 陣列雷達(dá)同時設(shè)置接收陣列陣元間距為發(fā)射陣列天線孔徑,每個載頻f 都可以獲得一個均勻直線等效陣列。該等效陣列單元數(shù)為,陣列導(dǎo)向矢量為

MIMO 等效接收陣列模型如圖2所示。

圖2 MIMO 等效接收陣列模型

1.2 單載頻自相關(guān)互質(zhì)空間等效陣列模型

載頻為f 的等效陣列接收信號矢量(f ,)的協(xié)方差矩陣為

其中

式中:(·)表示數(shù)學(xué)期望；H 表示矩陣共軛轉(zhuǎn)置；R (f)為載頻f對應(yīng)目標(biāo)回波信號的協(xié)方差矩陣；為單位矩陣；σ為第個目標(biāo)在載頻f照射下的回波功率；diag(·)表示對角矩陣函數(shù)。通過對協(xié)方差矩陣R (f )進(jìn)行列向量化,可以獲得互質(zhì)空間接收信號矢量

采用互質(zhì)空間處理,每個載頻可以獲得的等效陣列陣元數(shù)目最大為21,進(jìn)一步提升了系統(tǒng)的自由度。

1.3 多載頻互相關(guān)互質(zhì)空間等效陣列模型

根據(jù)以上分析,對兩個載頻f ,f 的等效陣列的接收信號矢量(f ,),(f ,)求取互協(xié)方差矩陣

其中

式中:為第個目標(biāo)在載頻f,f照射下的回波信號的互協(xié)方差矩陣。通過對協(xié)方差矩陣(f ,f )進(jìn)行列向量化,可以獲得互質(zhì)空間接收信號矢量

由于MIMO 系統(tǒng)采用了個互質(zhì)載頻,M ,M 兩兩互質(zhì),可最大程度減少重合位置。利用個互質(zhì)載頻,共計形成(-1)/2個互質(zhì)載頻組合,可以獲得的互質(zhì)空間等效陣列的最大自由度,即等效陣列的陣元數(shù)滿足

例如,取3,2,3,3,4,5時,MIMO 等效接收陣列的陣元數(shù)為6,多載頻互質(zhì)空間等效陣列的陣元數(shù)39,進(jìn)一步提高了MIMO 系統(tǒng)的陣列自由度。圖3給出了各種等效接收陣列陣元位置,其中歸一化位置因子=/2。圖3(a)為MIMO 等效接收陣列陣元位置集合,表明每個載頻的等效陣列均為稀疏均勻陣列,單獨對各個載頻的接收信號進(jìn)行DOA估計將存在空間角度模糊問題。圖3(b)和圖3(c)分別為多載頻自相關(guān)及互相關(guān)等效稀疏非均勻直線陣列陣元位置集合,表明互質(zhì)空間的等效陣列為稀疏非均勻直線陣列。該類陣列可以看作一個均勻直線陣列的子陣列,由于其內(nèi)部存在不大于半波長的陣元間距,可以實現(xiàn)目標(biāo)的無模糊角度估計。

圖3 MIMO 等效接收陣列模型

2 多載頻互質(zhì)空間DOA 估計

2.1 稀疏非均勻直線陣列單快拍DOA估計

通過以上分析可知,單載頻自相關(guān)等效接收陣列和多載頻互相關(guān)等效陣列的信號模型都為單快拍稀疏非均勻陣列接收信號模型。適應(yīng)單次快拍的DOA 估計方法主要有前后向平滑(forwardbackward spatial smoothing,FBSS)方法、基于網(wǎng)格劃分的壓縮感知(compressive sensing,CS)方法以及無網(wǎng)格壓縮感知(off-grid CS)方法。

FBSS方法只能利用稀疏非均勻等效陣列中的均勻子陣列部分,一方面使用的有效口徑受限,角度分辨力差；另一方面,可用的陣列單元數(shù)少,不能充分利用等效陣列的孔徑和自由度。

基于網(wǎng)格劃分的壓縮感知DOA 估計方法,如基追蹤(basis pursuit,BP)方法、正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)方法等,不需要進(jìn)行空間平滑處理,不受陣列形式限制,可以充分利用等效陣列的孔徑和陣列自由度。但是該類算法需要對角度空間進(jìn)行網(wǎng)格劃分,同時假定目標(biāo)的來波方向位于預(yù)先劃分的網(wǎng)格上,受限于壓縮感知的有限等距性質(zhì)(restricted isometry property,RIP),網(wǎng)格的間隔不能太小,當(dāng)目標(biāo)不在網(wǎng)格上時,該類方法存在網(wǎng)格失配問題,其角度估計精度受限。

無網(wǎng)格壓縮感知方法利用原子范數(shù)模型,不需要進(jìn)行網(wǎng)格劃分,從而解決了網(wǎng)格失配問題。該方法利用原子范數(shù)的最小化條件,將元均勻直線陣列單快拍DOA 估計問題轉(zhuǎn)換成半正定規(guī)劃(semidefinite programming,SDP)問題。其優(yōu)化模型為

式中:max(·)為取最大值函數(shù)；Re(·)為取實部函數(shù)；為待優(yōu)化的參數(shù)向量；為等效陣列單次快拍數(shù)據(jù)；為待優(yōu)化的矩陣；Q 為矩陣的第行第列元素。

其中

式中:,r 為求根多項式系數(shù)。通過求解()0,獲取單位圓內(nèi)部最靠近單位圓的個根,就能獲得目標(biāo)的DOA 估計值。

對于非均勻稀疏陣列,可將其看作均勻直線陣列的一部分,并對其空缺的位置進(jìn)行置零處理。此時的優(yōu)化模型可以改成

式中:為待優(yōu)化的參數(shù)向量中缺失位置對應(yīng)的元素。

采用與式(16)中同樣的方式,可以求取稀疏非均勻直線陣列的個目標(biāo)的DOA 估計值。

2.2 互質(zhì)多載頻等效陣列DOA估計

單個載頻f 的自相關(guān)等效陣列接收信號(f )和載頻f ,f 的互相關(guān)等效陣列接收信號(f ,f ),均可用無網(wǎng)格壓縮感知算法進(jìn)行DOA 估計。由于自相關(guān)等效陣列中陣元間距大,容易產(chǎn)生角度模糊問題。同時利用自相關(guān)等效陣列和互相關(guān)等效陣列接收的信息,可以消除空間模糊,同時提升DOA 估計性能。文獻(xiàn)[8]采用了塊壓縮感知方法對所有的等效陣列進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化求解,利用頻率之間的聯(lián)合稀疏特性提高DOA估計性能。這種方法主要的缺點是運算量大,存在網(wǎng)格失配問題。

為了解決分塊壓縮感知的網(wǎng)格失配問題,對稀疏非均勻直線陣列無網(wǎng)格壓縮感知DOA 估計算法進(jìn)行了拓展,提出一種多載頻聯(lián)合無網(wǎng)格壓縮感知DOA 估計算法。其基本思路如下:首先利用稀疏非均勻直線陣列無網(wǎng)格DOA 估計方法中的優(yōu)化步驟,求取所有自相關(guān)等效陣列和互相關(guān)等效陣列的參數(shù)向量,分別構(gòu)建對應(yīng)的求根多項式；再對所有的求根多項式求和,并對求和后的多項式進(jìn)行求根處理,獲取單位圓內(nèi)部最靠近單位圓的個根,最終獲得目標(biāo)的DOA 估計值。

由于每個稀疏非均勻直線陣列的陣元數(shù)目不一樣,有效孔徑不一致,其求得的參數(shù)向量的階數(shù)不同,不能直接對多項式進(jìn)行求和處理。此時可將所有的等效稀疏非均勻直線陣列看成同一個均勻直線陣列的子陣列,在此基礎(chǔ)上重新構(gòu)建優(yōu)化函數(shù),使得各個陣列對應(yīng)的優(yōu)化參數(shù)具有相同的階數(shù),從而實現(xiàn)求根多項式的有效求和。采用與式(14)中同樣的方式,可以求取稀疏非均勻直線陣列的個目標(biāo)的DOA 估計值。

2.3 仿真分析

通過仿真驗證所提方法的有效性。設(shè)MIMO 雷達(dá)的發(fā)射陣列陣元數(shù)3,接收陣列陣元數(shù)2,互質(zhì)載頻數(shù)=3,且3,4,5。所得到的3個自相關(guān)等效稀疏非均勻直線陣列陣元位置集合如圖3(b)所示,得到的3個互相關(guān)等效稀疏非均勻直線陣列陣元位置集合如圖3(c)所示。設(shè)置空域中6個遠(yuǎn)場非相干源,對應(yīng) 的DOA 為[-60.3°,-36.2°,-12.1°,12.5°,36.5°,60.2°]。通過300次蒙特卡羅試驗計算不同信噪比條件下的DOA 估計均方根誤差,對比塊壓縮感知方法和本文方法的性能。塊壓縮感知方法采用的角度網(wǎng)格間距為0.2°,仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 測角均方根誤差隨信噪比變化對比

由圖4可知,受限于網(wǎng)格失配,當(dāng)信噪比較大時,塊壓縮感知方法的測角均方根誤差隨信噪比增大降低較慢,而本文方法的測角均方根誤差隨著信噪比增大穩(wěn)定降低。在相同信噪比條件下,本文方法的測角精度更高。

3 結(jié)論

本文研究了互質(zhì)多載頻MIMO 雷達(dá)的DOA估計方法,并利用蒙特卡羅統(tǒng)計法仿真分析了基于無網(wǎng)格壓縮感知的互質(zhì)多載頻等效陣列DOA估計方法的角度估計精度和通道信噪比的關(guān)系。研究表明:采用無網(wǎng)格壓縮感知方法,可以充分利用互質(zhì)多載頻MIMO 雷達(dá)等效陣列的陣列孔徑和自由度,同時可以避免塊壓縮感知所受網(wǎng)格失配的影響,可明顯改善DOA 估計精度。