許 彬

(江蘇省蘇州中學(xué)園區(qū)校 215021)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)(2011年版)》)指出：推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式[1]．推理能力是學(xué)生適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需求的關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)課程和數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是以“做”為支架，學(xué)生運(yùn)用相關(guān)實(shí)驗(yàn)工具，通過(guò)實(shí)際操作、提出猜想、驗(yàn)證結(jié)論，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的思維活動(dòng)．在實(shí)驗(yàn)活動(dòng)過(guò)程中，學(xué)生使用合情推理作歸納、類比、猜想，并用演繹推理給予證明，因此數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為學(xué)生推理能力發(fā)展提供適宜的問(wèn)題情境，給推理能力發(fā)展足夠的活動(dòng)空間和機(jī)會(huì)，它是一種發(fā)展學(xué)生推理能力的有效方式．在蘇州市第5屆數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)專題活動(dòng)中，筆者基于發(fā)展學(xué)生推理能力設(shè)計(jì)并執(zhí)教了“探究圓心運(yùn)動(dòng)路徑問(wèn)題”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，本文筆者以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考作例析，以饗讀者．

1 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)與分析

1.1 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)目標(biāo)

(1)經(jīng)歷數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，探究圓在圖形內(nèi)、外滾動(dòng)時(shí)，圓心經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

(2)在操作、觀察、猜想、歸納中發(fā)展合情推理能力，經(jīng)歷計(jì)算、證明等實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，發(fā)展演繹推理能力．

(3)通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)文化．

1.2 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)準(zhǔn)備

授課對(duì)象是九年級(jí)學(xué)生，已經(jīng)學(xué)完江蘇科技版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)全部?jī)?nèi)容，全班共分6個(gè)小組，每組7人，教學(xué)時(shí)長(zhǎng)45分鐘．每組已準(zhǔn)備的實(shí)驗(yàn)工具有：半徑1 cm的塑料圓片1個(gè)；半徑3 cm的圓圈1個(gè)；邊長(zhǎng)4 cm的正方形框架1個(gè)；邊長(zhǎng) 6 cm的正三角形框架1個(gè)；萬(wàn)花尺一套；五彩筆1盒；尖頭細(xì)木棒1根；炫彩紙4張；三角尺1副，量角器、圓規(guī)各1個(gè)．

1.3 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)設(shè)計(jì)與分析

實(shí)驗(yàn)1：探究?jī)?nèi)滾圓的圓心路徑長(zhǎng)

(1)圓與圓內(nèi)切時(shí)圓心運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)

①操作與計(jì)算：將筆尖插入小圓片的圓心，如圖1使小圓沿著圓圈內(nèi)滾一周，圓心O運(yùn)動(dòng)的路徑是多長(zhǎng)？

圖1

②猜想并驗(yàn)證：若⊙O的半徑為r，⊙O′的半徑為R，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是多少？

設(shè)計(jì)分析九年級(jí)學(xué)生已學(xué)完圓的知識(shí)，實(shí)驗(yàn)(1)對(duì)于他們來(lái)說(shuō)比較容易，開始的低起點(diǎn)能使學(xué)生快速融入課堂．從猜想到驗(yàn)證，合情推理和演繹推理依次訓(xùn)練．

(2)圓與正多邊形“內(nèi)切”時(shí)圓心運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)

①操作與驗(yàn)證：將筆尖插入小圓片，如圖2放在邊長(zhǎng)為4 cm的正方形框內(nèi)，小圓片與正方形的邊保持相切滾動(dòng)一周，求點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)并予以驗(yàn)證．

圖2 圖3 圖4

②類比與思考：若將①中的小圓片放在邊長(zhǎng)為6 cm的正三角形框內(nèi)，如圖3小圓片與正三角形的邊保持相切滾動(dòng)一周，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是多少？若框架是邊長(zhǎng)6 cm的正六邊形呢？

③猜想與歸納：若半徑為r的⊙O在邊長(zhǎng)為a(a>2r)的正n邊形內(nèi)，如圖4小圓片與正n邊形的邊滾動(dòng)一周，先猜想點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)，再歸納出一般結(jié)論．

圖5 圖6

圖7 圖8

實(shí)驗(yàn)2：探究多邊形外滾圓的圓心運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)

(1)操作與觀察：借助兩圓外切的概念(圖9)將筆尖插入小圓片，放在邊長(zhǎng)4 cm的正方形框外部，如圖10，沿著正方形邊框滾動(dòng)一周，此時(shí)圓心O運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是多少？

圖9 圖10

(2)類比與思考：如圖11，小圓片在△ABC外沿著邊滾動(dòng)一周，若△ABC的周長(zhǎng)是12 cm，類比(1)畫圖并求圓心O運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．

圖11 圖12

(3)猜想與驗(yàn)證：如圖12，半徑為r的⊙O在多邊形外部沿著多邊形的邊滾動(dòng)一周，若多邊形周長(zhǎng)是C，試問(wèn)圓心O運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是多少？請(qǐng)猜想并驗(yàn)證.

圖13 圖14 圖15

實(shí)驗(yàn)3：實(shí)驗(yàn)之美

圖16中是一副萬(wàn)花尺，將筆尖插入小孔，使小尺在大尺內(nèi)、外滾動(dòng)起來(lái)，交流、展示筆尖的運(yùn)動(dòng)路徑圖案．

圖16 圖17

設(shè)計(jì)分析該活動(dòng)與實(shí)驗(yàn)1、2相呼應(yīng)，使學(xué)生體驗(yàn)實(shí)驗(yàn)之美，感受與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)相關(guān)的“繁花曲線”文化．圖17是學(xué)生用竹簽或五彩筆插入萬(wàn)花尺，可在白紙或炫彩紙上畫出如圖18、19的美麗圖案．同時(shí)教師向?qū)W生介紹“繁花曲線”的創(chuàng)作人楊秉烈先生，講述他發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)作的經(jīng)歷，激勵(lì)學(xué)生要善于發(fā)現(xiàn)，勇于創(chuàng)新．

圖18 圖19

2 思考

第24屆“國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)”圓桌會(huì)議達(dá)成共識(shí)：“培養(yǎng)學(xué)生的推理能力應(yīng)當(dāng)作為數(shù)學(xué)教育的中心任務(wù)”．《課標(biāo)(2011年版)》把“推理能力”作為10個(gè)核心概念之一，充分體現(xiàn)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的重要意義．

2.1 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為發(fā)展學(xué)生推理能力提供適宜的問(wèn)題情境

該數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)用精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生自主探索數(shù)學(xué)結(jié)論，推理能力在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究中得到鍛煉和發(fā)展．首先，用問(wèn)題情境激發(fā)出學(xué)生的探究興趣和求知欲，如“將筆尖插入小圓片的圓心，使小圓沿著圓圈內(nèi)滾一周”，學(xué)生邊操作邊觀察，邊嘗試邊思考，目的是為了正確得到“圓心O運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)”.一個(gè)個(gè)這樣的問(wèn)題情境貫穿數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)始末，學(xué)生在探究興趣和求知欲的推動(dòng)下主動(dòng)觀察、歸納、猜想、驗(yàn)證，合情推理與演繹推理相互促進(jìn)發(fā)展．其次，用開放性問(wèn)題情境給學(xué)生推理能力發(fā)展留出余地，如“半徑為r的⊙O，在多邊形外部，沿著多邊形的邊滾動(dòng)一周，若多邊形周長(zhǎng)是C，試問(wèn)圓心O運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是多少”、用萬(wàn)花尺畫各種美妙圖案等，這些問(wèn)題情境的結(jié)果都是開放性的、多元的，學(xué)生要經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作和驗(yàn)證才能得出論斷．最后，用可操作性問(wèn)題情境化抽象數(shù)學(xué)知識(shí)為具象，使學(xué)生變“想數(shù)學(xué)”為“做數(shù)學(xué)”，變被動(dòng)接受為主動(dòng)探究，學(xué)生的推理能力和意識(shí)在具象化的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中得到切實(shí)鍛煉．案例中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)設(shè)計(jì)思路如圖20所示．

圖20

2.2 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為發(fā)展學(xué)生推理能力提供豐富的活動(dòng)空間與時(shí)機(jī)