楊文靜，夏建偉

（聊城大學 數(shù)學科學學院，山東 聊城 252000）

眾所周知，大規(guī)模非線性系統(tǒng)通常被視為由許多相互關聯(lián)的子系統(tǒng)組成的系統(tǒng)。由于控制結構的復雜性以及各子系統(tǒng)之間信息交換的局限性，給大規(guī)模非線性系統(tǒng)的控制器設計和穩(wěn)定性分析帶來了很大的困難。為了克服這個困難，在過去的幾十年中，許多學者利用分散自適應技術控制大規(guī)模系統(tǒng)[1-3]。然而該控制方法有一定的局限性，即系統(tǒng)中的不確定非線性函數(shù)要么是參數(shù)未知的線性函數(shù)，要么是已知非線性函數(shù)。為了克服這些限制，文獻[4-6]中利用神經(jīng)網(wǎng)絡或文獻[7-8]中利用模糊邏輯系統(tǒng)來識別未知非線性函數(shù)的自適應分散控制方法得到了廣泛研究。其中，在文獻[8]中，針對一類具有執(zhí)行器故障的非嚴格反饋非線性系統(tǒng)，利用模糊控制構造了一種改進的容錯控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號都是半全局有限時間穩(wěn)定的。

另一方面， 為了有效地節(jié)省通信資源，減輕通信負擔，非線性系統(tǒng)的自適應事件觸發(fā)控制也受到了廣泛的關注。與傳統(tǒng)的時間觸發(fā)控制不同，事件觸發(fā)控制是一種僅在系統(tǒng)需要時才將控制器輸出應用于系統(tǒng)的控制機制。最近，將模糊和神經(jīng)網(wǎng)絡逼近方法與反步技術相結合，針對具有不同觸發(fā)機制的非線性系統(tǒng)，文獻[9-14]提出了一些自適應事件觸發(fā)控制方案。其中，針對具有未建模動態(tài)的隨機非線性系統(tǒng)，文獻[12]提出了一種基于變閾值方案的模糊自適應有限時間事件觸發(fā)控制策略。在文獻[15]中，針對一類不確定嚴格反饋非線性系統(tǒng)，設計了一種新的自適應事件觸發(fā)機制，使控制器和參數(shù)估計器同時觸發(fā)。然而，上述控制方案不能用于控制系統(tǒng)的瞬態(tài)行為和穩(wěn)態(tài)性能。在許多實際應用中，除了跟蹤穩(wěn)定性外，經(jīng)常需要系統(tǒng)的跟蹤性能滿足預定的約束條件，并要求系統(tǒng)達到預期的穩(wěn)態(tài)跟蹤精度。

最近，預定義性能控制(Predefined Performance Control， PPC)技術一經(jīng)在文獻[16]中提出就引起了廣泛關注。預定義性能控制技術通過利用規(guī)定的性能函數(shù)(Predefined Performance Function, PPF)和構造誤差變化來處理預定義的性能約束[15,17–18]。其中，文獻[17]針對一類嚴格反饋系統(tǒng)，提出了一種基于有限時間性能函數(shù)的自適應模糊控制器，該控制器可以確保閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號都有界，并且跟蹤誤差在有限時間內收斂到預定范圍。然而，以上所述的基于PPF的性能控制方法取決于初始條件，這限制了其在實際中的應用。文獻[19]提出了一種漏斗控制方法(Funnel Control)放寬了對初始條件的要求。近年來，利用反步技術，文獻[20-21]中研究了相對度為2的非線性系統(tǒng)的漏斗控制問題，文獻[22-24]研究了相對度大于2的非線性系統(tǒng)的漏斗控制問題。然而，到目前為止，對于大規(guī)模非線性系統(tǒng)的漏斗控制的研究還很少。因此，對于不確定大規(guī)模非線性系統(tǒng)，如何設計控制器，使得跟蹤誤差不僅在預定義的漏斗內演化，而且與初始值無關，是一個值得解決的問題。

基于上述討論，本文研究了一類互聯(lián)大規(guī)模非線性系統(tǒng)的自適應事件觸發(fā)漏斗控制問題。本文的主要貢獻如下:

(1) 與文獻[15, 17-18]中基于PPF的預定義性能控制相比，本文放寬了對初始條件的約束，所提出的漏斗函數(shù)的初始值是無窮大而不是一個有界常數(shù)。

(2) 與文獻[24]的研究相比，本文提出了一種新的障礙Lyapunov函數(shù)來處理漏斗約束，并確保系統(tǒng)的輸出總是在漏斗中演化。

(3) 與文獻[19-23]結果相比，利用神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)、事件觸發(fā)機制和反步技術設計了有限時間事件觸發(fā)控制器，該控制器能有效降低控制器與執(zhí)行器之間的傳輸負擔，并大大節(jié)省通信資源。

1 問題陳述和準備工作

1.1 問題陳述

1.2 準備工作

1.3 漏斗性能

圖1 跟蹤誤差預定性能示意圖Fig.1 A diagram of the prescribed tracking behavior.

為保證跟蹤誤差始終在漏斗內演化，定義障礙函數(shù)為

2 事件觸發(fā)控制器設計

3 穩(wěn)定性分析

定理1 考慮一類具有性能約束的大規(guī)模非線性系統(tǒng)(1),虛擬控制器(27),事件觸發(fā)控制器(29)和自適應律(44)。在假設1和假設2的條件下，可以保證以下性能：

(1) 系統(tǒng)的輸出信號在一定誤差內可以追蹤到參考信號；

(2) 閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號都是半全局一致有界；

(3) 跟蹤誤差的軌跡始終在漏斗內演變。

證明 可以通過以下4個步驟來證明定理的結果。

步驟1 對整個系統(tǒng)構造李雅普諾夫候選函數(shù)為

將式(55)代入式(54)得到

4 仿真

圖2 y i(t)和 y di(t),i=1,2的運動軌跡Fig.2 The trajectories of y i(t) andydi(t),i=1,2

圖3展示了跟蹤誤差ei(t)(i=1,2)的運動軌跡，從圖中可以看出，跟蹤誤差總是在給定的區(qū)域內演化，并且所提出的控制機制放寬了對初始條件的要求。圖4描述了控制器ui(t)(i=1,2)的軌跡。圖5顯示了觸發(fā)間隔tk+1?tk。圖6顯示了自適應率ζ ?i(i=1,2)的運動軌跡。

圖3 跟蹤誤差e i(t),i=1,2的運動軌跡Fig.3 The trajectories of error trackingei(t),i=1,2

圖4 u i(t),i=1,2的運動軌跡Fig.4 The trajectories ofui(t),i=1,2

圖5 u i(t),i=1,2的觸發(fā)時間間隔Fig.5 Trigger time interval ofui(t),i=1,2

圖6 自適應率ζ ?1和 ζ ?2的軌跡Fig.6 The trajectories of adaptive lawsζ ?1a ndζ?2

5 結論

本文研究了一類不確定大規(guī)模非線性系統(tǒng)的分散自適應事件觸發(fā)漏斗控制問題。首先，通過障礙李雅普諾夫函數(shù)變換，遞歸構造了一種新的自適應分散漏斗控制器，以實現(xiàn)給定瞬態(tài)行為的輸出跟蹤。其次，為了解決控制器設計中的互聯(lián)項問題，引入了一個輔助非線性函數(shù)。同時，將命令濾波技術應用到反步設計中，避免了反步過程中的“復雜性爆炸”問題。此外，還設計了一種事件觸發(fā)機制，以減少控制器和執(zhí)行器之間不必要的傳輸，從而提高資源效率。結果表明所提出的控制方案能保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號都是有界的，并且跟蹤誤差總是在漏斗中演化。最后，通過一個數(shù)值系統(tǒng)驗證了該控制方法的有效性。