楊建平

（中國(guó)石油 遼河油田高升采油廠，遼寧 盤(pán)錦 124010）

產(chǎn)量遞減分析作為油氣井地層參數(shù)求取和單井控制儲(chǔ)量計(jì)算的重要方法，在油氣藏儲(chǔ)量評(píng)價(jià)方面具有重要的作用[1-2]。目前，油田上采用最多的產(chǎn)量遞減分析方法包括Blasingame[3]、NPI[4]和A-G法[5]。稠油黏度大，流體流動(dòng)困難，因此稠油的開(kāi)發(fā)一般通過(guò)向儲(chǔ)層注高溫蒸汽（蒸汽泡沫驅(qū)、氮?dú)怛?qū)等）來(lái)降低原油黏度，以提高原油動(dòng)用程度[6-8]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)稠油熱采進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)研究，認(rèn)為稠油受溫度的影響比較顯著，稠油經(jīng)過(guò)高溫加熱之后表現(xiàn)出牛頓流體特征，低溫下表現(xiàn)為非牛頓冪率流體特征[9-10]。同時(shí)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)稠油熱采不穩(wěn)定滲流理論進(jìn)行了大量的研究。國(guó)外學(xué)者C.U.Ikoku等[11]首先研究了非牛頓冪率流體不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行了井底壓力動(dòng)態(tài)分析。國(guó)內(nèi)學(xué)者宋考平等[12]對(duì)稠油熱采水平井和直井不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了大量的研究，分析了不同參數(shù)對(duì)井底壓力動(dòng)態(tài)特征曲線的影響。但是，上述學(xué)者僅僅對(duì)稠油熱采井底壓力動(dòng)態(tài)進(jìn)行了分析，沒(méi)有開(kāi)展NPI和Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析方面的研究。

為了獲得蒸汽吐吞加熱半徑和動(dòng)態(tài)地質(zhì)儲(chǔ)量等參數(shù)，本文以不穩(wěn)定滲流理論為基礎(chǔ)，以蒸汽吐吞稠油熱采為研究對(duì)象，建立牛頓-冪率流體徑向復(fù)合油藏不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型，通過(guò)Laplace積分變換獲得定產(chǎn)生產(chǎn)條件下井底壓力解，通過(guò)定產(chǎn)與定壓之間的關(guān)系，繪制稠油熱采NPI和Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減特征曲線，分析各參數(shù)對(duì)產(chǎn)量遞減特征曲線的影響。

1 物理模型

假定向一口直井注入高溫蒸氣，燜井一段時(shí)間之后開(kāi)井生產(chǎn)。圖1為稠油熱采物理模型示意圖。

圖1 稠油熱采物理模型示意圖Fig.1 Physical model of heavy oil thermal recovery

井位于油藏中心，注入高溫氣體之后，由于內(nèi)區(qū)稠油黏度降低，可以采用牛頓流體描述。因此，采用牛頓-冪率流體徑向復(fù)合模型來(lái)描述稠油熱采物理模型。高溫蒸汽所能波及的半徑為Rm，外邊界封閉，封閉外邊界半徑為Re。流體在儲(chǔ)層中的流動(dòng)滿足等溫滲流規(guī)律，采用Darcy定律來(lái)描述，根據(jù)文獻(xiàn)[11]研究結(jié)果，冪率流體黏度與半徑存在以下關(guān)系：

式中，μa2為外區(qū)冪律流體視黏度，mPa·s；μ*2為外區(qū)冪律流體的特征黏度，mPa·s；rD為儲(chǔ)層任意位置到井筒無(wú)因次距離；RmD為無(wú)因次內(nèi)區(qū)半徑；n為冪律指數(shù)。

2 數(shù)學(xué)模型建立與求解

基于上述物理模型，建立Laplace空間牛頓-冪率流體無(wú)因次不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型及內(nèi)外邊界條件。

加熱區(qū)牛頓流體滲流微分方程：

式（2）?（7）中所用到的無(wú)因次變量定義如下：

式中，k1為內(nèi)區(qū)牛頓流體滲透率，D；k2為外區(qū)冪率流體滲透率，D；rw為井筒半徑,m；Rm為牛頓流體區(qū)域半徑，m；Re為封閉外邊界半徑，m；M12為牛頓流體區(qū)域與冪率流體區(qū)域流度比；η12為牛頓流體區(qū)域與冪率流體區(qū)域?qū)合禂?shù)比；φ1、φ2分別為牛頓流體區(qū)域與冪率流體區(qū)域儲(chǔ)層孔隙度；Ct1、Ct2分別為牛頓流體區(qū)域與冪率流體區(qū)域儲(chǔ)層綜合壓縮系數(shù)，1/MPa；h為儲(chǔ)層厚度，m；B為原油體積系數(shù)，即地下原油體積與地上原油體積之比，m3/m3；qsc為地面油產(chǎn)量，m3/d；s為L(zhǎng)aplace變量。

式（2）和式（3）為v階Bessel方程，方程通解為：

分別將式（8）和式（9）代入式（4）?（7）中，得到4個(gè)線性方程：

式（10）中有4個(gè)未知數(shù)A1、A2、B1、B2，通過(guò)高斯消元法得到系數(shù)A1、A2、B1、B2的值，將得到的系數(shù)返代入式（8），可以得到Laplace空間該模型無(wú)因次井底壓力解。

3 NPI和Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析方法

3.1 NPI現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析方法

如果基于井半徑定義的無(wú)因次時(shí)間與基于井控面積定義的無(wú)因次時(shí)間存在以下基本關(guān)系：

基于上述時(shí)間代換，為了得到稠油熱采A-G現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析曲線，將線性方程式（10）中的代替，即可得到稠油熱采NPI產(chǎn)量遞減分析所用到的井底壓力表達(dá)式：

定義壓力積分函數(shù)：

定義壓力積分導(dǎo)數(shù)函數(shù)：

3.2 Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析方法

Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析曲線所用的時(shí)間為物質(zhì)平衡時(shí)間，Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析方法所用的時(shí)間與無(wú)因次時(shí)間存在以下關(guān)系：

Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析規(guī)整化產(chǎn)量為：

Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析規(guī)整化產(chǎn)量積分及積分導(dǎo)數(shù)定義為：

4 特征曲線及參數(shù)敏感性分析

對(duì)式（11）利用Stehfest數(shù)值反演得到實(shí)空間井底 壓 力 解，再 根 據(jù) 式(17)?（19）得 到NPI和Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析特征曲線，結(jié)果見(jiàn)圖2。

圖2 稠油熱采NPI、Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減特征曲線Fig.2 NPI and Blasingame production decline characteristic curve of heavy oil thermal recovery

由圖2可知，根據(jù)NPI壓力積分及壓力積分導(dǎo)數(shù)曲線特征，該模型NPI和Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減曲線分為4段：第Ⅰ段為牛頓流體徑向流階段，該階段NPI壓力積分導(dǎo)數(shù)曲線呈值為0.5的水平線；第Ⅱ段為牛頓流體-冪率流體過(guò)渡階段，該階段NPI壓力積分導(dǎo)數(shù)曲線呈上翹的直線；第Ⅲ段為冪率流體徑向流階段，該階段NPI壓力積分導(dǎo)數(shù)曲線呈斜率為(1?n)/(3?n)的直線；第Ⅳ段為擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段，該階段NPI壓力積分導(dǎo)數(shù)曲線呈斜率為1.0的直線，Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減曲線呈斜率為?1.0的直線，β曲線呈值為1.0的水平線。從圖2還可以看出，冪率指數(shù)n越大，表明流體流動(dòng)阻力越小，壓力波傳播速度越快，所以冪率指數(shù)n越大，冪率流體徑向流階段NPI曲線越低，擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段開(kāi)始的時(shí)間越早。同時(shí)，冪率指數(shù)n越大，冪率流體徑向流階段Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減曲線越低（見(jiàn)圖2（b））。當(dāng)冪率指數(shù)n為1.0時(shí)，該模型簡(jiǎn)化為常規(guī)徑向復(fù)合油藏模型，冪率流體徑向流階段NPI壓力積分導(dǎo)數(shù)曲線呈值為0.5M2的水平線。

圖3為牛頓流體與冪率流體流動(dòng)區(qū)域流度比對(duì)NPI產(chǎn)量遞減曲線和Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減曲線的影響。從圖3可以看出，流度比越大，冪率流體徑向流動(dòng)階段NPI產(chǎn)量遞減曲線越高，主要是因?yàn)椋毫鞫缺仍酱?，說(shuō)明儲(chǔ)層稠油黏度越大，流體流動(dòng)越困難。因此，牛頓流體與冪率流體區(qū)域流度比越大，NPI產(chǎn)量遞減曲線冪率流體流動(dòng)區(qū)壓力積分曲線越高。流度比越大，冪率流體徑向流動(dòng)階段Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減曲線越高。

圖3 流度比對(duì)NPI、Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減特征曲線的影響Fig.3 NPI and Blasingame production decline characteristic curves are influenced by mobility ratio

5 實(shí)例分析

遼河區(qū)塊一口蒸汽吞吐采油井X，儲(chǔ)層埋藏深度為?1 425～?1 603 m，射開(kāi)儲(chǔ)層厚度為10.4 m，儲(chǔ)層孔隙度為32.2%，直井井筒半徑為0.070 5 m，原油黏度為332.1 mPa·s，體積系數(shù)為0.91，原始?jí)毫?8.171 MPa。該井自投產(chǎn)以來(lái)，單井以定產(chǎn)量2.45 t/d生產(chǎn)，生產(chǎn)一段時(shí)間之后，該井產(chǎn)量開(kāi)始出現(xiàn)遞減。通過(guò)注水蒸汽燜井一段時(shí)間后，產(chǎn)量上升至3.42 t/d。

根據(jù)T.A.Blasingame[3]等的研究，在擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段，壓力重整流量曲線在擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中呈一定斜率的直線，且壓力重整流量與流量重整壓力存在以下關(guān)系：

式中，(pi?pw)qo的倒數(shù)為式（12）有因次形式，通過(guò)無(wú)因次變量定義，不斷地調(diào)節(jié)儲(chǔ)層及外邊界大小等參數(shù)，使理論曲線上下左右移動(dòng)，最終得到擬合效果最好的曲線，在這種擬合曲線下得到的參數(shù)值就是解釋結(jié)果。在同樣的擬合參數(shù)下，將實(shí)測(cè)曲線與NPI理論曲線繪制在一張圖中，通過(guò)微調(diào)各參數(shù)使最終NPI和Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減曲線都達(dá)到很好的擬合效果，即兩種產(chǎn)量遞減曲線起到了相互驗(yàn)證的作用，最終得到最準(zhǔn)確的解釋結(jié)果。曲線擬合之后得到了系數(shù)bo,pss和mo,pss的值，基于該值反算動(dòng)態(tài)地址儲(chǔ)量、儲(chǔ)層滲透率和冪率指數(shù)等參數(shù)。系數(shù)bo,pss和mo,pss的具體表達(dá)式如下：

式中，Bo為原油體積系數(shù)；S為表皮系數(shù)；CA為油藏形狀因子；Boi為原始地層壓力原油體積系數(shù)；N為單井動(dòng)態(tài)控制儲(chǔ)量，t。

最終擬合得到的NPI和Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減曲線如圖4所示。由圖4可以看出，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)匹配效果很好。通過(guò)上述方法，求得X井動(dòng)態(tài)儲(chǔ)量為315.95×104t，冪率指數(shù)為0.2，流度比M12為8，加熱半徑為31.2 m，儲(chǔ)層滲透率為32.1 D，單井控制半徑為500 m。解釋結(jié)果符合當(dāng)?shù)赜吞飳?shí)際情況。

圖4 X井NPI、Blasingame擬合曲線Fig.4 NPI and Blasingame fitting curve of well X

6 結(jié) 論

本文基于不穩(wěn)定滲流理論，建立稠油熱采不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型，分析NPI和Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減積分曲線，得到以下結(jié)論：

（1）稠油熱采NPI和Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減過(guò)程可分為4個(gè)流動(dòng)階段：牛頓流體徑向流階段、過(guò)渡流階段、冪率流體徑向流階段和擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段。擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段NPI積分導(dǎo)數(shù)曲線呈斜率為1的直線，Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減積分導(dǎo)數(shù)曲線呈斜率為?1.0的直線，曲線呈值為1.0的水平線。

（2）冪率流體徑向流階段NPI積分導(dǎo)數(shù)曲線呈斜率為(1?n)/(3?n)的直線，且冪率指數(shù)越大，冪率流體徑向流階段NPI積分及積分導(dǎo)數(shù)曲線越高；流度比越大，NPI積分導(dǎo)數(shù)曲線斜率小于0.5，冪率流體徑向流動(dòng)階段Blasingame現(xiàn)代產(chǎn)量遞減曲線越高。

（3）通過(guò)實(shí)例檢驗(yàn)可知，本文模型和方法可以很好地對(duì)稠油熱采井進(jìn)行單井控制儲(chǔ)量計(jì)算。