高子藝，林昊晟，鐘 奕，王梓旭，李宇軒，桂 容，譚佐軍

(華中農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430070)

雙穩(wěn)系統(tǒng)是一類有代表性的非線性系統(tǒng)，其本身的動力學(xué)行為并不復(fù)雜，但當(dāng)系統(tǒng)中存在如噪聲、混沌等隨機(jī)力時，系統(tǒng)的動力學(xué)行為將變得復(fù)雜. 例如，生物系統(tǒng)中的基因開關(guān)受到內(nèi)部噪聲和外界環(huán)境噪聲等隨機(jī)因素的影響時，開關(guān)時列、開關(guān)時長等是隨機(jī)的，即存在豐富的隨機(jī)現(xiàn)象. 1981年，意大利學(xué)者Benzi等人提出的隨機(jī)共振理論表明：雙穩(wěn)系統(tǒng)、弱周期信號和噪聲三者之間的協(xié)同作用能夠增強(qiáng)微弱信號的檢測能力，該理論改變了傳統(tǒng)噪聲有害的觀點(diǎn)[1-4].

目前，隨機(jī)共振被廣泛應(yīng)用于物理、化學(xué)、生物、社會學(xué)等領(lǐng)域中[5-11]. 在實(shí)際系統(tǒng)中，除了各種噪聲干擾外，還會遇到混沌干擾的情況，如海洋雷達(dá)回波[12]、神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)[13]等. 當(dāng)背景干擾是混沌信號時，雙穩(wěn)系統(tǒng)表現(xiàn)出來的行為與背景干擾是噪聲的情況類似[14]. 除了理論計算、數(shù)值模擬外，采用非線性電路直觀展示及驗(yàn)證非線性系統(tǒng)的動力學(xué)行為，已經(jīng)成為研究非線性系統(tǒng)動力學(xué)行為的重要手段[15-17].

本實(shí)驗(yàn)通過搭建非線性雙穩(wěn)電路來模擬實(shí)際的雙穩(wěn)系統(tǒng)，利用洛倫茲(Lorenz)系統(tǒng)[18-19]產(chǎn)生的混沌信號作為隨機(jī)力來模擬隨機(jī)因素，基于LabVIEW平臺展示了隨機(jī)跳轉(zhuǎn)、混沌共振和非線性混沌現(xiàn)象.

1 數(shù)學(xué)模型

通過非線性雙穩(wěn)電路來模擬雙穩(wěn)系統(tǒng)，采用如下雙穩(wěn)系統(tǒng)模型

(1)

式(1)描述粒子在雙穩(wěn)系統(tǒng)中的狀態(tài).其中，x表示粒子的位置(也可以表示電學(xué)中的電壓或者電流等)，a和b分別為系統(tǒng)線性和非線性系數(shù).立方非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)的勢函數(shù)為

U(x)=-0.5ax2+0.25bx4.

(2)

如圖1所示，系統(tǒng)具有對稱的雙勢阱.以力學(xué)為例，式(1)描述了經(jīng)典粒子在雙勢阱中的過阻尼運(yùn)動.如果沒有外力驅(qū)動，粒子最終會穩(wěn)定在其中1個勢阱中的最低點(diǎn)位置.

圖1 雙穩(wěn)系統(tǒng)的勢函數(shù)

在上述雙穩(wěn)系統(tǒng)中加入隨機(jī)力，受隨機(jī)力驅(qū)動的雙穩(wěn)系統(tǒng)模型為

(3)

其中，ξ(t)為隨機(jī)力，可以是噪聲，也可以是其他偽隨機(jī)信號，如混沌信號等.k為隨機(jī)力強(qiáng)度.在隨機(jī)力作用下，粒子會在其中1個勢阱中振蕩.如果隨機(jī)力足夠大，粒子就會逃逸出當(dāng)前勢阱而進(jìn)入另一個勢阱，在2個勢阱中來回跳轉(zhuǎn)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)隨機(jī)跳轉(zhuǎn).

輸入系統(tǒng)的隨機(jī)力ξ(t)由Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生，Lorenz系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為[18]

(4)

(5)

(6)

其中，u,v,w為系統(tǒng)變量.Lorenz系統(tǒng)描述的是大氣運(yùn)動，u正比于大氣對流運(yùn)動的強(qiáng)度，v正比于上升流和下降流之間的溫度差異，w正比于垂直方向的溫度變化.μ，λ和δ為系統(tǒng)參量，μ為與空氣黏度和熱傳導(dǎo)有關(guān)的常量，λ為與引起對流和湍流有關(guān)的常量，δ為與對流縱橫比有關(guān)的外形因數(shù)參量.

本文實(shí)驗(yàn)中的隨機(jī)力都使用Lorenz系統(tǒng)的u變量，則式(3)可寫為

(7)

此外，基于噪聲驅(qū)動的隨機(jī)共振廣泛應(yīng)用于微弱信號檢測中，在式(7)中加入微弱信號也可以實(shí)現(xiàn)類似于隨機(jī)共振的現(xiàn)象，該現(xiàn)象被稱為混沌共振.

(8)

其中，Acos (2πft)表示弱周期信號，本身不足以驅(qū)動系統(tǒng)發(fā)生跳轉(zhuǎn)；A和f分別表示弱周期信號的振幅和頻率.

2 實(shí)驗(yàn)裝置

模型中的乘法及立方運(yùn)算利用模擬乘法器來實(shí)現(xiàn)，求和及積分運(yùn)算利用運(yùn)算放大器來實(shí)現(xiàn)，這樣Lorenz系統(tǒng)及立方雙穩(wěn)系統(tǒng)可以用模擬電路來實(shí)現(xiàn).

圖2為使用電路仿真軟件Multisim設(shè)計的模塊化混沌共振電路. 整個電路的設(shè)計包含3個模塊：Lorenz系統(tǒng)、信號輸入電路模塊和雙穩(wěn)系統(tǒng). 由Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生混沌信號，由信號輸入電路實(shí)現(xiàn)將混沌信號或由混沌信號和弱周期信號疊加而成的混合信號輸入到雙穩(wěn)系統(tǒng)中，實(shí)現(xiàn)隨機(jī)跳轉(zhuǎn)或者混沌共振.

(a)Lorenz系統(tǒng)

考慮到Lorenz系統(tǒng)的變量強(qiáng)度會超過電路正常工作范圍，所以利用電路實(shí)現(xiàn)Lorenz系統(tǒng)時，不能直接應(yīng)用模型[式(4)～(6)]，需要對模型中的系統(tǒng)變量進(jìn)行適當(dāng)比例的壓縮. 將壓縮比例設(shè)定為10，即(u,v,w)→(10u,10v,10w)，則Lorenz系統(tǒng)方程變換為

(9)

(10)

(11)

同時對Lorenz系統(tǒng)時間尺度t進(jìn)行壓縮，壓縮尺度設(shè)定為103,即t→103t.此外，Lorenz混沌系統(tǒng)參量設(shè)為典型值μ=10，λ=28，δ=8/3.則式(9)～(11)變換為

(12)

(13)

(14)

如圖2中Lorenz系統(tǒng)模塊所示，系統(tǒng)變量的方程為

(15)

(16)

(17)

在圖2仿真電路的基礎(chǔ)上，利用模擬乘法器AD633JN、運(yùn)算放大器AD712JN和AD713JN、電容、電阻等電子元器件可以實(shí)現(xiàn)硬件電路. 弱周期信號的產(chǎn)生以及信號的采集顯示和處理由LabVIEW軟硬件平臺圖形化編程實(shí)現(xiàn). 這樣去掉了函數(shù)信號發(fā)生器和示波器，使得整個儀器裝置小型化，便于攜帶，同時可以實(shí)時處理數(shù)據(jù).

圖3為整體實(shí)驗(yàn)裝置圖. 整體實(shí)驗(yàn)裝置由電源、電路板、NI-9215數(shù)據(jù)采集卡、NI-9263模擬信號輸出卡以及電腦組成. 電路由±15 V直流開關(guān)電源供電，電路上半部分為雙穩(wěn)系統(tǒng)，下半部分為Lorenz系統(tǒng). 弱周期信號通過NI-9263的模擬信號輸出卡產(chǎn)生，觀測信號由NI-9215數(shù)據(jù)采集卡采集(采樣率為105Hz). 基于LabVIEW開發(fā)平臺設(shè)計的圖形化程序如圖4所示.

圖3 整體裝置圖

圖4 LabVIEW開發(fā)平臺程序設(shè)計圖

3 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及數(shù)據(jù)分析

3.1 蝴蝶吸引子

基于Lorenz系統(tǒng)電路，可以觀察混沌現(xiàn)象. 將混沌信號的u和w端接入NI-9215數(shù)據(jù)采集卡，基于LabVIEW開發(fā)平臺圖形化編程可以顯示u和w的時序圖以及李薩如圖(又稱為相圖).如圖5所示，左側(cè)為u和w的時序圖，可以發(fā)現(xiàn)非周期性的混沌信號表現(xiàn)出不可預(yù)測、類似隨機(jī)性的特點(diǎn)；右側(cè)為相圖，顯示出蝴蝶形狀，這就是著名的Lorenz蝴蝶吸引子. 調(diào)節(jié)電阻Rμ，Rλ和Rδ的阻值，改變Lorenz系統(tǒng)參量μ，λ和δ，可以實(shí)時觀察吸引子的變化.

圖5 混沌信號和Lorenz蝴蝶吸引子

3.2 隨機(jī)跳轉(zhuǎn)

圖6 系統(tǒng)的勢阱、隨機(jī)跳轉(zhuǎn)和穩(wěn)態(tài)概率密度分布

對于閾值kc的測量，先調(diào)節(jié)電阻Rk，使得系統(tǒng)處于隨機(jī)跳轉(zhuǎn)狀態(tài)；然后不斷增加Rk，當(dāng)粒子正好不發(fā)生隨機(jī)跳轉(zhuǎn)時，記錄此時的Rk(本實(shí)驗(yàn)電路實(shí)測Rk約為4.21 kΩ)，即可測得閾值kc約為2.38.

圖7和圖8給出了2種情況：kkc時的實(shí)測結(jié)果.

(a)勢函數(shù)

(a)穩(wěn)態(tài)概率密度分布

圖7表示混沌信號的強(qiáng)度較低時的情況，時序圖和概率密度分布圖表明粒子在單勢阱中隨機(jī)振蕩.圖8為混沌信號強(qiáng)度較強(qiáng)時的情況，從時序圖可以看出粒子在2個勢阱之間隨機(jī)跳轉(zhuǎn).由于勢阱是對稱的，因此穩(wěn)態(tài)概率密度分布也近似對稱.

3.3 混沌共振

在系統(tǒng)中加入弱周期信號[式(8)]，可以得到與隨機(jī)共振類似的現(xiàn)象，即混沌共振.這里的弱周期信號強(qiáng)度不足以單獨(dú)驅(qū)動粒子進(jìn)行勢阱之間的跳轉(zhuǎn).固定周期信號的頻率f=10 Hz，測得此電路的振幅閾值A(chǔ)c≈1.95 V.當(dāng)A>Ac時，周期信號可以直接驅(qū)動粒子在雙勢阱中來回振蕩.當(dāng)周期信號較弱(A=0.3 V)時，如圖9所示，調(diào)節(jié)電阻Rk，增強(qiáng)混沌信號強(qiáng)度k，由于混沌信號的振幅遠(yuǎn)大于弱周期信號，混合之后的信號中難以分辨出弱周期信號(圖9左上)，頻譜(圖9右上)也顯示出10 Hz的周期信號淹沒在混沌信號頻譜中. 將混合信號輸入雙穩(wěn)系統(tǒng)，得到的輸出信號顯示出周期性(圖9左下黃色). 對比輸入的弱周期信號(圖9左下白色)和輸出信號，兩者同頻且相位基本保持一致. 頻譜圖顯示輸出信號的主頻為10 Hz.

由于勢阱間的跳轉(zhuǎn)很快，輸出波形類似于方波，所以頻譜圖上也存在較強(qiáng)的高次諧波，例如30 Hz，50 Hz和70 Hz(圖9右下). 相比較原始的弱周期信號，輸出信號振幅大大增強(qiáng). 這表明混沌共振可以將弱周期信號從強(qiáng)的背景混沌信號中檢測出來.

圖9 混沌共振現(xiàn)象的輸入、輸出信號和對應(yīng)的頻譜

使用信噪比來評估系統(tǒng)輸出信號對微弱信號的放大能力.本文通過信號功率Psignal比上噪聲功率Pnoise的對數(shù)來計算信噪比，即

(18)

信號功率定義為

Psignal=|Y(f)|2,

(19)

其中，|Y(f)|為經(jīng)過快速傅里葉變換后得到弱周期信號頻率對應(yīng)的幅值.噪聲功率定義為

(20)

其中，M=5.式(20)的含義為以弱周期信號頻率為中心的附近頻率的平均功率，也就是背景噪聲功率.

利用LabVIEW導(dǎo)出實(shí)測數(shù)據(jù)，可計算出混沌共振輸出信號的信噪比，如圖10所示.

(a)A=0.3 V,f=10 Hz

圖10(a)為固定弱周期信號A=0.3 V，f=10 Hz，得到信噪比RSNR隨混沌信號強(qiáng)度k變化的實(shí)測曲線.隨著混沌信號強(qiáng)度增加，信噪比先是緩慢增加，在k≈2.08處出現(xiàn)明顯減小后急劇增加，之后再減小.圖10(b)則是固定混沌信號強(qiáng)度k=2.22，得到信噪比RSNR隨弱周期信號強(qiáng)度A變化的實(shí)測曲線.隨著弱周期信號強(qiáng)度增加，信噪比先是顯著降低，再急劇增加，之后保持平穩(wěn).

從圖10可以看出在信噪比急劇增加之前出現(xiàn)了跳變情況. 跳變點(diǎn)的時序及對應(yīng)頻譜如圖11和圖12所示.

(a)時序圖

(a)時序圖

從圖11和圖12可以看出，混合輸入信號可以驅(qū)動粒子發(fā)生跳轉(zhuǎn)，但輸出信號與弱周期信號不同步. 顯然輸出信號存在比弱周期信號頻率更低的頻率成分. 從頻譜圖上可看出由于比10 Hz更低的頻率成分占主導(dǎo)，所以信噪比會顯著減小. 混合輸入信號強(qiáng)度在跳變點(diǎn)處于臨界狀態(tài)，當(dāng)混合輸入信號強(qiáng)度小于臨界強(qiáng)度時，不能驅(qū)動粒子跳轉(zhuǎn)；當(dāng)大于臨界強(qiáng)度時，則可以實(shí)現(xiàn)混沌共振.

4 結(jié)束語

基于混沌共振理論，利用Multisim軟件模塊化設(shè)計仿真電路進(jìn)而搭建了實(shí)際電路，用LabVIEW開發(fā)平臺實(shí)時展示Lorenz系統(tǒng)、隨機(jī)跳轉(zhuǎn)和混沌共振. 隨機(jī)共振顛覆了人們長期以來認(rèn)為“噪聲有害”的觀念，能將噪聲變廢為寶，為弱信號探測提供了新的思路. 本裝置有利于對經(jīng)典隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行深入分析與研究，同時也可觀察研究非線性混沌現(xiàn)象，加深學(xué)生對混沌信號的認(rèn)識與理解，提高學(xué)生模塊化設(shè)計和搭建電路的能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性科研思維.