劉新軍

(天津大學 理學院 物理系，天津 300350)

在利用矩形玻璃魚缸制造水三棱鏡觀察彩虹的文章中，分析了春分時節(jié)觀察到彩虹產(chǎn)生的光路[1]. 由計算可知，當太陽高度角為50°，魚缸底面傾角為4.54°時，在距離魚缸5.7 m遠的墻上可以觀察到縱向?qū)挾冗_米量級的鮮艷彩虹(Δλ<2.97 nm)，此時紅光和紫光的出射角分別為79.23°和89.64°(紫光剛好從水面水平出射). 當太陽高度角增大時，魚缸底面傾角需要適當減小，墻上彩虹的縱向?qū)挾炔拍苓_到米量級.

處暑前后，中午時分，透過放在陽臺窗外支架上的魚缸，在室內(nèi)墻上觀察到上、下2級縱向顏色順序一致的艷麗彩虹. 通過改變水深可觀察到3級，甚至4級彩虹，并且總是最下面的彩虹最明亮，往上依次變暗.

為了找到多級彩虹形成的原因，采用底部鋪有亞克力鏡子的魚缸作為主要觀測裝置，改變魚缸底面傾角和水深等實驗參量，結合計算機模擬分析了魚缸中4級彩虹在水面出射的光路，并對其光譜特點進行了解析，獲得了4級彩虹的等效光路圖.

1 觀察到多級彩虹現(xiàn)象的過程描述

觀察到4級彩虹的場景參量如圖1所示,房間長4.5 m，墻高2.5 m. 玻璃魚缸(37.5 cm×26 cm×37.5 cm)內(nèi)盛有3～5 cm深的清水.

圖1 房間、陽臺、凳子、魚缸和彩虹等相對位置示意圖

2021年8月17日，天津地區(qū)的正午太陽高度角α≈63°[2]. 將魚缸放在陽臺窗外的支架上，魚缸長邊平行于陽臺窗戶，近似垂直于太陽入射光線，水深4 cm，水面寬度26 cm，魚缸底面略微傾斜，在室內(nèi)墻上可觀察到2級彩虹[圖2(a)].

8月25日，正午太陽高度角α≈61°[2]. 再次透過魚缸觀察到2級彩虹[圖2(b)]，且每級彩虹的縱向?qū)挾雀鼘?，幾乎達到1 m.

為增強魚缸底面對水中太陽光的鏡面反射，將買來的亞克力軟鏡子裁剪成合適尺寸(長約36 cm，寬約24 cm)，鏡面朝上鋪在魚缸底部，此時可觀察到3級彩虹[圖2(c)].

8月26日，正午太陽高度角α≈60°[2]. 將魚缸放置在陽臺門旁邊的凳子上(見圖1). 魚缸長邊平行于陽臺窗戶，近似垂直于太陽入射光線. 魚缸離墻面的距離L≈4.5 m，凳面距離室內(nèi)地面的垂直高度d≈30 cm，將魚缸略向外傾斜，可觀察到3級彩紅[圖2(d)]. 減小魚缸傾斜角，仍能觀察到3級彩紅[圖2(e)]，但位置略有下移. 用細管向外抽水，降低水面高度，直到露出亞克力鏡子，仍能觀察到3級彩虹[圖2(f)].

(a)2級 (b)2級 (c)3級 (d)3級 (e)3級

9月1日，正午太陽高度角α≈59°[2]. 魚缸重新注入清水，此次只觀察到了2級彩虹[圖2(g)]，觀察不到3級彩虹. 經(jīng)仔細觀察后，發(fā)現(xiàn)水深約5 cm，而水面寬度仍是26 cm，猜想第3級彩虹的出射點可能超出水面寬度，因此觀察不到第3級彩虹.

為驗證猜想，將魚缸在水平面(圖1中xoy面)內(nèi)旋轉(zhuǎn)90°，即魚缸窄邊平行于陽臺窗戶. 此時水深不變，而水面寬度增加到37.5 cm，調(diào)整魚缸傾角，再次觀察到了3級橫向略窄的彩虹[圖2(h)]，驗證了水面寬度影響彩虹級數(shù)的猜想.

將魚缸放回原來位置(即長邊平行于陽臺窗戶)，調(diào)整魚缸傾角，再次觀察到2級彩虹. 保持水面寬度不變，用細管向外抽水減小水深，可觀察到3級彩虹[圖2(i)]；繼續(xù)抽水直到水深約為3.5 cm時，可觀察到4級彩虹[圖2(j)]. 但第4級彩虹顏色暗淡，不易分辨. 該實驗現(xiàn)象說明水深會影響彩虹的級數(shù).

根據(jù)圖2可知，第1級彩虹出現(xiàn)在墻上中間位置，縱向?qū)挾燃s為50 cm，第2級彩虹明顯變窄，縱向?qū)挾燃s為25 cm，其紅光邊緣接近天花板. 第3級和第4級彩虹在天花板上，彩虹縱向?qū)挾认鄬Ω?

2 多級彩虹現(xiàn)象分析

由上文可知，水面深度和寬度均會對彩虹級數(shù)有所影響. 然而，多級彩虹到底來自哪里？經(jīng)過反復實驗，發(fā)現(xiàn)多級彩虹來源于魚缸側面入射的陽光，即用手擋住側水面，4級彩虹同時消失. 因此，判斷多級彩虹是由陽光在水面和鏡面之間多次反射再多次從水面出射引起的.

圖3繪制了太陽光從側水面BC的B點和C點入射的紅(紫)光多次從魚缸水面AB出射的等效光路圖.由于整個側水面BC都有入射太陽光線，且每個點入射的陽光都在墻上形成不同級次的光譜[RLj(PLj),RHj(PHj)分別表示紅(紫)光在室內(nèi)墻上最低和最高投影位置]，這些譜線相互疊加，最后形成了多級彩虹. 下面的計算實例集中分析了9月1日觀察到4級彩虹的情況.

(a) B點入射

2.1 側水面BC入射紅(紫)光的角度分析

9月1日實驗中的太陽高度角α≈59°，魚缸底面傾角θ≈1.8°，陽光從側水面BC入射的入射角i1=α+θ≈60.8°.

2.1.1 紅光分析

紅光(760 nm)在水中的折射率n=1.329[3]，由折射定律可知[4]，BC面上入射紅光的折射角i2=41.1°. 第1次鏡面入射角i31=49.0°，從水里入射到水面的入射角i41=47.2°，紅光在空氣中的折射角，即紅光第1次出射角i51=77.0°. 根據(jù)幾何關系，得到這5個角的關系為：

(1)

紅光第2次鏡面入射角i32=45.4°，比i31小2θ=3.6°，從水里入射到水面的入射角i42=43.6°，比i41小2θ，紅光第2次出射角i52=66.3°，和i42之間符合折射定律.同理，紅光第j次鏡面入射角i3j比i3(j-1)小2θ，從水里入射到水面的入射角i4j比i4(j-1)小2θ，紅光第j次出射角i5j和i4j之間符合折射定律，即通式為：

(2)

其中，j為整數(shù)且j≥2.根據(jù)式(2)可計算得到i53=58.6°，i54=52.0°.

2.1.2 紫光分析

紫光(400 nm)在水中的折射率n=1.343[3]，BC面上入射紫光的各個折射角、反射角和出射角等也符合式(1)和式(2).入射角i1=60.8°，紫光折射角i2=40.6°，第1次鏡面入射角i31=49.5°，從水里入射到水面的入射角i41=47.7°，紫光在空氣中的折射角，即紫光第1次出射角i51=83.1°，根據(jù)式(2)可得i52=69.1°，i53=60.6°，i54=53.7°.其中，i31(紫)-i31(紅)=0.5°，而i51(紫)-i51(紅)=6.1°，根據(jù)文獻[1]可知墻上第1級彩虹的縱向?qū)挾葁較大.隨著彩虹級數(shù)的增加，水面上每級彩虹紫光的出射角i5j(紫)與紅光的出射角i5j(紅)的夾角在逐漸減小，依次為2.8°，2.0°和1.7°，對應墻上彩虹的縱向?qū)挾葁會隨著級數(shù)的增加而減小.

2.2 紅(紫)光從B點入射的光路分析

如圖3(a)所示，陽光從B點入射，經(jīng)鏡面E點反射到達水面F點發(fā)生第1次反射和出射，出射的紅(紫)光投影到室內(nèi)墻上的位置為RL1(PL1)，該位置是第1級彩虹中紅(紫)色的最低點.同理，第j次出射的紅(紫)光投影到墻上的位置RLj(PLj)是第j級彩虹中紅(紫)色的最低點，其中j為整數(shù)且j≥1.

2.2.1j級彩虹中紅色最低點RLj的分析

圖3(a)中從C點到水面AB的垂直距離為最大水深h=3.5 cm.通過幾何推導可知，從B點入射的紅光，在水面第j次出射的位置與B點的距離為：

(3)

其中，m為整數(shù)且m≥1.根據(jù)式(3)，可計算得到1～4級紅光出射所需的水面寬度BRj，如表1所示.由于BRj

假設墻與地面的交點為O(見圖1)，則墻上第j級彩虹中紅色最低點RLj距離地面的高度為

ORLj=d+h+[L+DC(1-cosθ)+

(4)

其中，放置魚缸的凳子高度d=30 cm，魚缸離墻面的距離L=450 cm，魚缸底面寬度DC=26 cm.利用式(4)可計算得到ORLj，如表1所示.其中ORL1,ORL2均小于墻高250 cm，所以在墻上可觀察到第1,2級彩虹的最低點紅色.而ORL3和ORL4均大于墻高250 cm，故只能在天花板上觀察到第3,4級彩虹的紅色.

2.2.2j級彩虹中紫色最低點PLj的分析

如圖3(a)所示，從B點入射的紫光對應的水面出射點也符合式(3)，計算可得紫光出射所需的水面寬度BPj，如表1所示.

表1 陽光從B點或C點入射時，第1～4級彩虹中紅(紫)光的水面出射位置和投影位置

經(jīng)對比，BPj>BRj，即每級紫光的出射點比紅光略微偏左(圖1中y軸負向)，且隨著彩虹級數(shù)的增加，紫光出射點BPj與紅光出射點BRj之間的偏移量也略有增加.例如，第1級彩虹中紫光的出射點BP1比紅光BR1偏左0.14 cm，而第4級彩虹中紫光的出射點BP4比紅光BR4偏左0.39 cm.

將式(4)中的BRj替換成BPj，即可求出PLj距離地面的高度OPLj，如表1所示.其中，當j=1,2時，OPLjOPLj>250 cm.說明第1,2級彩虹的紫色最低點PLj在墻上，且在紅色最低點RLj之下(圖1中z軸負向)；而第3,4級彩虹的紫色在天花板上.

2.3 紅(紫)光從C點入射的光路分析

如圖3(b)所示，陽光從C點入射，經(jīng)多次反射、折射后發(fā)生色散，出射后形成彩虹. 其中，紅(紫)光在第j次出射后投影到墻上的位置RHj(PHj)為第j級彩虹中紅(紫)色的最高點.

2.3.1j級彩虹中紅色最高點RHj的分析

通過幾何推導可知，從C點入射的紅光在水面第j次出射的位置與水面B點的距離為：

(5)

其中，m≥2(m為整數(shù)).根據(jù)式(5)，可計算得到1～4級紅光出射所需的水面寬度CRj，如表1所示.經(jīng)對比，CRj

另外，將式(4)中的BRj替換成CRj，即可求出墻上j(j≥1)級彩虹中的紅色最高點RHj到地面的距離ORHj，如表1所示.其中，當j=1,2時，ORHj<250 cm；當j=3,4時，ORHj>250 cm. 說明第1，2級彩虹的紅色最高點可在墻上觀察到，第3，4級彩虹的紅色只能在天花板上觀察到.

2.3.2j級彩虹中紫色最高點PHj的分析

如圖3(b)所示，從C點入射的紫光經(jīng)多次反射、折射后，對應的出射點位置也符合式(5)，計算可得紫光出射所需的水面寬度CPj，如表1所示.和2.2.2的分析相同，各級彩虹中紫光的出射點比紅光略微偏左，即CPj>CRj，且隨著彩虹級數(shù)的增加，紫光出射點CPj與紅光出射點CRj之間的偏移量也略有增加.

將式(4)中的BRj替換成CPj，即可求出PHj距離地面的高度OPHj，如表1所示.當j=1,2時，OPHjOPHj>250 cm.說明第1，2級彩虹的紫色最高點PHj在墻上，且在紅色最高點RHj之下；而第3，4級彩虹的紫色在天花板上.

2.4 彩虹的特征分析

2.4.1 墻上彩虹的特征分析(上紅下紫)

由表1可知，第1級彩虹中紅色和紫色的最高點與最低點的位置之差分別為：ORH1-ORL1=1 cm，OPH1-OPL1=1 cm.由于側水面BC上每點都有太陽光入射，墻上RH1～PL1范圍內(nèi)的顏色都是疊加而成的，而且在RL1～PH1范圍內(nèi)重疊更多，但每處幾乎都是單色光疊加(Δλ<6.2 nm)，因此第1級彩虹的縱向?qū)挾葁=ORH1-OPL1=53 cm，顏色順序上紅下紫，色彩明艷，與圖2(j)實驗現(xiàn)象一致.

同理，第2級彩虹中紅色和紫色的最高點與最低點的位置之差分別為：ORH2-ORL2=2 cm，OPH2-OPL2=2 cm.故第2級彩虹的縱向?qū)挾葁=ORH2-OPL2=28 cm(Δλ<22 nm)，顏色順序同樣為上紅下紫，不過顏色不如第1級彩虹亮，與圖2(j)所示的實驗現(xiàn)象一致.此外，通過改變魚缸底面傾角θ可以改變投影墻上彩虹的縱向?qū)挾萚1].將θ角從1.5°增加到2.0°，可以觀察到第1級彩虹的縱向?qū)挾葟?1 cm減小到30 cm，第2級彩虹的縱向?qū)挾葟?6 cm減小到27 cm，且墻上彩虹的紅色上邊緣位置均向上移動(圖1中z軸正向).

2.4.2 天花板上彩虹的特征分析(左紫右紅)

表2 1～4級彩虹中紅(紫)光在天花板上的投影位置

3 拓展討論

3.1 水深對墻上彩虹的投影位置、縱向?qū)挾纫约邦伾炼鹊挠绊?/h3>

由1中多級彩虹的實驗可知，出射彩虹的級數(shù)會隨著水深h的減小而增多. 圖4給出了當太陽高度角α=59°，魚缸底面傾角θ=1.8°，陽光從魚缸側水面BC入射時，各級彩虹在墻上的投影位置z和縱向?qū)挾葁隨水深h的變化情況：

1)當水深h從12 cm減小到0.5 cm，第1級彩虹中紅色上邊緣的投影位置z從149 cm降低到140 cm，縱向?qū)挾葟?3 cm(Δλ<22 nm)減小到52 cm(Δλ<0.89 nm)；而第2級彩虹中紅色上邊緣的投影位置z從235 cm升高到239 cm，縱向?qū)挾葟?0 cm(Δλ<78 nm)減小到27 cm(Δλ<3.1 nm).

2)水深h每降低1 cm時，側水面BC上入射陽光的垂直寬度hcosi1/cosθ約降低0.49 cm. 當水深h分別為12 cm和3.5 cm時，入射陽光的垂直寬度分別為5.9 cm和1.7 cm. 因此水深h較小時，從側水面BC進入的陽光會減少，墻上的彩虹也會變暗，如圖2所示.

(a)投影位置z隨最大水深h的變化

為了增加墻上彩虹的亮度，可以增加水深h.然而，當h增加時，光在水中走過的總路程也會增加(見圖3). 由于光在水中傳播時，光強會有所衰減，墻上彩虹的亮度也會受到影響，因此在實驗設計中須考慮該情況. 當α=59°，θ=1.8°時，h每增加1 cm，B點入射的紅光在第一次出射水面前在水中走過的路程BE+EF約增加3.0 cm. 例如，當水深h=3.5 cm時，BE+EF=10 cm；當水深h=12 cm時，BE+EF=35 cm. 而C點入射的紅光在第一次出射水面前在水中走過的路程EF約增加1.5 cm. 例如，當水深h=3.5 cm時，EF=5.2 cm；當水深h=12 cm時，EF=18 cm.

3.2 水面寬度對出射彩虹級數(shù)的影響

由前面多級彩虹的實驗可知，水面寬度對出射彩虹級數(shù)也有影響. 由2.3.1的分析可知，如果側水面B點入射的太陽光折射，再經(jīng)鏡面反射后從水面出射，則C點入射的太陽光一定也能從水面出射.因此，關于水面寬度的分析，只需要分析B點入射的情況即可.

在不考慮側水面AD有光線出射的情況下，表3給出了對應不同水深h，太陽光從側水面B點入射時， 1～5級紅(紫)光出射所需要的水面出射寬度為BRj(BPj).若BRj(BPj)>AB(水面寬度)，則不能觀察到對應j級彩虹的紅(紫)色.保持魚缸位置不變，當水深h>DCsinθ=0.82 cm時，水面寬度(AB=DC/cosθ=26.02 cm)不變；當水深h=0.5 cm時，水面寬度AB=(h/tanθ)+htanθ=15.93 cm.

表3 陽光從側水面B點入射，水深h不同時，1～5級彩虹中紅(紫)光的出射位置 (不考慮光強的衰減)

由表3可知，當h>12.0 cm時，BR1>AB，不能觀察到彩虹.當h=6.5～11.5 cm時，可以觀察到1級彩虹；當h=5.0～6.0 cm時，可以觀察2級彩虹；當h=4.0～4.5 cm時，可以觀察到3級彩虹；當h=3.5 cm時，可以觀察到4級彩虹；當h≤3.0 cm時，理論上可以觀察到5級甚至更高級數(shù)的彩虹. 然而水深降低后，側水面BC進入的陽光減少，經(jīng)反射折射后，出射光的能量更少. 在實驗過程中，直到魚缸里的水被抽干也沒有觀察到第5級彩虹. 由于本實驗沒有在暗室中進行，背景光較強，因此對第5級彩虹的觀察影響較大.

3.3 全反射引起的缺級現(xiàn)象

當紅(紫)光在水面的入射角i4j大于紅(紫)光的全反射角48.8°(48.1°)時，紅(紫)光不能出射到空氣中，即紅(紫)光在出射點發(fā)生全反射[5]. 如果同樣級數(shù)的紅光和紫光都達到全反射的條件，那么相應級數(shù)的彩虹就會缺失，即全反射會引起彩虹的缺級現(xiàn)象. 隨著入射角i1=α+θ的減小，即減小魚缸底面傾角θ或太陽高度角α，小級數(shù)的彩虹會由于全反射而不能出現(xiàn)，即第1，2，3，4級彩虹會依次消失.

對于側水面BC上同一點入射的紅光和紫光來說，總是紫光先發(fā)生全反射，因此隨著入射角i1=α+θ的減小，會觀察到彩虹由紫色到紅色逐漸消失的現(xiàn)象.此時的部分彩虹總是貼著水面出射，在高于水面高度的墻上位置有顏色變化，甚至可能只觀察到紅色.

圖5給出了太陽高度角α=50°，魚缸底面傾角θ=3.0°時，第1級彩虹缺失的光路圖. 圖中紅光第1次水面入射角i41=50.2°>48.8°，紫光i41=50.5°>48.1°，故第1級彩虹全部缺失. 而紅光第2次水面入射角i42=44.2° <48.8°，紫光i42=44.5° <48.1°，所以第2級彩虹出現(xiàn)，同理第3，4，5級彩虹也能出現(xiàn). 圖5中沒有考慮第6級甚至更高級彩虹的情況，這是由于光在水中傳播過程中強度會發(fā)生衰減，具體呈現(xiàn)出哪些彩虹，需要通過具體的實驗來驗證.

圖5 全反射引起1級彩虹缺失的光路圖

4 結束語

本文從墻上和天花板上觀察到的4級彩虹現(xiàn)象入手，重點利用幾何光學研究了陽光透過矩形玻璃魚缸側水面入射并在鏡面和水面多次反射引起的多級彩虹現(xiàn)象的光路，分析了各級彩虹的光譜特點以及彩虹級數(shù)與太陽高度角、魚缸底面傾角、水深以及水面寬度之間的關系，同時利用計算機模擬再現(xiàn)了多級彩虹現(xiàn)象，說明了全反射引起的缺級現(xiàn)象以及彩虹部分顏色缺失(先從紫色開始缺失)的現(xiàn)象. 對多級彩虹現(xiàn)象的觀察再次驗證了用矩形玻璃魚缸演示彩虹實驗具有趣味性、易操作性和多樣性，只要改變太陽光(強度、高度角和方位角)、側水面入射角、魚缸底面(反射能力、傾斜角)、水深、水面寬度、彩虹投影面(距離、形狀和傾角)以及背景光等，就能獲得不同效果的彩虹，非常有利于在教學和科普中應用和拓展.