陳曉彤，祁文哲，孟建軍，李德倉，胥如迅

(蘭州交通大學(xué)a.機電技術(shù)研究所；b.甘肅省物流及運輸裝備信息化工程技術(shù)研究中心；c.甘肅省物流與運輸裝備行業(yè)技術(shù)中心，蘭州 730070)

0 引言

隨著工業(yè)自動化的發(fā)展，自動化作業(yè)逐漸代替人工操作，在機械運動中，不同軌跡規(guī)劃會產(chǎn)生不同程度的振蕩及能耗，于是，在機械控制系統(tǒng)中尋找最優(yōu)軌跡并使其能耗最小成為熱點話題[1]。對于不同領(lǐng)域，如航空航天[2]、電網(wǎng)[3]、農(nóng)業(yè)[4]等，機械臂軌跡優(yōu)化要求也大不相同，從而導(dǎo)致機械臂末端位姿調(diào)整幅度的程度不同，因此，對機械臂進行準(zhǔn)確的軌跡規(guī)劃尤為重要。

目前，在工業(yè)自動化裝備領(lǐng)域中，常用的軌跡規(guī)劃方法有A*搜索算法、人工勢場法及智能優(yōu)化算法。A*搜索算法[5]將傳統(tǒng)Dijkstra算法和基于貪心策略的BFS(breadth first search)算法結(jié)合起來，以最小代價尋找一條全局軌跡規(guī)劃下的最短軌跡，且計算速度快。人工勢場法[6]由KHATIB提出，通過虛擬一種力場在機器人、目標(biāo)位置、障礙物三者之間建立約束關(guān)系。智能優(yōu)化算法[7]在控制工程、路徑規(guī)劃等領(lǐng)域均取得了一定成果，根據(jù)大自然規(guī)律和生物群體行為進行優(yōu)化。上述前兩種算法的處理過程中并不是每一步均朝著目的點進行優(yōu)化，所以，搜索得到的軌跡不是最優(yōu)結(jié)果，而智能優(yōu)化算法是通過隨機搜索確定最優(yōu)軌跡，因此，在軌跡規(guī)劃中具有更好的優(yōu)勢。

機械臂作為工業(yè)機器人的作業(yè)裝備，其避障與軌跡規(guī)劃對精確完成作業(yè)具有重要意義。張良安等[8]針對若干碼垛及搬運機械裝備機械臂的柔順性和穩(wěn)定性提出了較高要求，但機械裝備自動化程度低、動作粗獷、占用空間大。劉寶等[9]通過在時間最短條件下的三次樣條軌跡規(guī)劃，有效減小了關(guān)節(jié)軸的殘余振動，但脈動不連續(xù)。王琛等[10]利用改進遺傳算法解決局部最優(yōu)解問題，設(shè)計了機械臂的最優(yōu)時間軌跡規(guī)劃，但多自由度計算時速度較慢。李俊等[11]以多關(guān)節(jié)機器人為對象，利用樣條函數(shù)和改進的遺傳算法，避免了運動軌跡出現(xiàn)奇異結(jié)構(gòu)點和局部最優(yōu)問題，但結(jié)果可靠性差，不能穩(wěn)定求解。

上述方法中，存在機械臂運動不流暢、加速度軌跡不連貫、脈沖不連續(xù)等缺陷，而智能優(yōu)化算法可對任何形式的定點進行優(yōu)化作業(yè)，彌補了這些缺陷，因此，針對智能優(yōu)化算法中的差分進化算法進行研究，以單關(guān)節(jié)機械臂為例，提出一種改進差分進化算法，與傳統(tǒng)差分進化算法相比，跟蹤軌跡、最優(yōu)軌跡與理想軌跡更相似且誤差較小。

1 單關(guān)節(jié)機械臂模型構(gòu)建

1.1 問題描述

研究單關(guān)節(jié)機械臂控制系統(tǒng)，如圖1所示，圖中的θ是關(guān)節(jié)位置。該控制包括控制器、執(zhí)行器、被控系統(tǒng)及傳感反饋。輸入信號θd通過控制器與執(zhí)行器，利用電流i對電機輸出端的扭矩τ進行控制，在經(jīng)過被控系統(tǒng)后以角度θ的形式體現(xiàn)，部分信號輸入回傳感反饋對整個系統(tǒng)角度θest微調(diào)。

圖1 控制系統(tǒng)圖

1.2 模型建立

現(xiàn)將單關(guān)節(jié)機械臂作為研究對象，并簡化成二階線性系統(tǒng)，如式(1)所示。

(1)

式中，θ表示角度；I表示轉(zhuǎn)動慣量；b表示粘性系數(shù)；τ表示控制輸入；d表示加在控制輸入上的擾動。

假設(shè)：當(dāng)系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)時，最大允許時間為tmax=3TE(擺線周期TE)，根據(jù)能量守恒定理，通過非保守力做功來對整個系統(tǒng)在運動中所消耗的能量進行表示，目標(biāo)函數(shù)如式(2)所示。

(2)

式中，ω表示權(quán)值；dis(t)表示實際跟蹤軌跡與理想軌跡間的距離，最終實現(xiàn)系統(tǒng)能耗最低且軌跡最優(yōu)，如式(3)所示。

(3)

然后，計算跟蹤誤差e如式(4)所示。

e=θop-θ

(4)

式中，θop表示插值點處的最優(yōu)值。通過PD控制律(比例微分控制律)對控制輸入進行計算，如式(5)所示。

(5)

式中，kp>0，kp表示比例調(diào)節(jié)系數(shù)；kd<0，kd表示微分調(diào)節(jié)系數(shù)。在比例調(diào)節(jié)器中，可以對輸入輸出作出及時反應(yīng)，但穩(wěn)定性差，對于慣性較大的控制對象，此缺陷更為顯著，現(xiàn)引入微分調(diào)節(jié)器進行調(diào)節(jié)，提高機械魯棒性。

最后根據(jù)式(6)計算擺線運動θr，采用差分進化算法或者改進差分進化算法設(shè)計最優(yōu)軌跡θop。

(6)

式中，θd和θ0分別表示角的初始角度與目標(biāo)角度。

1.3 參數(shù)設(shè)置及符號

(7)

采用樣條插值方法對軌跡進行初始化，插值點D設(shè)置為4，即D=4，插值點固定橫坐標(biāo)取第200、400、600、800個點，縱坐標(biāo)方向隨機選取初始點與終止點之間的4個點，而第i個樣本(i=1,2,…,N)第j個插值點(j=1,2,3,4)的取值為式(8)。

θop(i,j)=rand(θd-θ0)+θ0

(8)

式中，θop(i,j)表示第i個樣本第j個插值點處的最優(yōu)軌跡；rand(θd-θ0)隨機在0～1之間取值。

追蹤指令為θd=0.5，比例調(diào)節(jié)系數(shù)kp=300，微分調(diào)節(jié)系數(shù)kd=10。系統(tǒng)狀態(tài)變量及物理意義如表2所示。

表1 相關(guān)參數(shù)及初始值

表2 系統(tǒng)狀態(tài)變量及物理意義

2 差分進化算法

差分進化算法[12](differential evolution，DE)是一種啟發(fā)式搜索算法，采取“優(yōu)勝劣汰，適者生存”自然界生物種族的進化規(guī)律進行隨機搜索[13]。在保全樣本的全局搜索策略下，根據(jù)父代樣本間的差分矢量采用實數(shù)編碼、變異操作、交叉操作以及一對一的競爭生存原則，提高了局部搜索能力、魯棒性以及收斂性，降低遺傳的復(fù)雜性，差分進化算法流程圖如圖2所示。

圖2 差分進化算法流程圖

(9)

式中，xij(0)表示初始化樣本。

在執(zhí)行變異操作時，引入變異因子F，對種族多樣性與收斂性進行控制，在傳統(tǒng)差分進化算法中，F(xiàn)的取值范圍是[0,2]，若F所取數(shù)值過小，導(dǎo)致群體差異較小，進化過程中不一定突破其局部極值，從而收斂過早；而F取值過大，將極易跳出局部極值，同時影響收斂速度。因此，針對傳統(tǒng)差分進化算法，選擇F=0.5。

在執(zhí)行變異操作時，通過控制個體參數(shù)在各個維度與交叉的參與度，平衡全局及局部區(qū)域搜索，變異向量與某個預(yù)先決定的目標(biāo)向量進行參數(shù)混合后生成試驗向量，在傳統(tǒng)差分進化算法中，CR取值范圍是[0,1]，CR較小時，樣本多樣性會發(fā)生驟減，導(dǎo)致收斂過早；CR較大時，雖然提高了收斂速度，但過大因擾動大于樣本差異度導(dǎo)致收斂變慢。因此，針對傳統(tǒng)差分進化算法，選擇CR=0.9。

選擇操作的基本原理是如果試驗向量的適應(yīng)度值優(yōu)于目標(biāo)向量的適應(yīng)度值，則在下一代中試驗向量取代目標(biāo)向量，否則目標(biāo)向量仍保存下來，即采用“貪婪”策略選擇適應(yīng)度較好的進入下一代。在進入下一代時，利用最大迭代代數(shù)G作為進化是否中止的條件。

3 改進差分進化算法

傳統(tǒng)差分進化算法通過變異、交叉及選擇等操作進行優(yōu)化，但理想軌跡與實際軌跡之間存在誤差，因此，提出改進差分進化算法是在傳統(tǒng)算法的基礎(chǔ)上，對其變異因子、交叉因子的選取進行優(yōu)化。

3.1 改進變異因子

在搜索初期，F(xiàn)取值較大便于擴大搜索空間并保持樣本多樣性；隨著迭代次數(shù)的增加，在后期，F(xiàn)取值較小，有利于局部進行最優(yōu)搜索，由此可提高收斂速度及搜索精度。

現(xiàn)有研究表明F在[0.4,1]取值，可以得到更好的效果[14]，在改進差分算法中，提出一F滿足關(guān)于搜索角度θ的復(fù)合函數(shù)，為了限制范圍，將F初始值定義為2，如式(10)所示。

(10)

3.2 改進交叉因子

一般情況下，CR在[0.6,0.9]之間選取，CR越大，F(xiàn)越小，收斂速度加劇，但隨著CR的增加，收斂度對F的敏感程度會逐步提高，在改進差分算法中，提出一CR滿足關(guān)于搜索角度的復(fù)合函數(shù)，如式(11)所示。

(11)

4 仿真結(jié)果及分析

通過差分進化算法及改進差分進化算法，沿參考軌跡進行最優(yōu)規(guī)劃，以保證系統(tǒng)在不偏離參考軌跡的基礎(chǔ)上，采用PD控制方法，實現(xiàn)對最優(yōu)軌跡的跟蹤，確保整個運動中消耗的能量最小。兩種算法均滿足式(2)目標(biāo)函數(shù)，并使其值最小，即式(3)，從而得到最優(yōu)軌跡。選取樣本數(shù)50，優(yōu)化次數(shù)30，進行4次插值，插值點橫坐標(biāo)固定選取，縱坐標(biāo)在初始點和終止點之間隨機選取，進行MATLAB仿真。

4.1 差分進化算法

傳統(tǒng)差分進化算法在MATLAB軟件進行仿真結(jié)果如圖3所示。

(a) 最優(yōu)軌跡優(yōu)化效果(b) 理想軌跡、最優(yōu)軌跡、軌跡跟蹤

圖3a是最優(yōu)軌跡優(yōu)化效果圖，發(fā)現(xiàn)理想軌跡與優(yōu)化軌跡間存在較大差距，并未達到很高的擬合程度；圖3b是理想軌跡、最優(yōu)軌跡、軌跡跟蹤圖，仍觀察到明顯誤差距離。

4.2 改進差分進化算法

4.2.1 改進變異因子

僅改進變異因子差分算法，通過MATLAB進行仿真，仿真結(jié)果如圖4所示。

(a) 最優(yōu)軌跡優(yōu)化效果 (b) 軌跡跟蹤

由圖4a最優(yōu)軌跡優(yōu)化效果和圖4b軌跡跟蹤看出，僅改變變異因子的改進差分進化算法下的最優(yōu)軌跡與理想軌跡有細微接近；跟蹤運動軌跡與理想軌跡雖誤差變小但不明顯。

4.2.2 改進交叉因子

僅改進交叉因子差分算法，通過MATLAB進行仿真，仿真結(jié)果如圖5所示。

(a) 最優(yōu)軌跡優(yōu)化效果 (b) 軌跡跟蹤

由圖5a最優(yōu)軌跡優(yōu)化效果和圖5b軌跡跟蹤結(jié)果看出，最優(yōu)軌跡與理想軌跡雖有明顯接近，但全程存在誤差；且跟蹤運動軌跡與理想軌跡誤差雖然較小但全程存在。

4.2.3 改進差分進化算法

改進差分算法(包括改變變異因子與交叉因子)通過MATLAB進行仿真，仿真結(jié)果如圖6所示。

(a) 最優(yōu)軌跡優(yōu)化效果 (b) 軌跡跟蹤

由圖6a最優(yōu)軌跡優(yōu)化效果和圖6b軌跡跟蹤結(jié)果看出，優(yōu)化后軌跡更接近理想軌跡，極好地減小了實際與理想軌跡間的誤差距離，雖然中后期存在微小誤差，但優(yōu)化后軌跡與理想軌跡相似度較高。

4.3 結(jié)果對比及分析

4種算法的仿真圖如圖7所示。

(a) 最優(yōu)軌跡優(yōu)化效果 (b) 軌跡跟蹤

由圖7a直觀地觀察到，僅改變變異因子的改進差分進化算法與傳統(tǒng)差分進化算法，其最優(yōu)軌跡與理想軌跡有細微靠近；僅改變交叉因子的改進差分進化算法，其最優(yōu)軌跡與理想軌跡雖有明顯靠近，但全程存在誤差；而改進差分算法(包括改變變異因子與交叉因子)，最優(yōu)軌跡與理想軌跡有明顯接近，僅在后期存在較小偏差。由圖7b軌跡跟蹤效果圖看出，僅改變變異因子的改進差分進化算法與傳統(tǒng)差分進化算法，其跟蹤運動軌跡與理想軌跡雖誤差變小但不明顯；僅改變交叉因子的改進差分進化算法，其跟蹤運動軌跡與理想軌跡誤差雖然較小但全程存在；而改進差分算法(包括改變變異因子與交叉因子)，跟蹤運動軌跡與理想軌跡在前期基本擬合，僅在后期存在較小誤差。

傳統(tǒng)差分進化算法、僅改進變異因子的差分進化算法、僅改變交叉因子改進進化算法以及改進差分算法(包括改變變異因子與交叉因子)，仿真結(jié)果數(shù)據(jù)表如表3和表4所示。

表3 最優(yōu)軌跡數(shù)據(jù)

表4 理想軌跡、最優(yōu)軌跡、軌跡跟蹤數(shù)據(jù)

通過表3最優(yōu)軌跡數(shù)據(jù)與表4理想軌跡、最優(yōu)軌跡、軌跡跟蹤數(shù)據(jù)對比，可以看出傳統(tǒng)差分進化算法和改進差分進化算法在X軸方向不發(fā)生改變，改進后的方案只作用在Y軸方向上，選擇與理想數(shù)據(jù)更為接近的算法將有利于改善控制系統(tǒng)精度的問題。在兩組數(shù)據(jù)對比中，改進差分進化算法(包括改變變異因子與交叉因子)極差與標(biāo)準(zhǔn)與理想數(shù)據(jù)最為貼近，誤差普遍縮小了0.15%。

5 結(jié)論

以單關(guān)節(jié)機械臂為研究對象，提出了一種改進差分進化算法，改變變異因子確保樣本的多樣性，又提高了后期進行搜索的能力，改變交叉因子提供了更好的迭代空間。

(1)4種算法控制下的軌跡優(yōu)化在0～0.4 s之間，只有改進差分進化算法與理想軌跡高度契合；在0.4 s后，4種算法均產(chǎn)生誤差，相較之下，改進差分進化算法誤差距離較小；

(2)4種算法控制下的理想軌跡、最優(yōu)軌跡、軌跡跟蹤在0～0.4 s之間，只有改進差分進化算法軌跡跟蹤與理想軌跡、最優(yōu)軌跡更為擬合；在0.4 s后，4種算法均產(chǎn)生誤差，相較之下，改進差分進化算法誤差距離較小且跟蹤軌跡與理想軌跡、最優(yōu)軌跡的相似度較高。

通過對改進前后的仿真結(jié)果分析表明，改進差分算法相比起傳統(tǒng)差分算法、僅改變單個因子差分進化算法，所得到的實際軌跡更接近理想軌跡且誤差更小，在一定程度上提高了機械臂控制系統(tǒng)運動軌跡精度。