于 舜， 夏 炎， 姜 柳， 王洪江

(沈陽(yáng)工程學(xué)院 信息學(xué)院， 沈陽(yáng) 110136)

樹木造型在當(dāng)今社會(huì)各行業(yè)中廣泛使用，尤其在農(nóng)業(yè)農(nóng)事、動(dòng)畫視頻、教學(xué)場(chǎng)景等行業(yè)對(duì)逼真樹木模型有著較高的需求，因此，建立基于自然界中復(fù)雜外力下真實(shí)的樹木模型是當(dāng)今的研究熱點(diǎn)，同時(shí)也是積極拓寬樹木模型使用領(lǐng)域的關(guān)鍵[1-4].本文針對(duì)在自然環(huán)境中，建立能夠模擬出風(fēng)、雨等復(fù)雜外力作用下的樹木動(dòng)態(tài)模型為研究?jī)?nèi)容，構(gòu)造真實(shí)樹木擺動(dòng)、斷裂等姿態(tài)的動(dòng)態(tài)模型算法.

國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界、產(chǎn)業(yè)界有很多關(guān)于樹木模型的研究[5-10]，如經(jīng)典的分形L-system算法等，但是分形算法主要利用迭代、遞歸等技術(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)某一具體的分形構(gòu)造.由于采用自相似性構(gòu)造出的樹木模型缺少真實(shí)感，與自然界中的樹木有很大的差距，并且分形算法構(gòu)造出的樹木模型多是靜態(tài)模型，難以反映出樹木在自然界中遭遇風(fēng)、雨等多種因素作用后的動(dòng)態(tài)姿態(tài)[11-12].

本文采用在靜態(tài)模型的基礎(chǔ)上構(gòu)建動(dòng)態(tài)模型的方法來(lái)搭建樹木整體模型[13]，主要研究斷裂分支的運(yùn)動(dòng)軌跡以及與其他樹枝、葉片的碰撞、擠壓作用，建立算法以描繪其碰撞過(guò)程.

1 樹木碰撞描述

自然界中的樹木各分支對(duì)象，如樹枝、葉片和果實(shí)等，受到外力后均有從樹木主干部分?jǐn)嗔训目赡?斷裂后，葉片由于質(zhì)量較小，在下落過(guò)程中對(duì)于其他對(duì)象產(chǎn)生的影響很小，葉片的撞擊力可以忽略不計(jì)，只需考慮風(fēng)、雨等外力的影響即可.而樹枝和果實(shí)的質(zhì)量不可忽略，所以在其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不但要考慮外力的作用，還要考慮斷裂對(duì)象的自身重力.外力的組成較為復(fù)雜，在自然環(huán)境中外力存在于整個(gè)空間且包裹作用于樹木對(duì)象，對(duì)斷裂對(duì)象的運(yùn)動(dòng)軌跡產(chǎn)生一定影響.本文以風(fēng)力作為外力的典型代表，結(jié)合樹木各分支對(duì)象的自身重力和斷裂極限來(lái)建立樹木動(dòng)態(tài)模型[14-15].

在整個(gè)碰撞過(guò)程中，斷裂下落的樹枝(簡(jiǎn)稱broken_branch_A)和其他樹枝(簡(jiǎn)稱branch_B)的形體不定，但是二者在發(fā)生碰撞時(shí)的接觸點(diǎn)即碰撞點(diǎn)是一定的，因此在建模過(guò)程中，將broken_branch_A和branch_B的接觸點(diǎn)視為球體進(jìn)行討論[16].本文以在自然界外力作用下樹木各部分對(duì)象間的碰撞、擠壓為研究對(duì)象建立動(dòng)態(tài)模型.

2 碰撞模型算法分析

結(jié)合broken_branch_A和branch_B二者發(fā)生碰撞的實(shí)際情況，可以將斷裂下落的broken_branch_A和branch_B的碰撞分為正向碰撞和側(cè)向碰撞.二者發(fā)生碰撞時(shí)的速度與二者球心的連線在同一條直線上，且碰撞后二者的速度仍會(huì)沿著這條直線，則視為正向碰撞；二者發(fā)生碰撞時(shí)的速度與二者球心的連線不在同一條直線上，且碰撞后二者的速度都會(huì)偏離這條直線，則視為側(cè)向碰撞.

設(shè)broken_branch_A和branch_B的質(zhì)量為MbbA和MbB，半徑為RbbA和RbB，楊氏模量為EbbA和EbB，泊松比為μbbA和μbB.broken_branch_A與branch_B發(fā)生碰撞后，將撞擊力與branch_B的斷裂極限值比較可得：撞擊力高于斷裂極限值時(shí)，branch_B發(fā)生斷裂；反之branch_B不發(fā)生斷裂，只在外力作用下進(jìn)行擺動(dòng).

2.1 broken_branch_A和branch_B的正向碰撞

2.1.1 broken_branch_A垂直方向與branch_B發(fā)生正向碰撞

在發(fā)生碰撞的整個(gè)過(guò)程中，隨著broken_branch_A和branch_B間的撞擊面積增大以及接觸時(shí)長(zhǎng)的增加，撞擊力IMPACT_F也逐漸增加到最大值，branch_B受到碰撞后的狀態(tài)由IMPACT_F與branch_B的斷裂極限值相比較可知，撞擊力高于斷裂極限值時(shí)，branch_B發(fā)生斷裂；反之branch_B只有擺動(dòng)，不發(fā)生斷裂.二者的接觸時(shí)間可以通過(guò)彈性力學(xué)公式計(jì)算得出，即

T=tcmp+trec=

(1)

(2)

根據(jù)力學(xué)相關(guān)知識(shí)，當(dāng)碰撞部分是完全彈性碰撞時(shí)，tcmp=trec，彈性恢復(fù)系數(shù)為1；當(dāng)碰撞部分是完全非彈性碰撞時(shí)，tcmp+trec=∝，彈性恢復(fù)系數(shù)為0，即碰撞后對(duì)象斷裂.令RbbA=∝，MbbA=∝，vpre_r_v=vpre_v，vpre_v為broken_branch_A碰撞branch_B前的速度，則接觸時(shí)間為

(3)

2.1.2 broken_branch_A水平方向與branch_B發(fā)生正向碰撞

復(fù)雜外力作用于broken_branch_A和branch_B時(shí)，當(dāng)復(fù)雜外力與二者自身重力相差過(guò)大時(shí)，二者的重力可忽略不計(jì)，僅需考慮二者在復(fù)雜外力作用下在水平方向發(fā)生碰撞所構(gòu)建的動(dòng)態(tài)模型.二者發(fā)生碰撞時(shí)的撞擊力為

2.2 broken_branch_A和branch_B的側(cè)向碰撞

自然環(huán)境中無(wú)風(fēng)、雨等外力作用或外力小于樹木自身重力的條件下，broken_branch_A與branch_B發(fā)生側(cè)向碰撞.

樹木對(duì)象表面不光滑，相互發(fā)生碰撞接觸時(shí)，broken_branch_A和branch_B的球體接觸點(diǎn)存在相互壓力NBA和NAB，即撞擊力IMPACT_F.接觸點(diǎn)切線方向上存在摩擦力fBA和fAB.由于二者發(fā)生側(cè)向碰撞，樹枝branch_B對(duì)broken_branch_A的NBA和fBA的合力方向也會(huì)偏離接觸點(diǎn)連心線，互相碰撞擠壓后的運(yùn)動(dòng)也將偏離原有的運(yùn)動(dòng)軌跡.

2.2.1 broken_branch_A在下落過(guò)程中與branch_B發(fā)生側(cè)向碰撞

broken_branch_A在下落途中與branch_B發(fā)生側(cè)向碰撞，圖1a為二者質(zhì)量差距較小的情況，圖1b為branch_B質(zhì)量明顯大于broken_branch_A質(zhì)量的情況.

圖1 下落途中無(wú)外力作用下發(fā)生側(cè)向碰撞Fig.1 Side collision without external force in falling process

根據(jù)圖1a計(jì)算broken_branch_A和branch_B質(zhì)量差距較小情況下發(fā)生側(cè)向碰撞后的vpost_v_A、vpost_v_B和α，其表達(dá)式為

式中：

根據(jù)圖1b計(jì)算branch_B質(zhì)量明顯大于broken_branch_A質(zhì)量的條件下發(fā)生側(cè)向碰撞后的vpost_v_A1、vpost_v_B1和α1，其表達(dá)式為

2.2.2 broken_branch_A在上升過(guò)程中與branch_B發(fā)生側(cè)向碰撞

broken_branch_A在上升過(guò)程中與branch_B發(fā)生側(cè)向碰撞，圖2a為二者質(zhì)量差距較小的情況，圖2b為branch_B質(zhì)量明顯大于broken_branch_A質(zhì)量的碰撞情況.

圖2 上升途中無(wú)外力作用下發(fā)生側(cè)向碰撞Fig.2 Side collision without external force in rising process

根據(jù)圖2a計(jì)算兩樹枝質(zhì)量相差不大情況下發(fā)生側(cè)向碰撞后的vpost_v_A2、vpost_v_B2和α2，其表達(dá)式為

式中：

根據(jù)圖2b計(jì)算branch_B質(zhì)量明顯大于broken_branch_A質(zhì)量情況下發(fā)生側(cè)向碰撞后的vpost_v_A3、vpost_v_B3和α3，其表達(dá)式為

2.2.3 外力作用下broken_branch_A在下落過(guò)程中與branch_B發(fā)生側(cè)向碰撞

當(dāng)外力與broken_branch_A重力相差較小時(shí)，或外力不可忽略的情況下，broken_branch_A在下落過(guò)程中與branch_B發(fā)生側(cè)向碰撞，圖3a為二者質(zhì)量差距較小的情況，圖3b為branch_B質(zhì)量明顯大于broken_branch_A質(zhì)量的碰撞情況.

根據(jù)圖3a計(jì)算兩樹枝質(zhì)量相差不大情況下發(fā)生側(cè)向碰撞后的vpost_v_A4、vpost_v_B4和α4，其表達(dá)式為

圖3 下落途中外力作用下發(fā)生側(cè)向碰撞Fig.3 Side collision with external force in falling process

式中：

A7=cos(δ+γ-η)

A8=cos(δ+γ)

A9=A11/A10

A10=-MbBsin(δ+γ)+MbbAcscδcosγ+

MbBcos(δ+γ)cscδcosδ

A11=-MbBvpre_vA7+MbBA8vpre_vsinηcscδcosδ-MbBA8·

vpre_vcosη+MbbAvpre_vsinηcscδcosγ-MbBA8gΔtcoll

根據(jù)圖3b計(jì)算branch_B質(zhì)量明顯大于broken_branch_A質(zhì)量情況下發(fā)生側(cè)向碰撞后的vpost_v_A5、vpost_v_B5和α5，其表達(dá)式為

式中，

A12=-A11/A14

2.2.4 外力作用下broken_branch_A在上升過(guò)程中與branch_B發(fā)生側(cè)向碰撞

當(dāng)外力與broken_branch_A重力相差較小時(shí)，或外力不可忽略的情況下，broken_branch_A在上升過(guò)程中與branch_B發(fā)生側(cè)向碰撞，圖4a為二者質(zhì)量差距較小的情況，圖4b為branch_B質(zhì)量明顯大于broken_branch_A質(zhì)量的碰撞情況.

根據(jù)圖4a計(jì)算兩樹枝質(zhì)量相差不大情況下發(fā)生側(cè)向碰撞后的vpost_v_A6、vpost_v_B6和α6，其表達(dá)式為

式中：

A13=A15/A14

A14=MbBsin(δ+γ)+MbbAcscδcosγ+

MbBcos(δ+γ)cscδcosδ

A15=MbBvpre_vA7-MbBA8vpre_vsinηcscδcosδ+

MbBA8vpre_vcosη-MbbAvpre_vsinηcscδcosγ-

MbBA8gΔtcoll

根據(jù)圖4b計(jì)算branch_B質(zhì)量明顯大于broken_branch_A質(zhì)量的情況下發(fā)生側(cè)向碰撞后的vpost_v_A7、vpost_v_B7和α7，其表達(dá)式為

圖4 上升途中外力作用下發(fā)生側(cè)向碰撞Fig.4 Side collision with external force in rising process

2.2.5 外力作用下broken_branch_A在水平方向上與branch_B發(fā)生側(cè)向碰撞

在自然界中，風(fēng)等外力作用于broken_branch_A、branch_B時(shí)，外力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于二者自身重力時(shí)，broken_branch_A在外力作用下沿著外力方向做加速運(yùn)動(dòng)，示意圖如圖5所示.

根據(jù)圖5計(jì)算兩樹枝發(fā)生側(cè)向碰撞后的vpost_v_A8、vpost_v_B8和α8，其表達(dá)式為

圖5 broken_branch_A和branch_B發(fā)生側(cè)向碰撞Fig.5 Side collision of broken_branch_A with branch_B

α8=arcsin(A16A17)

式中：

2.3 拋物線模型

2.3.1 broken_branch_A碰撞后的上升軌跡模型

broken_branch_A與branch_B在D(xD，yD)點(diǎn)發(fā)生碰撞后，broken_branch_A反向運(yùn)動(dòng)，反彈到E點(diǎn)后，在外力和自身重力作用下落地F點(diǎn)，示意圖如圖6所示.

圖6 運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖Fig.6 Schematic diagram of trajectory

2.3.2 broken_branch_A碰撞后運(yùn)動(dòng)過(guò)程中沒(méi)有接觸其他對(duì)象

broken_branch_A在自然界中斷裂后沒(méi)有接觸其他對(duì)象，broken_branch_A做拋物線運(yùn)動(dòng)直至落地，示意圖如圖7所示.

圖7 下落軌跡示意圖Fig.7 Schematic diagram of falling trajectory

3 實(shí)驗(yàn)?zāi)M

圖8為運(yùn)動(dòng)學(xué)模型成像圖.隨著風(fēng)力的逐漸增大，樹枝逐漸傾斜，擺動(dòng)幅度加大，最終發(fā)生斷裂.圖8a為1級(jí)風(fēng)力情況下樹木的形態(tài)，枝干、葉片等無(wú)很大影響，樹木各部分對(duì)象呈現(xiàn)靜止?fàn)顟B(tài)；圖8b為3級(jí)風(fēng)力等級(jí)情況，可以看出當(dāng)前風(fēng)力等級(jí)對(duì)于細(xì)小的樹枝對(duì)象影響較大，部分枝葉對(duì)象開始呈現(xiàn)擺動(dòng)的姿態(tài)；圖8c為4級(jí)風(fēng)力等級(jí)情況，可以看出細(xì)小的樹木各分支對(duì)象圍繞著與上級(jí)枝干的連接處進(jìn)行擺動(dòng)，且擺動(dòng)角度逐漸增大；圖8d為風(fēng)力達(dá)到6級(jí)的情況，末級(jí)的樹枝、葉片等在風(fēng)力作用下斷裂.通過(guò)基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型模擬出的效果，可以得到逼真的樹木運(yùn)動(dòng)姿態(tài)，模擬效果較為真實(shí).

圖8 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型成像圖Fig.8 Imaging by kinematic model

4 結(jié) 論

基于自然界中存在的復(fù)雜外力與重力間的關(guān)系、樹木分支對(duì)象間的碰撞角度，根據(jù)碰撞力學(xué)中的特征量獲得撞擊力及遭受碰撞后的樹木各分支對(duì)象的運(yùn)動(dòng)速度及角度等數(shù)據(jù)，建立樹木動(dòng)態(tài)模型.采用該模型可以描繪各分支對(duì)象在斷裂后運(yùn)動(dòng)軌跡中接觸其他樹枝、葉片對(duì)象后而產(chǎn)生新的運(yùn)動(dòng)軌跡及擠壓、擺動(dòng)等形態(tài).經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)?zāi)M，基于運(yùn)動(dòng)學(xué)構(gòu)建的樹木動(dòng)態(tài)模型具有復(fù)雜度低、系統(tǒng)反應(yīng)迅速、效果真實(shí)等優(yōu)點(diǎn).