于紅旗 蓋龍杰 杜湘瑜 羅笑冰

(國防科技大學(xué) 電子科學(xué)學(xué)院， 長(zhǎng)沙 410073)

“高頻電子線路”中常使用電容、電感等抽頭電路完成阻抗的變換，以削弱負(fù)載和內(nèi)阻對(duì)LC諧振回路的影響。在“高頻電子線路”課程中，對(duì)抽頭電路的分析經(jīng)常會(huì)遇到，而抽頭電路常采用抽頭變換的方法進(jìn)行分析，抽頭變換的分析方法也是“高頻電子線路”課程中的一項(xiàng)重要的分析處理方法。通過翻閱多本教材，發(fā)現(xiàn)有的教材對(duì)此沒有涉及，有的則沒有明確說明具體應(yīng)用條件限制。甚至在不同教學(xué)輔導(dǎo)材料中對(duì)抽頭電路習(xí)題采用了不同的分析方法，同一道題目出現(xiàn)了兩種答案。

以圖1所示的題目為例，為了簡(jiǎn)化電路分析，將抽頭并聯(lián)電路進(jìn)行阻抗變換，將抽頭部分全部變換到LC回路兩端。許多教材直接引入了接入系數(shù)p，但未詳細(xì)說明抽頭變換本身就是一種近似計(jì)算，特別是對(duì)于圖1所示的多負(fù)載情況(包含電容)。

圖1 多負(fù)載情況的抽頭電路原理圖

方法一是先將CL與C2進(jìn)行并聯(lián)計(jì)算后再計(jì)算接入系數(shù)p，方法二是把CL和RL看成兩個(gè)負(fù)載分別抽頭變換至L的兩端。不同教學(xué)輔導(dǎo)材料給出了不同的解答方法，如文獻(xiàn)[2]第27頁題目2.9采用了方法一的解答；文獻(xiàn)[3]第29頁題2-6采用了方法二的解答。兩種解答結(jié)果完全不一樣，造成了學(xué)生的困惑。本文對(duì)抽頭變換電路一類題目的這兩種解答方法進(jìn)行比較，對(duì)抽頭網(wǎng)絡(luò)變換方法的適用條件進(jìn)行分析。以厘清抽頭電路分析這一重要分析工具的使用條件。

1 抽頭變換公式推導(dǎo)

首先分析兩個(gè)器件并聯(lián)時(shí)的電路阻抗。Z1、Z2分別表示這兩個(gè)器件的阻抗，則通用阻抗表達(dá)式為

Z1=R1+jX1，Z2=R2+jX2

(1)

通常高頻電子線路的回路滿足

X?R

因此，并聯(lián)電路兩端的阻抗可以通過阻抗并聯(lián)公式得到

(2)

由于X?R，可得

R1+jX1≈jX1

R2+jX2≈jX2

(3)

因此，可得

(4)

當(dāng)次電路達(dá)到并聯(lián)諧振時(shí)，

X1+X2=0

代入(4)式，可得

(5)

結(jié)合并聯(lián)諧振時(shí)X1+X2=0，可得

(6)

由此可知，并聯(lián)諧振的阻抗等于一個(gè)并聯(lián)支路電抗的平方除兩個(gè)并聯(lián)支路中的電阻之和[1]。

接下來，我們以圖2所示的電路為例，來進(jìn)行電容抽頭電路的分析。

圖2 電容抽頭變換

需要注意的是，進(jìn)行抽頭變換時(shí)一定是在有并聯(lián)諧振電路的前提下才能進(jìn)行，即抽頭變換不能破壞原來的并聯(lián)諧振電路。

在并聯(lián)諧振時(shí)，回路中所有電抗之和為0。

圖2電路中，根據(jù)并聯(lián)時(shí)的阻抗分析公式(6)，可知

(7)

(8)

(9)

這里的推導(dǎo)是在并聯(lián)諧振電路未接入負(fù)載的情況下得出的。在接負(fù)載阻抗的情況下，不少教材里都是直接給出以上抽頭變換的式子，并未做精確的計(jì)算。

下面對(duì)精確的抽頭變換做出推導(dǎo)。

以圖3為例，根據(jù)等效前后電流源輸出功率P不變，而P=UIS,可知等效前后C1串聯(lián)C2兩端的電壓是不變化的。根據(jù)負(fù)載阻抗等效變換前后消耗功率不變，可得

(a)待抽頭變換電路

(b)抽頭變換電路圖3 抽頭變換過程

(10)

可得

(11)

(12)

即

(13)

2 抽頭變換應(yīng)用方法

通常在高頻電子線路中，經(jīng)常會(huì)遇到圖1所示的電路。在分析其諧振頻率，通頻帶等特性時(shí)，不同教材給出了不同的解答方法。以下介紹兩種方法，并通過后續(xù)的仿真綜合判斷哪種方法更為合理。

已知L=0.8 uH,無載Q0=100,C1=C2=20 pF，Ci=5 pF,Ri=10 kΩ，CL=20 pF,R0=5 kΩ。

2.1 負(fù)載電容與并聯(lián)電容合并[2]

C2′=CL+C2=40 pF

(14)

所以接入系數(shù)

(15)

將RL折合到回路兩端，得

(a)計(jì)算方法1

(b)計(jì)算方法2圖4 兩種計(jì)算方法比較

(16)

跨接于回路兩端的總電容為

(17)

諧振頻率為

(18)

諧振阻抗為

RP=Q0ωpL=20.9 kΩ

(19)

把諧振電阻轉(zhuǎn)化成電感串聯(lián)的電阻r

(20)

2.2 負(fù)載電容直接抽頭變換[3]

由已知條件

(21)

(22)

(23)

(24)

則諧振頻率

(25)

諧振電阻

RP=Q0ωpL=20 kΩ

(26)

把諧振電阻轉(zhuǎn)化成電感串聯(lián)的電阻r

(27)

兩種方法得出了不同的諧振頻率和諧振電阻，原因在于方法(1)只用了一次抽頭變換，而方法(2)用了兩次抽頭變換。下面將兩種計(jì)算方法分別與仿真結(jié)果比較，并得出最終結(jié)論。

3 仿真

由于計(jì)算的諧振電阻不同，即電感串聯(lián)的電阻r不同，則根據(jù)不同r值進(jìn)行兩組Multisim仿真:

3.1 r=2.09 kΩ

圖5示出計(jì)算方法1的仿真電路和波特圖。

(a)計(jì)算方法1仿真電路

(b)計(jì)算方法1波特圖圖5 計(jì)算方法1仿真

波特圖顯示諧振頻率為41.588 MHz，與方法(1)計(jì)算結(jié)果相同。

3.2 r=2 Ω

波特圖顯示諧振頻率也為41.588 MHz，可見改變電感串聯(lián)電阻對(duì)諧振頻率結(jié)果影響較小，但其與方法(2)計(jì)算結(jié)果相差較大。

理論分析和仿真都表明，第一種計(jì)算方法更為合理。

4 結(jié)語

理論分析和仿真結(jié)果表明，第一種計(jì)算方法與Multisim仿真結(jié)果更接近。理論推導(dǎo)表明，抽頭變換是近似計(jì)算，只有當(dāng)X?RL才可以做簡(jiǎn)單的抽頭變換。

(a)計(jì)算方法2仿真電路

(b)計(jì)算方法2波特圖圖6 計(jì)算方法2仿真

所以在實(shí)際運(yùn)用中應(yīng)該盡量減少抽頭變換使用的次數(shù)，并盡量在滿足X?RL的條件下使用近似變換公式，從而提高計(jì)算的精確度，得到較為準(zhǔn)確的諧振頻率。

在實(shí)際的教學(xué)過程中，教師可以對(duì)并聯(lián)諧振回路抽頭變換進(jìn)行更深入的講解，使學(xué)生充分理解抽頭變換本身的只是一種近似等效，理解等效的條件，并靈活運(yùn)用在解題過程中。