陳德康

（福建省連江第二中學(xué)，福建 連江 350500）

數(shù)學(xué)建模實(shí)質(zhì)上就是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識、按照一定的邏輯和規(guī)則來解決對應(yīng)數(shù)學(xué)問題的過程。高中數(shù)學(xué)知識本就比較抽象，其題型多元、知識點(diǎn)細(xì)碎，學(xué)生僅靠死記硬背是很難真正吸收和內(nèi)化所有知識點(diǎn)。通過建模教學(xué)，則可以引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)理論與具體的場景、事物相聯(lián)系，在探究中了解其形成過程、掌握豐富的運(yùn)用方法，同時(shí)可以強(qiáng)化其生活意識，使之明確數(shù)學(xué)的實(shí)用性，并將理論和實(shí)踐相結(jié)合，從更加多元的角度挖掘解題思路，從而提升其問題解決能力。［1］

一、高中數(shù)學(xué)開展建模課程的依據(jù)

當(dāng)前社會(huì)對于創(chuàng)新人才的需求越來越大，且許多高新行業(yè)都與數(shù)學(xué)息息相關(guān)，所以培養(yǎng)高素質(zhì)的數(shù)學(xué)人才是十分必要的。但是，學(xué)生并不能僅通過學(xué)習(xí)知識就形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而是要經(jīng)歷相應(yīng)的探索過程，且需要達(dá)到“教學(xué)做合一”的狀態(tài)，這就需要教師在日常教學(xué)中融入建模思想，促使學(xué)和用高度統(tǒng)一，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效率，并不斷訓(xùn)練他們敏捷的思維、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫾傲己玫亩床炝Γ瑥?qiáng)化其運(yùn)用知識準(zhǔn)確解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題的能力，滿足他們的學(xué)習(xí)和發(fā)展需求。與此同時(shí)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 修訂）》中明確提出了將數(shù)學(xué)建模以多種途徑融入日常教學(xué)過程中的要求，旨在讓學(xué)生形成良好的運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力，增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)思維和意識，并不斷提升他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，凸顯數(shù)學(xué)教育的價(jià)值。

二、高中數(shù)學(xué)建模課程的實(shí)踐步驟

結(jié)合新課標(biāo)的相關(guān)要求，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中進(jìn)行了初步實(shí)踐，主要可分為以下三個(gè)步驟：第一步，初級入門。此時(shí)，教師可以在教學(xué)中補(bǔ)充數(shù)學(xué)建模方面的知識，并結(jié)合具體的案例進(jìn)行講解和分析，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵及如何進(jìn)行數(shù)學(xué)建模、需要注意哪些事項(xiàng)等，在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念和解題的過程中，也可以適時(shí)引入建模思想，通過長期的滲透優(yōu)化學(xué)生的思路，使之了解基本的知識，據(jù)此開展之后的學(xué)習(xí)和探究活動(dòng)。第二步，中級探索。教師可以結(jié)合數(shù)學(xué)教材中的相關(guān)內(nèi)容，專門設(shè)計(jì)或指定一些題目要求學(xué)生運(yùn)用建模思想解答，且可以根據(jù)他們的實(shí)際學(xué)習(xí)情況進(jìn)行針對性指導(dǎo)，保證每個(gè)人都能通過探索有所收獲，并在實(shí)踐中感受建模的價(jià)值和意義，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。此外，教師可以開展分類教學(xué)，即對不同的數(shù)學(xué)建模問題進(jìn)行區(qū)分和整合，便于學(xué)生分階段、分模塊學(xué)習(xí)，從而通過有序引導(dǎo)提升數(shù)學(xué)建模教育質(zhì)量［2］。第三步，鞏固強(qiáng)化。當(dāng)學(xué)生通過前兩輪的挑戰(zhàn)之后，教師就要加大訓(xùn)練力度，讓他們將數(shù)學(xué)建模深刻在腦海中，并能夠進(jìn)行準(zhǔn)確應(yīng)用，此時(shí)教師可以在每次課堂練習(xí)中都指定題目要求學(xué)生進(jìn)行建模，并鼓勵(lì)他們展示各自的成果，然后進(jìn)行深度討論，糾正不足之處，保證數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性、嚴(yán)謹(jǐn)性，使之能夠真正發(fā)揮作用解決相應(yīng)問題，同時(shí)可以通過開展數(shù)學(xué)研習(xí)、第二課堂、社團(tuán)等活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生在生活中進(jìn)行建模，真正在實(shí)踐中解決問題，有利于鞏固其學(xué)習(xí)成果，不斷強(qiáng)化他們的數(shù)學(xué)建模能力。

三、高中數(shù)學(xué)建模的實(shí)施方式

（一）在概念教學(xué)中滲透建模思想

數(shù)學(xué)概念教學(xué)通常從生活實(shí)例、已有知識入手，類比已定義的概念，循序漸進(jìn)、逐級抽象，歸納固有屬性，揭示概念本質(zhì)特征，準(zhǔn)確定義。數(shù)學(xué)建模是建立在牢固掌握數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，對實(shí)際情境進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)方式表達(dá)問題、提出問題、剖析歸納、建立模型、求解檢驗(yàn)，最終解決實(shí)際問題，它是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容。數(shù)學(xué)概念是經(jīng)過反復(fù)驗(yàn)證的真理，也是學(xué)生解題的理論依據(jù)，其重要性不言而喻。高中數(shù)學(xué)教師在講解概念時(shí)，可以滲透建模思想，引導(dǎo)學(xué)生自然且流暢地學(xué)習(xí)和應(yīng)用。

例如，在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)人教版高二選擇性必修第二冊中的《數(shù)學(xué)歸納法》時(shí)，相關(guān)的步驟就是（1）奠基：證明n=1 時(shí)命題成立；（2）歸納假設(shè)：設(shè)n≤k 時(shí)命題成立；（3）歸納遞推：由歸納假設(shè)推出n=k+1 時(shí)命題也成立；教師就可以創(chuàng)設(shè)一個(gè)命題，即先在桌上擺放一列紙牌，讓其豎著站立，然后給出對應(yīng)條件：第一張紙牌“躺平”；如果前一張紙牌“躺平”，那么后一張也一定會(huì)“躺平”，再提問學(xué)生：按照既定條件，通過外力干預(yù)，將第一張紙牌推倒，那么后面的所有紙牌是否都會(huì)“躺平”？這個(gè)命題就是假設(shè)，全部都會(huì)倒下，這時(shí)學(xué)生就會(huì)自主實(shí)踐，并記錄每一次結(jié)果，而教師則需適時(shí)引出“數(shù)學(xué)歸納法”的概念，引導(dǎo)學(xué)生分別去掉第一、第二個(gè)條件進(jìn)行驗(yàn)證，再將二者結(jié)合起來驗(yàn)證，由此使之準(zhǔn)確把握概念內(nèi)涵，在實(shí)踐中進(jìn)行應(yīng)用和驗(yàn)證，通過歸納推理，確定命題的正確性，從而形成建模意識［3］。

（二）在解題教學(xué)中引入建模方法

在數(shù)學(xué)教育中，學(xué)生既需要學(xué)習(xí)理論，也需要進(jìn)行解題，通過學(xué)、用結(jié)合形成穩(wěn)固的認(rèn)知。此時(shí)，教師可以在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中引入建模方法，以簡化他們的學(xué)習(xí)流程。例如，教師在講授人教版高一數(shù)學(xué)必修第一冊中的《三角函數(shù)的應(yīng)用》時(shí)，可以給出具體的問題，然后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件、數(shù)量關(guān)系來建模，這時(shí)可以要求學(xué)生畫出對應(yīng)的三角函數(shù)圖象，并結(jié)合有序?qū)崝?shù)組進(jìn)行觀察，再分析其對應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)據(jù)，得出相應(yīng)結(jié)論后，回過頭驗(yàn)證已得數(shù)據(jù)是否在函數(shù)圖象上，由此判斷模型是否合理。以這樣的方法，學(xué)生能夠更加高效且準(zhǔn)確地掌握解決數(shù)學(xué)問題的方法和步驟，也可以形成清晰的思路，進(jìn)而不斷強(qiáng)化他們的解題能力。整個(gè)建模流程如圖1 所示：

圖1 數(shù)學(xué)模型整體準(zhǔn)備流程示意圖

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常遇到知識關(guān)聯(lián)性強(qiáng)、聯(lián)系緊密的學(xué)習(xí)內(nèi)容，針對這些教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，教師可以創(chuàng)設(shè)相關(guān)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，讓學(xué)生感受知識相互之間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，合理選擇不同的模型解決相應(yīng)的問題，從中掌握建模的流程。在學(xué)生學(xué)習(xí)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)相關(guān)知識后，創(chuàng)設(shè)一個(gè)如下的實(shí)際問題。

例如，假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40 元；方案二：第一天回報(bào)10 元，以后每天比前一天多回報(bào)10 元；方案三；第一天回報(bào)0.4 元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。

請問學(xué)生會(huì)選擇哪種投資方案？通過分析，我們應(yīng)該先建立三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)模型，再研究三個(gè)函數(shù)的增長情況來決定擇投資方案。

通過習(xí)題教學(xué)，明確函數(shù)是描述客觀世界變化的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要不同的函數(shù)模型來刻畫，從而根據(jù)它的運(yùn)動(dòng)變化類型，選擇合適的函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題化歸為數(shù)學(xué)問題；再通過運(yùn)算、推理，求解函數(shù)模型。最后利用函數(shù)模型的解說明實(shí)際問題的變化規(guī)律，達(dá)到解決問題的目的，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生選模能力，掌握數(shù)學(xué)建模流程。

（三）在作業(yè)講評教學(xué)中鞏固建模能力

數(shù)學(xué)建模是一種以數(shù)學(xué)知識和特定條件為依托所建立起來的開放式模型，其所代表的含義不是簡單的“答案”就能概括的，而是更具綜合性、靈活性，因此教師在作業(yè)講評活動(dòng)中要調(diào)整思路，結(jié)合實(shí)例進(jìn)行針對性點(diǎn)評，從而不斷鞏固學(xué)生的建模能力。例如，教師可以根據(jù)新課標(biāo)的具體要求優(yōu)化作業(yè)講評模式，并主動(dòng)滲透激勵(lì)評價(jià)、過程評價(jià)、多元目標(biāo)評價(jià)的理念，即從學(xué)生的作業(yè)中挖掘其在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中的優(yōu)勢，并加以表揚(yáng)和鼓勵(lì)，同時(shí)可邀請他們在班級中分享個(gè)人的思路，以此既能深化他們的認(rèn)知，增強(qiáng)其自信心，也可以激勵(lì)其他人在日常學(xué)習(xí)中主動(dòng)創(chuàng)新、深入思考。另外，在講評活動(dòng)中還需關(guān)注過程，著重分析每一個(gè)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建細(xì)節(jié)，同時(shí)展示學(xué)生作業(yè)中比較典型的問題，并加以優(yōu)化，從而加深他們的印象，也可以選取正面案例，以過程十分詳細(xì)的作業(yè)為對象，在班級中進(jìn)行展示和分析，輔助其他人形成完善的建模思路，還要關(guān)注學(xué)生在作業(yè)建模過程中表現(xiàn)出來的各種能力，如思維能力、綜合應(yīng)用能力、創(chuàng)新能力、自主學(xué)習(xí)能力等，然后結(jié)合多元目標(biāo)對他們進(jìn)行針對性點(diǎn)評，進(jìn)而從整體上提高他們的數(shù)學(xué)作業(yè)質(zhì)量，推動(dòng)其建模能力的穩(wěn)定發(fā)展。

如圖2，有一幅壁畫，最高點(diǎn)A 處離地面4m，最低點(diǎn)B 處離地面2m，若從離地高1.5m 的C 處觀賞它，則離墻多遠(yuǎn)時(shí)，視角θ 最大?這個(gè)題目的解題思路就是大角減去小角的正切，接著利用正切的單調(diào)性，求得正切的最大值，這樣就自然得到視角的最大值。這個(gè)作業(yè)學(xué)生之所以一頭霧水是因?yàn)闆]有將生活和數(shù)學(xué)建模相聯(lián)系。遇到這類問題需要學(xué)會(huì)類比推理。

圖2 示意圖

四、關(guān)于高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的反思

（一）建模教學(xué)需要立足學(xué)習(xí)興趣與知識基礎(chǔ)

對很多學(xué)生而言，數(shù)學(xué)建模實(shí)際上是一種比較枯燥的活動(dòng)，且必須具備豐富的知識才能保證該項(xiàng)活動(dòng)的成效。所以，高中數(shù)學(xué)教師在指導(dǎo)學(xué)生建模時(shí)，要關(guān)注他們的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，采取有效措施調(diào)度其興趣，且要了解他們的認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，選擇易于被他們理解和接受的方式引導(dǎo)其建模。例如，教師可以將建模教學(xué)分成由易到難三個(gè)層次，并設(shè)計(jì)針對性的建模任務(wù)，同時(shí)要聯(lián)系課本內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際生活，融入他們感興趣的元素，然后根據(jù)學(xué)生能力引導(dǎo)其對號入座，促使他們發(fā)揮自身主觀能動(dòng)性展開探究，也可以鼓勵(lì)其合作探究，降低難度，有利于提升其學(xué)習(xí)效率、強(qiáng)化其成就感，促使他們感受數(shù)學(xué)魅力，進(jìn)行趣味學(xué)習(xí)。

（二）建模教學(xué)需要注重過程與環(huán)境創(chuàng)設(shè)

數(shù)學(xué)建模是一項(xiàng)十分細(xì)致的活動(dòng)，每個(gè)環(huán)節(jié)都有密切的關(guān)系，且每一個(gè)模型都有其自身的局限性，必須在特定條件下才能成立，因而在指導(dǎo)高中學(xué)生建模時(shí)，數(shù)學(xué)教師要注重創(chuàng)設(shè)合適的環(huán)境與條件，便于學(xué)生迅速抓住關(guān)鍵信息，同時(shí)要關(guān)注學(xué)生的建模過程，保證環(huán)環(huán)相扣、邏輯清晰，只有這樣，最終的數(shù)學(xué)模型才會(huì)更加準(zhǔn)確和實(shí)用。為此，教師首先要明確建模教學(xué)的類型、目的，并選定題目，然后利用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)生活情境、動(dòng)畫情境、視頻情境，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生好奇心，再設(shè)計(jì)相應(yīng)的探索主題，給出大致的流程和步驟，從而輔助學(xué)生循序漸進(jìn)地探索，便于他們更加快速地進(jìn)入狀態(tài)，對各種條件進(jìn)行組合、拓展，然后構(gòu)筑出合適的數(shù)學(xué)模型，并反過來進(jìn)行驗(yàn)證，確認(rèn)過程和結(jié)果均無誤后再提交學(xué)習(xí)成果，接受教師和其他同學(xué)的點(diǎn)評。

（三）建模教學(xué)應(yīng)當(dāng)重視模型檢驗(yàn)環(huán)節(jié)

讓學(xué)生掌握建立數(shù)學(xué)模型的方法很重要，但更重要的是要保證其所建模型的實(shí)用性、準(zhǔn)確性。因此，在高中數(shù)學(xué)教育中，教師不能以教會(huì)學(xué)生建模為終極目標(biāo)，而是要關(guān)注后續(xù)，以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度對待每個(gè)學(xué)生建立的每一個(gè)數(shù)學(xué)模型，判斷其是否與相關(guān)知識契合，能否真正用來解決普遍問題。具體而言，教師可以根據(jù)學(xué)生建模的條件和局限性對數(shù)學(xué)模型展開細(xì)致且深入地分析，然后設(shè)計(jì)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題，將二者結(jié)合起來看能否成立，若成立，就可以將該建模應(yīng)用于具體的問題解決環(huán)節(jié)；若不成立，就必須借助相關(guān)的條件重新探索，構(gòu)筑一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型，且每一次要注重多給學(xué)生預(yù)留一些自主探究的機(jī)會(huì)，即提出問題之后要求學(xué)生再次審視自己所建立的數(shù)學(xué)模型，結(jié)合相關(guān)實(shí)例去分析存在的問題。只有這樣，才能使學(xué)生養(yǎng)成良好的習(xí)慣，在之后的建?；顒?dòng)中更加嚴(yán)謹(jǐn)和認(rèn)真，同時(shí)減少出錯(cuò)率。

五、結(jié)語

總而言之，數(shù)學(xué)建模教育的順利開展需要依托于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，即學(xué)生必須能掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)原理，挖掘問題本質(zhì)，且需要經(jīng)過探索對抽象知識形成感性認(rèn)知，再挖掘規(guī)律將其轉(zhuǎn)化為個(gè)人的內(nèi)在素養(yǎng)，并真正了解知識本質(zhì)，學(xué)會(huì)用其解決各種類型的數(shù)學(xué)問題。因此，高中數(shù)學(xué)教師必須重視建模教學(xué)，結(jié)合具體的授課內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，并鼓勵(lì)他們提出問題，然后調(diào)動(dòng)一切力量分析和解決問題，同時(shí)要著重培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)表達(dá)能力，使之能夠?qū)⑺鶎W(xué)化為所用，在實(shí)踐探究中形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。