張倩男， 李 圓， 丁國威， 劉 通， 田夢(mèng)真

（1.商丘工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部， 河南 商丘 476000； 2.黃河交通學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部， 河南 焦作 454002；3.黃河交通學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院， 河南 焦作 454002）

1 問題重述

某建筑和裝飾板材的生產(chǎn)企業(yè)所用原材料為A、B、C 三種類型，該企業(yè)需要根據(jù)產(chǎn)能要求確定需要訂購的原材料供應(yīng)商和相應(yīng)每周的原材料訂購數(shù)量，確定轉(zhuǎn)運(yùn)商并委托其將供應(yīng)商每周的原材料供貨量轉(zhuǎn)運(yùn)到企業(yè)倉庫。分析某企業(yè)近5 年402 家原材料供應(yīng)商的訂貨量和供貨量數(shù)據(jù)。2021 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽C 題[1]旨在引導(dǎo)學(xué)生通過背包模型來研究企業(yè)原材料訂購與運(yùn)輸?shù)膬?yōu)化問題。

1）對(duì)402 家供應(yīng)商的供貨特征進(jìn)行量化分析，建立反映保障企業(yè)生產(chǎn)重要性的數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上確定50 家最重要的供應(yīng)商，并在論文中列表給出結(jié)果。

2）參考問題1，該企業(yè)應(yīng)至少選擇多少家供應(yīng)商供應(yīng)原材料才可能滿足生產(chǎn)的需求？針對(duì)這些供應(yīng)商，為該企業(yè)制定未來24 周每周最經(jīng)濟(jì)的原材料訂購方案，并據(jù)此制定損耗最少的轉(zhuǎn)運(yùn)方案。試對(duì)訂購方案和轉(zhuǎn)運(yùn)方案的實(shí)施效果進(jìn)行分析。

2 基本假設(shè)及符號(hào)說明

2.1 基本假設(shè)

假設(shè)生產(chǎn)企業(yè)在第一周初始時(shí)原材料的儲(chǔ)存量為零；轉(zhuǎn)運(yùn)損耗率小與轉(zhuǎn)運(yùn)公司實(shí)力成負(fù)相關(guān)；企業(yè)要保持大于等于滿足兩周生產(chǎn)需求的原材料庫存量；假設(shè)原材料只有轉(zhuǎn)運(yùn)損耗，沒有庫存損耗。

2.2 符號(hào)說明（見表1）

表1 符號(hào)說明

3 模型的建立與求解

3.1 問題一建模與求解

3.1.1 利用SPSS 分析供應(yīng)量與采購量相關(guān)性

求出402 家每一家供應(yīng)商的總供貨量和企業(yè)對(duì)應(yīng)每一家供應(yīng)商的總采購量，并分別計(jì)算其平均值，進(jìn)而求出402 家供貨商的供貨量的標(biāo)準(zhǔn)差和企業(yè)采購量的標(biāo)準(zhǔn)差，通過平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行SPSS 相關(guān)性分析，衡量兩個(gè)變量的相關(guān)程度。結(jié)果見表2，可知總供貨量和企業(yè)總采購量的相關(guān)性系數(shù)為0.946，說明總供貨量和企業(yè)總采購量之間存在極顯著的正相關(guān)關(guān)系。

表2 供貨量和采購量相關(guān)性

3.1.2 用層次分析法分析權(quán)重

利用EXCEL 對(duì)附件1 中402 家供貨商的供貨量和企業(yè)在每一家供貨商的采購量進(jìn)行求和處理，對(duì)總供貨量和總采購量進(jìn)行求差處理，以選擇合適的供貨商為目標(biāo)層，以總供貨量、總采購量、總供貨量與總采購量的差值為準(zhǔn)則層，采用層次分析法分析三者的權(quán)重，通過權(quán)重比較，篩選出50 家最重要的供貨商。由于附件1 中的數(shù)據(jù)過大，不易分析，為使得方便求解，因此令總訂貨量小于總供貨量為數(shù)值3，等于為數(shù)值2，大于為數(shù)值1 建立量化矩陣。

3.1.2.1 遞階層次結(jié)構(gòu)的建立

為構(gòu)建合適的層次結(jié)構(gòu)，對(duì)各項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行分析，最終選擇以選擇合適的供貨商為目標(biāo)層，以總供貨量、總采購量、總供貨量與總采購量的差值為準(zhǔn)則層，以402 家供貨商為方案層建立層次結(jié)構(gòu)模型[2]。

3.1.2.2 構(gòu)造比較判斷矩陣

遞階層次結(jié)構(gòu)確定后，上下兩個(gè)層次的關(guān)系隨之確定，以上一層的特征值為準(zhǔn)則，確定下層相對(duì)于上層的重要性進(jìn)而賦予其相應(yīng)的權(quán)重。因?yàn)楸疚牡臄?shù)據(jù)過多，指標(biāo)準(zhǔn)則少，元素的權(quán)重不能直接接得出。因此采用兩兩比較方法對(duì)權(quán)重進(jìn)行計(jì)算，收集各項(xiàng)指標(biāo)的原始數(shù)據(jù)，構(gòu)建比較判斷矩陣：R=（rij）

若rij＞0、rij=1/rji、rii=1（i，j=1，2，…，n），則比較判斷矩陣：

3.1.2.3 單準(zhǔn)則下的排序及一致性檢驗(yàn)

由于準(zhǔn)則控制著下一層的因素，因此這些要素間可以構(gòu)成一個(gè)條件判斷矩陣，本文采取特征根方法計(jì)算權(quán)重，該方法可以保證得到的排序向量有正值性和唯一性。

1）最大特征根。設(shè)n 階方程R＞0，λmax為R 的最大特征根。即：

2）判斷矩陣。通過資料[3]發(fā)現(xiàn)矩陣R 的階數(shù)n 不超過R 的最大特征值λmax，即：

3）歸一化。將判斷矩陣列向量歸一化：

根據(jù)以上式子，可得到R 的最大特征值為：

式中：（RW）i為RW 的第i 個(gè)分量。

對(duì)附件1 數(shù)據(jù)進(jìn)行量化分析后，將所得數(shù)據(jù)代入以上算法，結(jié)果見表3，分析發(fā)現(xiàn)一致性檢驗(yàn)結(jié)果通過，則可以認(rèn)為結(jié)果是準(zhǔn)確的。

表3 一致性結(jié)果

三項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)重：W1表示總供應(yīng)量在數(shù)據(jù)中的權(quán)重，W2表示總訂單在數(shù)據(jù)中的權(quán)重，W3表示差值在數(shù)據(jù)中的權(quán)重，利用MATLAB 求解，結(jié)果分別為0.648 33、0.122 02、0.0.229 65。

3.1.3 篩選供貨商

供貨商的供貨量是一個(gè)企業(yè)生產(chǎn)中最重要的體現(xiàn)之一，假如供貨量達(dá)不到企業(yè)生產(chǎn)的最低消耗量，那么生產(chǎn)活動(dòng)將會(huì)停止，進(jìn)而影響生產(chǎn)效益。利用EXCEL 對(duì)表4 中的權(quán)重比從大到小排序，選出前50名的供貨商，結(jié)果見表4。

表4 供貨商部分名單

3.2 問題二建模與求解

3.2.1 0-1 規(guī)劃模型求供應(yīng)商數(shù)量

參考問題一，在402 家供應(yīng)商中選出了最重要的50 家供應(yīng)商，依據(jù)是這50 家供應(yīng)商的供貨量相比于其他供應(yīng)商要多。因此該問所求就是供貨量最多，并且能滿足企業(yè)生產(chǎn)的最少供應(yīng)商數(shù)量。將所有供應(yīng)商進(jìn)行分類，按照同種原材料分成一類，共分成A、B、C三大類，在這三大類中對(duì)供應(yīng)商進(jìn)行選擇，因此每一類中的每一家供應(yīng)商都有兩個(gè)選擇，采用0-1 整數(shù)規(guī)劃模型對(duì)三類原材料供應(yīng)商建立相對(duì)應(yīng)的模型。設(shè)：

1）第j 周利用原材料A、B、C 生產(chǎn)的產(chǎn)品量：

2）原材料第j 周的庫存量：

3）第i 家原材料的供應(yīng)量和庫存量與產(chǎn)能的關(guān)系：

4）因?yàn)樗鬄樽钌俟?yīng)商數(shù)量，所以目標(biāo)函數(shù)為：

以最少供應(yīng)商數(shù)量為目標(biāo)函數(shù)，以原材料的供應(yīng)量和庫存量與產(chǎn)能的關(guān)系為約束條件建立0-1 規(guī)劃模型。

3.2.2 整數(shù)規(guī)劃求解原材料訂購

在上一小問求得的供應(yīng)商基礎(chǔ)上，對(duì)供應(yīng)商的三種原材料價(jià)格進(jìn)行分析，采取最經(jīng)濟(jì)的采購方式，使得生產(chǎn)效益達(dá)到最大化。從題目中可知A 和B 類原材料的采購單價(jià)分別比C 類原材料高20%和10%，并且三類原材料運(yùn)輸和儲(chǔ)存的單位費(fèi)用相同。假設(shè)C類原材料單價(jià)為1，則A 類為1.2，B 類為1.1。用整數(shù)規(guī)劃模型對(duì)三類原材料供應(yīng)商建立相對(duì)應(yīng)的模型。設(shè)

1）第j 周利用原材料A，B，C 生產(chǎn)的產(chǎn)品量：

2）原材料A 第j 周的庫存量：

3）第i 家原材料A 的供應(yīng)量和庫存量與產(chǎn)能的關(guān)系：

4）因?yàn)樗鬄樽钌俨少彸杀?，所以目?biāo)函數(shù)為：

以原材料最低采購成本為目標(biāo)，各周利用原材料A、B、C 生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量和選擇哪家供應(yīng)商為決策變量，通過上述各約束條件，建立整數(shù)規(guī)劃模型。

3.2.3 目標(biāo)規(guī)劃選擇損耗最小方案

在選擇成本最小的采購方式上，對(duì)運(yùn)輸途中的損耗進(jìn)行分析。在實(shí)際運(yùn)輸過程中，材料的損耗不可避免，因此生產(chǎn)企業(yè)收到的材料并不是轉(zhuǎn)運(yùn)商轉(zhuǎn)運(yùn)的全部供貨量，而是除去損耗后的接收量［接收量=供貨量×（1- 損耗率）］。為使得原材料接收量達(dá)到最大，那么在轉(zhuǎn)運(yùn)途中的損耗量=供貨量×損耗率必須要達(dá)到最小，另外接收量要滿足正常的生產(chǎn)活動(dòng)。

建立目標(biāo)規(guī)劃模型。

1）通過對(duì)庫存量分析，保證庫存量在這24 周內(nèi)有余量，對(duì)其建立規(guī)劃方程：

2）從三種原材料中選擇合適的比例，保證產(chǎn)能可以達(dá)到：

3）總接收量和總生產(chǎn)產(chǎn)能的關(guān)系：

4）損耗最小方程：

當(dāng)hij=0 時(shí)tij=0，假設(shè)A、B、C 三種材料的第一周庫存量均為0。

5）A、B、C 三種原材料的供應(yīng)商數(shù)量受到采購成本的限制，所以該問題中需要此目標(biāo)函數(shù)確定三種原材料的供貨量：

通過以上公式建立多目標(biāo)規(guī)劃模型[4]，求解損耗量最低時(shí)的材料轉(zhuǎn)運(yùn)方案。

3.2.4 問題二結(jié)果分析

1）若想選擇最少的供應(yīng)商來完成原材料供應(yīng)需求，則需要選擇供應(yīng)量數(shù)量排名較高的供應(yīng)商，此處可參考問題一的供應(yīng)商排名，其選擇結(jié)果見圖1。

通過MATLAB 求解可得到：至少需要23 家供應(yīng)商才能滿足需求，結(jié)果見表5。

表5 23 家供應(yīng)商名稱

2）訂購方案：若要選擇未來24 周每周最經(jīng)濟(jì)的原材料訂購方案，則在滿足生產(chǎn)需求的情況下可多訂購B 類原材料、少訂購C 類原材料，訂購方案見圖2。

3）轉(zhuǎn)運(yùn)方案：在原材料訂購最經(jīng)濟(jì)的情況下，選擇損耗率最小的轉(zhuǎn)運(yùn)方案，可優(yōu)先選擇T1、T2、T3 來轉(zhuǎn)運(yùn)原材料，T5、T6、T7、T8 轉(zhuǎn)運(yùn)商因?yàn)槠滢D(zhuǎn)運(yùn)過程中的損耗率較高，可以不考慮，其結(jié)果見圖3。

4 結(jié)論

根據(jù)原材料的供應(yīng)鏈管理，考慮包含生產(chǎn)企業(yè)、原材料供應(yīng)商、轉(zhuǎn)運(yùn)商的三層供應(yīng)鏈中的生產(chǎn)和訂購問題。

1）對(duì)供應(yīng)商的供貨特征進(jìn)行量化分析，利用SPSS軟件找出影響企業(yè)重要性的因素，建立了層次分析模型，利用MATLAB 軟件求解，確定了保障企業(yè)生產(chǎn)的50 家最重要的供應(yīng)商。

2）在滿足生產(chǎn)需求的前提下，以供應(yīng)商最少為目標(biāo)函數(shù)建立0-1 規(guī)劃模型，通過MATLAB 對(duì)模型進(jìn)行求解，選出23 家供應(yīng)商。分別以總成本降為最低、轉(zhuǎn)運(yùn)損耗率最小為目標(biāo)函數(shù)，分別建立目標(biāo)規(guī)劃模型，得到最優(yōu)的訂購方案和最優(yōu)的轉(zhuǎn)運(yùn)方案。