蔣彥磊

（南京市江寧高級中學，江蘇 南京 211100）

數(shù)列求和問題一直是高考中一類比較常見的題型，是高考中的熱點與重點之一。對于“等差*等比”型的數(shù)列求和，傳統(tǒng)的方法是“錯位相減法”，該方法雖操作過程簡單，但式子變形技巧強、關鍵點多、對學生的運算能力要求高等，學生經(jīng)常不小心就出錯。本文筆者從另一視角探究解決此類型數(shù)列求和的其他一般性解法，供大家參考。

一、問題的提出

數(shù)列是高考考查的重點內(nèi)容，主要考查學生的運算求解能力，無論是小題還是解答題都有所涉及，尤其是數(shù)列求和問題涉及的知識點多、方法多、綜合性強等對學生的能力要求高，很多學生常因解答過程繁雜、運算能力弱導致失分。若能轉換因方法多樣、題型靈活問題解決的視角，認清本質(zhì)也可以簡化運算，提高解題效率。以下面問題為例：

（2020 全國3 理17）設數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n。

（1）略；（2）求數(shù)列｛2n·an｝的前n項和Sn。

此題，第（1）問是典型的構造數(shù)列求通項問題，根據(jù)遞推式的結構特點，考慮到兩邊加上一個等差數(shù)列的相鄰項即可構造特殊數(shù)列｛an-2n-1｝為常數(shù)列，從而得an=2n+1。第（2）問是數(shù)列求和問題，通項公式為“等差*等比”型，通常利用錯位相減法可以得出結果Sn=(2n-1)·2n+1+2。但通過以往的教學可以知道，錯位相減法容易理解，且操作過程固定，學生易于掌握，但因計算量大，注意點多，學生經(jīng)常出錯，有些老師也會錯誤地引導，認為解決此類數(shù)列求和的方法只有這一種，讓學生遇到此類問題總有一種“自古華山一條道”感覺，戰(zhàn)戰(zhàn)兢兢地算下去。但數(shù)列的本質(zhì)特點是按照一定次序排成的一列數(shù)，項與和之間本質(zhì)上可以直接轉化，所以，對于問題（2）是不是可以借助項和關系可參考問題（1）的方法構造新數(shù)列解決呢？

二、問題的解決

由項和關系式易知：當n≥ 2時即觀察：數(shù)列｛(2n+1)·2n｝是由等差數(shù)列｛(2n+1)｝與等比數(shù)列｛2n｝相乘構造，可嘗試把數(shù)列｛(2n+1)·2n｝拆分成兩個相同結構的一個數(shù)列的相鄰兩項的差，再直接構造與Sn有關的新數(shù)列，間接得到Sn。

（一）嘗試構造，解決問題

解：（1）an=2n+1；

利用待定系數(shù)法，令

對應系數(shù)相等得k=4,b=-2.

所以，(2n+1)·2n=(4n-2)·2n-(4n-6)·2n-1,n≥2.

記bn=(4n-2)·2n.則 (2n+1)·2n=bn-bn-1,n∈N*且n≥2.

所以，Sn=Sn-1+bn-bn-1,n≥ 2.即Sn-bn=Sn-1-bn-1,n≥2.

又當n=2時，S2-b2=S1-b1=2.

所以數(shù)列｛Sn-bn｝為常數(shù)列，即Sn-bn=2,n∈N*.所以，

（二）優(yōu)化解法，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)

在前面，構造關于與Sn有關的新數(shù)列的過程中，得到Sn=Sn-1+bn-bn-1,n≥ 2.即

Sn-Sn-1=bn-bn-1,n≥ 2.所以，求和過程還可以做“裂項”處理：

（接方法 一）因為bn=(4n-2)·2n，則(2n+1)·2n=bn-bn-1,n∈N*且n≥ 2.又 當n=0,1時也成立。所以

其實上述解決問題的兩個角度是有必然聯(lián)系的，都可以歸為裂項變形策略，下統(tǒng)稱為“裂項法”。由于數(shù)列通項的特點是等差數(shù)列*等比數(shù)列，考慮到等差數(shù)列通項公式的特點及推導方法（裂項疊加消元），也可把通項變形為有相似結構的數(shù)列相鄰兩項的差，如：［a(n+1)+b］·qn+1-（an+b）·qn，再利用待定系數(shù)法確定系數(shù)，就可以順利將錯位相加法求和問題轉化為裂項相消解決，大大減少了運算難度，且不容易出錯。只是在確定系數(shù)時要細心計算，對求得的檢驗一下，確保無誤再繼續(xù)求和。該方法更接近問題的本質(zhì)，相比于“錯位相減法”的計算過程，運算過程更優(yōu)化，學生更容易算對，這不僅能提升學生學好數(shù)學的信心，拓寬了學生的思維，也提醒老師在日常教學中引導學生多視角思考問題，多角度解決問題。同時也給老師的教學研究提供了新的思考點，更有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)和關鍵能力。

三、問題的引申

（一）結論

一般模型數(shù)列{(an+b)·qn}其中a≠0,q≠0 且q≠1 的前n項和為Sn，則

證明：

記數(shù)列｛（an+b）·qn｝其中a≠ 0,q≠ 0且q≠ 1的前n項的和為Sn。由錯位相減法可以得到

考慮到Sn中含有代數(shù)式參考引例，下用裂項法處理通項。

結論：“裂項法”對于一般數(shù)列｛（an+b）·qn｝其中a≠0,q≠0 且q≠1 的求和問題都適用。該方法更接近求和問題的本質(zhì)，相比于以往常規(guī)的計算方法，運算過程學生更容易接受，解題思維也更加流暢自然。

（二）引申

對于一 般模型數(shù)列 ｛（an2+bn+c）·qn｝其 中a≠ 0,q≠ 0且q≠ 1的求和問題是否適用？

下面以一道具體事例進行探究：

例.求數(shù)列｛(n2+n)·2n｝的前n項的和Sn。

解法1：依然利用待定系數(shù)法，令

展開，對應系數(shù)相等，容易得到

由此看來，“裂項法”也可以解決此類數(shù)列的求和問題，對于一般模型的驗證過程，請有興趣的讀者可以試試。解法2 兩次使用錯位相減最終得到答案，進一步說明了“裂項法”與錯位相減法的本質(zhì)一致，方法同源，也進一步說明了這兩種方法的普適應和統(tǒng)一性。

四、反思

（一）“裂項法”的一般性

從前面的典例研究過程中，不難發(fā)現(xiàn)，“裂項法”對于多項式數(shù)列*等比數(shù)列型的數(shù)列求和即an=(bm-1nm-1+bm-2nm-2+……+b1n+b0)qn型的數(shù)列求和問題都適用。下面以m次多項式*等比數(shù)列為例介紹一般操作方法：我們只研究q≠ 1的情形，設an=(λm-1nm-1+λm-2nm-2+……+λ1n+λ0)qn-(λm-1(n-1)m-1+λm-2(n-1)m-2+……+λ1(n-1)+λ0)qn-1將上式打開，按照降冪規(guī)則合并同類項，整理成如下形式：an=(μm-1nm-1+μm-2nm-2+……+μ1n+μ0)qn。其中μ0，μ1，……μm-1是用λ0，λ1，……λm-1，q來表示的一次式。利用對應系數(shù)相等得到一個m元一次方程組，用代入法可以解出λ0，λ1，……λm-1，接著用“裂項法”即可求出數(shù)列{an}的前n項和Sn=(λm-1nm-1+λm-2nm-2+……+λ1n+λ0)qnλ0不難看出，當多項式次數(shù)較高時，錯位相減法就顯得非常復雜了，“裂項法”的優(yōu)越性就顯而易見。

（二）裂項法使用的要點

裂項法在使用過程中需注意以下幾點：

1.待定系數(shù)法確定裂項系數(shù)時，最好根據(jù)通項結構進行選擇。如等。

2.選擇不同的相鄰項，對于下標n的取值有不同要求。如，引例法2 裂項求和中，最終n的取值需要從0開始，而變式1 中的n取值從1 開始。

3.無論哪一種方法，都要有首項驗證的意識。

（三）從思想方法上看，數(shù)列求和的本質(zhì)就是消項。

大家知道連續(xù)函數(shù)的定積分，根據(jù)牛頓—萊布尼茨公式，可以求出原函數(shù)后作差，而數(shù)列是離散型的函數(shù)，且“（xn）'=n·xn-1”因此形如｛（an+b）·qn｝類數(shù)列求和也可轉化為“差”的形式。如：

(an+b)·q n=anq n+bq n=aq·(nqn-1)+bqn，這樣問題轉化為一個特殊數(shù)列｛n·qn-1｝和一個等比數(shù)列的求和問題，只要求出特殊數(shù)列｛n·qn-1｝的前n項的和，即可解決問題。在式子n·qn-1中，把q視作變量，聯(lián)想到導數(shù)公式（xn）'=n·xn-1，故還可以用導數(shù)法來解決求和問題。

所以從數(shù)學本質(zhì)上看，數(shù)列求和的根本方法是“裂項相消”（差分求和），故本文討論的方法具有普適性。

通過以上討論不難發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列求和問題中，雖方法多樣，但一定要看清本質(zhì)，靈活選擇。相比于傳統(tǒng)方法，“裂項法”運用靈活廣泛，思路簡潔清晰，計算化繁為簡，學生不容易出錯，在掌握好錯位相減法的基礎上，再引導學生通過對數(shù)列通項的特征進行觀察比較、挖掘通項本質(zhì)內(nèi)涵，更能進一步理解解題的思想和方法，增強解題能力和自信，從而有利于學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培育。另外，新高考更注重對學生學科關鍵能力的考查，這就要求老師在課堂教學中，要有意識地引導學生多角度思考問題，經(jīng)歷多方法解決問題尤其是典型問題的探究過程不僅要實更要廣，這不僅有助于加深老師對學科內(nèi)容的理解也促使著學生在解題過程中形成有規(guī)律的程序化的解題思路，優(yōu)化解法和快速準確解題，也提升了學生的數(shù)學邏輯思維能力和數(shù)學運算能力，還能讓學生開拓了數(shù)學視野、堅定了學好數(shù)學的信心，更有利于學生的持續(xù)發(fā)展和多元發(fā)展。