鮑玲玲， 靳鵬飛， 王雪， 胡兆豐， 耿金

(河北工程大學(xué)能源與環(huán)境工程學(xué)院， 邯鄲 056038)

近年來，針對(duì)多孔介質(zhì)的傳熱過程中外學(xué)者進(jìn)行了一系列研究，多孔介質(zhì)的熱傳導(dǎo)問題具有重要的工業(yè)應(yīng)用價(jià)值，在地?zé)崮芾?、土壤傳熱、?fù)合材料傳熱機(jī)理,礦井材料保溫性能等[1-4]具有重要的作用。導(dǎo)熱系數(shù)作為表征多孔介質(zhì)重要的熱物性參數(shù)，對(duì)其準(zhǔn)確測量在許多學(xué)科領(lǐng)域具有重要的作用。但自然界中多孔介質(zhì)內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，如多孔介質(zhì)、多孔材料及其他多孔介質(zhì)，其孔隙大小參差、分布規(guī)律呈無序狀態(tài)、從而很難用常規(guī)方法對(duì)有效導(dǎo)熱系數(shù)進(jìn)行預(yù)測。常用來預(yù)測多孔介質(zhì)有效導(dǎo)熱系數(shù)的方法包括數(shù)值模型和解析解模型，但由于多孔介質(zhì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和不確定性，建立的預(yù)測模型公式中常包含經(jīng)驗(yàn)常數(shù)或含有多個(gè)變量。預(yù)測公式求解復(fù)雜不能客觀地對(duì)多孔介質(zhì)傳熱特性進(jìn)行描述。陳松林等[5]結(jié)合分形理論建立了多孔介質(zhì)導(dǎo)電率模型，結(jié)果表明多孔介質(zhì)電導(dǎo)率受其內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)影響。Gsj等[6]基于串并聯(lián)熱阻法建立了巖土導(dǎo)熱系數(shù)模型，結(jié)果表明巖土介質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù)與其組分，含水量等因素有關(guān)。王志國等[7]利用“三箱”模型對(duì)多孔介質(zhì)傳熱過程進(jìn)行分析，建立了多孔介質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算公式，但公式適用于兩相狀態(tài)下。Wang等[8]利用分形理論建立了三相共存導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算模型，但特征長度隨樣本區(qū)域發(fā)生變化時(shí)孔隙率并不會(huì)發(fā)生改變。Chen等[9]建立了土壤有效導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算模型，但模型中并沒有對(duì)氣、液導(dǎo)熱系數(shù)進(jìn)行單獨(dú)處理，Li等[10]基于Sierpinski地毯分形，構(gòu)建了多孔介質(zhì)有效導(dǎo)熱系數(shù)的三相分形結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)出有效導(dǎo)熱系數(shù)模型，但沒有考慮孔隙直徑和孔隙分布對(duì)有效導(dǎo)熱系數(shù)的影響。Ma等[11]根據(jù)自相似性建立了多孔介質(zhì)有效導(dǎo)熱系數(shù)模型，但自然界中許多物體并不是完全自相似的。王志國等[12]基于表征單元體(representative elementary volume，REV)尺度建立了多孔介質(zhì)導(dǎo)熱分析模型，但模型不能應(yīng)用于非飽和狀態(tài)下。以往研究建立的導(dǎo)熱系數(shù)模型大多數(shù)包含經(jīng)驗(yàn)常數(shù)或模型中未考慮一定尺度范圍下相同的孔隙率會(huì)對(duì)應(yīng)多個(gè)特征長度，導(dǎo)致在一定尺度范圍出現(xiàn)誤差，因此建立一種更接近于實(shí)際導(dǎo)熱系數(shù)模型非常有意義。

分形理論對(duì)研究多孔介質(zhì)微觀物理特性具有重要的作用[13-15]，多孔介質(zhì)導(dǎo)熱率與微觀結(jié)構(gòu)聯(lián)系密切，分形理論可以有效地表達(dá)其微觀結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)基于分形理論在電導(dǎo)率模型框架下將液相飽和度引入，建立一種新的非飽和多孔介質(zhì)有效導(dǎo)熱系數(shù)模型，并利用已公開實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證與分析，討論孔隙率、彎曲度分形維數(shù)、飽和度等對(duì)多孔介質(zhì)有效導(dǎo)熱系數(shù)的影響。可為實(shí)際工程中預(yù)測土壤、保溫材料等非飽和多孔介質(zhì)有效導(dǎo)熱系數(shù)提供理論指導(dǎo)。

1 導(dǎo)熱系數(shù)模型構(gòu)建

圖1所示為多孔介質(zhì)，其內(nèi)部為固相基質(zhì)，外部為孔隙。熱量沿著導(dǎo)熱率較大的路徑傳遞[16]。

圖1 多孔介質(zhì)單元傳熱模型Fig.1 Heat transfer model of porous material unit

對(duì)于圖1所示的傳熱模型，設(shè)單元多孔介質(zhì)固相基質(zhì)邊長為l，由孔隙率的定義可知，多孔介質(zhì)固相基質(zhì)邊長與孔隙率關(guān)系為

(1)

式(1)中：l為多孔介質(zhì)固相基質(zhì)特征邊長；X為多孔介質(zhì)邊長；φ為多孔介質(zhì)孔隙率。

通過熱電類比法將三相導(dǎo)熱過程視為一組串并聯(lián)導(dǎo)熱過程，多孔介質(zhì)的導(dǎo)熱主要為并聯(lián)導(dǎo)熱，中間部分為孔隙相與固相基質(zhì)骨架串聯(lián)導(dǎo)熱。根據(jù)傅里葉定律熱阻可表達(dá)為

(2)

式(2)中：d為多孔介質(zhì)厚度；S傳熱面積；R為熱阻；k為導(dǎo)熱系數(shù)。

(3)

式(3)中：kf，g為孔隙相導(dǎo)熱系數(shù)；ks為固相基質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù)。即kr，a為

(4)

多孔介質(zhì)縱向并聯(lián)熱導(dǎo)率為縱向孔隙相-孔隙固相串聯(lián)-孔隙相并聯(lián)組成，kr，b為縱向并聯(lián)后的導(dǎo)熱率，公式為

(5)

kr為縱向全部并聯(lián)后多孔介質(zhì)的總導(dǎo)熱率，公式為

(6)

當(dāng)多孔介質(zhì)為單位立方體時(shí)，固相基質(zhì)邊長l與單位固相基質(zhì)單位邊長L相等，結(jié)合式(6)在計(jì)算多孔介質(zhì)有效導(dǎo)熱系數(shù)時(shí)可將其視為單位結(jié)構(gòu)。

多孔介質(zhì)內(nèi)部大多無序并且在分布上呈現(xiàn)出不規(guī)則情況，此時(shí)多孔介質(zhì)分布遵循分形幾何的無標(biāo)度規(guī)律，利用分形理論可以更好地描述多孔介質(zhì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)，具體表達(dá)式[17]為

(7)

式(7)中:N為孔隙數(shù)目；λmax為多孔介質(zhì)顆粒最大直徑；λmin為顆粒最小直徑；λmin/λmax需滿足λmin/λmax≤10-2。

對(duì)式(7)在(λ，λ+dλ)上進(jìn)行微分，可得到多孔介質(zhì)顆粒分布和多孔介質(zhì)顆粒入直徑之間的關(guān)系為

(8)

對(duì)于具有自相似性的天然多孔介質(zhì)分形維數(shù)Dfs與孔隙度關(guān)系[18]可表示為

(9)

則多孔介質(zhì)的分形維數(shù)Dfs可以表示為

(10)

式中：DE為空間維度，即在二維空間中為2，在三維空間中為3,2

基于式(6)，對(duì)于多孔介質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)而言，有效導(dǎo)熱系數(shù)與其孔隙率等微觀特征聯(lián)關(guān)系密切，基于模型準(zhǔn)確性，多孔介質(zhì)由干燥至飽和狀態(tài)時(shí)，針對(duì)孔隙相毛細(xì)管的氣，液相分布情況有如下假設(shè)[19]：氣相在毛細(xì)管中以較小孔徑的毛細(xì)管存在，液相則呈環(huán)流狀分布在氣相與固相基質(zhì)之間，在流線范圍內(nèi)環(huán)狀流尺寸保持不變。如圖2所示。

圖2 非飽和多孔介質(zhì)微觀示意圖Fig.2 Microscopic schematic diagram of unsaturated porous media

多孔介質(zhì)內(nèi)部孔隙常常存在氣液兩種狀態(tài)，利用電導(dǎo)率與導(dǎo)熱率在傳遞過程相似的性質(zhì)，可以將飽和度引入有效導(dǎo)熱率模型[20-21]。所以利用基于分形理論的導(dǎo)電率模型[22]，將液相飽和度與導(dǎo)熱率結(jié)合，電導(dǎo)率公式為

(11)

式(11)中：σ0為多孔介質(zhì)總電導(dǎo)率；σw為液相電導(dǎo)率；τ為了通道彎曲度；Dfh為孔隙相分形維數(shù)。

如圖2所示孔隙在實(shí)際多孔介質(zhì)中以彎曲形式存在，DT為描述多孔介質(zhì)流線彎曲度的分形維數(shù)，DT范圍為(1,2)。當(dāng)DT=1時(shí)，流線為直線即充滿氣、液相的孔隙通道為直線，DT越大，通道彎曲度越大。DT可用公式近似[23]表示為

DT=(DE-Dfl+1)+(DE-Dfl)×

(12)

(13)

通過式(12)DT表達(dá)式，可以得到多孔介質(zhì)氣液混合相導(dǎo)熱率[24]為

(14)

式(14)中：Dfl為液相分形維數(shù)。

令

(15)

結(jié)合式(11)～式(15)得到非飽和多孔介質(zhì)kr為

(16)

可以看出對(duì)于液相非飽和多孔介質(zhì)而言，其導(dǎo)熱系數(shù)與孔隙率、固相基質(zhì)單位長度，彎曲度分形維數(shù)、液相飽和度等存在關(guān)聯(lián)。

2 模型驗(yàn)證

為了確定此數(shù)學(xué)模型的精確性，當(dāng)多孔介質(zhì)處于非飽和狀態(tài)時(shí)用本模型預(yù)測數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)所得多組數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比[25-26]，如圖3所示。

圖3 非飽和多孔介質(zhì)預(yù)測數(shù)據(jù)與實(shí)測數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.3 Comparison of predicted data and measured data in unsaturated porous media

當(dāng)φ=0.39，固相基質(zhì)導(dǎo)熱率ks=0.8 W/(m·K)，液相導(dǎo)熱率kf=0.61 W/(m·K)，氣相導(dǎo)熱率kg=0.02 W/(m·K)時(shí)，預(yù)測數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)平均偏差為8.26%。當(dāng)φ=0.42，固相基質(zhì)導(dǎo)熱率ks=3.35 W/(m·K)。液相導(dǎo)熱率kf=2.2 W/(m·K)，氣相導(dǎo)熱率kg=0.02 W/(m·K)時(shí)，預(yù)測數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)平均偏差為11.25%。當(dāng)φ=0.52，固相基質(zhì)導(dǎo)熱率ks=2.85 W/(m·K)，液相導(dǎo)熱率kf=2.2 W/(m·K)，氣相導(dǎo)熱率kg=0.02 W/(m·K)時(shí)，預(yù)測數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)平均偏差為10.9%。

由上述實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證得到該模型預(yù)測結(jié)果與實(shí)際所得數(shù)據(jù)吻合度較好，因此在非飽和狀態(tài)下該數(shù)學(xué)模型能有效地對(duì)多孔介質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù)進(jìn)行預(yù)測，并且預(yù)測值與實(shí)際值有較好的一致性。

3 多孔介質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù)影響因素分析

3.1 固相基質(zhì)長度對(duì)有效導(dǎo)熱系數(shù)的影響

固相基質(zhì)單位邊長L會(huì)對(duì)熱導(dǎo)率變化產(chǎn)生影響。圖4所示為無量綱導(dǎo)熱系數(shù)kr/kf在ks/kf=10、50、100時(shí)的變化，此時(shí)kf代表孔隙相導(dǎo)熱系數(shù)。從圖4可知，隨著固相基質(zhì)等效長度L增大，無量綱有效導(dǎo)熱系數(shù)呈增大趨勢，但在L<0.8的范圍內(nèi)無量綱有效導(dǎo)熱系數(shù)沒有隨ks/kf增大而出現(xiàn)較大變化。即當(dāng)孔隙率大于78.4%時(shí)，由于固相基質(zhì)占比較小，此時(shí)對(duì)多孔介質(zhì)有效導(dǎo)熱系數(shù)影響較大的主要為導(dǎo)熱系數(shù)較小的孔隙相。

圖4 固相基質(zhì)長度L對(duì)導(dǎo)熱系數(shù)的影響Fig.4 The effect of solid matrix length L on thermal conductivity

3.2 孔隙率φ與飽和度Sw對(duì)有效導(dǎo)熱系數(shù)的影響

圖5所示為不同孔隙率下非飽和多孔介質(zhì)飽和度與無量綱導(dǎo)熱率kr/kg的變化規(guī)律。從圖5可以看出當(dāng)孔隙率增加時(shí)非飽和多孔介質(zhì)有效導(dǎo)熱系數(shù)反而降低，以圖5(a)為例，可以看出當(dāng)飽和度為0.6，孔隙率由20%增長至60%時(shí)，無量綱有效導(dǎo)熱系數(shù)約降低了57%，即當(dāng)孔隙率逐漸增大時(shí)，多孔介質(zhì)中固、液相占比逐漸降低，而導(dǎo)熱系數(shù)比較小的氣相占比會(huì)逐漸增大，非飽和多孔介質(zhì)有效導(dǎo)熱系數(shù)降低。

當(dāng)孔隙率不變時(shí)，由圖5(a)，可以看出孔隙率為20%時(shí)，隨著飽和度增加，無量綱有效導(dǎo)熱系數(shù)從10增加到84，多孔介質(zhì)有效導(dǎo)熱系數(shù)增大，即當(dāng)飽和度變大時(shí)，多孔介質(zhì)中導(dǎo)熱率較高的液相占比會(huì)變大，而氣相則相對(duì)減少，從而有效導(dǎo)系數(shù)越來越大。

對(duì)比圖5(a)～圖5(c)可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)孔隙率、液氣比不變時(shí)，固氣比越大非飽和多孔介質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù)越大，兩者呈正相關(guān)。當(dāng)固氣比ks/kg由110增長為130時(shí)，不同孔隙率無量綱有效導(dǎo)熱系數(shù)增為4%～30%。當(dāng)固氣比ks/kg由130增長為180時(shí)，不同孔隙率無量綱有效導(dǎo)熱系數(shù)增幅為11%～27%，即當(dāng)孔隙體積一定時(shí)，導(dǎo)熱系數(shù)較高的固相基質(zhì)占比越大，非飽和多孔介導(dǎo)熱系數(shù)越大。

對(duì)比圖5(c)、圖5(d)可發(fā)現(xiàn)，孔隙率、固氣比一定時(shí)，液氣比增大，非飽和多孔介質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù)增大，當(dāng)液氣比kf/kg由30增長到40時(shí)，不同孔隙率無量綱有效導(dǎo)熱系數(shù)增幅為1%～20%。即相比于氣相而言，液相的導(dǎo)熱系數(shù)較高，液相占比越大非飽和多孔介質(zhì)有效導(dǎo)熱系數(shù)越大。

結(jié)合圖5(a)～圖5(d)對(duì)于非飽和多孔介質(zhì)，隨著飽和度增加導(dǎo)熱系數(shù)增幅先快速上升，當(dāng)飽和度到達(dá)一定數(shù)值后導(dǎo)熱系數(shù)增幅趨于平緩。這是由于隨著飽和度增加，孔隙相中液態(tài)逐漸取代氣態(tài)，并且在多孔介質(zhì)中出現(xiàn)液橋現(xiàn)象[27]，增加了多孔介質(zhì)導(dǎo)熱能力，但飽和度進(jìn)一步增加多孔介質(zhì)的孔隙相逐漸被液態(tài)水充滿，導(dǎo)熱系數(shù)增幅也趨于平緩。

3.3 彎曲度分形維數(shù)DT對(duì)有效導(dǎo)熱系數(shù)的影響

彎曲度分形維數(shù)DT反映了多孔介質(zhì)孔隙微觀結(jié)構(gòu)彎曲程度，圖6所示為孔隙率為42%、39%，飽和度為40%時(shí)不同固氣比、固液比下彎曲度分形維數(shù)DT對(duì)多孔介質(zhì)無量綱導(dǎo)熱系數(shù)的影響，可以看出非飽和多孔介質(zhì)無量綱有效導(dǎo)熱系數(shù)kr/kg隨著彎曲度分形維數(shù)的增加逐漸降低，從圖6中可以看出，彎曲度分形維數(shù)越大，導(dǎo)熱系數(shù)降低程度越大。即當(dāng)彎曲度分形維數(shù)增大，固液氣串并聯(lián)比例發(fā)生改變，多孔介質(zhì)內(nèi)部孔隙彎曲程度越大，進(jìn)而導(dǎo)致非飽和多孔介質(zhì)內(nèi)部熱阻增大，導(dǎo)熱系數(shù)降低。

圖5 孔隙率φ與飽和度Sw對(duì)導(dǎo)熱系數(shù)的影響Fig.5 The influence of porosity φ and saturation Sw on thermal conductivity

圖6 彎曲度分形維數(shù)DT對(duì)無量綱有效導(dǎo)熱系數(shù)的影響Fig.6 The influence of tortuosity fractal dimension DT on the dimensionless effective thermal conductivity

4 結(jié)論

(1)導(dǎo)熱系數(shù)較高的固液相為多孔介質(zhì)有效導(dǎo)熱率的主要貢獻(xiàn)項(xiàng)，固液相占比越大的多孔介質(zhì)有效導(dǎo)熱系數(shù)越高。

(2)非飽和多孔介質(zhì)有效導(dǎo)熱率與彎曲度分形維數(shù)DT成反比，彎曲度分形維數(shù)DT越大，多孔介質(zhì)內(nèi)毛細(xì)管束彎曲程度越大，進(jìn)而增加了傳熱熱阻，導(dǎo)致有效導(dǎo)熱率降低。

(3)在孔隙體積一定時(shí)，飽和度與多孔介質(zhì)有效導(dǎo)熱系數(shù)成正比。由于液橋現(xiàn)象，有效導(dǎo)熱系數(shù)隨飽和度增大時(shí)增幅先快后趨于平緩。

(4)孔隙率增大時(shí)多孔介質(zhì)有效導(dǎo)熱系數(shù)變小。當(dāng)孔隙率大于78.4%時(shí)，導(dǎo)熱率較高的固相基質(zhì)占比較小，此時(shí)對(duì)多孔介質(zhì)有效導(dǎo)熱系數(shù)影響較大的主要為導(dǎo)熱系數(shù)較小的孔隙相。