白忠玉，陳娜娜

(?？诮?jīng)濟(jì)學(xué)院 網(wǎng)絡(luò)學(xué)院，海南 ?？?571127)

設(shè)Ω是Rn中具有C2邊界Γ的有界區(qū)域，Γ1和Γ2是Γ上兩個(gè)不相交的開集，Γ1∪Γ2=Γ.文中研究波方程系統(tǒng)

(1)

其中ν是Γ上的單位外法向量，非負(fù)函數(shù)

(2)

正函數(shù)μ∈L∞(Γ2)，h=h(x)由下面(3)式定義.

任取x0∈Rn，設(shè)

h(x)=x-x0,x∈Rn,

(3)

使得

波方程的能量衰減問題已被許多學(xué)者所研究.Feng等[1]采用黎曼幾何方法討論了非線性邊界條件的波方程的能量衰減.在幾何控制假設(shè)下，Ammari[2]證明了帶有Drichlet邊界的波方程的穩(wěn)定性.對(duì)具有耗散邊界條件的波方程，可以運(yùn)用能量法、Lyapunov泛函等研究其能量衰減性[3-5].文獻(xiàn)[6-8]利用微分幾何法、攝動(dòng)能量法探討了幾類粘彈性波方程的衰減問題.通過考慮摩擦阻尼或結(jié)構(gòu)阻尼，文獻(xiàn)[9-11]獲得了阻尼波方程的能量衰減率.文獻(xiàn)[12-13]利用算子半群、預(yù)解估計(jì)得出了具有擴(kuò)散型邊界控制條件的波方程解的適定性與能量衰減估計(jì).

受文獻(xiàn)[2]的啟發(fā)，文中為系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)特殊的邊界反饋，并建立能量衰減不等式.選取控制函數(shù)p,q，利用能量乘子法和文獻(xiàn)[1-2]的方法，在適當(dāng)?shù)膸缀螚l件下，給出系統(tǒng)(1)的正則性與能量衰減估計(jì)不等式.

設(shè)

U={u∈H1(Ω):u=0,x∈Γ1},

(5)

對(duì)初值(w0,w1)∈U×L2(Ω),系統(tǒng)(1)有唯一解w滿足

定義系統(tǒng)(1)解的能量

易知系統(tǒng)是耗散的.因?yàn)?/p>

所以E(t)是遞減的，t∈[0,+∞).

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)系統(tǒng)(1)的解足夠光滑，則對(duì)?t∈[0,+∞)，有w(t),w′(t)∈U.在系統(tǒng)(1)的第三個(gè)方程兩邊同時(shí)乘以u(píng)∈U，并用Green公式在Γ2上積分可得

這樣，系統(tǒng)(1)可寫為算子形式

(9)

(10)

其中B∈U×L2(Ω)是線性算子，定義為:

U中的歐氏范數(shù)定義為

它等價(jià)于H1(Ω)上的范數(shù).

由(8),(12)和(13)式易知，B+I是Hilbert空間U×L2(Ω)上的單調(diào)算子.當(dāng)p,q≥0時(shí)，對(duì)任意的(w,z)∈D(B)，有

任取(u,g)∈U×L2(Ω)，考慮問題

應(yīng)用Lax-Milgram定理可知(15)有唯一解w∈U.

由(15)式及v∈D(Ω)可知Δw=4w-2u-g∈L2(Ω).因此，(15)式可寫成

令z=2w-u，則(w,z)∈D(B)，且

根據(jù)B+I的單調(diào)性知，B+2I是滿射的.

對(duì)每個(gè)初值(w0,w1)∈U×L2(Ω)，應(yīng)用Hille-Yosida定理可知，系統(tǒng)(1)有唯一解，使得

(w,w′)∈C([0,+∞);U×L2(Ω)).

(18)

進(jìn)一步，當(dāng)t→∞時(shí)e-t||(w,w′)(t)||U×L2(Ω)遞減.事實(shí)上，令

(19)

則由F(t)>0可知，F(xiàn)2(t)和F(t)單調(diào)性相同.

所以只需關(guān)注G′(t)-2G(t)的符號(hào).而

于是

從而

特別地，由(7)和(13)式，有

(20)

又D(B)在U×L2(Ω)中稠密，且對(duì)每個(gè)初值(w0,w1)∈D(B)，系統(tǒng)(1)的解滿足

注意到，Γ1∩Γ2=?,D(B)?H2(Ω)×U,Δw∈C([0,+∞);L2(Ω)).進(jìn)一步，由(21)式可得

2 主要結(jié)果

引理1設(shè)w是系統(tǒng)(1)的解，且滿足(22)式，則當(dāng)0≤τ

證明用w′乘以系統(tǒng)(1)的第一個(gè)方程，在Ω×(τ,T)上分部積分，并由系統(tǒng)(1)的第二、三個(gè)方程可得

結(jié)合(7)式即得(23)式.

下面證明(24)式.用2h·w+(n-1)w乘以系統(tǒng)(1)的第一個(gè)方程，分部積分得

應(yīng)用Green公式可得

即

由(25)式得

再由系統(tǒng)(1)的第二、三個(gè)方程和(7)式即得(24)式.】

定理1設(shè)M=sup{|h(x)|:x∈Ω}，則存在μ∈L∞(Γ2)，當(dāng)μ≥1/M,μ|h|≤1且(2)式成立時(shí)，對(duì)系統(tǒng)(1)的任意解w及(w0,w1)∈D(B)，滿足

證明先證明

應(yīng)用散度定理和(3)～(4)式可得

利用(2),(7),(29)式和Cauchy-Schwarz不等式得到

下面證明

由(2)式可得

應(yīng)用Cauchy-Schwarz不等式及μ≥1/M,μ|h|≤1,x∈Γ2，得到

由(4)式可得

結(jié)合(2)式可得(31)式.

由(28)和(31)式，有

利用(23)式得到

把上式代入(34)式，并結(jié)合(2)式即得

由h·ν≤0,x∈Γ1可得

所以

當(dāng)T→+∞時(shí)，有

(37)

進(jìn)一步，(37)式可寫為

于是

由(7),(23)和(37)式可知，E(t)是非負(fù)單調(diào)遞減的，且

因此

令τ+2M=t，則

此即為估計(jì)(26).

當(dāng)n=2時(shí)，(36)式的第二項(xiàng)

將上式右端移到左端，則

于是，當(dāng)n=2時(shí)有

(39)

所以(39)式中w關(guān)于t恒為零.

易知

進(jìn)而

(40)

用與n≠2情形同樣的推理方法，可得估計(jì)式(27).】