郝 嬌, 惠小靜, 馬 碩

(延安大學 數(shù)學與計算機科學學院, 陜西 延安 716000)

模糊邏輯是由經(jīng)典邏輯和多值邏輯推廣而來的,在生活中的各個領(lǐng)域獲得了廣泛的應用.近幾十年來,模糊邏輯得到了越來越多學者的研究與重視。模糊邏輯的發(fā)展已取得了6個方面的成就[1-3],其中基于三角模的模糊邏輯在模糊邏輯的形式化研究中占據(jù)主導地位。典型的基于三角模的模糊邏輯有基于冪零極小三角模L*邏輯[4-7]、基于連續(xù)三角模的BL邏輯[8-12]、基于左連續(xù)三角模的MTL邏輯[13-16]等。

基于連續(xù)三角模的BL邏輯是捷克科學院院士Hájek教授于1998年提出的[17]。與BL邏輯系統(tǒng)相對應的謂詞邏輯系統(tǒng)是BL?。謂詞邏輯系統(tǒng)BL?是在BL邏輯系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,增加了帶有全稱量詞和存在量詞的邏輯。

本文在文獻[18]的基礎(chǔ)上對謂詞邏輯系統(tǒng)BL?展開了研究,主要研究不含函數(shù)符號的一階閉邏輯公式之集Φ中公式之間的相似度。首先,給出含強等價算子的相似度性質(zhì)。其次根據(jù)公理化真度的性質(zhì),對相似度的性質(zhì)進行了簡化,方便我們之后的計算。最后,討論了公式的相似度性質(zhì)及其計算方法。

1 基礎(chǔ)知識

1.1 基本邏輯形式系統(tǒng)BL

定義1[5]基本邏輯的命題演算系統(tǒng)BL的公理如下:

(BL1) (A→B)→((B→C)→(A→C));

(BL2)A&B→A;

(BL3)A&B→B&A;

(BL4)A&(A→B)→B&(B→A);

(BL5a) (A→(B→C))→(A&B→C);

(BL5b) (A&B→C)→(A→(B→C));

(BL6) ((A→B)→C)→(((B→A)→C)→C);

BL的推理規(guī)則是MP規(guī)則。

注[8]在BL中HS規(guī)則成立:即A→B,B→C可得A→C。

其他命題聯(lián)結(jié)詞可以作為導出符號,如下:

1.2 謂詞邏輯系統(tǒng)BL?

定義3[5]設(shè)T是基本命題邏輯BL的模式擴張。謂詞邏輯系統(tǒng)的公理包含以下2類。

1)T中的公理,其中A,B,C為謂詞公式。

2) 帶有量詞的公理。

(?1) (?x)A(x)→A(t) (在A(x)中可用t替換x);

(?1)A(t)→(?x)A(x) (在A(x)中可用t替換x);

(?2) (?x)(B→A)→(B→(?x)A) (x在B中不自由);

(?2) (?x)(A→B)→((?x)A→B) (x在B中不自由);

(?3) (?x)(A∨B)→((?x)A∨B) (x在B中不自由)。

系統(tǒng)T?的推理規(guī)則有以下2條。

MP規(guī)則:由A,A→B推出B。

推廣規(guī)則:由A推出(?x)A。

定理1[8]在BL系統(tǒng)中,├A≡B當且僅當├A→B且├B→A。

定理2[5]├A→A。

定理3[5]├A→(B→A)。

定理4[5]├A→A∨B。

定理5[5]├(?x)(A∧B)≡((?x)A∧(?x)B)。

定理6[5]├(?x)(B∧A)≡(B∧(?x)A) (x不在公式B中自由出現(xiàn))。

定理7[1]在公式(?xi)A中,A叫作?xi的轄域。這時公式A中若有變元xi,則該xi叫作約束變元。又?xi中的xi也叫作約束變元。不是約束變元的變元叫作自由變元。

我們約定,xi是公式A中的自由變元指xi從未在A中約束出現(xiàn)過。

定理8[1]設(shè)x1,…,xn是公式A中的全部自由出現(xiàn)的變元,則稱(?x1),…,(?xn)A為A的完全閉包,記作clA。

1.3 相似度的定義及性質(zhì)

本章主要介紹Φ中公理化真度的定義、基本性質(zhì)以及Φ中公式之間相似度的定義及其性質(zhì),用A,B,C表示Φ中的一階邏輯公式。

定義4[18]稱映射τ:Φ→[0,1]為公理化真度映射,若以下條件成立:

(K2) 若A是Φ中的定理,則τ(A)=1;

(K3)τ(┑A(chǔ))=1-τ(A),A∈Φ;

(K4)τ(A→B)+τ(A)=τ(B→A)+τ(B),A,B∈Φ;

(K5)τ(cl(┑A(chǔ)))=1-τ(clA);

(K6) 在計算公式的真度時,其中原子公式中的變元可相互替換。

當A∈Φ時,稱τ(A)為A的公理化真度,簡稱A的τ-真度或真度。

命題1[18]真度映射τ具有以下性質(zhì):

(ⅰ) 若τ是矛盾式,則τ(A)=0;

(ⅱ) 若A與B邏輯等價,則τ(A)=τ(B);

(ⅲ) 若τ(A→B)=1,則τ(A)≤τ(B);

(ⅳ) 若τ(A)≥a,τ(A→B)≥b,則τ(B)≥a+b-1;

(ⅴ) 若τ(A→B)≥a,τ(B→C)≥b,則τ(A→C)≥a+b-1;

(ⅵ) 若τ(A→C)≥τ(A→B)+τ(B→C)-1;

(ⅶ)τ(A∨B)+τ(A∧B)=τ(A)+τ(B)。

定義5[18]設(shè)A,B∈Φ,令

ξ(A,B)=τ((A→B)∧(B→A)),

稱ξ(A,B)為A與B之間的相似度。

命題2[18]設(shè)A,B,C∈Φ,則

(ⅰ)ξ(A,B)=ξ(B,A);

(ⅱ) 若A與B邏輯等價,則ξ(A,B)=1;

(ⅲ)ξ(A,B)=τ(A→B)+τ(B→A)-1;

(ⅳ)ξ(A,B)=1+τ(A∧B)-τ(A∨B);

(ⅴ)ξ(A,B)+ξ(A,┑B)=1;

(ⅵ)ξ(A,B)+ξ(B,C)≤ξ(A,C)+1。

2 相似度運算性質(zhì)的研究

定理9 若A≡B,則ξ(A,B)=1。

證明 因為由定理1,├A≡B當且僅當├A→B且├B→A,

所以,由定義4(K2)知,τ(A→B)=τ(B→A)=1。所以

定理10 當x在A,B中不自由時,ξ(A,B)=2τ(A∧B)。

證明 首先證明├A→(?x)A。

①A→A定理2;

② (?x)(A→A) ①、推廣規(guī)則;

③ (?x)(A→A)→(A→(?x)A) (x在A中不自由) 定義3(?2);

④A→(?x)A②、③、MP規(guī)則。

由定義4(K2)知,τ(A→(?x)A)=1。

由命題1(ⅲ)知,τ(A)≤τ((?x)A)。

由定義3(?1)和命題1(ⅲ)知,τ((?x)A→A)=1,τ((?x)A)≤τ(A),所以τ((?x)A)=τ(A)。

由命題2(ⅳ)和命題1(ⅶ)知,

定理11ξ(A,B→A)=τ(A)-τ(B→A)+1。

證明 由定理3和定義4(K2)知,

A→(B→A)是定理,所以τ(A→(B→A))=1,

由命題2(ⅲ)知,

又由定義4(K4)知,

τ(A→(B→A))+τ(A)=τ((B→A)→A)+τ(B→A),

所以

τ((B→A)→A)=τ(A→(B→A))+τ(A)-τ(B→A)=1+τ(A)-τ(B→A),

即ξ(A,B→A)=τ((B→A)→A)=τ(A)-τ(B→A)+1。

定理12ξ(A,A∨B)=τ(A∨B→A)。

證明 由定理4和定義4(K2)知,τ(A→A∨B)=1; 又根據(jù)命題2(ⅲ)知,ξ(A,A∨B)=τ(A→A∨B)+τ(A∨B→A)-1。 所以,

ξ(A,A∨B)=τ(A→A∨B)+τ(A∨B→A)-1=1+τ(A∨B→A)-1=τ(A∨B→A)。

由命題2(ⅳ)、命題1(ⅶ)知,

又由定理1、定理5和定義4(K2)知,

又根據(jù)命題1(ⅲ)可知,

所以,

τ((?x)A∧(?x)B)=τ((?x)(A∧B))。

所以

證明 由定理10知,

ξ(A,(?x)B)=2τ(A∧(?x)B)。

由定理1、定理6和定義4(K2)知,

由命題1(ⅲ)知,

所以,τ(A∧(?x)B)=τ((?x)(A∧B))。

所以,

3 結(jié) 語

本文討論了謂詞邏輯系統(tǒng)BL?的相似度,研究了一階閉邏輯公式的相似度性質(zhì)及運算性質(zhì),為我們之后研究謂詞邏輯系統(tǒng)BL?的偽距離、發(fā)散度、相容度等奠定了基礎(chǔ)。