鄭日鋒

(杭州學(xué)軍中學(xué)西溪校區(qū),浙江 杭州 310012)

先來看下以下兩道高考試題：

例1如圖1，已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0)，焦點(diǎn)F(0,1).

1)求拋物線C的方程；

2)過點(diǎn)F作直線交拋物線于點(diǎn)A,B，若直線OA,OB分別交直線l:y=x-2于點(diǎn)M,N，求|MN|的最小值.

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第22題)

圖1 圖2

1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；

2)求|CD|的最小值．

(2022年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第22題)

1 命題背景

例2考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識，同時考查解析幾何的基本思想方法與分析問題、解決問題的能力以及直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).近5年浙江省數(shù)學(xué)高考解析幾何解答題，均與拋物線有關(guān)，2022年解析幾何解答題將例1中的拋物線問題改為橢圓問題，運(yùn)算量增大了，解題方法卻完全相同.

2 解法探究

第1)小題比較簡單，本文僅對第2)小題進(jìn)行探討.

(1+12k2)x2+12kx-9=0，

其根的判別式

Δ=144k2+36(1+12k2)=36(1+16k2).

由韋達(dá)定理,得

同理可得

y=k1x+1.

同理可得

化簡得

同理可得

從而k1,k2是方程36x2-48kx-1=0的兩個實(shí)根，其根的判別式

Δ=482k2+4×36=144(16k2+1).

由韋達(dá)定理,得

評注解法1設(shè)點(diǎn)參數(shù)，解法2設(shè)線參數(shù)，兩種解法的運(yùn)算量都較大，解法2的運(yùn)算量相對小些.再次驗(yàn)證了解決橢圓問題，通常設(shè)線參數(shù)比設(shè)點(diǎn)參數(shù)的解題過程顯得簡便些.兩種解法的共同特點(diǎn)是將|CD|表示為關(guān)于k的函數(shù)，利用柯西不等式求|CD|的最小值.還可以利用判別式法如下：

(9t-16)k2+6tk+t-1=0.

(1)

Δ=36t2-4(t-1)(9t-16)≥0，

3 教學(xué)啟示

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)分科，它是幾何的(研究對象是幾何)又是代數(shù)的(研究方法是代數(shù)的)，核心思想是坐標(biāo)化思想，主要的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想.解決本題需要學(xué)生具備綜合運(yùn)用知識分析問題、解決問題的能力及直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).從知識點(diǎn)看，涉及橢圓的簡單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與直線的位置關(guān)系，這些都是大部分學(xué)生耳熟能詳、信手拈來的知識.大部分學(xué)生不能完整地解答此題，主要原因有3個：一是解決解析幾何解答題的信心不足；二是沒有建立解決解析幾何解答題的思維導(dǎo)圖，如例2，設(shè)點(diǎn)參數(shù)或線參數(shù)→表示點(diǎn)C,D的坐標(biāo)→用點(diǎn)參數(shù)或線參數(shù)表示|CD|→用k表示|CD|(即建立目標(biāo)函數(shù))→求|CD|的最小值；三是運(yùn)算能力欠缺，這是當(dāng)下解析幾何復(fù)習(xí)教學(xué)亟須解決的問題.

許多高考試題是由課本例題、習(xí)題和以往的高考試題改編而成，因此在復(fù)習(xí)教學(xué)中要做到以下3點(diǎn)：一是回歸課本,立足于教材，重視教材的使用；二是在考前讓學(xué)生做一些典型的高考真題(試想如果教師在高考考前讓學(xué)生解決例1，那么學(xué)生能做出例2的可能性就會更大)；三是研究一些高考真題，在課堂上對一些高考真題適當(dāng)加以延伸、推廣等，并引導(dǎo)學(xué)生加以解決，從而提升解決問題的能力．