趙金麗

(1.余杭中學(xué)，浙江 杭州 311121；2.陳柏良名師工作室 浙江 杭州 311121)

在新教材的實(shí)施與浙江卷即將回歸全國卷的“雙新環(huán)境”下，我們既要關(guān)注全國卷的特色，又要挖掘新教材中的思想，滲透新教材中的方法.直線的參數(shù)方程是新教材中的探究與發(fā)現(xiàn)內(nèi)容，本文著重闡述利用直線的參數(shù)方程解決部分與長度有關(guān)的解析幾何問題，并展示在具體的解題教學(xué)過程中與學(xué)生發(fā)生的一段小插曲，用來完善整個(gè)解題路徑和方法.

本文以浙江省杭州地區(qū)八縣市2021學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末統(tǒng)測(cè)第21題為契機(jī)，追根溯源，發(fā)現(xiàn)該題是2021年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第21題的一個(gè)改編創(chuàng)新題，這正與2023年浙江卷回歸全國卷的大背景契合.因此，本文主要是在上述兩個(gè)題目的基礎(chǔ)上進(jìn)行系統(tǒng)闡述和研究.

1 闡述概念，鋪設(shè)路徑

用直線的參數(shù)方程解決與長度有關(guān)的解析幾何問題，需要掌握直線的參數(shù)方程的概念，這是人教A版高中《數(shù)學(xué)(選修1)》第68頁中的探究與發(fā)現(xiàn)內(nèi)容——方向向量與直線的參數(shù)方程.

圖1

(x-x0,y-y0)=t(m,n)，

(1)

在式(1)中，實(shí)數(shù)t是對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的參變數(shù)，簡稱參數(shù).由上可知，對(duì)于直線l上的任意一點(diǎn)P(x,y)，存在唯一的實(shí)數(shù)t使式(1)成立；反之，對(duì)于參數(shù)t的每一個(gè)確定的值，由式(1)可以確定直線l上的一個(gè)點(diǎn)P(x,y)，我們把式(1)稱為直線的參數(shù)方程.

而我們?cè)诰唧w做題時(shí)常常選擇v=(cosθ,sinθ)，這樣的方向向量可以表示任意直線，而且是單位向量，模長為1，進(jìn)而可以把線段長度直接用t1,t2或者其絕對(duì)值去表示，在計(jì)算上和表述上帶來很大的方便.

2 展示初題，呈現(xiàn)方法

1)求C的方程；

(2021年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第21題)

思考1如何假設(shè)直線的參數(shù)方程？

思考2當(dāng)直線和曲線方程聯(lián)立后形成關(guān)于t的方程，根是什么？

因?yàn)榉较蛳蛄繛閱挝幌蛄?，所以根?jù)參數(shù)的幾何意義，恰好有|TA|=t1，|TB|=t2，且方程的根為t1,t2.

思考3已知條件可以轉(zhuǎn)化成什么？如何解決目標(biāo)？

對(duì)于條件|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化成直線AB與PQ傾斜角之間的關(guān)系，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成斜率的關(guān)系，從而解決目標(biāo)問題.

思路全部整理清楚后，解題過程如下：

將其代入C的方程，整理可得

(16cos2θ-sin2θ)t2+(16cosθ-2msinθ)t-(m2+12)=0.

由參數(shù)的幾何意義可知

|TA|=t1, |TB|=t2,

則

設(shè)直線PQ的參數(shù)方程為

則

|TP|=λ1, |TQ|=λ2，

同理可得

從而

于是

cos2θ=cos2β.

又

θ≠β，

得

cosθ=-cosβ，

從而

cosθ+cosβ=0，

即直線AB與直線PQ的斜率之和為0．

總結(jié)利用直線的參數(shù)方程解題時(shí)，首先要明確起始點(diǎn)，選取合適的方向向量，正確假設(shè)出直線的參數(shù)方程.在利用方程的根表示線段的長度時(shí)，一定要明確方程的根和線段長度的關(guān)系.

3 改編初題，結(jié)合新法

杭州地區(qū)八縣市2021學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末統(tǒng)測(cè)第21題是上述高考題的改編題.命題人把原題中的長度關(guān)系的乘積改編成比例關(guān)系，因此在具體解題過程中出現(xiàn)了不一樣的細(xì)節(jié).對(duì)于陳題的改編，既可以補(bǔ)充題庫的不足，又可以進(jìn)行解題方法的創(chuàng)新，正有“無邊光景一時(shí)新”之感.

1)求雙曲線C的方程；

(浙江省杭州地區(qū)八縣市2021學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末統(tǒng)測(cè)第21題)

bx+ay=0，

從而

a2=3,b2=6，

對(duì)于第2)小題，我們先思考以下問題：

思考1本題與準(zhǔn)備題有何不同？

本題線段長度符合比例相等的關(guān)系，而準(zhǔn)備題是線段長度符合乘積相等的關(guān)系，這會(huì)導(dǎo)致在具體解題過程中出現(xiàn)不同的解題細(xì)節(jié).

思考2上述不同會(huì)導(dǎo)致解題方法有何不同？如何解決？

當(dāng)線段長度符合比例相等關(guān)系時(shí)，韋達(dá)定理不能直接使用，要經(jīng)過變形才能建立兩條直線之間的關(guān)系.解答如下：

2)解設(shè)T(0,m)，直線AB的參數(shù)方程為

將其代入C的方程，整理可得

(2cos2θ-sin2θ)t2-2mtsinθ-(m2+6)=0.

由參數(shù)的幾何意義可知

|TA|=t1, |TB|=t2，

則

設(shè)直線PQ的參數(shù)方程為

則

|TP|=λ1， |TQ|=λ2.

依題意可知

從而

sin2θcos2β=cos2θsin2β.

又

θ≠β,

得

sinθcosβ=-cosθsinβ,

從而

θ+β=π,

即直線AB與直線PQ的斜率之和為0．又因?yàn)?/p>

kABkOM=kPQkON=e2-1，

所以

kABkOM=-kABkON，

從而

kOM+kON=0.

總結(jié)在該題中，我們需要根據(jù)題目條件得出各橫坐標(biāo)之間的比例關(guān)系.本質(zhì)上是出現(xiàn)了AP∥BQ，要達(dá)到這個(gè)平行，兩條直線的斜率只能互為相反數(shù).然后統(tǒng)觀全局，這個(gè)橫坐標(biāo)的比例從哪里來，這就提示我們要對(duì)韋達(dá)定理進(jìn)行變形，即

再得出k1和k2的關(guān)系，從而解決問題.

4 布置新題，滲透此法

圖2

1)求曲線w的方程；

2)如圖2，過點(diǎn)F作互相垂直的直線l1,l2，分別交曲線w于點(diǎn)A,C和B,D，求四邊形ABCD面積的最小值.

4.1 揭示通性，展示通法

分析本題利用通性通法求解也是方便的，利用弦長公式求出|AC|和|BD|，得到目標(biāo)函數(shù)后結(jié)合基本不等式求出最值.

1)由題意可得x2=6y.

x2-6kx-9=0.

由韋達(dá)定理可知

x1+x2=6k,x1x2=-9，

=6k2+3,

從而 |AC|=y1+y2+p=6k2+3+3=6k2+6.

同理可得

當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)取到最值.

4.2 出現(xiàn)錯(cuò)解，心存疑惑

在具體教學(xué)過程中，筆者碰到如下小插曲：某學(xué)生在知道常規(guī)方法的正確答案后，嘗試用直線的參數(shù)方程求解，卻怎么也解不出來.

t2cos2θ-6tsinθ-9=0.

又|FA|=t1，|FB|=t2，得

從而

此時(shí)最小值變成36了.學(xué)生百思不得其解：計(jì)算沒有出錯(cuò)，也按照老師的步驟解答了，為什么會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的答案，問題究竟在哪里呢？

4.3 固本浚源，茅塞頓開

總結(jié)利用直線的參數(shù)方程解題時(shí)，除了要能夠順利寫出直線的參數(shù)方程之外，還要能夠正確寫出韋達(dá)定理，明確線段長度與方程根的關(guān)系.當(dāng)線段的方向向量相反時(shí)，根可以表述為t1和-t2，這樣能保證長度仍可用t1和t2表示.

在該環(huán)節(jié)中，通過上述題目的練習(xí)以及錯(cuò)誤嘗試，學(xué)生基本掌握了直線參數(shù)方程的用法，也能夠嘗試用直線的參數(shù)方程解決部分與長度有關(guān)的解析幾何問題.但在具體解題過程中仍然可能出現(xiàn)困惑，需要教師不停地引導(dǎo)和糾正，當(dāng)學(xué)生通過實(shí)踐探索，經(jīng)歷由錯(cuò)到對(duì)的過程，必將豁然開朗.

5 構(gòu)建解題過程，整飭解題路徑

經(jīng)過以上4個(gè)過程，我們整理了用直線的參數(shù)方程解決部分與長度有關(guān)的解析幾何問題的一般步驟，使得整個(gè)問題更加清晰.

解析幾何就像擁有魔力一樣，既讓學(xué)生愛，愛它在變化中有不變的元素；又讓學(xué)生惱，惱于紛繁復(fù)雜的計(jì)算.因此對(duì)于一類與距離或者長度有關(guān)的解析幾何問題，我們可以用直線的參數(shù)方程去解決，也可以用新的視角去審視它、用新的路徑去拓展它，這也是數(shù)學(xué)思維上的一種反芻.