楊明，張永明，張子騫，顧禹軒

(1. 上海電機(jī)學(xué)院 電氣學(xué)院， 上海 201306； 2. 格拉茨技術(shù)大學(xué) 電力系統(tǒng)研究所，奧地利格拉茨)

0 引 言

目前大規(guī)模新能源的并網(wǎng)以及新型電力電子器件的應(yīng)用，電力系統(tǒng)數(shù)字仿真復(fù)雜性不斷提高[1-2]，電磁暫態(tài)特性也變得日趨復(fù)雜。在實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)中，使用數(shù)字計(jì)算的仿真必須無(wú)限接近物理實(shí)際系統(tǒng)，要求仿真時(shí)間與被仿真系統(tǒng)時(shí)間相對(duì)應(yīng)并能在一個(gè)仿真步長(zhǎng)內(nèi)快速計(jì)算所有差分方程。實(shí)時(shí)數(shù)字仿真器(Real Time Digital Simulator，RTDS)是能將電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真實(shí)時(shí)進(jìn)行分析的一種并行系統(tǒng)[3-4]。電磁暫態(tài)仿真分析根據(jù)各類模型的不同特性對(duì)電力系統(tǒng)中相關(guān)元器件進(jìn)行精準(zhǔn)建模，準(zhǔn)確地獲得電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征，在分析電力系統(tǒng)中不同暫態(tài)過程時(shí)，這就要求電磁暫態(tài)仿真具備高性能仿真能力，目前基于Dommel算法的電磁暫態(tài)程序EMTP(Electromagnetic Transients Program，EMTP)通常應(yīng)用在電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真中，我國(guó)中國(guó)電力科學(xué)研究院研發(fā)的EMTPE和加拿大的PSCAD/EMTDC都是基于EMTP程序而開發(fā)。為克服未來(lái)電網(wǎng)電磁暫態(tài)實(shí)時(shí)仿真大規(guī)模的挑戰(zhàn)，基于HYPERSIM的電磁暫態(tài)實(shí)時(shí)仿真技術(shù)的研究也有了新突破[5]。電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真程序軟件一般采用定步長(zhǎng)的數(shù)值積分算法用于描述電力系統(tǒng)中的基本元器件，同時(shí)對(duì)各元器件進(jìn)行離散化處理，考慮到仿真計(jì)算過程中的穩(wěn)定性與精度問題，梯形法成為各種數(shù)值分析方法的首選方法，但梯形法最大的問題是在數(shù)值求解過程中產(chǎn)生數(shù)值振蕩現(xiàn)象。另外在電磁暫態(tài)仿真分析過程中也會(huì)因其它各種原因出現(xiàn)同樣現(xiàn)象，使仿真過程不準(zhǔn)確。數(shù)值積分代換技術(shù)是解決電磁暫態(tài)問題的普遍方法，主要特征在于其簡(jiǎn)單性、全面應(yīng)用性以及計(jì)算高效性[6]。對(duì)于電力系統(tǒng)的剛性特性，算法會(huì)在求解穩(wěn)定性上受到影響，非線性特性也會(huì)影響求解過程的計(jì)算效率。由于數(shù)值積分算法特性和性能的差異性，因此選擇合適的算法是電磁暫態(tài)仿真分析的基礎(chǔ)和核心。

近年來(lái)，一些新算法和新技術(shù)的研究使電磁暫態(tài)仿真在其穩(wěn)定性、計(jì)算精度和仿真效率上得到提高，應(yīng)用領(lǐng)域也更為廣泛。文章討論了目前應(yīng)用在電磁暫態(tài)仿真中的經(jīng)典積分算法和研究者提出的新型積分算法，并通過討論算法的性能指標(biāo)對(duì)比分析了所應(yīng)用方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

1 仿真理論基礎(chǔ)

1.1 理論基礎(chǔ)

電力系統(tǒng)中各類數(shù)學(xué)模型和與之對(duì)應(yīng)的數(shù)值算法的求解構(gòu)成了電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真過程[7]，例如圖1所示的電感支路。

圖1 電感支路及諾頓等效電路

由圖1可得其微分方程如式(1)所示：

(1)

對(duì)式(1)方程進(jìn)行差分化，由此可得到差分方程[8-10]。例如對(duì)式(1)采用梯形積分法后可得：

(2)

式(2)差分方程可表示成如圖1所示諾頓等效電路(伴隨電路)，作用于當(dāng)前時(shí)步電壓項(xiàng)部分等效為電導(dǎo)，前一時(shí)步電氣量并作用于當(dāng)前時(shí)步電流項(xiàng)部分等效為電流源歷史項(xiàng)，通過節(jié)點(diǎn)方程聯(lián)立式(2)可得式(3)所示的電磁暫態(tài)仿真基本方程：

Gu=i

(3)

節(jié)點(diǎn)分析法在大規(guī)模電力系統(tǒng)中相較于狀態(tài)方程法在計(jì)算速度上更占優(yōu)勢(shì)，例如傳統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真程序即采用了節(jié)點(diǎn)分析法。

1.2 問題與措施

隨著電網(wǎng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，電力系統(tǒng)大量應(yīng)用電力電子裝置的趨勢(shì)使其復(fù)雜性日趨增加，傳統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真性能已經(jīng)無(wú)法滿足需求[11]，對(duì)電磁暫態(tài)仿真分析的精準(zhǔn)建模能力要求也不斷提高。在仿真過程中，如開關(guān)動(dòng)作過程中存在電感電容元件的換路過程，將會(huì)引起非狀態(tài)變量的突變，若繼續(xù)采用梯形積分法將會(huì)引起非原型的數(shù)值振蕩[12-14]；同樣，因開關(guān)動(dòng)作不在整步長(zhǎng)時(shí)刻點(diǎn)，定步長(zhǎng)算法隱開關(guān)的延遲會(huì)引入非特征諧波，導(dǎo)致仿真失真[15]；此外控制系統(tǒng)與主系統(tǒng)之間產(chǎn)生的外部時(shí)延問題也將導(dǎo)致數(shù)值波動(dòng)現(xiàn)象。由于控制系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)產(chǎn)生的內(nèi)部時(shí)延，也會(huì)導(dǎo)致在控制系統(tǒng)求解時(shí)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定問題[16]。

針對(duì)數(shù)值振蕩產(chǎn)生的原因分析，研究者提出了許多解決方法：(1)求出突變后的非狀態(tài)變量。但對(duì)于實(shí) 際復(fù)雜電力系統(tǒng)不切實(shí)際；(2)避免在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)突變時(shí)引入非狀態(tài)變量。例如在采用后退歐拉法時(shí)，由于后退歐拉法在求解方程中不會(huì)出現(xiàn)t-Δt時(shí)刻的非狀態(tài)變量，因此在突變過程中，不會(huì)產(chǎn)生不合理的等值注入電流源，從而避免了數(shù)值振蕩問題，但這種解決方式精度不高[17]；(3)減小時(shí)間步長(zhǎng)。由于數(shù)值振蕩的幅值隨1/Δt變化，因此較小的時(shí)間步長(zhǎng)反而會(huì)造成數(shù)值振蕩問題，并不普遍適用；(4)添加阻尼電阻。該方法中阻尼電阻Rd與步長(zhǎng)Δt、阻尼因子α選取有關(guān)，但選取值不能保證最優(yōu)，影響計(jì)算精度，并且當(dāng)電阻值選取太小時(shí)，反而會(huì)加劇數(shù)值振蕩[18]；(5)文獻(xiàn)[19]通過適當(dāng)?shù)目刂颇Ｐ蛠?lái)最小化或補(bǔ)償解決外部時(shí)延。另外文獻(xiàn)[20]提出了一種基于濾波的抑制方法解決外部時(shí)延。為消除內(nèi)部時(shí)延，文獻(xiàn)[21]采用牛頓法來(lái)獲得控制系統(tǒng)的聯(lián)立求解。

圍繞電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真需求，數(shù)值積分算法是開展電力系統(tǒng)非線性剛性系統(tǒng)的基礎(chǔ)與核心，由于數(shù)值積分算法的不同特性，應(yīng)考慮到算法的穩(wěn)定性、仿真精度以及仿真效率。下一章則將著重分析所提及到的算法性能指標(biāo)。

2 數(shù)值積分算法的性能指標(biāo)

2.1 計(jì)算穩(wěn)定性

(4)

對(duì)于線性微分動(dòng)力方程，具備L穩(wěn)定性的數(shù)值積分算法也能夠消除數(shù)值振蕩，基于對(duì)剛性系統(tǒng)的適應(yīng)性以及仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性要求，選取電力系統(tǒng)仿真積分算法時(shí)，考慮計(jì)算穩(wěn)定性是準(zhǔn)確模擬電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真的前提。

2.2 計(jì)算精度

不同數(shù)值積分算法，相應(yīng)的精度和誤差也不盡相同。在采用數(shù)值方法求解微分方程時(shí)會(huì)存在截?cái)嗾`差，例如當(dāng)yn=y(xn)時(shí)，用數(shù)值積分算法計(jì)算yn+1的誤差：

Rn=y(xn+1)-y(xn)

(5)

式(5)中Rn即為局部截?cái)嗾`差。通過泰勒公式展開可得數(shù)值方法的局部截?cái)嗾`差為O(hP+1)，其中P為階數(shù)。當(dāng)步長(zhǎng)h越小時(shí)，P值就越高，而局部截?cái)嗾`差與P值成反比，Rn將不斷減小，因此計(jì)算精度就越高。顯然若在同等步長(zhǎng)h的數(shù)值積分算法中，階數(shù)越高，計(jì)算精度則越高。

2.3 計(jì)算效率

數(shù)值積分算法的計(jì)算效率是滿足電磁暫態(tài)仿真實(shí)時(shí)性要求的關(guān)鍵。顯示積分法仿真效率較高，但穩(wěn)定性差，很少應(yīng)用于電磁暫態(tài)仿真中。文章主要選擇隱式積分法進(jìn)行計(jì)算效率的對(duì)比?？赏ㄟ^采用高斯消元法求解離散后的方程[23]，以求解后的浮點(diǎn)運(yùn)算數(shù)作為計(jì)算效率的指標(biāo)。

文章對(duì)數(shù)值積分算法的討論中，對(duì)圖2所示RL電路進(jìn)行求解計(jì)算，以式(6)所示微分方程一般形式為基礎(chǔ)，對(duì)運(yùn)用在電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真的歐拉法、梯形法、均值法、CDA法、THTA法以及新型積分算法(塊廣義向后差分法、精細(xì)積分法、根匹配技術(shù))進(jìn)行討論。其中x(t)為狀態(tài)變量；f為時(shí)間t與x的函數(shù)。

(6)

圖2 進(jìn)行計(jì)算的電路

3 經(jīng)典積分算法研究

3.1 歐拉法

3.1.1 前向歐拉法

前向歐拉法的積分格式如式(7)所示:

yn+1=yn+hf(tn,yn)

(7)

前向歐拉法采用固定步長(zhǎng)，計(jì)算簡(jiǎn)單，但由于是顯示積分，等效電阻為負(fù)，因此穩(wěn)定性差。在選取為固定步長(zhǎng)后，當(dāng)仿真步數(shù)越多，則計(jì)算誤差就越大，當(dāng)步長(zhǎng)較大時(shí)，前向歐拉法的精度并不高，因此在實(shí)際數(shù)值求解中不經(jīng)常使用。前向歐拉法的穩(wěn)定域如圖3所示。

圖3 前向歐拉法的穩(wěn)定域

3.1.2 后向歐拉法

后向歐拉法采用固定步長(zhǎng)，計(jì)算簡(jiǎn)單，計(jì)算效率高，積分格式為：

yn+1=yn+hf(tn,yn+1)

(8)

圖4 后向歐拉法的穩(wěn)定域

該方法在求解方程中不會(huì)出現(xiàn)t-Δt時(shí)刻的非狀態(tài)變量，因此在突變過程中，不會(huì)產(chǎn)生不合理的等值注入電流源，從而不會(huì)引起數(shù)值振蕩問題。后向歐拉法的等效電阻為Re=2L/Δt，具有強(qiáng)阻尼特性，可抑制諧振電路中的高頻振蕩，但對(duì)低頻振蕩的抑制作用不佳[24]，并且也會(huì)將原來(lái)仿真中本應(yīng)該顯現(xiàn)出來(lái)的振蕩消除而不能夠準(zhǔn)確的模擬整個(gè)仿真過程。因相位畸變的存在，在仿真的過程中也不能完全使用后向歐拉法，另外因阻抗的存在也會(huì)使得離散系統(tǒng)產(chǎn)生附加損耗。

對(duì)圖2中RL電路采用后向歐拉法時(shí)仿真波形如圖5所示。

圖5 后向歐拉法

后向歐拉法通常結(jié)合其他方法一同仿真計(jì)算發(fā)揮其穩(wěn)定性優(yōu)勢(shì)，基于MATLAB平臺(tái)的PSAT(Power System Analysis Toolbox)仿真工具即采用了此方法[25]。

3.2 梯形積分法

3.2.1 隱式梯形積分法

隱式梯形積分法的積分格式為：

(9)

局部截?cái)嗾`差采用泰勒級(jí)數(shù)展開方式分析如式(10)所示:

(10)

與泰勒級(jí)數(shù)相對(duì)比可知，隱式梯形積分法的局部截?cái)嗾`差為O(h3)，則P值為2，因此具有2階精度。

對(duì)圖2中RL電路采用隱式梯形積分法時(shí)仿真波形如圖6所示。

圖6 隱式梯形積分法

圖7 隱式梯形積分法的穩(wěn)定域

對(duì)任意仿真步長(zhǎng)均可以保證截?cái)嗾`差衰減，隱式梯形積分法是A穩(wěn)定方法中具有最小誤差常數(shù)的一種數(shù)值方法[26]，在仿真中可利用其穩(wěn)定性優(yōu)勢(shì)，聯(lián)立同步發(fā)電機(jī)和網(wǎng)絡(luò)的差分與代數(shù)方程計(jì)算后，可有效消除接口誤差[24]。但由于梯形法不是L穩(wěn)定性的，因此在仿真中若出現(xiàn)因網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化而導(dǎo)致非狀態(tài)變量突變時(shí)，將產(chǎn)生不衰減的數(shù)值振蕩現(xiàn)象[27-28]。

梯形積分法的研究已經(jīng)比較成熟，但許多研究者將其與其他方法相組合形成新方法，為目前實(shí)時(shí)仿真分析提供了更多的擴(kuò)展空間。針對(duì)梯形積分法產(chǎn)生數(shù)值振蕩問題，文獻(xiàn)[29-30]提出了基于梯形積分法的改進(jìn)算法，即阻尼梯形法，此方法將梯形法和后向歐拉法加權(quán)混合，相當(dāng)于在電感上并聯(lián)小電導(dǎo)，在電容上串聯(lián)小電阻。阻尼梯形法引入了阻尼因子α，精度可介于梯形法與后向歐拉法之間，該方法的精度與阻尼因子α的大小選取有關(guān)[30]，然而阻尼因子的選取并不是能夠完全確定的，都是通過估計(jì)得來(lái)，因此文獻(xiàn)[31]在分析阻尼梯形法誤差的基礎(chǔ)上，提出了阻尼梯形法的補(bǔ)償修正法，提高了仿真精度。文獻(xiàn)[32]提出的龍-庫(kù)-梯法將龍格-庫(kù)塔法與梯形法相結(jié)合，相互彌補(bǔ)不足，使仿真更加精確可靠，對(duì)數(shù)值振蕩也有良好的衰減作用。

隱式梯形積分法在求解過程中，其浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算量與后向歐拉法相當(dāng)，計(jì)算效率高。由于隱式梯形積分法對(duì)于電力系統(tǒng)這樣的剛性系統(tǒng)具備良好的適應(yīng)性，因此在實(shí)際仿真中被廣泛應(yīng)用。傳統(tǒng)電磁暫態(tài)EMTP仿真程序因其精度高與穩(wěn)定性好等優(yōu)勢(shì)而廣泛應(yīng)用。另外電力系統(tǒng)商業(yè)計(jì)算程序BPA、PSASP也釆用了隱式梯形積分法。

3.2.2 均值法

為消除非原型數(shù)值振蕩，EMTP曾采用算后處理法，即在仿真計(jì)算過程中依舊采用梯形積分法，不對(duì)數(shù)值振蕩做特別處理，而在輸出時(shí)將振蕩的平均值作為仿真結(jié)果。如式(11)所示，由梯形積分法在t-Δt時(shí)刻步長(zhǎng)與t時(shí)刻步長(zhǎng)得到的值取平均后輸出[33]。與隱式梯形積分法對(duì)比表明具有便捷性和有效性，計(jì)算簡(jiǎn)單，對(duì)數(shù)值振蕩有一定抑制效果，但穩(wěn)定性較差。

(11)

對(duì)圖2中RL電路采用均值法時(shí)仿真波形如圖8所示。

圖8 均值法

3.3 CDA法

臨界阻尼調(diào)整法(Critical Damping Adjustment, CDA)是由文獻(xiàn)[34]提出。采用變步長(zhǎng)，計(jì)算復(fù)雜，實(shí)際上是一種積分算法相結(jié)合的方式，仍以梯形法作為方程求解計(jì)算的基礎(chǔ)，主要計(jì)算步驟是僅在網(wǎng)絡(luò)突變發(fā)生時(shí)，采用后向歐拉法在兩個(gè)半步長(zhǎng)中進(jìn)行計(jì)算，此方法將數(shù)值振蕩從一開始就得以消除，因此對(duì)數(shù)值振蕩有一定抑制作用[35-36]。CDA法利用其臨界阻尼特性，避免了電導(dǎo)矩陣的變化，為電路中的所有元件帶來(lái)相同的等效電導(dǎo)，節(jié)省了計(jì)算工作量[37]，但算法的相互轉(zhuǎn)換卻導(dǎo)致系統(tǒng)編程更為繁瑣，切換時(shí)刻的確定造成了計(jì)算負(fù)擔(dān)，影響仿真速度，計(jì)算效率低。受組合方式的啟發(fā)，文獻(xiàn)[38]將一種新型4步線性多步法與梯形積分法結(jié)合切換計(jì)算，精度更高且能有效避免數(shù)值振蕩。

采用CDA法消除數(shù)值振蕩的前提條件是需檢測(cè)出突變現(xiàn)象的發(fā)生時(shí)刻，而在實(shí)際情況下突變類型多種多樣，如控制系統(tǒng)中電壓源和電流源因限幅環(huán)節(jié)的影響，難以檢測(cè)到突變現(xiàn)象情況[39]，此時(shí)CDA法無(wú)法準(zhǔn)確抑制數(shù)值振蕩。另外因暫態(tài)仿真中延遲出現(xiàn)的突變時(shí)刻，會(huì)造成CDA法無(wú)法準(zhǔn)確檢測(cè)與抑制振蕩，因此文獻(xiàn)[40]提出基于2級(jí)3階Radau II A法的并行求解方法，無(wú)需檢測(cè)突變時(shí)刻即可消除振蕩，且并行求解方式也提高了計(jì)算效率，該方法也適用于線性與非線性常微分初值問題。

對(duì)圖2中RL電路采用CDA法時(shí)仿真波形如圖9所示。

圖9 臨界阻尼調(diào)整法

另外CDA法中包含后向歐拉法，在長(zhǎng)期模擬結(jié)果中會(huì)引入相移問題，計(jì)算時(shí)會(huì)導(dǎo)致精度降低并產(chǎn)生誤差[41]。在含有大量電力電子開關(guān)器件開關(guān)操作時(shí)，CDA法只有在正常計(jì)算時(shí)可保持2階精度，在切換算法消除數(shù)值振蕩過程中，算法精度會(huì)降至1階。因此文獻(xiàn)[42]提出了3S-DIRK變階變步長(zhǎng)方法，可在正常計(jì)算時(shí)具備3階精度，其余計(jì)算可切換至具有L穩(wěn)定性的算法抑制數(shù)值振蕩并可保證精度不低于2階。

實(shí)際應(yīng)用中，軟件Microtran實(shí)現(xiàn)了CDA技術(shù)[43]，EMTP的DCG-EPRI版本(即EMTP版本3.0)中也采用了臨界阻尼調(diào)整法，雖然消除了數(shù)值振蕩，但仿真波形中會(huì)出現(xiàn)一些處理痕跡，結(jié)果并不理想[44]。

3.4 THTA法

THTA法(Trapezoidal History Term Averaging)采用變步長(zhǎng)，具備A穩(wěn)定性，計(jì)算較復(fù)雜。此方法仍以梯形積分法為基礎(chǔ)，在Δt/2的兩個(gè)步長(zhǎng)中確定歷史源值的平均值。如式(12)所示，先采用梯形積分法在時(shí)間t中計(jì)算歷史電流源值，再計(jì)算平均值ITHTA(t)，并將此值作為新的歷史電流源值計(jì)算VLTHTA(t)，第二個(gè)半步長(zhǎng)重復(fù)以上步驟計(jì)算，在數(shù)值穩(wěn)定后，繼續(xù)采用隱式梯形積分法求解。

(12)

采用THTA法對(duì)各步長(zhǎng)中的參數(shù)分析列舉，如表1所示。

表1 THTA法對(duì)各參數(shù)分析

對(duì)圖2中RL電路采用THTA法時(shí)仿真波形如圖10所示。

該方法在仿真過程中保持了梯形積分法精度高的優(yōu)勢(shì)，消除了誤差，僅在Δt/2步長(zhǎng)中出現(xiàn)一次抖動(dòng)，之后保持穩(wěn)定，對(duì)數(shù)值振蕩有一定抑制作用。THTA法與CDA法不同的是，它只需上一步驟的歷史源值產(chǎn)生一個(gè)新的值就能免受數(shù)值振蕩，計(jì)算效率更高。

圖10 THTA法

4 新型積分算法研究

目前大規(guī)模新能源發(fā)電接入電力系統(tǒng)后，呈現(xiàn)出電力電子化趨勢(shì)[45]，大量具有寬頻帶響應(yīng)特性的電力電子裝置不斷接入至電力系統(tǒng)中，極大改變了電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性[46]，使電磁暫態(tài)仿真的分析復(fù)雜性不斷增加。電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真在經(jīng)典積分算法的基礎(chǔ)上不斷發(fā)展改進(jìn)，目前越來(lái)越來(lái)多的新型積分算法和技術(shù)不斷提出并獲得應(yīng)用。

4.1 塊廣義向后差分法

塊廣義向后差分方法(Generalized Backward Differentiation Formula,GBDF)是塊邊界值方法中的一類，由文獻(xiàn)[47]提出。具備A穩(wěn)定性和L穩(wěn)定性[48]。精度可在1階(也稱為后向歐拉法)～5階之間變化，采用2或3階的GBDF方法時(shí)可求解初值問題，因具有較強(qiáng)的阻尼特性，可以得到在時(shí)間上很平滑的解，因此在電磁暫態(tài)仿真中可消除數(shù)值振蕩現(xiàn)象。當(dāng)采用s級(jí)s階的GBDF方法求解式(6)一階微分方程的初值問題，計(jì)算格式可描述為式(13)～式(15)：

(13)

式中N為時(shí)間離散網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)；h為時(shí)間積分步長(zhǎng)；αi,i∈(0,s)的取值可參考文獻(xiàn)[49]。

(14)

(15)

同時(shí)采用Brugnano等提出的附加方法選擇策略與邊界值方法聯(lián)合求解待求點(diǎn)數(shù)N相匹配的N個(gè)方程，將不會(huì)對(duì)數(shù)值穩(wěn)定性與計(jì)算精度產(chǎn)生影響。采用塊廣義向后差分法可允許較大的時(shí)間積分步長(zhǎng)求解離散后的一階模型得到離散點(diǎn)的時(shí)域解，相較于經(jīng)典積分算法中的臨界阻尼調(diào)整法，無(wú)需檢測(cè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的突變現(xiàn)象，減輕了計(jì)算負(fù)擔(dān)，且能有效避免數(shù)值振蕩，適用于輸電線路電磁暫態(tài)仿真中[50]。

電力系統(tǒng)規(guī)模與復(fù)雜性的增加，對(duì)電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)實(shí)時(shí)仿真要求也更加嚴(yán)格，為達(dá)到實(shí)時(shí)仿真分析計(jì)算要求，文獻(xiàn)[51]將塊廣義向后差分法與擴(kuò)展的隱式梯形積分法結(jié)合應(yīng)用在非線性常微分初值問題的數(shù)值計(jì)算中，解決了高維非線性初值問題面臨的維數(shù)災(zāi)問題。文獻(xiàn)[52]利用塊廣義向后差分法，采用矩陣分解，不會(huì)因整體雅可比矩陣或多個(gè)分塊子矩陣被三角分解而降低效率，數(shù)值計(jì)算效率比經(jīng)典微分求積法更高。

4.2 精細(xì)積分法

電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真過程需要解決線性或非線性系統(tǒng)，但最主要的還是先將線性時(shí)不變的系統(tǒng)精細(xì)的分析好[51]。文獻(xiàn)[53]以Duhamel積分為基礎(chǔ)，提出了矩陣指數(shù)計(jì)算的精細(xì)積分方法，在此基礎(chǔ)上又提出解決瞬態(tài)初始問題時(shí)保持高精度、高穩(wěn)定性的求解方法。對(duì)于線性常微分方程，其解基于Duhamel積分可表示為式(16)所示：

(16)

通過等時(shí)間步長(zhǎng)η將時(shí)間劃分，即可得到式(16)的遞推形式：

(17)

其中，eHη=I+Ht+(Hη)2/2+(Hη)3/3!+…；H為常數(shù)矩陣，非齊次項(xiàng)f為時(shí)間函數(shù)。選取不同的Duhamel數(shù)值積分方法可衍生出精細(xì)積分法的其他形式，雖然本質(zhì)上為顯示積分，但例如高精度直接積分法利用拉格朗日高階插值多項(xiàng)式，在處理非線性問題上，精度和穩(wěn)定性依然有優(yōu)勢(shì)[54]。

精細(xì)積分法將微分變量的導(dǎo)數(shù)部分細(xì)分為線性部分和非線性部分，是用于計(jì)算矩陣指數(shù)的一種方法，對(duì)于非齊次方程，通過增維方法，將其擴(kuò)容為齊次方程，最后采用精細(xì)積分法求解時(shí)，可避免矩陣的求逆計(jì)算，提高了計(jì)算速度，但精度不高。當(dāng)在求解非線性剛?cè)狁詈蠁栴}時(shí)，精細(xì)積分法處理剛性問題也有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)[55]。文獻(xiàn)[56]通過將精細(xì)積分法進(jìn)行增維的方式應(yīng)用到電磁暫態(tài)計(jì)算中，一定程度上解決了數(shù)值振蕩問題，但對(duì)于大規(guī)模電力系統(tǒng)，龐大的計(jì)算量增加了誤差，計(jì)算精度降低。文獻(xiàn)[57]提出一種基于泰勒級(jí)數(shù)的精細(xì)計(jì)算方法，整合的過程劃分為更小的部分，運(yùn)用泰勒級(jí)數(shù)展開計(jì)算指數(shù)矩陣，但存在嚴(yán)重的舍入誤差，因此文獻(xiàn)[58]提出改進(jìn)的泰勒級(jí)數(shù)精細(xì)積分法，并將此運(yùn)用到電磁暫態(tài)數(shù)值計(jì)算中，相較于經(jīng)典積分算法，既保留了算法的優(yōu)點(diǎn)，又能夠避免數(shù)值振蕩問題，計(jì)算精度也得到提高。為處理采用隱式梯形積分法產(chǎn)生的問題，文獻(xiàn)[59]在精細(xì)積分算法的基礎(chǔ)上，提出了隱式精細(xì)積分算法，比經(jīng)典積分算法精度更高，更易于實(shí)現(xiàn)。

精細(xì)積分法有較好的穩(wěn)定性，但在時(shí)間上劃分的許多區(qū)間會(huì)使計(jì)算效率降低，在實(shí)際應(yīng)用中影響很大，因此文獻(xiàn)[60]采用組合稀疏矩陣技術(shù)，提出了精細(xì)積分級(jí)數(shù)解的并行算法。為解決電力系統(tǒng)輸電線中過電壓數(shù)值模擬的計(jì)算效率問題，在精細(xì)積分法的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[61]提出高精度直接積分法，相較于CDA法小步長(zhǎng)仿真，大步長(zhǎng)計(jì)算效率更高，具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。為避免狀態(tài)矩陣求逆影響仿真速度，文獻(xiàn)[62]提出基于精細(xì)積分法的多步法，具備良好的穩(wěn)定性和高精度優(yōu)勢(shì)，也極大地提高了仿真效率。另外文獻(xiàn)[63]將非線性部分作線性化假設(shè)，使增維的精細(xì)積分法拓展到了非線性系統(tǒng)研究領(lǐng)域，應(yīng)用領(lǐng)域進(jìn)一步拓寬。

4.3 根匹配技術(shù)

基于截?cái)嗵├占?jí)數(shù)的積分方法在仿真階躍響應(yīng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生數(shù)值振蕩問題，相較于經(jīng)典積分算法，差分方程的指數(shù)形式(Root-matching Techniques，根匹配技術(shù))是一種替代方法。

采用指數(shù)形式能夠在循環(huán)計(jì)算之前，預(yù)先計(jì)算好指數(shù)項(xiàng)并將其存儲(chǔ)，計(jì)算效率并比隱式梯形積分法在數(shù)值計(jì)算上更高效[64]。該方法通過確定電路結(jié)構(gòu)計(jì)算得到其S域的傳遞函數(shù)H(s)，由傳遞函數(shù)可得到其差分方程的指數(shù)形式，與Dommel方法得到的差分方程類似，可將差分方程的指數(shù)形式看作一個(gè)諾頓等效形式。文章以RL電路為例，其傳遞函數(shù)如式(18)所示:

(18)

差分方程指數(shù)形式的諾頓表達(dá)式如式(19)所示：

(19)

傳統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真直接在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行差分求解，而根匹配法從頻域離散系統(tǒng)出發(fā)，通過反變換進(jìn)行差分化，具有良好的穩(wěn)定性，而且保持了原連續(xù)模型的動(dòng)態(tài)特性，精度高于傳統(tǒng)積分算法。然而根匹配法并非適合任何元件，針對(duì)RL并聯(lián)與RC串聯(lián)回路并不能有效避免非原型振蕩以及根匹配法無(wú)法對(duì)獨(dú)立電感、電容元件進(jìn)行差分處理的問題，文獻(xiàn)[65]提出了基于離散相似的電磁暫態(tài)仿真方法，首先將組合形式拆分為獨(dú)立元件，再添加正負(fù)虛擬電阻轉(zhuǎn)換為RL串聯(lián)與RC并聯(lián)的組合元件，經(jīng)過離散相似法差分后，歷史項(xiàng)中不含非狀態(tài)變量，因此有效避免了數(shù)值振蕩。

根匹配技術(shù)總結(jié)有以下優(yōu)點(diǎn)[66]：(1)能夠消除截?cái)嗾`差，并因此消除了數(shù)值振蕩。與采用的步長(zhǎng)無(wú)關(guān)，能夠同時(shí)應(yīng)用于電網(wǎng)絡(luò)方程和控制模塊；(2)能夠等效成諾頓等效電路，可與數(shù)值積分代換方法完全兼容，并且矩陣求解技術(shù)保持不變；(3)能夠提供高效和準(zhǔn)確的時(shí)域仿真解，目前可應(yīng)用于PSCAD和EMTDC仿真軟件中。

5 結(jié)束語(yǔ)

文章根據(jù)電磁暫態(tài)仿真分析的高性能需求討論了經(jīng)典積分算法和新型積分算法，主要結(jié)論如下：

(1)后向歐拉法具備A穩(wěn)定性和L穩(wěn)定性，可避免數(shù)值振蕩，但精度低，阻抗的存在也會(huì)產(chǎn)額外損耗。隱式梯形積分法具備A穩(wěn)定性和2階精度，計(jì)算效率高，在電力系統(tǒng)仿真中應(yīng)用最為廣泛，但不是L穩(wěn)定性，因此不具備消除數(shù)值振蕩的能力。臨界阻尼調(diào)整法能夠從源頭上消除數(shù)值振蕩，但需檢測(cè)突變發(fā)生時(shí)刻，算法切換增加了計(jì)算負(fù)擔(dān)，在計(jì)算精度和計(jì)算效率上不占優(yōu)勢(shì)。以梯形法為基礎(chǔ)的THTA法僅一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)即可消除數(shù)值振蕩并保持穩(wěn)定，比CDA法計(jì)算更簡(jiǎn)便有效;

(2)經(jīng)典積分算法的研究主要集中在不同特性算法的組合運(yùn)用以發(fā)揮各自優(yōu)勢(shì)，為電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真提供了更多發(fā)展空間。如受臨界阻尼調(diào)整法的啟發(fā)，將隱式梯形積分法與一類新的低階、L穩(wěn)定的線性多步法相結(jié)合，比較適用于含有大量電力電子裝置的電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真中;

(3)新型積分算法中精細(xì)積分法具備高精度和良好的穩(wěn)定性。為滿足實(shí)時(shí)分析計(jì)算需求，在求解大規(guī)模問題中可采用并行計(jì)算技術(shù)提高精細(xì)積分法的計(jì)算效率。精細(xì)積分法本質(zhì)上適用于線性定常部分的求解，利用其處理線性剛性問題的優(yōu)勢(shì)可構(gòu)造出更高性能數(shù)值方法。如何利用精細(xì)積分法優(yōu)點(diǎn)求解非線性問題，在高性能電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真中尚有研究?jī)r(jià)值。根匹配技術(shù)不僅可以形成與Dommel算法結(jié)構(gòu)相似的諾頓等效電路，可較為容易的應(yīng)用在現(xiàn)有電磁暫態(tài)程序中并有效避免了非原型數(shù)值振蕩，也在精度和穩(wěn)定性方面大大提高，但根匹配法為恒穩(wěn)定算法，并非適用于任何元件，針對(duì)基于根匹配法的非線性以及存在耦合關(guān)系的元件處理還需進(jìn)一步研究。