姚世生，張學(xué)良，溫淑花，張 偉

(太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024)

機(jī)床在工作過程中，會有各種誤差產(chǎn)生。其中，幾何誤差是由于各零部件發(fā)生變形，進(jìn)而導(dǎo)致刀具與加工零件產(chǎn)生位置偏差。要想減小這種偏差，就得提高機(jī)床結(jié)構(gòu)整體剛度。組成機(jī)床的各部件、各組件之間的接觸面也稱結(jié)合面，研究表明結(jié)合面引起的變形量占機(jī)床總變形的85%～90%[1].因此，對結(jié)合面接觸剛度的研究就顯得尤為重要。

近年來結(jié)合面法向接觸剛度成為國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點。Majumdar 等[2]提出了MB模型，可以用分形參數(shù)唯一的表征粗糙表面，進(jìn)而研究了表面的接觸特性。張學(xué)良等[3]基于MB模型和Hertz接觸理論，提出了結(jié)合面法向接觸剛度分形模型。Jiang[4]等運(yùn)用改進(jìn)的W-M函數(shù)建立了結(jié)合面法向接觸剛度模型，分析了結(jié)合面參數(shù)對接觸剛度的影響。在此基礎(chǔ)上，蘭國生等[5]考慮了域擴(kuò)展因子的影響，提出了一種改進(jìn)模型。楊紅平等[6]研究了結(jié)合面法向接觸剛度與法向載荷在不同的材料特性下之間的關(guān)系。田紅亮等[7]依據(jù)粗糙表面的各向異性特征，結(jié)合分形理論，分析了結(jié)合面微凸體的變形特點，建立了固定結(jié)合面法向接觸剛度模型。李小彭等[8]分析了摩擦因素對法向接觸剛度的影響。王潤瓊等[9]基于微凸體相互作用和域擴(kuò)展因子的影響，建立了結(jié)合面法向接觸剛度模型。李玲等[10]建立了考慮微凸體基底變形的結(jié)合面法向接觸剛度模型。

以上接觸模型都是用W-M函數(shù)模擬粗糙表面，用波長為l的單一余弦函數(shù)來描述接觸點，即微凸體，進(jìn)而根據(jù)微凸體的變形，應(yīng)用粗糙表面與剛性平面接觸面積分布函數(shù)，來探究結(jié)合面的接觸剛度。根據(jù)分形理論，具有分形特征的表面，在被無限放大后，會有更多的細(xì)節(jié)顯現(xiàn)出來。所以，粗糙表面上的接觸點應(yīng)該是由無數(shù)個余弦函數(shù)疊加而成。為了精確表達(dá)接觸點的這一性質(zhì)，周安安等[11]提出了自仿射接觸點的概念。

綜上，為了能夠更準(zhǔn)確地描述結(jié)合面法向接觸剛度，本文在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上應(yīng)用自仿射接觸點的性質(zhì)，建立一種結(jié)合面法向接觸剛度分形模型，仿真并分析了結(jié)合面分形參數(shù)等對法向接觸剛度的影響。

1 結(jié)合面形貌特征與自仿射接觸點及其表征

結(jié)合面接觸本質(zhì)上為兩粗糙表面的接觸，表面的微觀形貌對分析結(jié)合面的接觸狀態(tài)起著決定性作用。因此，對于粗糙表面的描述則顯得尤為重要。為了克服因儀器分辨率導(dǎo)致所測量表面表征參數(shù)不具有客觀性和唯一性，Majumdar等[12]研究發(fā)現(xiàn)，采用W-M函數(shù)可以很好地模擬粗糙表面形貌特征。

W-M函數(shù)表達(dá)式為：

(1)

式中，D為分形維數(shù)，G為分形粗糙度，γ為粗糙表面特征頻率。

為了更加清晰地研究結(jié)合面接觸特性，一般將其等效成剛性光滑平面與等效粗糙表面的接觸。M-B模型在對接觸面進(jìn)行分析時，提出以下兩點假設(shè)：(1)粗糙表面上單個微凸體可用其對應(yīng)接觸長度為L的單余弦函數(shù)進(jìn)行描述；(2)忽略微凸體之間的相互作用。如圖1所示，當(dāng)剛性平面相對于等效粗糙表面產(chǎn)生δ位移時，MB模型并沒有考慮接觸過程中微凸體的動態(tài)變化，只是將接觸末態(tài)時接觸長度為l的微凸體用余弦函數(shù)擬合。即MB模型只考慮了微凸體的初態(tài)和末態(tài)，假設(shè)微凸體完全變形而忽略微凸體接觸狀態(tài)的變化，勢必造成計算結(jié)果的不準(zhǔn)確。

圖1 剛性平面與粗糙表面接觸Fig.1 Rigid plane in contact with rough surface

由式(1)可知，W-M函數(shù)所描述的粗糙表面是由多個余弦函數(shù)疊加而成，用單個余弦函數(shù)描述接觸點顯然不合適[11]。文獻(xiàn)[11]提出用自仿射接觸點來代替微凸體。即自仿射接觸點是由多個單余弦函數(shù)疊加而成，具有統(tǒng)計自仿射特性，隨著接觸狀態(tài)而變化的動態(tài)接觸點(包含了微凸體之間的相互作用)。所以，用這一動態(tài)自仿射接觸點描述結(jié)合面接觸行為將更加準(zhǔn)確。

如圖1所示，接觸點是由多個余弦函數(shù)疊加而成，而單個接觸線的形狀則和余弦函數(shù)較相似，則接觸長度為l的接觸點可用余弦函數(shù)表示為[11]。

(2)

需要說明的是，公式(2)中的G與公式(1)中的G單位不同，為m1/2.

接觸長度與接觸面積之間的關(guān)系為[2]：

l=a1/2

(3)

則接觸點的曲率半徑可以表示為：

(4)

微觀接觸點的受力分析可以類比宏觀接觸理論，依據(jù)Hertz彈性理論，彈性接觸點的法向接觸載荷fe與實際接觸面積a分別為：

(5)

a=πRδ

(6)

將式(4)、(6)代入式(5)可得法向載荷與接觸面積的關(guān)系為[11]:

(7)

塑性接觸點的法向接觸載荷為[3]:

fp=Ha

(8)

式中，H為較軟材料硬度；H=2.8σy，σy為較軟材料屈服強(qiáng)。

由于組成結(jié)合面的接觸點尺度大小有所差別，當(dāng)剛性平面處于某一法向位置時，這些接觸點有的發(fā)生彈性變形，有的則可能發(fā)生塑性變形。塑性流動導(dǎo)致變形無法恢復(fù)，因此，表征材料恢復(fù)能力的剛度由彈性變形接觸點所貢獻(xiàn)。

由式(5)、(6)得單個彈性接觸點的剛度為：

(9)

2 基于自仿射接觸點的結(jié)合面法向接觸剛度模型

結(jié)合面接觸點的分布密度函數(shù)為[11]:

(10)

式中，al為最大微接觸區(qū)域面積。

接觸點臨界變形量為[13]:

(11)

其中，K為硬度系數(shù)，K=0.454+0.41ν，ν為較軟材料泊松比。

當(dāng)δ=δc時，相應(yīng)的接觸面積即為臨界接觸面積，表示為：

(12)

(13)

則當(dāng)al>ac時，結(jié)合面實際接觸面積為：

(14)

結(jié)合面法向接觸載荷為[11]:

(15)

為確保所得公式的通用性，將式(15)無量綱化得：

(16)

聯(lián)立式(9)、(10)可得結(jié)合面法向接觸剛度為：

(17)

將式(17)無量綱化得：

(18)

3 結(jié)合面法向接觸剛度模型的仿真及分析

一般工程中φ取0.7～1.5[14]，故本文取φ=1.0，分形維數(shù)D取1.1～1.9，分形粗糙度G*分別取10-9，10-10和10-11.其中，圖2為表面分形維數(shù)對無量綱法向接觸剛度的影響曲線。圖3為分形粗糙度影響下的結(jié)合面無量綱法向接觸剛度的變化趨勢圖。

圖2 D對K*n的影響(G*=10-10，φ=1.0)Fig.2 The influence curves of D with

圖3 G*對K*n的影響(φ=1.0 )Fig.3 The influence curves of G* with (φ=1.0 )

仿真結(jié)果分析如下：

(1)由圖2可知，在分形維數(shù)D=1.1～1.9時，無量綱法向接觸剛度與無量綱法向載荷呈非線性關(guān)系。因為結(jié)合面在法向載荷作用下，表面上在產(chǎn)生新接觸點的同時，原有接觸點也會產(chǎn)生融合，組成更大的接觸點，進(jìn)而使接觸面積增大，結(jié)合面抵抗彈性變形的能力增強(qiáng)，即接觸剛度增大。文獻(xiàn)[4]中的實驗結(jié)果趨勢也驗證了本文模型的正確性。

4 結(jié)論

(1)基于接觸力學(xué)理論和分形理論，應(yīng)用自仿射接觸點的性質(zhì)，建立了結(jié)合面法向接觸剛度分形模型。

(2)通過表面的實際接觸面積可構(gòu)建出結(jié)合面法向接觸剛度與法向接觸載荷之間的函數(shù)關(guān)系，且二者之間呈現(xiàn)出較強(qiáng)的非線性特性。

(3)在結(jié)合面材料參數(shù)確定的情況下，將結(jié)合面無量綱法向載荷即F*持續(xù)增大，會使結(jié)合面無量綱法向接觸剛度也變大。同時，取表面分形維數(shù)D為1.1～1.9時，結(jié)合面無量綱法向接觸剛度也呈現(xiàn)出增長趨勢。相反，當(dāng)表面分形粗糙度G*取值越大時，結(jié)合面法向接觸剛度會呈現(xiàn)下降趨勢。