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對一道源自課本的高考試題的再探究

2022-08-19 12:24周長春
中學數(shù)學 2022年8期
關(guān)鍵詞：夾角考試題變式

周長春

(北京市第二中學 100010)

2016年浙江省高考數(shù)學理科卷第15題為：已知向量，，||=1，||=2，若對任意單位向量，均有則·的最大值是

．

文[1]對該題進行了深入的探究，不僅給出了5種不同的解法，而且得到了3個一般化的結(jié)論，讀后讓人深受啟發(fā).筆者對該題“再”探究，思考如下問題：

①該題還有沒有別的解法？

②如果將改為|·|(其他條件不變)，又該如何求解？即如何求(|·|+|·|)？

③將②推廣到一般情形后的結(jié)論又是怎樣的？

筆者通過挖掘|·|+|·|的幾何意義，借助幾何直觀，得到如下解決過程．

1 利用幾何意義求解

(1)構(gòu)造|·|+|·|的幾何意義設(shè)與的夾角為

θ

，，與的夾角分別為

θ

，

θ

，則·=2cos

θ

，因為求的是·的最大值，故只考慮又因為當

θ

=0時，取與,同向，則故只考慮

圖1

如圖1，過點

O

作將繞點

O

逆時針旋轉(zhuǎn)90°，繞點

O

順時針旋轉(zhuǎn)90°，分別得到向量分別作點

C

,

D

關(guān)于點

O

的對稱點

E

,

F

,則四邊形

CDEF

為平行四邊形.當在∠

EOF

內(nèi)(含邊界)時，延長

MO

交

CD

于點

P

,記∠

OPC

=

α

,故|·|+|·|=這就是|·|+|·|的幾何意義.(2)求|·|+|·|的最大值下面利用|·|+|·|的幾何意義求 |·|+|·|的最大值.當在∠

EOF

內(nèi)(含邊界)時，當時取“=”，事實上，此時與+共線.當在∠

COD

內(nèi)(含邊界)時,由對稱性知當在∠

COF

或∠

EOD

內(nèi)時,同理知易知△

AOB

≌△

EOD

,所以所以在△

AOB

與△

COD

中,由知故此時綜上，因此原題題意等價于即·的最大值是.

下面考慮和的情形.

易知

當時，

圖2

當時，如圖所以(|·|+|·|)事 實上，此時與-共線).由以上分析可知，對任意給定的

θ

∈(0,π)，=max{|+|,|-|}.當

θ

=0或

θ

=π時，上述結(jié)論也成立.因此，將問題一般化，利用|·|+|·|的幾何意義可得出如下結(jié)論：設(shè)，為非零向量，則對任意單位向量，有(|·|+|·|)=max{|+|,|-|}.設(shè)，為非零向量，||=

m

，||=

n

，利用上面的方法很容易得到文[1]的3個結(jié)論，這里就不贅述了.

2 幾何意義的應用

(1)變式探究

(變式)已知向量，，||=1，||=2，若對任意單位向量，均有則·的最大值是

．對任意單位向量，均有因此需要求(|·|+|·|).若

θ

∈(0,π)，如圖1，當在∠

EOF

內(nèi)(含邊界)時，因為所以∠

ODC

<∠

OCD

,sin∠

ODC

OCD.

當點

P

與點

D

重合，即與同向時(此時當在∠

COD

內(nèi)(含邊界)時,由對稱性知(|·|+|·|)=sin

θ.

當在∠

COF

或∠

EOD

內(nèi)時，同理知故當⊥時，(|·|+|·|)=sin

θ.

若

θ

=0或π，則當⊥時，(|·|+|·|)=0=sin

θ.

綜上，(|·|+|·|)=sin

θ.

對于上面的變式，因此即·的最大值是

此題如果不采取上述方法，解決起來往往非常麻煩，有興趣的讀者不妨一試.

(2)推廣探究

將上述變式推廣到一般情形，筆者經(jīng)過探索得到了如下一系列結(jié)論：

結(jié)論1

已知非零向量,，||=

m

，||=

n

(

m

≤

n

)，與的夾角為

θ

，為任意單位向量，則當且僅當⊥時，(|·|+|·|)=

m

sin

θ.

結(jié)論2

已知非零向量，，||=

m

，||=

n

(

m

≤

n

)，若對任意單位向量，均有|·|+ |·|≥

r

，其中

r

為正常數(shù)，則當且僅當

r

≤

m

時，，存在.

結(jié)論3

已知非零向量，，||=

m

，||=

n

(

m

≤

n

)，若對任意單位向量，均有|·|+ |·|≥

m

，則⊥

.

結(jié)論4

已知非零向量，，||=

m

，||=

n

(

m

≤

n

)，若對任意單位向量，均有|·|+ |·|≥

r

，其中常數(shù)

r

∈(0,

m

)，則·的取值范圍為

這些結(jié)論的證明方法與上述變式求解過程完全相同，這里略去.

本文是對一道源自課本的高考試題的“再”探究.在探究過程中，一方面強調(diào)換個角度思考，深入挖掘|·|+|·|的幾何意義，借助幾何直觀、數(shù)形結(jié)合來解決問題；另一方面強調(diào)變式，并試著做一般化處理.在平時教學中，教師如果能在引導學生多角度思考問題(一題多解)以及對題目進行變式求解(一題多變)方面多花功夫，對于提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)、培養(yǎng)學生靈活運用所學知識分析問題和解決問題的能力，是大有裨益的.

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