王哲逸，李 冀，李晨捷，龍玉繁，賀紅林

（南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，南昌 330063）

壓電電機是一種直接驅(qū)動的新型微特電機。與傳統(tǒng)直流電磁電機不同，壓電電機利用壓電材料的逆壓電效應(yīng)進行驅(qū)動。通過在壓電材料表面施加電激勵信號使其產(chǎn)生微觀振動，進而激勵定子體產(chǎn)生微觀共振，再將其轉(zhuǎn)化為動子的宏觀運動[1－4]。平面壓電電機在工作時有響應(yīng)快、定位精度高、運動平穩(wěn)、無輸入自鎖等一系列優(yōu)點，因此平面壓電電機廣泛運用于生物醫(yī)療、芯片制造等有高精度定位需求行業(yè)[5－6]。Polit等[7]提出了1種具有納米級分辨率的壓電驅(qū)動平臺，該驅(qū)動平臺x、y向驅(qū)動行程可達(dá)15 μm，行進間位移分辨率可達(dá)1 μm；Zhang 等設(shè)計出一種新型精密二維定位平臺[8]，平臺將兩向驅(qū)動耦合形成50 mm×50 mm的驅(qū)動行程，定位精度小于0.28 μm；賀紅林課題組提出“田字型”、“雙十字形”和“口齒式”電機結(jié)構(gòu)[9－11]?？偨Y(jié)前人研究成果，本文提出了1 種以定子縱、彎兩種振動模態(tài)作為驅(qū)動模態(tài)的盆架型平面壓電電機。電機利用壓電材料的d31效應(yīng)激勵定子固有模態(tài)，通過定動子間的摩擦耦合，將定子的微觀振動傳遞至動子[12]。

壓電電機定子設(shè)計要求特殊，在設(shè)計過程中常出現(xiàn)為滿足某一個性能參數(shù)要求而導(dǎo)致另一個性能參數(shù)產(chǎn)生劇烈變化的情況，極大地增大了電機設(shè)計難度[13]。以往為滿足此類電機定子設(shè)計要求，常采用“手動試湊”的方法[14－15]。此類設(shè)計方法使得定子設(shè)計過程繁瑣，結(jié)果也不理想。針對上述問題，時運來[16]提出了1種基于響應(yīng)面法的優(yōu)化設(shè)計方法，運用響應(yīng)面法獲得優(yōu)化參數(shù)與優(yōu)化目標(biāo)的顯式關(guān)系式，結(jié)合優(yōu)化算法對其進行參數(shù)尋優(yōu)，因其依靠經(jīng)驗進行優(yōu)化參數(shù)選取從而降低了優(yōu)化精度。楊模尖等[17]利用有限元分析獲得了V型定子的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)對兩相模態(tài)頻率一致性的影響，通過試選的方式找到較合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)尺寸，因函數(shù)關(guān)系構(gòu)建問題，該方法操作相對復(fù)雜[18]。Deibel 等[19]采用了遺傳算法和單純形法相結(jié)合的算法來優(yōu)化換能器參數(shù)；Hong等[20]等運用Kriging Meta 模型，輔助以進化算法，對結(jié)構(gòu)參數(shù)進行尋優(yōu)。

本文提出了1 種基于ANSYS 有限元軟件和MATLAB分析軟件，結(jié)合響應(yīng)面法和多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法(NSGA-Ⅱ)的優(yōu)化設(shè)計方法，以盆架型壓電電機定子為研究對象對其性能進行驗證。

1 電機定子設(shè)計

1.1 定子的結(jié)構(gòu)拓?fù)?/h3>

在滿足電機直線驅(qū)動的基礎(chǔ)上，定子設(shè)計還需大致滿足3個條件[21]：

（1）存在合適的模態(tài)頻率，使定子工作模態(tài)處于合適的超聲頻域。模態(tài)頻率低則易產(chǎn)生噪聲，模態(tài)頻率高則電機能量損耗增加。

（2）壓電陶瓷片盡量配置在定子最大應(yīng)變處，以保證獲得最大的驅(qū)動足振幅。

（3）應(yīng)盡量降低驅(qū)動桿的彎曲剛度，進而使驅(qū)動桿上的驅(qū)動足獲得更大振幅。綜合上述條件，設(shè)計出如圖1所示的盆架型平面壓電電機定子。定子由4 根方形桿與十字結(jié)構(gòu)體相連構(gòu)成，在十字結(jié)構(gòu)體中心處設(shè)置通孔用于固定和裝配。為減小驅(qū)動的彎曲剛度，在驅(qū)動桿與十字結(jié)構(gòu)體連接處作挖槽處理并在驅(qū)動桿中心開孔。在4根方形桿頂部設(shè)有球形驅(qū)動足用于傳遞運動。將壓電陶瓷片對稱貼于每根方形桿兩側(cè)，其中置于兩端驅(qū)動足處的16片壓電陶瓷片用于激勵定子產(chǎn)生1 階面內(nèi)彎曲振動模態(tài)，置于十字結(jié)構(gòu)體的16 片壓電陶瓷片用于激勵定子產(chǎn)生2階反對稱縱向伸縮振動模態(tài)。

圖1 盆架形壓電電機定子模型

1.2 定子驅(qū)動機理

本文采用壓電陶瓷的LE模式并基于d31效應(yīng)激勵定子1階對稱彎振模態(tài)和2階反對稱縱振模態(tài)，通過二者運動耦合驅(qū)動動子滑塊。電機盆架型定子一個運動周期T內(nèi)驅(qū)動足運動過程如圖2所示。

圖2 驅(qū)動足運動過程

在0～T/4時段，1、2號方桿的1階縱振使它們由初始桿長伸長成最大長度，使1、2 號方桿頂部的驅(qū)動足與動子滑塊相接觸，而1、2 號方桿的彎曲模態(tài)振動使兩桿由最大左彎狀態(tài)恢復(fù)成直桿狀態(tài)，使得1、2 號方桿頂部的驅(qū)動足分別由A1、B1運行至A2、B2并推動動子滑塊沿x方向移動一個步矩λ；同時，3、4號方桿的2階縱振使它們由初始長度收縮至最小桿長，使3、4 號方桿頂部的驅(qū)動足與動子滑塊脫離接觸，3、4號方桿的1階彎曲模態(tài)振動則使3、4號方桿由最大前彎狀恢復(fù)成直桿狀，使3、4 號方桿頂部的驅(qū)動足由F1、G1行進到F2、G2。

在T/4～T/2時段，1、2號方桿的2階縱振使它們由最大桿長恢復(fù)至初始桿長，兩桿頂部的驅(qū)動足仍保持與動子滑塊接觸，而1、2號方桿的1階彎曲模態(tài)振動使兩桿由直桿狀彎成最大右彎狀，從而使1、2號方桿頂部的驅(qū)動足分別由A2、B2運行至A3、B3并推動動子滑塊沿x方向移動一個步矩λ；同時，3、4號方桿的2階縱振使它們由初始最小桿長恢復(fù)到初始桿長，使3、4 號方桿頂部的驅(qū)動足仍不與動子滑塊接觸，而3、4號方桿的1階彎曲模態(tài)振動則使3、4號方桿由直桿狀彎曲成最大后彎狀，從而使3、4 號方桿頂部的驅(qū)動足由F2、G2行進到F3、G3。

在T/2～3T/4 時段，2 階縱振使1、2 號方桿由初始狀態(tài)收縮成最小桿長，進而使方桿頂部的驅(qū)動足與動子滑塊脫離。而1、2 號方桿的1 階彎曲模態(tài)振動則使它們由最大右彎狀恢復(fù)成直桿狀，從而使1、2號方桿頂部的驅(qū)動足分別由A3、B3運行至A4、B4；同時，3、4號方桿的2階縱振使它們由初始桿長伸長成最大桿長，致使3、4 號方桿頂部的驅(qū)動足與動子滑塊相接觸，而3、4號方桿的1階彎曲模態(tài)振動則使3、4號方桿由最大后彎狀恢復(fù)成直桿狀，從而使前、后桿頂部的驅(qū)動足由F3、G3行進到F4、G4，并推動動子滑塊沿y方向移動一個步距λ。

在3T/4～T時段，1、2 號方桿的2 階縱振使其由最小桿長恢復(fù)為初始長度，使驅(qū)動足仍不與動子滑塊接觸，1、2號方桿的1階彎曲模態(tài)振動則使它們由直桿狀彎曲成最大左彎狀，從而使1、2 號方桿頂部的驅(qū)動足由A4、B4運行至A1、B1；同時，3、4號方桿的2階縱振使它們由最大桿長恢復(fù)到初始桿長，使3、4號方桿頂部的驅(qū)動足仍與動子滑塊保持接觸，3、4號方桿的1 階彎曲模態(tài)振動則使3、4 號方桿由直桿狀彎曲成最大彎曲狀，從而使3、4 號方桿頂部的驅(qū)動足由F4、G4行進到F1、G1，推動動子滑塊朝y方向前進一個步距λ。定子每完成一個工作周期，1、2號方桿和3、4號方桿頂部的驅(qū)動足各完成一次橢圓軌跡運動，4根方桿的驅(qū)動足交替推動動子滑塊沿x方向和y方向分別移動兩個步距。重復(fù)上述運動周期時，動子滑塊將不停地被定子體頂部的驅(qū)動足推動朝x方向和y方向移動。

2 定子結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計

本文基于ANSYS 有限元分析軟件構(gòu)造了電機定子的有限元參數(shù)化模型，采用全局差分法對定子尺寸參數(shù)進行靈敏度分析，運用ANSYS參數(shù)化設(shè)計語言(ANSYS Parametric Design Language，ANSYS APDL)編寫了基于模態(tài)置信度準(zhǔn)則(MAC)的內(nèi)部循環(huán)程序，旨在對每次計算所得模態(tài)進行置信度識別。將內(nèi)部循環(huán)所得結(jié)果導(dǎo)出至MATLAB軟件中，基于克里金法構(gòu)建定子優(yōu)化參數(shù)和優(yōu)化目標(biāo)的響應(yīng)面函數(shù)，利用多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法NSGA-Ⅱ?qū)λ庙憫?yīng)面擬合顯式函數(shù)進行優(yōu)化分析并給出全局最優(yōu)解。具體優(yōu)化設(shè)計流程如圖3所示。

圖3 定子結(jié)構(gòu)優(yōu)化流程圖

2.1 模態(tài)置信準(zhǔn)則

模態(tài)置信準(zhǔn)則(MAC)是實現(xiàn)參數(shù)化優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)，模態(tài)識別準(zhǔn)確與否對優(yōu)化設(shè)計起決定性作用。在設(shè)計中發(fā)現(xiàn)，所需工作模態(tài)往往分散在定子眾多模態(tài)中，且工作模態(tài)階次和順序隨著結(jié)構(gòu)尺寸改變也相應(yīng)地發(fā)生改變[22]。擬通過參數(shù)化設(shè)計和ANSYS APDL 編程對模態(tài)振型進行相關(guān)性識別，篩選出符合條件的工作模態(tài)，相應(yīng)的振型相關(guān)系數(shù)定義為：

2.2 結(jié)構(gòu)尺寸靈敏度分析

根據(jù)初始運動機理和振動學(xué)特性要求所設(shè)計的電機定子結(jié)構(gòu)已經(jīng)具備了某種穩(wěn)定的振動特性，但未經(jīng)優(yōu)化的定子結(jié)構(gòu)無法充分體現(xiàn)自身的振動特性。因此，還需在原有結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上對定子結(jié)構(gòu)尺寸進行尋優(yōu)。盆架型電機的定子結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。

圖4 定子結(jié)構(gòu)圖

由圖4可知，定子結(jié)構(gòu)尺寸眾多，逐個分析各尺寸會降低優(yōu)化效率，故有必要運用全局差分法篩選出對定子工作性能影響較大的尺寸進行分析。設(shè)定子設(shè)計變量為di(i=1,2,…，n)，得定子有限元模型特征方程：

式中：φi=φi(d1,d2,…,dn)為定子第i階模態(tài)的振型；ωi=ωi(d1,d2,…,dn)為第i階模態(tài)的振動頻率；K=K(d1,d2,…,dn)為定子剛度陣；M=M(d1,d2,…,dn)為質(zhì)量矩陣。當(dāng)di產(chǎn)生了微變量Δd，必然有：

解得各尺寸的頻率靈敏度為：

即：

根據(jù)式(5)求得優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)針對定子尺寸的靈敏度，如圖5所示。L1、R、K對頻率一致性影響較小，L、H、L2對面內(nèi)彎振影響大，L、H、K4、L2對反對稱縱振影響大，L、H對頻率一致性影響較大。

圖5 定子部分特征尺寸敏感度圖

2.3 建立定子優(yōu)化模型

從尺寸靈敏度分析可知，盆架形定子眾多的尺寸中K1、K4、H、L、L2等對目標(biāo)工作模態(tài)的影響較大，故選定這些尺寸為優(yōu)化變量，構(gòu)建以工作模態(tài)頻率一致性及振幅最大化為優(yōu)化目標(biāo)，并以模態(tài)置信度等為約束的定子結(jié)構(gòu)動力學(xué)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，即：

式中：f11為1 階左彎振模態(tài)頻率，f12為1 階右彎振模態(tài)頻率，f2為2 階反對稱縱振模態(tài)頻率；ζs為定子振幅，ximin、ximax為結(jié)構(gòu)尺寸xi的下限和上限。

3 響應(yīng)面模型的構(gòu)建

響應(yīng)面技術(shù)具有很強的操作性，將它與有限元分析結(jié)合起來可以對復(fù)雜結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化分析[23]。在通過ANSYS內(nèi)部循環(huán)得到一系列可行解之后，建立響應(yīng)面模型進行數(shù)據(jù)分析，求得全局最優(yōu)解。響應(yīng)面的基本思路為：首先，選擇近似隱式響應(yīng)函數(shù)的多項式形式，然后再通過一系列設(shè)計點來確定近似函數(shù)中的各個待定系數(shù)。故在確定擬合函數(shù)時，需選取合理的設(shè)計點和迭代方法，以確保近似響應(yīng)函數(shù)能收斂于真實的隱式響應(yīng)函數(shù)[24]。

在單一變量情況下，響應(yīng)面函數(shù)形式如式(7)所示：

其中：y為擬合函數(shù)輸出量，β0為系數(shù)，βi為各變量系數(shù)，xi為輸入變量，ε為觀測誤差。分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)變量為單個變量且最大項數(shù)為一次時擬合結(jié)果太粗略，將兩個變量的乘積合并，得到：

將式(8)改寫成：

再將其改寫成矩陣形式：

式中：

可得最小方差為：

不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)式(11)中最小方差趨于最小時，擬合曲面與實際隱函數(shù)趨于一致。當(dāng)L對β的偏導(dǎo)數(shù)為零時，最小方差取極小值。

可得：

即可推導(dǎo)出所擬合的響應(yīng)面為：

利用ANSYS動力學(xué)計算求得的數(shù)據(jù)，運用中心復(fù)合設(shè)計法CCD生成采樣計算點，基于克里金法結(jié)合式(10)至式(14)建立定子結(jié)構(gòu)參數(shù)L、K4關(guān)于目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)面模型，擬合精度為98.12 %，如圖6所示。

圖6 定子響應(yīng)面模型

F為目標(biāo)函數(shù)，響應(yīng)面展開式為：

4 定子的NSGA-Ⅱ優(yōu)化

本文中定子采用多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法(NSGA-Ⅱ)進行優(yōu)化，該方法是1 種非支配快速多目標(biāo)優(yōu)化算法，而且是基于Pareto 最優(yōu)解的多目標(biāo)優(yōu)化算法[25－26]。NSGA-Ⅱ算法中新引入了精英策略，成為一種快速非支配的排序算法，這一改進擴大了采樣空間，使得非支配排序計算復(fù)雜度大幅降低。

文中將驅(qū)動足x、y、z向振幅最大化和模態(tài)頻率一致性作為算法的目標(biāo)函數(shù)，以3 階工作模態(tài)頻率差值總和≤300 HZ為約束，構(gòu)造如表1所示的搜索空間。自初代種群起，對所有個體進行擁擠度排序，將每次迭代生成的子代種群與其父代種群重新組合，通過共同競爭來產(chǎn)生下一代種群。這樣有利于保存父代中現(xiàn)存的優(yōu)良個體，使之在進化過程中不被丟棄，提高了算法結(jié)果的準(zhǔn)確度。同時引入擁擠度計算和擁擠度比較算子。將擁擠度作為種群中個體之間的比較準(zhǔn)則，在迭代過程中對種群中所有個體以擁擠度為標(biāo)準(zhǔn)進行分層存放。這樣能迅速提高種群精英度水平，使得準(zhǔn)Pareto 域中的種群個體能均勻擴展到整個Pareto 域，避免算法過快進入局部最優(yōu)而停止優(yōu)化，保證了種群多樣性。本文優(yōu)化算法的實現(xiàn)流程如圖7所示，優(yōu)化中的相關(guān)參數(shù)設(shè)置情況如表1所示。

表1 優(yōu)化變量取值范圍

在基于多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法的優(yōu)化過程中，擁擠度的判定是確保種群多樣性的決定性因素。擁擠度計算步驟為：

（1）不在兩端的點擁擠度主要與其相鄰兩個點有關(guān)，遂將每個點的擁擠度id設(shè)為0；

（2）根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)對種群進行非支配排序，使邊界上的兩個點擁擠度達(dá)到無限大，即od=ld=∞；

（3）對種群中其余個體進行擁擠度計算，并對同層個體進行排列分層[20－21]。式(16)為擁擠度計算公式。

式中：id為對應(yīng)點的擁擠度，fi+1j和fi-1j為目標(biāo)函數(shù)j對應(yīng)的i+1點和i-1點的函數(shù)值。

5 優(yōu)化過程與結(jié)果

5.1 迭代優(yōu)化過程

為保證樣本點數(shù)量和優(yōu)化可信度，運用中心復(fù)合設(shè)計法CCD進行計算，得到161組設(shè)計點，在算法中生成8 000 個初始化種群個體并進行優(yōu)化運算。迭代終止條件設(shè)為收斂穩(wěn)定性趨于0%或種群中精英數(shù)達(dá)到70%，對優(yōu)化模型中的各優(yōu)化目標(biāo)進行約束并取極值，迭代步數(shù)設(shè)為100步，算法參數(shù)設(shè)置如表2所示，算法迭代過程如圖8所示。

圖8 目標(biāo)函數(shù)迭代過程

表2 NSGA-Ⅱ算法參數(shù)設(shè)置

5.2 優(yōu)化結(jié)果

如圖8所示，算法在迭代到第58 步時達(dá)到迭代終止條件，優(yōu)化結(jié)束并輸出結(jié)果。根據(jù)輸出結(jié)果重建定子模型并進行模態(tài)計算，所得結(jié)果滿足MAC≥0.9 和模態(tài)頻率一致性等設(shè)計要求。隨后建立優(yōu)化后的定子機電耦合動力學(xué)分析模型，利用ANSYS對定子的頻響特性進行求解，觀測步長設(shè)為0.5 Hz。結(jié)果表明，相比于之前“手動試湊”所得結(jié)果[27]，優(yōu)化后的定子結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率一致性明顯提高且無明顯干擾模態(tài)，特別是x、z向振幅幾乎相等，這說明該電機能較好地保證x、z向輸出特性的平衡，諧響應(yīng)對比分析如圖9所示。定子尺寸優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

圖9 諧響應(yīng)對比圖

表3 定子優(yōu)化結(jié)果

同樣基于ANSYS 對優(yōu)化后的定子進行定頻激勵動力學(xué)分析。對陶瓷片施加頻率為44 350 Hz、幅值為250 V、相位差為π/2的激勵電信號。定子振幅達(dá)微米級且達(dá)到穩(wěn)態(tài)時驅(qū)動足沿x、y、z的振動幅值分別為6.3 μm、5.48 μm、6.16 μm。從圖10(b)中可以看出，驅(qū)動足在xOz平面內(nèi)的運動軌跡扁平，收斂速度快，表明優(yōu)化后的定子具有更優(yōu)的驅(qū)動性能。

圖10 瞬態(tài)分析對比圖

相鄰彎振頻率差/Hz相鄰彎縱振頻率差/Hz瞬態(tài)分析下x向穩(wěn)態(tài)振幅/μm瞬態(tài)分析下y向穩(wěn)態(tài)振幅/μm瞬態(tài)分析下z向穩(wěn)態(tài)振幅/μm 193.6 143.6 2.0 1.5 3.3 40.5 114.2 6.4 5.5 6.1

6 結(jié)語

提出一種基于ANSYS 和MATLAB，結(jié)合有限元響應(yīng)面法和多目標(biāo)遺傳算法解決壓電電機定子動力學(xué)結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的方法。以盆架型平面電機定子為研究對象，解決了多結(jié)構(gòu)尺寸、多優(yōu)化目標(biāo)定子優(yōu)化困難的問題。研究表明：

（1）優(yōu)化后的電機定子擁有更優(yōu)的模態(tài)頻率一致性。三相工作模態(tài)間工作頻率間隔從優(yōu)化前的193.6 Hz、143.6 Hz降低至40.5 Hz、114.2 Hz。

（2）優(yōu)化后的電機定子擁有更大的激勵振幅。工作模態(tài)x、y、z向有效振幅從優(yōu)化前的2.0 μm、1.5 μm、3.3 μm增加至6.4 μm、5.5 μm、6.1 μm。

本文提出的優(yōu)化方法可為今后的壓電電機動力學(xué)優(yōu)化提供思路，但本文僅涉及定子的靜力學(xué)優(yōu)化，只在理論和仿真階段對本方法所得結(jié)果進行驗證，后續(xù)的研究中將進一步復(fù)現(xiàn)設(shè)計理論。