編譯 王曉濤

對熵增過程的理解，只要利用簡單的概率學(xué)原理就可以了嗎？我們是否可以引入量子力學(xué)的公理來解釋熵增？

在所有物理定律中，最神圣的原則莫過于熱力學(xué)第二定律——熵，一種表征無序性的量，始終保持增加或不變。英國天體物理學(xué)家亞瑟?愛丁頓（Arthur Eddington）在他1928年出版的《物理世界的本質(zhì)》一書中寫道：“如果有人告訴你，你最喜歡的理論與麥克斯韋方程組不一致——那么你可以說，麥克斯韋方程組出了問題。如果你的理論與觀測現(xiàn)象相矛盾——好吧，做實(shí)驗(yàn)的人有時確實(shí)會把事情搞砸。但如果你的理論違反了熱力學(xué)第二定律，那我就沒辦法給你圓場了。你恐怕只能在深深的屈辱感中逐漸崩潰?！蔽覀儚奈从^察到過任何違反這一定律的現(xiàn)象，也從不會預(yù)言這種事件的發(fā)生。

但是，對于熱力學(xué)第二定律，物理學(xué)家依然有一些不理解的地方。有人懷疑，這一定律的理論基礎(chǔ)可能并不牢固，我們對它的解釋也可能并不合理。雖然它被稱為定律，但我們通常認(rèn)為，它只是在描述一種概率性的現(xiàn)象：根據(jù)熱力學(xué)第二定律，任何過程的結(jié)果都是最可能發(fā)生的那一種。也就是說，即使考慮到所有可能，那個唯一的結(jié)果也是不可避免的。

然而，物理學(xué)家并不滿足于只是描述可能發(fā)生的事情。“我們喜歡精確的物理定律。”牛津大學(xué)的物理學(xué)家基亞拉?馬萊托（Chiara Marletto）說。除了作為對可能發(fā)生事件的描述，熱力學(xué)第二定律還能否表示為其他形式？

許多獨(dú)立的研究小組似乎正在向這樣的方向努力。他們打算從量子力學(xué)的基本原理中推演出熱力學(xué)第二定律——有人相信，量子力學(xué)在更深的層次上具有方向性和不可逆性。根據(jù)這種觀點(diǎn)，熱力學(xué)第二定律的出現(xiàn)不是因?yàn)榻?jīng)典的概率論，而是因?yàn)榱孔蛹m纏等效應(yīng)。它起源于量子系統(tǒng)共享信息的方式，以及起到?jīng)Q定性作用的量子論基本原理。由此可見，熵的增加不僅僅是各種變化中最可能的結(jié)果，還是我們所知道的最基本架構(gòu)——信息的量子架構(gòu)——的邏輯結(jié)果。

量子必然性

19世紀(jì)初，熱力學(xué)誕生，人們用它來描述熱量的流動和功的產(chǎn)生。在蒸汽動力機(jī)器推動工業(yè)革命的過程中，人們迫切需要理論以使得設(shè)備盡可能高效。

雖然熱力學(xué)對制造更好的發(fā)動機(jī)和機(jī)械設(shè)備并沒有多大的幫助，但它卻成了現(xiàn)代物理學(xué)的核心支柱之一，并提供了描述各種變化過程的標(biāo)準(zhǔn)原則。

牛津大學(xué)物理學(xué)家基亞拉?馬萊托

經(jīng)典熱力學(xué)只有少數(shù)幾條定律，其中最基本的是第一條和第二條。熱力學(xué)第一定律表明，能量總是守恒的。熱力學(xué)第二定律表明，熱量總是從高溫物體流向低溫物體。我們通常利用熵的概念來表示這條定律。在任何變化過程中，熵都必須整體地增加。熵大致等同于無序性，但奧地利物理學(xué)家路德維希?玻爾茲曼（Ludwig Boltzmann）將其更嚴(yán)格地表述為一個與系統(tǒng)擁有的微觀狀態(tài)總數(shù)相關(guān)的量：即粒子所有可能排列情況的總數(shù)。

首先，熱力學(xué)第二定律說明了常見的變化過程發(fā)生的原因。對于單個粒子的運(yùn)動而言，經(jīng)典的運(yùn)動定律可以保證其逆向運(yùn)動的可能性。但是，熱力學(xué)第二定律表明，變化必須以熵增加的方式發(fā)生。我們普遍認(rèn)為，這種方向性就像是一個時間箭頭。根據(jù)這種觀點(diǎn)，時間從過去流向未來，因?yàn)橛钪骈_始時——出于某種我們尚未完全理解或確定的原因——就處于低熵狀態(tài)，并且正朝著更高熵的方向發(fā)展。這意味著，最終熱量將完全均勻地傳播，并且不會有任何進(jìn)一步變化的驅(qū)動力——19世紀(jì)中葉的科學(xué)家將這種令人沮喪的前景稱為宇宙的熱寂。

玻爾茲曼對熵的微觀描述似乎可以解釋這種方向性。由于分子間相互作用，對于多粒子系統(tǒng)，更無序且熵更高的狀態(tài)數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過有序的低熵狀態(tài)。熱力學(xué)第二定律似乎只是統(tǒng)計學(xué)上的一條定律，即大數(shù)定律。這種觀點(diǎn)認(rèn)為，熵不能減少——比如，你房間里的所有空氣分子不能偶然地聚集在一個角落——是沒有根本原因的。

然而，這種與概率統(tǒng)計相關(guān)的物理學(xué)留下了一些懸而未決的問題。它引導(dǎo)我們研究所有可能狀態(tài)的集合中最可能的微觀狀態(tài)，并迫使我們傾向于在該集合中取平均值。

牛津大學(xué)物理學(xué)家大衛(wèi)?多伊奇

但是經(jīng)典的物理定律是確定性的——即只能允許單一的結(jié)果。如果只有一種結(jié)果是可能的，那么這種狀態(tài)究竟會在哪里出現(xiàn)呢？

牛津大學(xué)的物理學(xué)家大衛(wèi)?多伊奇（ David Deutsch）多年來一直試圖通過發(fā)展一種理論來避免這種困境。正如他所說，他的構(gòu)造器理論描述的是“一個物理過程中完全沒有概率和隨機(jī)性的世界”。這個理論是他正在與馬萊托合作完成的項(xiàng)目內(nèi)容。理論的目的是要確定哪些過程是可能的，哪些是被完全禁止的。

構(gòu)造器理論使用將可能和不可能相互轉(zhuǎn)換的陳述來表示物理學(xué)。它與熱力學(xué)最初的形式類似，因?yàn)樗鼘⑹澜绲淖兓暈橐匝h(huán)方式工作的“機(jī)器”（即構(gòu)造器）產(chǎn)生的東西，遵循著名的卡諾循環(huán)的模式?？ㄖZ循環(huán)于19世紀(jì)提出，用來描述發(fā)動機(jī)如何工作。構(gòu)造器就像一個催化劑，促進(jìn)某個過程順利進(jìn)行，并使系統(tǒng)最后恢復(fù)到原來的狀態(tài)。

“假設(shè)你開始了一個變化過程，比如用磚頭蓋房子，”馬萊托說，“你可以想象有許多不同的機(jī)器來完成這一過程，并且具有不同的精確度。所有這些機(jī)器都可以叫作構(gòu)造器，它們在同一個循環(huán)中工作?！薄?dāng)房子建成時，它們就會恢復(fù)到原來的狀態(tài)。

執(zhí)行某項(xiàng)任務(wù)的機(jī)器可能存在，但這并不意味著它也可以執(zhí)行該任務(wù)的逆過程。建造房屋的機(jī)器可能無法拆除房屋。這使得對構(gòu)造器的操作不同于描述磚塊運(yùn)動的運(yùn)動定律的操作，因?yàn)楹笳呤强赡娴摹?/p>

馬萊托說，這種不可逆性的原因在于，對于大多數(shù)復(fù)雜的任務(wù)，構(gòu)造器都只適合在給定的環(huán)境中工作。它需要與該任務(wù)相關(guān)的環(huán)境的一些特定信息。但是反向的任務(wù)是從不同的環(huán)境開始的，因此同樣的構(gòu)造器就不一定有效了?！斑@臺機(jī)器只適用于它工作的環(huán)境?！彼f。

最近，馬萊托與牛津大學(xué)的量子物理學(xué)家弗拉特科?韋德拉爾（Vlatko Vedral）及其在意大利的同事合作證明，構(gòu)造器理論確實(shí)表明存在不可逆的過程——即使一切都是根據(jù)本身完全可逆的量子力學(xué)定律發(fā)生的。“我們發(fā)現(xiàn)了一些轉(zhuǎn)換過程，你可以找到沿著一個方向工作的構(gòu)造器，但在另一個方向它就不能工作。”她說。

研究人員考慮了一種涉及量子比特狀態(tài)的轉(zhuǎn)換過程。這種過程可以存在于兩種狀態(tài)中的一種或兩種的組合或疊加中。在他們的模型中，當(dāng)單個量子位B與其他量子位相互作用時，它可能會從某個初始的、完全已知的狀態(tài)B1轉(zhuǎn)換為目標(biāo)狀態(tài)B2，一次移動一個量子位。這種相互作用使量子比特糾纏在一起：它們變得相互依賴，因此你除非查看了所有的量子比特的狀態(tài)，否則無法完全描述其中一個量子比特。

馬萊托說，隨著量子比特數(shù)量的增多，我們可以根據(jù)需要將B帶入狀態(tài)B2。B與量子比特行的順序交互過程構(gòu)成了一個類似構(gòu)造器的機(jī)器，將B1轉(zhuǎn)換為B2。原則上，你也可以逆向進(jìn)行該過程，將B2轉(zhuǎn)回B1，只要將B沿量子比特行送回即可。

但是，如果在完成一次轉(zhuǎn)換后，你想要使用新的B讓量子比特的數(shù)組重新經(jīng)歷相同的過程，那該怎么辦？馬萊托及其同事發(fā)現(xiàn)，如果行中的量子比特數(shù)量不是很大，并且同一行被重復(fù)使用，那么從B1到B2的轉(zhuǎn)換會越來越難以發(fā)生。但至關(guān)重要的是，根據(jù)理論預(yù)測，這一行也更難進(jìn)行從B2到B1的反向轉(zhuǎn)換。研究人員使用B的光子和光纖電路來模擬一行三個量子比特，從而證實(shí)了這一預(yù)測。

“你可以在某個方向上任意逼近構(gòu)造器，但在另一個方向上不行。” 馬萊托說。轉(zhuǎn)換存在不對稱性，就像熱力學(xué)第二定律描述的那樣。這是因?yàn)檗D(zhuǎn)換將系統(tǒng)從所謂的純量子態(tài)（B1）轉(zhuǎn)變?yōu)榛旌蠎B(tài) （量子比特與行糾纏在一起的B2）。我們將已被完全知曉的狀態(tài)稱作純粹的狀態(tài)。但是當(dāng)兩個物體糾纏在一起時，你無法因?yàn)樽约簩ζ渲幸粋€完全了解就把它們分辨開。實(shí)際上，從純粹的量子態(tài)到混合態(tài)比逆向過程更容易——因?yàn)榧儜B(tài)中的信息由于糾纏而散開，很難恢復(fù)。就像在墨水分散在水中后試圖重新形成墨滴一樣，這是熱力學(xué)第二定律約束下的不可逆過程。

因此，這里的不可逆性“只是系統(tǒng)動態(tài)演化方式的結(jié)果”，馬萊托說。它與統(tǒng)計無關(guān)。不可逆性不僅是最可能的結(jié)果，也是不可避免的結(jié)果，因?yàn)樗上到y(tǒng)組成成分的量子相互作用決定。“我們猜想，”馬萊托說，“熱力學(xué)的不可逆性可能正是來源于此?！?/p>

機(jī)器中的妖

不過，還有另一種思考第二定律的方式。蘇格蘭科學(xué)家詹姆斯?克拉克?麥克斯韋（James Clerk Maxwell）首先提出了這一觀點(diǎn)，并與玻爾茲曼一起開創(chuàng)了熱力學(xué)的統(tǒng)計觀點(diǎn)。麥克斯韋沒有意識到，我們可以將熱力學(xué)定律與信息學(xué)聯(lián)系起來。

麥克斯韋對宇宙熱寂和似乎破壞了自由意志的變換規(guī)則以及它們背后的神學(xué)含義感到困擾。所以，在1867年，他想方設(shè)法在第二定律中“挖坑”。在他假設(shè)的場景中，一個微觀生物（后來人們稱其為妖，這很令他煩擾）將“無用”的熱量重新轉(zhuǎn)化。麥克斯韋先前已經(jīng)得出了熱平衡氣體中的分子能量分布情況，并且知道，有些分子比其他分子“更熱”——它們運(yùn)動得更快，能量也更多。但它們都是隨機(jī)混合的，所以似乎沒有辦法利用這種差異。

麥克斯韋妖將氣體隔間一分為二，然后在它們之間安裝一個無摩擦的活板門。它讓在隔間周圍移動的熱分子沿一個方向通過活板門，但不能通過另一個方向。最終，門的一側(cè)有熱氣，另一側(cè)有冷氣，麥克斯韋妖可以利用溫度梯度來驅(qū)動機(jī)器。

麥克斯韋妖對分子運(yùn)動的利用顯然破壞了第二定律。因此，信息是一種資源，就像一桶石油一樣，可以用來工作。但由于這些信息在宏觀尺度上隱藏了起來，我們無法利用它。正是這種對微觀狀態(tài)的一無所知迫使經(jīng)典的熱力學(xué)需要涉及平均值和集合的思想。

卡爾加里大學(xué)物理學(xué)家卡洛?瑪麗亞?斯坎多洛

近一個世紀(jì)后，物理學(xué)家證明，從長遠(yuǎn)的角度來看，麥克斯韋妖不會違背熱力學(xué)第二定律，因?yàn)樗占男畔⒈仨毚鎯υ谀硞€地方，任何有限的記憶最終都必須被抹去，以便為更多信息騰出空間。1961年，物理學(xué)家羅爾夫?蘭道爾（Rolf Landauer）表明，如果沒有耗散掉一些少量的熱量，就永遠(yuǎn)無法擦除信息，從而提高周圍環(huán)境的熵。所以，熱力學(xué)第二定律只是推遲發(fā)生，而不是被打破。

從信息的視角看熱力學(xué)第二定律，這是一個量子問題。人們認(rèn)為，量子力學(xué)是一種更基本的描述——麥克斯韋妖在本質(zhì)上將氣體粒子視為經(jīng)典的臺球。但它也反映出人們對量子信息理論本身的興趣日益濃厚。我們可以使用經(jīng)典理論無法企及的量子原理來處理信息。尤其是粒子的糾纏特性，這使得我們能夠以非經(jīng)典的方式傳播和操縱它們的信息。

最重要的是，量子信息的方法可以擺脫熱力學(xué)經(jīng)典觀點(diǎn)中的復(fù)雜統(tǒng)計思想。在經(jīng)典的熱力學(xué)中，我們必須對許多不同的微觀狀態(tài)的集合取平均值?？柤永锎髮W(xué)的卡洛?瑪麗亞?斯坎多洛（Carlo Maria Scandolo）說：“量子信息的真正新穎之處在于，人們可以用研究對象與環(huán)境的糾纏來代替整體?！?/p>

他說，這反映了這樣一個事實(shí)，即我們只有關(guān)于狀態(tài)的部分信息——不同的微觀狀態(tài)具有不同的概率，因此我們必須對概率分布取平均。但是量子理論提供了另一種產(chǎn)生部分信息狀態(tài)的方法：糾纏。當(dāng)一個量子系統(tǒng)與它的環(huán)境糾纏在一起時，有關(guān)系統(tǒng)本身的一些信息會不可避免地丟失：最終，它會處于混合狀態(tài)，就算是理論上你也無法通過只關(guān)注量子系統(tǒng)而獲取它的信息。

香港大學(xué)物理學(xué)家朱利奧?奇里貝拉

你只能去描述概率，不是因?yàn)槟銢]有得到系統(tǒng)中的某些信息，而是因?yàn)槠渲幸恍┬畔母旧蟻碚f就是不可知的。通過這種方式，“概率自然地從糾纏中產(chǎn)生，” 斯坎多洛說，“只有在存在糾纏的情況下，通過考慮環(huán)境的作用來了解熱力學(xué)行為的想法才有效?！?/p>

這些想法現(xiàn)在已經(jīng)可以被精確實(shí)施了。斯坎多洛與香港大學(xué)的朱利奧?奇里貝拉（Giulio Chiribella）合作，提出了四個關(guān)于量子信息的公理，這些公理是獲得“合理的熱力學(xué)結(jié)論”所必需的——換句話說，這些公理與概率無關(guān)。公理描述了與環(huán)境糾纏在一起的量子系統(tǒng)中信息的約束。更重要的是，系統(tǒng)和環(huán)境中發(fā)生的一切原則上都是可逆的，正如量子系統(tǒng)如何隨時間演化的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)公式所暗示的那樣。

美國國家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院物理學(xué)家妮可?容格?哈爾朋

重新定義熱力學(xué)

理解這種熱力學(xué)的全新量子版本的最通用方法之一，是調(diào)用所謂的資源理論——這一理論再次想要說明，哪些轉(zhuǎn)換是可能的而哪些不是。美國國家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院的物理學(xué)家妮可?容格?哈爾朋（Nicole Yunger Halpern）說：“資源理論是一個簡單的模型，適用于我們可以執(zhí)行的操作和可以訪問的系統(tǒng)由于某種原因受到限制的情況。”（斯坎多洛也將資源理論納入他的工作。）

量子資源理論采用了量子信息理論提出的物理世界的圖景，在這一圖景中，物理過程可能存在基本限制。在量子信息理論中，這些限制通常表示為“禁止定理”，它們給出“你不能那樣做！”的陳述。例如，從根本上來說，我們不可能復(fù)制未知的量子態(tài)，這種想法稱為量子的不可克隆性。

資源理論有幾個主要組成部分。允許的操作被稱為自由操作。“一旦你指定了自由操作，你就定義了理論的核心內(nèi)容——然后就可以開始推理，哪些轉(zhuǎn)換是可能的，并進(jìn)一步研究執(zhí)行這些任務(wù)的最佳效率是多少?！惫柵笳f。資源是我們可以訪問并操作的東西——它可以是一堆煤，用來點(diǎn)燃熔爐并為蒸汽機(jī)提供動力?；蛘咭部梢允穷~外的記憶，使得麥克斯韋妖在更長的時間尺度上顛覆熱力學(xué)第二定律。

量子資源理論可以對經(jīng)典的熱力學(xué)第二定律的細(xì)節(jié)進(jìn)行放大。我們不必考慮大量的粒子，只需對其中一些內(nèi)容進(jìn)行研究。哈爾朋說，當(dāng)我們這樣做時，很明顯，經(jīng)典的熱力學(xué)第二定律（最終熵必須等于或大于初始熵）大體上只是各個不等式關(guān)系的總和。例如，在熱力學(xué)第二定律中，你可以將非平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)楦咏鼰崞胶獾臓顟B(tài)。“但是，想要知道在這些狀態(tài)中，哪個更接近熱平衡狀態(tài)，這并不是一個簡單的問題，” 哈爾朋說，“要回答這個問題，我們必須對一大堆不等式進(jìn)行檢查?！?/p>

換句話說，在資源理論中，似乎存在很多微妙的定律。“因此，可能存在一些轉(zhuǎn)換，它們處于傳統(tǒng)的熱力學(xué)第二定律允許的范圍內(nèi)，但被這個更詳細(xì)的不等式集合禁止。有時我覺得每個人（在這個領(lǐng)域）都有屬于自己的熱力學(xué)第二定律?！惫柵笳f。

維也納大學(xué)的物理學(xué)家馬庫斯?穆勒（Markus Müller）說，資源理論“承認(rèn)熱力學(xué)定律在數(shù)學(xué)上可以由完全嚴(yán)格的推導(dǎo)得出，在概念上和數(shù)學(xué)上都是嚴(yán)密的?！彼f，這種方法“重新考慮了熱力學(xué)的真正含義”——它并不僅僅關(guān)注大量運(yùn)動粒子的集合的平均屬性，更是在描述一場智能體與自然對抗以有效地執(zhí)行資源利用任務(wù)的競賽?？偠灾?，熱力學(xué)仍然可以說與信息相關(guān)。哈爾朋說，信息的丟失——或者是無法跟蹤——確實(shí)是熱力學(xué)第二定律成立的原因。

大衛(wèi)?希爾伯特提出的23個問題指導(dǎo)了20世紀(jì)的許多數(shù)學(xué)研究工作。他的第六個問題是，物理定律是否可以公理化

希爾伯特問題

這些重建熱力學(xué)和熱力學(xué)第二定律的努力讓人想起德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)?希爾伯特（David Hilbert）提出的挑戰(zhàn)。1900年，他提出了23個亟待解決的數(shù)學(xué)中的突出問題。這一清單中的第六項(xiàng)是“通過公理處理那些數(shù)學(xué)已經(jīng)在其中發(fā)揮了重要作用的物理科學(xué)”。希爾伯特認(rèn)為，他那個時代的物理學(xué)似乎建立在相當(dāng)武斷的假設(shè)之上，他對此十分擔(dān)心。他希望看到物理可以變得更嚴(yán)謹(jǐn)，就像數(shù)學(xué)家試圖在自己的學(xué)科中推導(dǎo)基本公理一樣。

今天，一些物理學(xué)家仍在研究希爾伯特的第六個問題，特別是嘗試使用比傳統(tǒng)公理更簡單、物理上更透明的公理來重新表述量子力學(xué)及其更抽象的版本，即量子場論。但希爾伯特顯然也考慮到了熱力學(xué)，他指出的物理學(xué)中使用的“概率論”思想如今已經(jīng)相當(dāng)成熟了。

希爾伯特的第六個問題是否可以在熱力學(xué)第二定律上解決，這似乎是一個個人傾向的問題?！拔艺J(rèn)為，希爾伯特的第六個問題遠(yuǎn)未完全解決，它是物理學(xué)基礎(chǔ)中一個非常有趣且重要的研究方向，”斯坎多洛說，“仍然存在一些懸而未決的問題，但我認(rèn)為只要投入足夠的時間和精力，它們就會在可預(yù)見的未來得到解決?！?/p>

不過，也許重新推導(dǎo)熱力學(xué)第二定律的真正價值并不在于滿足希爾伯特的鬼魂，而是在于加深我們對定律本身的理解。正如愛因斯坦所說，“一個理論的前提越簡單，它就會越令人印象深刻”。 哈爾朋將研究熱力學(xué)第二定律的動機(jī)與文學(xué)家重新分析莎士比亞的戲劇和詩歌的原因進(jìn)行了比較。我們進(jìn)行這樣的研究，不是因?yàn)檫@種新的分析“更正確”，而是因?yàn)橐饬x如此深刻的研究對象是我們無窮無盡的靈感和洞察力的源泉。

資料來源Quanta Magazine