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深入研究一節(jié)教材 精心設(shè)計導(dǎo)學(xué)方案
——以青島版“二次函數(shù)”的概念為例

2022-08-23 02:24山東沂南第四中學(xué)李樹臣山東威海高區(qū)一中
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年16期
關(guān)鍵詞:二次函數(shù)表達式課標(biāo)

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1 引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(簡稱《課標(biāo)(2011年版)》)提出的提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)的落實,是通過每一節(jié)課堂教學(xué)逐步實現(xiàn)的.因此,教師應(yīng)研讀每一節(jié)教材,把握每一節(jié)教材的編寫意圖,設(shè)計好教學(xué)方案,才能保證每一節(jié)課的教學(xué)質(zhì)量.

據(jù)了解,很多老師的教案沒有體現(xiàn)出教材的編寫意圖,導(dǎo)致教學(xué)出現(xiàn)了“偏差”.這部分老師對教材研究的“力度”不夠,若長此以往,將很難保證實現(xiàn)《課標(biāo)(2011年版)》的理念.

本文中以《課標(biāo)(2011年版)》下青島版“二次函數(shù)”一節(jié)課的研究和教學(xué)設(shè)計為例,旨在說明教師首先應(yīng)認(rèn)真研讀教材,把握教材編寫的意圖,才能編寫出符合教材要求的導(dǎo)學(xué)方案.

2 研讀教材的收獲

數(shù)學(xué)教材凝聚了編寫者的心血,他們在編寫過程中,認(rèn)真學(xué)習(xí)、反復(fù)推敲《課標(biāo)(2011年版)》的每一條理論要求,耐心打磨教材中的每一句話(一個字),在比較、斟酌中篩選教材中的每一個例題、練習(xí)題.

課堂教學(xué)的主要依據(jù)是教材.教師在教學(xué)前應(yīng)反復(fù)閱讀,認(rèn)真研讀,充分理解教材的編寫意圖.這對于指導(dǎo)教學(xué)具有現(xiàn)實意義.

教師只有反復(fù)研讀每一節(jié)(課)教材,才能把握教材的編寫意圖,明確教材的主要內(nèi)容,從而確定教學(xué)目標(biāo),找出教學(xué)重點和難點,設(shè)計出切實可行的教學(xué)方案.

青島版教材九下“5.3二次函數(shù)”主要內(nèi)容有5個問題、一個例題、兩個練習(xí)和6個習(xí)題.通過研究,可以把其分為三個主要環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)1:二次函數(shù)的建立.

整個二次函數(shù)的建立過程分三個層次:

第一層次:問題情境導(dǎo)入.

教材在二次函數(shù)概念引入前,設(shè)計了三個問題:(1)用鐵絲圍矩形問題;(2)小球沿光滑斜坡滾動問題;(3)企業(yè)產(chǎn)值問題.

要求學(xué)生分別寫出這三個問題中變量之間的函數(shù)表達式.

編寫意圖:初中階段學(xué)生主要學(xué)習(xí)一次函數(shù)(正比例函數(shù))、反比例函數(shù)和二次函數(shù),在學(xué)習(xí)前面兩類函數(shù)時已經(jīng)有了下述認(rèn)知:(1)函數(shù)是刻畫變量與變量之間依賴關(guān)系的模型;(2)函數(shù)是聯(lián)結(jié)兩類對象的橋梁;(3)函數(shù)是“圖形”.對函數(shù)內(nèi)容的呈現(xiàn)過程如圖1所示.

教材在這個基礎(chǔ)上,安排了“二次函數(shù)”的內(nèi)容,本節(jié)“沿襲”學(xué)習(xí)前面兩類函數(shù)的研究過程.《課標(biāo)(2011年版)》對“二次函數(shù)”的第一條要求是“通過對實際問題的分析,體會二次函數(shù)的意義”.結(jié)合《課標(biāo)(2011年版)》提出的“現(xiàn)實性”要求,教材從“貼近學(xué)生的現(xiàn)實”出發(fā),精心選取了上面的三個問題,其中問題(1)和(3)取材于“生活現(xiàn)實”,問題(2)取材于物理學(xué)科.

三個問題立足于學(xué)生的“生活現(xiàn)實”,有助于學(xué)生從“現(xiàn)實情境”中抽象出數(shù)學(xué)知識,進一步感悟“數(shù)學(xué)與生活”的關(guān)系,加深對模型思想的認(rèn)識.這種設(shè)計符合“認(rèn)識到現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題,這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題,用數(shù)學(xué)的方法予以解決”的《課標(biāo)(2011年版)》要求.

第二層次:抽象本質(zhì)特征.

教材在這個階段的文字?jǐn)⑹龊芎喚殻瑑H有三行字,形成了第(4)個問題:

經(jīng)過整理,以上三個問題中的函數(shù)表達式分別是:

①y=x2+30x;②S=2t2;③W=1 200x2+2 400x+1 200.

觀察這些函數(shù)表達式,你發(fā)現(xiàn)它們具有什么共同特征?

設(shè)計意圖:史寧中教授指出“抽象是從許多事物中舍棄個別的、非本質(zhì)屬性,得到共同的、本質(zhì)屬性的思維過程,是形成概念的必要手段”.抽象能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分,抽象能力是在學(xué)生經(jīng)歷抽象的過程中形成和發(fā)展起來的.這個層次的意圖就在于培養(yǎng)學(xué)生從三個表達式的眾多屬性中抽象出“共同特征”的能力,從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

第三層次:引入二次函數(shù)概念.

一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),且a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).

你能分別說出上述三個二次函數(shù)表達式中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項嗎?

設(shè)計意圖:數(shù)學(xué)概念的教學(xué)既是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié),又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心.其根本任務(wù)是準(zhǔn)確地揭示概念的內(nèi)涵與外延,使學(xué)生在思考問題、進行推理論證時能有據(jù)可依,并能創(chuàng)見性地解決問題.數(shù)學(xué)概念都有非常精確的含義,在第二個層次中,學(xué)生對三個二次函數(shù)表達式的本質(zhì)特征有了認(rèn)識后,教材及時給出了二次函數(shù)的定義.這里采用的是“形式定義”法,這種定義雖然能從其中分離出概念的內(nèi)涵,按規(guī)則作外延分類,但又不是從內(nèi)涵或外延出發(fā)而構(gòu)造相應(yīng)的模式,它的著眼點在于被定義概念的本質(zhì)結(jié)構(gòu).

環(huán)節(jié)2:二次函數(shù)中自變量的取值范圍.

教材在這個環(huán)節(jié)設(shè)置了第(5)個問題:

(5)你能說出二次函數(shù)y=ax2+bx+c中變量x的取值范圍嗎?你能分別說出問題(1)(2)(3)中自變量取值的范圍嗎?

設(shè)計意圖:在引入二次函數(shù)定義后,明確自變量的取值范圍對學(xué)生理解二次函數(shù)以及后面利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題也具有積極的意義.另外,二次函數(shù)是用數(shù)學(xué)式子給出的,在二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達式中,每個字母符號都具有自己的意義.單就二次函數(shù)的表達式y(tǒng)=ax2+bx+c來說,自變量x的取值范圍是沒有限制的,x可以取任意實數(shù).但對于從實際問題中抽象出來的具體二次函數(shù)表達式y(tǒng)=ax2+bx+c中的自變量必須確保實際問題有意義,這就客觀導(dǎo)致了自變量的取值不能“自由任性”,要受到一定的限制,這是學(xué)生學(xué)習(xí)中容易出現(xiàn)問題的地方.基于上面兩點,教材給出了問題(5),學(xué)生通過思考、討論問題(5)可以達到上面的目的.

圖2

例題如圖2,從半徑為15的圓形鐵片上,挖去一個半徑為x的圓.寫出剩余部分的面積y與x之間的函數(shù)表達式,并指出自變量x可以取值的范圍.

設(shè)計意圖:這是一個實際問題,設(shè)計這個題目的目的是讓學(xué)生進一步明確二次函數(shù)與數(shù)學(xué)的關(guān)系,學(xué)會建立二次函數(shù)表達式,體會建立函數(shù)模型的過程,并且加深對自變量取值是有限制條件的認(rèn)識.

3 二次函數(shù)的教學(xué)方案

有了上面對教材的研究,可以將“二次函數(shù)”這一課的宏觀教學(xué)方案設(shè)計如下:

(一)學(xué)習(xí)目標(biāo).

(1)結(jié)合具體情境,通過用表達式表示簡單實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系,體會二次函數(shù)的意義.

(2)經(jīng)歷二次函數(shù)概念的形成過程,體會二次函數(shù)也是一種數(shù)學(xué)模型.

(3)會把一個二次函數(shù)化成一般形式.

(二)重點難點.

重點:理解二次函數(shù)的有關(guān)概念,能應(yīng)用二次函數(shù)的相關(guān)知識解決簡單的問題.

難點:將簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的模型.

(三)教學(xué)過程要點.

(1)回顧函數(shù)的概念,到目前我們學(xué)了哪些函數(shù)?你能說出它們的概念嗎?

(2)自主探究.

思考下列問題,并與同學(xué)們交流.

①把一根長為60 cm的鐵絲,圍成一個矩形.寫出矩形的面積S(單位:cm2)與它的一邊長x(單位:cm)之間的函數(shù)表達式.

圖3

②一個小球由靜止開始,沿圖3所示的光滑斜坡向下滾動,經(jīng)過5 s到達斜坡的底部.實驗測得小球滾動的距離s(單位:m)與時間t(單位:s)對應(yīng)的數(shù)據(jù)如表1所示:

表1 小球滾動的距離與時間對應(yīng)表

分析表1中的數(shù)據(jù),并根據(jù)數(shù)據(jù)回答下面問題:

(ⅰ)當(dāng)t增加時,s怎樣變化?

(ⅱ)s與t之間的函數(shù)表達式可能為.

③某企業(yè)去年的產(chǎn)值為1 200萬元.如果三年內(nèi)該企業(yè)年產(chǎn)值平均每年的增長率為x,你能寫出明年該企業(yè)年產(chǎn)值y(單位:萬元)與x之間的函數(shù)表達式嗎?

(3)抽象歸納.

觀察下面三個函數(shù)表達式,它們有什么共同特征?

①y=x2+30x;②S=2t2;③W=1 200x2+2 400x+1 200.

(4)給出二次函數(shù)概念.

(5)例題講解.

講解例題時,可引導(dǎo)學(xué)生列出函數(shù)表達式,再由x表示小圓半徑,從而得到x>0.另一方面,由于小圓圓心可以與大圓的圓心重合,此時要使小圓在大圓內(nèi),x應(yīng)滿足x<15.

(6)嘗試應(yīng)用.

①分別說出下列二次函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項.

(ⅰ)y=-x2+58x-112;(ⅱ)y=πx2.

②當(dāng)系數(shù)a,b,c滿足什么條件時,函數(shù)y=ax2+bx+c是二次函數(shù)?一次函數(shù)?正比例函數(shù)?

③已知正方形的邊長是3,當(dāng)邊長增加x時,面積增加y,寫出y與x之間的函數(shù)表達式.

4 兩點啟示

從前面的敘述看,只要在教材研讀方面下了功夫,把握了教材的編寫意圖,編寫教學(xué)方案就顯得很輕松,更重要的是這樣編寫出的教學(xué)方案才是有實效的.通過對青島版“二次函數(shù)”一課的教學(xué)研究,我們至少有以下兩點體會.

(1)加大研讀教材的力度.

首先,教師要樹立正確的“教材觀”.數(shù)學(xué)教學(xué)必須以教材為藍本,以教材為根本.要正確理解目前流行的“不是教教材,而是用教材教”“要創(chuàng)造性地使用教材”等“時髦”觀點.教學(xué)中教師一定要重視教材,研讀教材,不能脫離教材.有些老師企圖用所謂的“導(dǎo)學(xué)案”代替教材是很荒唐的做法.

其次,通過研讀教材正確把握教材的編寫意圖,這是教師編寫教學(xué)方案的基礎(chǔ),只有這樣才能確保編寫的教學(xué)方案是針對教材的,確保教學(xué)真實有效,提高教學(xué)質(zhì)量.

(2)概念教學(xué)應(yīng)貫穿于課堂教學(xué)的始終.

數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式.數(shù)學(xué)概念是重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的基本結(jié)構(gòu)單位,正是因為這些數(shù)學(xué)概念的存在,才形成了數(shù)學(xué)教材的知識結(jié)構(gòu).

曹才翰老先生說過,“概念是思維的細胞,數(shù)學(xué)根本上是玩概念的,不是玩技巧,技巧不足道也”.數(shù)學(xué)教學(xué)必須做到“概念明確”,因為在教學(xué)中只有明確概念,才能把握概念的本質(zhì)屬性.數(shù)學(xué)公式、定理和方法都是反映數(shù)學(xué)對象和概念間關(guān)系的,學(xué)生只有建立起了正確明晰的概念,才能牢固地掌握基礎(chǔ)知識,進行命題推理.

數(shù)學(xué)概念貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終,新授課離不開數(shù)學(xué)概念,復(fù)習(xí)課更是離不開概念,而一個個的數(shù)學(xué)知識點就是靠概念“串連”在一起的.通過復(fù)習(xí)欲達到系統(tǒng)掌握知識的目的,只要把本單元所涉及的概念串連起來就能“再現(xiàn)”教材的知識結(jié)構(gòu).所以,從數(shù)學(xué)教學(xué)的形式和內(nèi)容上看,數(shù)學(xué)概念教學(xué)始終與課堂教學(xué)并存.

概念教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的起始階段和基本出發(fā)點,學(xué)生在深入理解數(shù)學(xué)概念的過程中能使自己的抽象思維得到發(fā)展.可見,數(shù)學(xué)概念教學(xué)的質(zhì)量,直接影響到學(xué)生思維能力的形成,關(guān)系到其思維能力的發(fā)展.所以,我們要把數(shù)學(xué)概念的教學(xué)融入到教學(xué)的全程之中.

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