宋 文，楊赪石，嚴(yán) 海，陳志偉，李志敏

(1.中船重工第七〇五研究所,西安 710075;2.山西省平陽重工機械有限責(zé)任公司,山西 臨汾 043003)

采用功率分支技術(shù)的圓柱齒輪系統(tǒng)包含定軸式和周轉(zhuǎn)輪系(行星輪系和差動輪系)兩類。定軸式功率分支系統(tǒng)集成了周轉(zhuǎn)輪系與普通輪系的優(yōu)點，每分支的傳動要求和普通齒輪傳動類似，但零件數(shù)和安裝要求均要低于周轉(zhuǎn)輪系。同時它避免了周轉(zhuǎn)輪系在高轉(zhuǎn)速時離心力較大的缺點，更適用于高速傳動場合，耐沖擊性更強。因此，此類傳動在高速重載的直升機傳動[1-2]以及船舶傳動系統(tǒng)[3]中得到了廣泛的應(yīng)用。

國內(nèi)外學(xué)者對于功率分支齒輪系統(tǒng)的研究主要集中在均載性能的分析和優(yōu)化方面。Krantz等[4-6]提出了一種帶平衡梁的雙分支齒輪系統(tǒng)，并對其動力學(xué)特性和均載特性進行了理論和試驗研究，分析了同步角對系統(tǒng)均載系數(shù)的影響規(guī)律。Gmirya等[7]通過試驗指出彈性扭力軸能有效改善雙分支齒輪系統(tǒng)的均載性能。Jose等[8]分析了雙分支位置角對系統(tǒng)均載性能的影響，并提出了實現(xiàn)同步嚙合的解決方案。董皓等[9]、桂永方[10]、趙寧等[11]分別對功率雙分流齒輪系統(tǒng)均載性能進行了分析，研究了不同因素對系統(tǒng)均載的影響規(guī)律。李楠等[12]分析了功率四分支齒輪系統(tǒng)的固有特性與振動特性。董皓等[13]研究了安裝誤差對由功率雙分支閉鎖輪系和行星輪系組成功率三分支系統(tǒng)均載特性的影響。

在魚雷渦輪機減速器中，由于空間限制，除了主輸出給螺旋槳提供動力外，許多分支上都存在額外的齒輪副嚙合，將功率供給至各輔機進行工作。而現(xiàn)有關(guān)于功率分支齒輪系統(tǒng)的研究文獻中，采用的對象多為單輸入-單輸出或多輸入-單輸出類型，對存在多軸輸出的系統(tǒng)力學(xué)特性研究較少。由于額外負載的加入，導(dǎo)致各分支受載發(fā)生顯著差別，分析此條件下系統(tǒng)的靜/動力學(xué)特性變化，對提高系統(tǒng)動態(tài)可靠性設(shè)計有著重要意義。

本文采用廣義有限元法，建立了魚雷渦輪機中的多軸輸出功率三分支齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)模型，研究了輔機負載、齒輪安裝相位、軸承參數(shù)和連接軸參數(shù)等對系統(tǒng)靜態(tài)嚙合力的影響規(guī)律，并分析了多負載時齒輪副的動態(tài)響應(yīng)特點。

1 多軸輸出功率三分支齒輪系統(tǒng)

圖1為某魚雷渦輪機中所用多軸輸出三分支齒輪系統(tǒng)的簡化示意圖。動力Pin經(jīng)分流級中心輪z1輸入，經(jīng)三個分支齒輪z2-i將功率分流，再由3個匯流級分支齒輪z3-i將功率匯流至中心輪z4經(jīng)Pout1主輸出。在第3分支上存在齒輪副z5-z6將部分功率傳遞至輔機Pout2。

圖1 單輸入雙輸出功率三分支齒輪系統(tǒng)Fig.1 Tri-branching gear system with single input and double outputs

2 系統(tǒng)動力學(xué)建模過程

功率三分支系統(tǒng)存在多對齒輪副嚙合，加上每個齒輪所連接的傳動軸和軸承后，涉及參數(shù)較多。若采用常規(guī)集中質(zhì)量法建模時，較難考慮傳動軸等構(gòu)件的柔性，且涉及繁瑣的質(zhì)量和剛度分配問題，導(dǎo)致結(jié)果準(zhǔn)確性欠佳。此處采用廣義有限元法對功率三分支系統(tǒng)進行動力學(xué)建模，能夠有效解決集中質(zhì)量模型中難以考慮傳動軸尺寸、軸承位置等參數(shù)的問題，能更好地分析軸系與齒輪副之間的彎扭耦合特性，計算結(jié)果更為準(zhǔn)確。

采用廣義有限元法動力學(xué)建模的基本過程是：

步驟1分別將各傳動軸沿軸線方向在齒輪、階梯軸段、軸承處離散為一系列節(jié)點；

步驟2根據(jù)各節(jié)點之間的實際連接關(guān)系，將系統(tǒng)劃分為軸段單元、嚙合單元和軸承單元；

步驟3建立各單元的運動微分方程；

步驟4基于有限元法，將各單元的質(zhì)量、剛度等單元矩陣進行組裝，得到系統(tǒng)整體動力學(xué)模型。

根據(jù)圖1中各構(gòu)件的連接關(guān)系，可以建立系統(tǒng)的動力學(xué)模型如圖2所示，其中bi表示第i個軸承。圖中僅給出了部分軸節(jié)點示意，在實際動力學(xué)建模時軸節(jié)點的個數(shù)可根據(jù)需求以及階梯軸段個數(shù)進行調(diào)整。

圖2 功率三分支齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型簡圖Fig.2 Dynamic model of the tri-branching gear system

2.1 軸段單元

軸段單元采用考慮剪切效應(yīng)的Timoshenko梁單元進行建模，如圖3所示。定義梁單元兩節(jié)點的廣義坐標(biāo)為qs={x1,y1,z1,θx1,θy1,θz1,x2,y2,z2,θx2,θy2,θz2}，其中：xi,yi,zi(i=1,2)為兩節(jié)點沿各坐標(biāo)軸的橫向位移，θxi,θyi,θzi(i=1,2)為兩節(jié)點各坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角。根據(jù)文獻[16]，可得到單元剛度矩陣Ks、阻尼矩陣Cs和質(zhì)量矩陣Ms，則該單元的運動微分方程為

圖3 Timoshenko梁單元Fig.3 Timoshenko beam element

(1)

2.2 嚙合單元

圖4為一對斜齒輪副考慮彎曲-扭轉(zhuǎn)-軸向-擺動等各方向自由度后的動力學(xué)模型。定義主、從動輪節(jié)點的位移列向量qm= {xi,yi,zi,θxi,θyi,θzi,xj,yj,zj,θxj,θyj,θzj}T，則齒輪副沿嚙合線方向的相對總變形為

圖4 嚙合單元動力學(xué)模型Fig.4 Dynamic model of gear mesh element

δ=Vqm-em

(2)

式中：em為綜合嚙合誤差，可由已知的齒面制造誤差或修形通過LTCA分析得到；V為各方向位移向嚙合線方向的投影向量，計算式為

V=[cosβsinφ,±cosβcosφ,?sinβ,risinβsinφ,±risinβcosφ,±ricosβ,-cosβsinφ,?cosβcosφ,±sinβ,rjsinβsinφ,±rjsinβcosφ,±rjcosβ]

(3)

式中：ri，rj分別為主、從動輪的基圓半徑；β為基圓螺旋角，當(dāng)齒輪右旋時為正，左旋時為負；各項前面的符號上半部分表示主動輪逆時針旋轉(zhuǎn)，下半部分表示主動輪順時針旋轉(zhuǎn)；φ由式(4)計算

φ=αtp?φ

(4)

式中：αtp為嚙合角；φ為從動輪相對于主動輪的安裝相位角。

由牛頓第二定律可以建立嚙合單元的運動微分方程，整理成矩陣形式為

(5)

式中：Mm，Cm，Km分別為嚙合質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；Fm為誤差激振力向量，計算式為

Mm=diag{mi,mi,mi,Ixi,Iyi,Izi,mj,mj,mj,Ixj,Iyj,Izj}

(6)

Km=kmVTV

(7)

Cm=cmVTV

(8)

Fm=kmemVT

(9)

式中：mi,mj分別為主、從動齒輪質(zhì)量；Ixi,Iyi,Izi,Ixj,Iyj,Izj分別為主、從動輪繞x,y,z軸的轉(zhuǎn)動慣量；km為法向綜合嚙合剛度；cm為嚙合阻尼。

2.3 軸承單元

當(dāng)忽略箱體的柔性時，軸承單元的運動微分方程為

(10)

式中：qb為軸承所在軸節(jié)點的位移列向量；剛度矩陣Kb=diag{kr,kr,kz,kθx,kθy,0}，其中，kr,kz,kθx,kθy分別為軸承徑向、軸向和擺動剛度；阻尼矩陣Cb結(jié)構(gòu)形式與剛度矩陣Kb相同。

2.4 系統(tǒng)整體動力學(xué)模型

當(dāng)?shù)玫礁鲉卧仃嚭凸?jié)點載荷向量后，可采用常規(guī)有限元法中整體剛度矩陣的組裝方法，根據(jù)各單元節(jié)點局部編號與節(jié)點在系統(tǒng)整體編號的對應(yīng)關(guān)系，形成系統(tǒng)整體質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K(t)。系統(tǒng)整體的運動微分方程可寫為

(11)

式中：X(t)為節(jié)點位移列向量；P0為系統(tǒng)外載荷向量，通常只包含系統(tǒng)所受輸入和輸出扭矩；Fe為誤差激勵載荷向量。當(dāng)去掉慣性項和阻尼項后，即可得到系統(tǒng)的靜力學(xué)平衡方程。

作者已經(jīng)將該通用動力學(xué)建模流程編寫了規(guī)范化的計算程序，只需在前端建模模塊中建立不同構(gòu)型傳動系統(tǒng)的可視化模型后，就可生成標(biāo)準(zhǔn)化的輸入數(shù)據(jù)，自動建立系統(tǒng)動力學(xué)方程。此方法同時模擬了齒輪、軸段、軸承等各結(jié)構(gòu)柔性，可在三維空間形成節(jié)點相互連接的廣義有限元動力學(xué)模型。由于許多中間參數(shù)(質(zhì)量、剛度等)可自動獲取，當(dāng)系統(tǒng)構(gòu)件中結(jié)構(gòu)尺寸、相對安裝位置或負載情況等參數(shù)改變時，只需修改非常少的參數(shù)即可進行后續(xù)分析，大大提高了模型的一致性和準(zhǔn)確度。

3 功率三分支齒輪系統(tǒng)多負載力學(xué)特性

3.1 系統(tǒng)參數(shù)

算例功率三分支齒輪系統(tǒng)的參數(shù)如表1～表4所示，各齒輪、傳動軸、軸承及功率點的編號與圖1和圖2中的編號相對應(yīng)，z2和z3三個分支齒輪安裝相位分別為30°，150°和270°，z6的初始安裝相位取為0°。齒輪副的嚙合剛度采用文獻[15]中的切片法進行計算。

表1 齒輪副主要參數(shù)Tab.1 Parameters of the gear pairs

表2 傳動軸參數(shù)Tab.2 Parameters of the shafts

表3 各軸承參數(shù)Tab.3 Parameters of the bearings

表4 各功率點參數(shù)Tab.4 Parameters of the power loads

3.2 不同因素對系統(tǒng)靜力學(xué)特性的影響

式(11)所示的力學(xué)方程里包含了齒輪、軸和軸承等各結(jié)構(gòu)的柔性，同時可計入多個系統(tǒng)負載，任一因素的改變都會導(dǎo)致系統(tǒng)力學(xué)特性的變化。而靜力學(xué)分析下是動力學(xué)研究的基礎(chǔ)，所以本節(jié)著重分析主要因素對系統(tǒng)靜力學(xué)特性的影響。

3.2.1 輔機負載

表5給出了添加輔機Pout2和取消后對各齒輪副嚙合力的影響。當(dāng)未添加輔機時，分流級和匯流級各分支的載荷均相等，輔機所在的齒輪副z5/z6載荷為0。當(dāng)在第3分支添加輔機后，對于分流級，第3分支傳遞的總功率增加，嚙合力將增大，而另兩個分支的嚙合力仍相等。由于分流齒輪z1總變形增加，第1和第2分支嚙合力會略有增大。而對于匯流級，第1和第2分支的嚙合力相等，第3分支嚙合力有所不同，但三分支的嚙合力總和與未添加輔機時相同，均為8 868 N。第3分支與另兩個分支嚙合力的大小關(guān)系主要受連接軸、軸承和輔機齒輪相位等幾個因素的影響，下面分別分析其影響規(guī)律。

表5 輔機對嚙合力的影響Tab.5 Effects of auxiliary engine on the mesh forces

3.2.2 軸4結(jié)構(gòu)參數(shù)

改變第3分支的連接軸4的內(nèi)徑，觀察嚙合力的變化，如表6所示。當(dāng)減小軸4內(nèi)徑時，該分支在分流級和匯流級的嚙合力都有所增加。直觀上分析，當(dāng)減小軸內(nèi)徑時，軸的扭轉(zhuǎn)和彎曲剛度將增大，該分支整體剛度將增大，該分支整體變形減小，而嚙合剛度大小基本不變，所以嚙合力將降低。但這與計算結(jié)果是矛盾的，可以從下面的角度去分析具體原因。

表6 連接軸4對嚙合力的影響Tab.6 Effects of connecting shaft 4 on the mesh forces

取第1分支和第3分支為例，其從輸入齒輪1～輸出齒輪4的簡化位移關(guān)系如圖5所示。由于齒輪1和齒輪4的位移是一定的，所以二者之間相對位移是相等的，各分支中連接二者的構(gòu)件位移矢量和應(yīng)相等，即滿足變形協(xié)調(diào)條件

圖5 級間變形簡化示意圖Fig.5 Schematic diagram of displacements between two stages

δm2-1+δs2+δm3-1=δm2-3+δs4+δm3-3

(12)

式中：下標(biāo)mi為齒輪i嚙合副變形；下標(biāo)s2,s4為軸2和軸4的相對扭轉(zhuǎn)和彎曲變形。當(dāng)軸4內(nèi)徑減小時，軸剛度增大，得δs4<δs2，所以齒輪副變形δm2-3+δm3-3應(yīng)大于δm2-1+δm3-1。同時，由于δs4<δs2的限制，可得分流級和匯流級的嚙合變形須同時增大，即δm2-3>δm2-1，δm3-3>δm3-1。而兩個分支的嚙合剛度基本相等，所以可得第3分支嚙合力將大于第1分支。因此，可以通過尋找合適的連接軸剛度，使匯流級各分支的嚙合力實現(xiàn)基本相等，從而改善匯流級的均載性能。

3.2.3 軸承剛度

將第3分支匯流級軸承14各方向的剛度分別與軸承剛度比例因子做乘積，得到新的軸承剛度，計算出各齒輪副嚙合力的變化，如圖6所示?？梢钥闯?，當(dāng)增大軸承14剛度后，第3分支的嚙合力將有所增加。具體原因和連接軸的影響類似，即軸承剛度增加后，第3分支的級間連接軸4相對彎曲變形將減小，必須增加兩級的嚙合變形才能滿足各分支變形協(xié)調(diào)條件。

圖6 軸承剛度對嚙合力的影響Fig.6 Effects of bearing stiffness on the mesh forces

3.2.4 齒輪z6安裝相位

改變輔機輸出齒輪z6的安裝相位，匯流級嚙合力的變化如圖7所示。由于齒輪安裝相位改變后，通過齒輪z5作用在第3分支軸上的徑向力方向會變化，導(dǎo)致匯流級三個分支上的嚙合力呈周期性變化。因為該分力僅直接作用在第3分支上，所以只影響第3分支上的嚙合力，另兩個分支上的嚙合力仍然相等。

圖7 齒輪6安裝相位對匯流級嚙合力影響Fig.7 Effects of installation phase of gear 6 on the mesh forces of power confluence stage

3.3 齒輪副動態(tài)響應(yīng)規(guī)律

圖8～圖10給出了當(dāng)輸入轉(zhuǎn)速為6 000 r/min時，不同齒輪副的動態(tài)傳遞誤差(dynamic transmission error，DTE)頻譜圖。此時，系統(tǒng)共有三個嚙合頻率，即分流級f1=2 900 Hz，匯流級f2=1 295 Hz和輔機齒輪副f3=1 709 Hz。

對比圖8(a)和圖8(b)可知，分流級分支2和分支3上的DTE中，分流級頻率f1及其倍頻2f1所占的成分相當(dāng)，且最為明顯；匯流級頻率f2和輔機頻率f3在分支2、分支3上均有體現(xiàn)，可見輔機齒輪z5的振動不僅傳遞至z2-3，還傳遞至z1，影響了分支1、分支2的振動。這是齒輪z2-3所在安裝軸4受到匯流級和輔機齒輪副的振動影響，會攜帶振動頻率f2和f3，而齒輪z2-3相比z1齒數(shù)多，質(zhì)量和慣量更大，其振動更容易傳遞至z1，導(dǎo)致與z1相連的其他兩個分支也會出現(xiàn)頻率為f2和f3的振動。同時還可發(fā)現(xiàn)，分支3上f2和f3的成分相比分支2上的更大一些，符合振動傳遞規(guī)律。

圖8 分流級動態(tài)傳遞誤差頻譜Fig.8 Frequency domain DTE of power split stage

對比圖9(a)和圖9(b)可知，匯流級分支2、分支3的主要振動頻率為自身嚙合頻率f2及其倍頻。輔機頻率f3僅在分支3上所有體現(xiàn)，而在分支2中的成分極小。其原因與對分流級的影響相反，即匯流級分支3上的齒輪z3-3為小齒輪，其振動對質(zhì)量更大的中心輪z4影響較小，對分支1、分支2的振動影響可忽略不計。

圖9 匯流級動態(tài)傳遞誤差頻譜Fig.9 Frequency domain DTE of power confluence stage

觀察圖10可知，輔機齒輪副響應(yīng)中的主要頻率成分為f3和f2及它們的倍頻，而分流級f1的成分基本為0。這是由于齒輪z5距離匯流級齒輪z3-3更近，且二者之間無軸承阻隔(見圖2)，加之z3-3為小齒輪，在z3-3/z4齒輪副中振動更大，導(dǎo)致z5受匯流級的影響更明顯。而分流級齒輪z2-3為大齒輪，在z1/z2-3齒輪副中振動較小，同時其與z5之間存在兩個軸承阻隔，所以傳遞至齒輪z5的振動非常微弱。

圖10 輔機齒輪副動態(tài)傳遞誤差頻譜Fig.10 Frequency domain DTE of gear pair of auxiliary engine

4 結(jié) 論

本文以魚雷渦輪機中的功率三分支齒輪系統(tǒng)為對象，采用廣義有限元法建立了系統(tǒng)的動力學(xué)模型，分析了多軸輸出條件下，不同參數(shù)對系統(tǒng)靜態(tài)和動態(tài)力學(xué)特性的影響。研究的主要結(jié)論有：

(1) 在某分支添加輔機輸出后，會使該分支在分流級的嚙合力增大，同時導(dǎo)致匯流級該分支的嚙合力與另兩個分支產(chǎn)生差異。

(2) 受分支間變形協(xié)調(diào)條件的限制，當(dāng)增大某分支連接軸或軸承的剛度后，會增加該分支在分流級和匯流級的嚙合變形，從而使該分支的嚙合力增加。

(3) 輔機齒輪副的安裝相位對各分支的嚙合力產(chǎn)生周期性的影響。

(4) 在某分支添加輔機輸出后，對分流級各分支的齒輪副振動均會產(chǎn)生影響，而對匯流級則主要影響所在分支齒輪副的振動。

由于級間連接軸剛度對功率分支系統(tǒng)的影響規(guī)律已經(jīng)較為明確，即減小連接軸剛度會補償制造和安裝誤差，提高系統(tǒng)的均載性能，而本文對象為多軸輸出，各分支嚙合力本就不相等，所以并未分析其影響規(guī)律。在后續(xù)研究中，可進一步分析齒輪修形/誤差參數(shù)、嚙合錯位以及不平衡力等因素對系統(tǒng)靜/動力學(xué)特性的影響規(guī)律。