湖南省長沙市雷鋒學(xué)校 童繼稀 （郵編：410217）

湖北省恩施州教育科學(xué)研究院 周 威 （郵編：445000）

2019年人教版高中數(shù)學(xué)教材主編章建躍曾多次指出，教材修訂后的“過程性”體現(xiàn)在教材編寫的“明線”（即“事實(shí)—概念—性質(zhì)—結(jié)構(gòu)—應(yīng)用”）過程中，因此新教材的教學(xué)要在“理解新教材”與“理解新教材變化”基礎(chǔ)上，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程與學(xué)生思維的發(fā)展變化過程，即“兩個(gè)過程”［1］.實(shí)際上，課堂教學(xué)如何幫助學(xué)生在用概念、性質(zhì)解決問題的過程中加深對(duì)知識(shí)的理解，形成功能良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，卻是一個(gè)課堂教學(xué)中沒有引起高度重視的問題！這個(gè)問題的破解，就是要求教師在通過例題、習(xí)題和拓展性材料等課堂教學(xué)時(shí)，要注重以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程為載體，以恰時(shí)恰點(diǎn)的問題引導(dǎo)凸顯學(xué)生思維過程為契機(jī)，基于“兩個(gè)過程”培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、發(fā)展數(shù)學(xué)能力.本文以人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一第1.4 節(jié)中的兩個(gè)教學(xué)片斷為例，分析如何通過例題、公式推導(dǎo)幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的理解，形成認(rèn)知結(jié)構(gòu).

1 例題教學(xué)中的“兩個(gè)過程”的體現(xiàn)

教材中的例題蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法，為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提升解決問題能力提供重要素材.因此，我們?cè)诮虒W(xué)中對(duì)典型例題深入挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，研究其解決思路與方法并歸納總結(jié)等，有助于我們更好地分析和解決新問題.

例1（第1.4節(jié)第32頁例4）如圖1，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，求證：直線A1C⊥平面BDD1B1.

圖1

師：我們熟悉用向量來表示空間中的點(diǎn)、直線和平面，并已探究直線與直線、直線與平面以及平面與平面的平行與垂直時(shí)，直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系.現(xiàn)在，我們思考如何運(yùn)用這些知識(shí)解決該線面證明問題？

師：平面BDD1B1中的任意向量如何表示？它與向量的垂直關(guān)系又如何來體現(xiàn)？

生1：在平面BDD1B1中，以為基向量，對(duì)平面中的任意一點(diǎn)P，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(λ,μ)，使得，而向量便為平面中的任意向量.它與向量的垂直關(guān)系可通過運(yùn)算來證明，但運(yùn)算前需將這些向量全部用基向量表示，題中條件已暗示為一組基底.

師：思路清晰明了，（板演，詳細(xì)過程參考教材）.生1 的方法也是教材中的證明方法，以純向量的運(yùn)算證明了直線與平面的垂直關(guān)系，我們可以體驗(yàn)到向量的作用是通過運(yùn)算來體現(xiàn)的.大家有什么不同看法嗎？

生2：線面垂直可以通過證明直線與平面中的兩條相交直線垂直來證明，直接證明向量垂直便可，而生1所說過程中的任 意向量的選取與后續(xù)向量運(yùn)算過程便為多余.

師：你們認(rèn)可他說的“多余”這觀點(diǎn)嗎？

師：非常好，生2 聯(lián)系到必修第二冊(cè)中所學(xué)的線面垂直判定定理來證明，即綜合法.而生3 給出了這兩種思路的過程處理關(guān)系.

生4：前面我們用直線的方向向量與平面的法向量探究了線面垂直的等價(jià)條件（設(shè)直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u=λn），為什么不直接證明直線的方向向量與平面的法向量n平行呢？

師：生4 的疑惑很有見地，應(yīng)該也是大家感到不可思議的地方.而且前面我們學(xué)習(xí)過可以通過觀察或建立空間坐標(biāo)系求得一個(gè)平面的法向量，為什么教材沒采用這種證明方法嗎？

生6：“坐標(biāo)法”是“基底法”的一種特殊情況，能用“坐標(biāo)法”求法向量，自然“基底法”也能求，而且更具一般性.

師：生5 與生6 的思考已入木三分，大家討論交流如何用“基底法”求平面BDD1B1的法向量.

學(xué)生作品展示設(shè)n=xa+yb+zc為平面BDD1B1的法向量，則，即

師：大家剛才用“基底法”探求平面BDD1B1的法向量，給出了非“坐標(biāo)法”下，找法向量的一種新方法，而且在后續(xù)內(nèi)容中也可使用.不難發(fā)現(xiàn)，該探求過程相對(duì)比較復(fù)雜，故教材沒使用此方法.因此，同樣的問題可用不同的方法求解，但方法越一般，適用范圍越大，往往計(jì)算量也會(huì)加大.若能理清各種方法之間的關(guān)系，大家便能找到最適合自己的方法，使得問題迎刃而解.

點(diǎn)評(píng) 學(xué)生的互動(dòng)展示了解決立體幾何問題的綜合法、向量法與坐標(biāo)法的各自特點(diǎn)，綜合法通過純粹的邏輯推理解決問題，向量法利用向量的概念及其運(yùn)算解決問題，而坐標(biāo)法利用數(shù)及其運(yùn)算來解決問題，但該例題中的幾何體因難以建系，沒有展現(xiàn)坐標(biāo)法的特點(diǎn).生1 的解法（即教材解法）利用了由一個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)定方向確定一個(gè)平面的結(jié)論，即：過點(diǎn)A，以向量a為法向量的平面可表示為集合，整個(gè)過程都體現(xiàn)著空間向量刻畫直線與平面的位置關(guān)系的強(qiáng)大功能.生4 的思路，不但應(yīng)用了前面的等價(jià)結(jié)論，體現(xiàn)知識(shí)編排的連續(xù)性，而且提供了“基底法”如何求平面法向量，該過程類似于“坐標(biāo)法”，但又高于“坐標(biāo)法”，更具一般性，在后續(xù)內(nèi)容中也可常使用，正因?yàn)樘角筮^程的復(fù)雜，整個(gè)教材并沒有以此法來示范.

2 公式教學(xué)中的“兩個(gè)過程”的體現(xiàn)

很多數(shù)學(xué)知識(shí)通過數(shù)學(xué)公式來呈現(xiàn)，而思想方法往往蘊(yùn)含在公式的推理過程中.在教學(xué)中，對(duì)公式的嚴(yán)謹(jǐn)推演，可以讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)知識(shí)的生成過程，感悟問題的解決方法，體驗(yàn)結(jié)論的獲取成就感，為落實(shí)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)有重要的意義.

以下教學(xué)過程為用向量方法求直線l外一點(diǎn)P到直線l的距離公式.

師：如圖2，已知直線l的單位方向向量為u、A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn).如何利用這些條件求點(diǎn)P到直線l的距離？

圖2

師：生1 推理思路清晰，且很嚴(yán)謹(jǐn)，直線l的為什么要取單位方向向量u，一般的方向向量行嗎？

生2：可以（推導(dǎo)2）.在直線l上取兩點(diǎn)作向量b，可得，再根據(jù)勾股定理得

師：非常好，哪位同學(xué)能概括這兩個(gè)推導(dǎo)的區(qū)別與聯(lián)系嗎？

生3：在找直線方向向量的實(shí)際操作中，一般是在直線上取兩個(gè)點(diǎn)作向量b，再除以該向量的模，即便為直線l的單位方向向量.而生2 繞開取單位方向向量u，得到的距離公式相對(duì)復(fù)雜一點(diǎn)，但也是異曲同工.生1 推出的公式簡潔，生2 的公式比較符合我們的解題習(xí)慣.

師：生3 概括很到位，大家在剛才的公式推理過程中，有什么感受？

生4：我覺得這公式推理生澀難懂，也擔(dān)心公式記不住，我們可以通過解三角形來求得距離.推導(dǎo)過程如下（推導(dǎo)3）：設(shè)θ為斜線AP與直線l的夾角，在直線l上取兩點(diǎn)作向量b，則cosθ=由同角三角函數(shù)關(guān)系與cosθ的值，求出sinθ，再由，求得點(diǎn)P到直線l的距離.

師：生4 給我們不愿意記公式的同學(xué)提供了另一種求解思路，其中為我們后面將學(xué)習(xí)的兩直線的夾角公式.

生5：是不是距離問題可以看成夾角問題的進(jìn)一步應(yīng)用？

師：可以這么理解，之前教材也是這樣處理的.

生5：那為什么我們要用空間向量先研究距離問題，而不是夾角問題？

師：這問題提得好，大家思考距離和我們之前學(xué)的哪個(gè)位置關(guān)系有著本質(zhì)的關(guān)系？

生6：垂直，點(diǎn)到直線的距離其實(shí)就是過這點(diǎn)作這直線的垂線段的長度.

師：非常到位，垂直反映了距離的本質(zhì)，也意味著垂線段長度最短，借助勾股定理可以直觀準(zhǔn)確地揭示這個(gè)本質(zhì).這也許就是編者將距離問題放在研究直線、平面的垂直關(guān)系后面的原因.

點(diǎn)評(píng)學(xué)生在公式推理過程中的疑惑，通過激烈討論與思維碰撞得到完美的解決.教材借助投影向量推導(dǎo)出距離公式，反應(yīng)了數(shù)學(xué)邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，體現(xiàn)了用向量研究直線、平面的位置與度量關(guān)系的系統(tǒng)性.教材用純粹的向量推理，得出一系列的度量公式在本章節(jié)中更能體現(xiàn)向量的工具性.通過利用向量推導(dǎo)距離公式，學(xué)生在演繹與交流中不斷的發(fā)現(xiàn)、提出、分析并解決問題，從而使學(xué)生有邏輯地思考問題，能夠在比較復(fù)雜的情境中把握各知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，并形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神.

3 結(jié)語

新教材明確凸顯了數(shù)學(xué)對(duì)象的研究套路“事實(shí)—概念—性質(zhì)結(jié)構(gòu)—應(yīng)用”，在遵循這個(gè)“套路”進(jìn)行教學(xué)的過程中，如何通過例題、習(xí)題和拓展性材料的分析與教學(xué)讓學(xué)生能形成“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”，這是在教學(xué)設(shè)計(jì)上值得探討和交流的議題！也是從知識(shí)的發(fā)生發(fā)展的角度如何提出問題，引導(dǎo)學(xué)生開展觀察、分析、歸納、概括等思維活動(dòng)方面值得總結(jié)的方式方法.