云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 華子艷 劉冰楠 （郵編：650500）

數(shù)值大小比較題型在高考選擇題中出現(xiàn)頻率高，知識(shí)點(diǎn)涉及面廣，綜合性強(qiáng)，學(xué)生需明晰解法本質(zhì)，將知識(shí)儲(chǔ)備融會(huì)貫通，有利于其思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力的培養(yǎng).下面以2022年新高考Ⅰ卷第7題為例，通過對(duì)不同解法的評(píng)析，感悟試題中數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，為學(xué)生解題活動(dòng)增加途徑與方法，也為教師提高教學(xué)實(shí)效性提供參考和建議.

1 試題再現(xiàn)

（2022年新高考Ⅰ卷第7題）設(shè)a=0.1e0.1，，c=-ln 0.9，則

A.a

C.c

分析數(shù)值大小比較問題作為一道選擇題，學(xué)生只需靈活運(yùn)用一種解法正確推理出與選項(xiàng)相符的結(jié)果即可.但因題目選項(xiàng)相似度高，且存在三個(gè)結(jié)構(gòu)不同的待比較實(shí)數(shù)a、b、c，只憑直觀感知或簡(jiǎn)單計(jì)算錯(cuò)誤率高，因此在計(jì)算該題時(shí)，可將解題過程拆分為三部分，分別采取適當(dāng)?shù)?方法比較“a與b”“a與c”“b與c”的大小關(guān) 系.如何從已有的解法儲(chǔ)備中迅速檢索到與本題相關(guān)的要點(diǎn)，或從眾多解法中提取“最快最優(yōu)解”尤為重要.本題遵循高考命題穩(wěn)中求新的規(guī)律，求解過程并非一種解法生搬硬套，而是糅合多種方法，強(qiáng)調(diào)知識(shí)間的聯(lián)系，體現(xiàn)高考命題的基礎(chǔ)性與綜合性，能鼓勵(lì)學(xué)生在發(fā)散思維中分析和解決問題，提高知識(shí)遷移與綜合運(yùn)用能力.

2 解法評(píng)析

解法一 構(gòu)造函數(shù)+作差或作商

因此得到c

解法2 構(gòu)造函數(shù)+取對(duì)數(shù)法+作差

解答（比較a與b）構(gòu)造函數(shù)同解法1，對(duì)a(x)，b(x) 取對(duì)數(shù)后作差得ln[a(x）]-ln[b(x)]=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，令φ(x)=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，φ′(x)=即得φ(x)在(0，0.1]上單調(diào)遞減，所以φ(x)<φ(0)=0.即ln[a(x)]-ln[b(x)]<0，于是a(x)

評(píng)析解法1 屬于常規(guī)解法，在數(shù)值大小比較問題中，常用作差與作商法，考查學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)基礎(chǔ)解法的理解應(yīng)用.但此法往往不能直接得出答案，需輔以其他方法.本題依據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，需要學(xué)生有較強(qiáng)的觀察能力.難點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)時(shí)，學(xué)生難以察覺各數(shù)背后隱含的關(guān)系，如，進(jìn)而導(dǎo)致構(gòu)造函數(shù)不得當(dāng)，無法得到最終答案.解法2 在解法1 的基礎(chǔ)上，增加了“取對(duì)數(shù)”的環(huán)節(jié).原因是學(xué)生在解題中會(huì)將各代數(shù)式化為統(tǒng)一形式進(jìn)行解答，進(jìn)而聯(lián)想到課堂中教師教授的技巧“取對(duì)數(shù)”.盡管增加了一個(gè)環(huán)節(jié)，但減少了二次求導(dǎo)的過程，也不失為一個(gè)好方法.

解法3 構(gòu)造函數(shù)+放縮法

解答（比較a與b）構(gòu)造函數(shù)同解法1，由放縮公式ex≥x+1，得e-x≥-x+1，因此ex≤即a(x)≤b(x)，a(0.1)≤b(0.1).依據(jù)選項(xiàng)特點(diǎn)得a

評(píng)析巧妙運(yùn)用放縮法，可以針對(duì)選擇題選項(xiàng)特點(diǎn)快速求解.放縮法對(duì)學(xué)生的要求比解法1、2 更高，首先學(xué)生需掌握一定數(shù)量的放縮公式，并恰當(dāng)選擇與本題相符的式子.在無法直接放縮時(shí)，還需針對(duì)不同結(jié)構(gòu)的實(shí)數(shù)進(jìn)行變形，進(jìn)而得到相聯(lián)系的數(shù)量關(guān)系，有效考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng).教科書的課后習(xí)題中也有求放縮公式的例子，如人教A 版選擇性必修第二冊(cè)《5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用》課后習(xí)題第12題.因此教師可多關(guān)注試題的拓展外延，利用優(yōu)質(zhì)試題豐富學(xué)生解題視野，體會(huì)其變式應(yīng)用，并引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和提出問題，在培養(yǎng)發(fā)散思維的同時(shí)獲取基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，積累基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在體驗(yàn)探究中推動(dòng)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

解法4 構(gòu)造函數(shù)+放縮法+飄帶函數(shù)

解答（比較a與c）構(gòu)造函數(shù)同解法1，由放縮公式ex≥x+1，得e0.1≥1.1，因此a=0.1e0.1≥0.11.又因?yàn)橛酗h帶函數(shù)所以c(0.1)=-ln(1-0.1)由此可得c

評(píng)析飄帶函數(shù)不屬于《課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的具體課程內(nèi)容，但可由高中所學(xué)知識(shí)推理得出，屬于延伸性知識(shí)，在實(shí)際解題過程中只有少部分學(xué)生能用到這種非常規(guī)的進(jìn)階解法.由解題步驟可知，較之前的解法更清晰直觀.因此教師在教學(xué)中可由“低起點(diǎn)”引入，對(duì)一些“高觀點(diǎn)”下的解題方法進(jìn)行適當(dāng)補(bǔ)充，并鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索新解法，感受數(shù)學(xué)探究之樂.

解法5 直接計(jì)算+放縮法

解答（比較a與b）

解法6 直接計(jì)算+放縮法+取冪

解答（比較b與c）

因此b>c.

評(píng)析最后兩種解法對(duì)學(xué)生的思維發(fā)散性及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求較高，計(jì)算量大且復(fù)雜.在日常練習(xí)中可以鼓勵(lì)學(xué)生使用，但由于考試時(shí)間受限，學(xué)生需對(duì)不同方法的便捷程度和有效程度進(jìn)行甄別，以期擇出既簡(jiǎn)便又快速的“最優(yōu)解”.這就需要教師和學(xué)生在教學(xué)中共同努力，對(duì)練習(xí)題進(jìn)行深度挖掘，獲取解法中的內(nèi)在聯(lián)系.課下功夫做足，運(yùn)用時(shí)才能融會(huì)貫通，有選擇的空間.

3 解法啟示

2022年新高考Ⅰ卷第7題屬于數(shù)值大小比較問題，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性和綜合性的考查要求.在解題過程中運(yùn)用作差法、作商法、構(gòu)造法等比較實(shí)數(shù)大小的基礎(chǔ)方法，注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)和通性通法，持續(xù)滲透理性精神[2].解題過程中解法靈活多變，學(xué)生針對(duì)不同解法的特點(diǎn)進(jìn)行恰當(dāng)選擇綜合運(yùn)用，淡化解題技巧，培養(yǎng)發(fā)散思維能力.且每種方法都呈現(xiàn)不同的切入點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生敏銳的數(shù)學(xué)眼光，也對(duì)學(xué)生的綜合能力以及邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)提出了一定的要求，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的選拔與引導(dǎo)功能，體現(xiàn)教育公平.

對(duì)題目解法的多樣性評(píng)析，不但能提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生認(rèn)知自我，增強(qiáng)自信，也能幫助教師改進(jìn)教學(xué)，提高質(zhì)量[1].走馬觀花式的解十道題不如解透一道題，模式化的題海戰(zhàn)術(shù)不利于學(xué)生思維品質(zhì)特別是發(fā)散思維和創(chuàng)新品質(zhì)的培養(yǎng).在實(shí)際課堂中，教師往往重視解答題的講解而忽視了選擇題中巧妙又廣闊的天地.教師可以嘗試在課堂教學(xué)中更廣泛地選擇能發(fā)散學(xué)生思維的題目，不僅僅局限于一些難以解答的“低分題”，借由探究過程，達(dá)到師生共同重過程，重思想，重探究的教學(xué)氛圍，充分發(fā)揮題目在課堂中的“能力之助，探究之效”.