華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 劉 倩

早在小學(xué)教學(xué)中,教師在教授學(xué)生“滿十進一”的規(guī)則時就會告訴學(xué)生世界上不是只有十進制這一種計數(shù)方式. 在中國古代有六十四卦卜易規(guī)則用到二進制計數(shù)思想[1];1 個季度有3 個月,這是運用三進制計數(shù)思想;1 斤是16 兩(中國古代度量法),這是運用十六進制計數(shù)思想;1 天有24 小時,這是運用二十四進制計數(shù)思想;1 個小時60 分鐘、1 分鐘有60秒,這是運用六十進制計數(shù)思想……

每一種進制都是完美的,這樣完美的數(shù)學(xué)工具應(yīng)為學(xué)生所知. 橫觀人們研究十進制數(shù)的進程,數(shù)碼問題是其中十分重要的模塊,并由此衍生出不少數(shù)列問題. 那么,其它進制應(yīng)有對應(yīng)的數(shù)碼規(guī)律,可以衍生出對應(yīng)的數(shù)列問題. 本文從最能反映真相的三進制入手,研究三進制數(shù)碼規(guī)律,并探究對應(yīng)的數(shù)列問題,仿照三進制數(shù)碼研究過程,參照十進制數(shù)碼知識推測P進制數(shù)碼規(guī)律.

一、理論探究

一個正整數(shù)的三進制表示是n=ak3k+ak-13k-1+···+a131+a0,其中ak=1,2 且am=0,1,2(0 ≤m≤k-1).以下研究[3k-1,3k-1](k ∈N+)[注1] 中正整數(shù)用三進制表示后三進制數(shù)的數(shù)碼知識,即k(k≥1)位三進制數(shù)的數(shù)碼知識.

二、例題分析

由表2.1 可知當(dāng)數(shù)的三進制表示中包含0 時就不滿足條件f(n) =n,問題轉(zhuǎn)化為1～1991 有多少數(shù)的三進制表示是不含0 的,這樣也就定義了三進制去0 數(shù)列問題. 1991 寫作三進制數(shù)是(2201202)3. 那么有兩種思路: 第一種方式是考慮1～6 位以及7 位中小于(2201202)3且包含0 的數(shù)碼個數(shù);第二種是考慮1～6 位以及7 位中小于(2201202)3只含1 和2 的三進制數(shù).

表2.1 問題1 部分值

按第一種方式可得算式:

解析 首先需要知道題給的條件使得數(shù)列下標(biāo)和數(shù)列值之間有什么樣的聯(lián)系,列舉一部分值在表2.2 中.

表2.2 問題2 部分值

三、實戰(zhàn)演練

解析 要得到題設(shè)的結(jié)果,首先找出什么條件可以達到這個結(jié)果,依舊先列舉一部分值,觀察規(guī)律.

表3.1 問題3 部分值

四、總結(jié)

數(shù)列問題是高考必考題,簡單的題是只考察數(shù)列本身如等差、等比數(shù)列基本知識,中檔往上的題目大多是考察學(xué)生的綜合知識,包含許多學(xué)生容易忽略的數(shù)學(xué)知識的綜合,比如數(shù)列與函數(shù),數(shù)列與幾何的綜合. 事實上,進制問題本身就是其中冷門卻值得學(xué)習(xí)的一類.

在三進制數(shù)列數(shù)碼知識的研究過程中,不難發(fā)現(xiàn)此中涉及了組合恒等式、等差數(shù)列、等比數(shù)列、解方程的多方面知識,從理論到問題都體現(xiàn)著數(shù)學(xué)邏輯的重要性,在這些理論知識的學(xué)習(xí)中,學(xué)生的推理能力、邏輯思維能力、計算能力都能得到鍛煉,所掌握的數(shù)學(xué)知識也更為完整. 更值得關(guān)注的是三進制和實變函數(shù)中Cantor 集有千絲萬縷的聯(lián)系[3],這就將高等知識和中學(xué)知識進行結(jié)合,以高等知識指導(dǎo)中學(xué)問題,更能提升學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的理解.