包宇新，張雯雯，魏齊蕾，吳 楠

（中國礦業(yè)大學（北京），北京 100083）

主動反射面調節(jié)問題在太陽能發(fā)電領域、太空望遠鏡領域以及舞臺設計領域有著十分廣泛的應用，但由于主動反射面的調整任意性較強，往往很難運用數(shù)學方式計算出各個反射面的最優(yōu)位置，本文旨在以FAST主動反射面調節(jié)問題為例，通過粒子群算法[1-2]與蒙特卡洛模擬[3-4]，建立一種解決主動反射面調節(jié)問題的一般性方案。

1 問題背景

FAST由主動反射面、饋源艙（信號接收系統(tǒng)）和相關的控制、測量、支承系統(tǒng)組成。其中，主動反射面系統(tǒng)是一個由主索網(wǎng)、下拉索、反射面板、促動器和支承結構等主要部件組成的可以調節(jié)的球面。主動反射面可分為基準態(tài)和工作態(tài)2個狀態(tài)，處于基準態(tài)時的反射面是半徑約300 m、口徑為500 m的基準球面，處于工作態(tài)時反射面會調節(jié)為一個300 m口徑的工作拋物面。饋源艙接收平面的中心不固定，在一個與基準球面同心的球面上移動，會移動到待觀測天體S和基準球面球心C的連線與該球面的交點P處，且其接收信號的有效區(qū)域是一個直徑為1 m的中心圓盤。此時基準球面上的一部分反射面板形成以直線SC為對稱軸、以P為焦點的近似拋物面，促動器沿基準球面徑向安裝，頂端可沿基準球面徑向伸縮，范圍為-0.6～+0.6 m，起到調節(jié)反射面板的作用，最終形成工作拋物面，能將來自目標天體S的平行電磁波反射聚集到饋源艙的中心圓盤上[5-6]。FAST剖面圖如圖1所示。

圖1 FAST剖面圖

本文旨在探索當待觀測天體S位于α=36.795°、β=78.169°（α為S的方位角，β為仰角）時，如何建立反射面板調節(jié)模型，調節(jié)相關促動器的伸縮量，使得饋源艙的接收比最高。

2 數(shù)據(jù)分析和模型假設

本研究是建立在已知2 226個主索節(jié)點的坐標和編號，促動器下端點（地錨點）坐標、基準態(tài)時上端點（頂端）坐標，4 300塊反射面板對應的主索節(jié)點的編號的基礎上進行研究的。

為方便處理問題，提出以下假設：（1）在基準態(tài)下，所有的主索節(jié)點都處于基準球面上；（2）因反射面板上的小圓孔直徑很小，故不考慮其對電磁波的反射影響；（3）因被觀測天體S距離極遠，故認為電磁波信號和反射信號是沿直線傳播的；（4）因反射面板很薄，故不考慮其厚度；（5）電磁波均勻分布。

3 模型的建立與求解

3.1 建立理想模型

在了解“FAST”主動反射面的三維模型[7]后開始建立調節(jié)前的理想模型。由于多反射面問題很難計算出最優(yōu)解，可以先利用簡單的理想數(shù)學模型確定各反射面所處的大致位置，此處很容易發(fā)現(xiàn)拋物面具有讓所有光束匯集到一點的特性，從而計算能夠滿足條件的拋物面最優(yōu)形狀。

由于理想拋物面具有極強的旋轉對稱性，同時待觀測天體發(fā)出的電磁波可近似認為與拋物面對稱軸平行，拋物面在過其軸線不同平面內的反射性質相同，因此只考慮理想拋物面中的一個平面，即探究理想拋物線。根據(jù)拋物線的光學性質（光是一種電磁波）[8]，來自目標天體S的平行電磁波會反射聚集到位于工作拋物面焦點位置的饋源艙中心圓盤上。

3.1.1 理想模型的建立

以拋物線上的點與基準球面的距離之和應盡量小及為保證結論的正確性考慮拋物線的焦點無限靠近饋源艙為目標函數(shù)（兩者權重一致），以主索節(jié)點的移動變位范圍為-0.6～+0.6 m且工作拋物面口徑為300 m和兩相鄰主索節(jié)點調節(jié)變化幅度不超過0.07%為2個約束條件，建立優(yōu)化模型。

以點C為頂點建立空間坐標系

式中：r′為拋物線上的點到球心C的距離；r為基準球面的半徑；yp為饋源艙的縱坐標；yf為焦點的縱坐標；a為主索節(jié)點移動變位的最大值，即0.6 m；s為拋物線上任一主索節(jié)點和與之相鄰最近的主索節(jié)點調節(jié)后的距離；f為拋物線的焦距；l為拋物線頂點到原點的距離。

3.1.2 理想模型的求解

在隨機取樣，估計出l、f的范圍為l∈[299.8，301.0]，f∈[135.0,145.0]后，運用粒子群算法得出較為精確的結果，根據(jù)l、f的大致范圍確定各粒子的運動范圍，由于本研究中的二元函數(shù)不存在多個峰值，為保證盡快找出最優(yōu)解，計算時應盡量減小慣性系數(shù)與粒子速度。

最終得出拋物線方程為

進而得到理想拋物面方程為

將主動反射面上的節(jié)點與理想拋物面重合即可得出反射面的粗略位置。

下面計算當待觀測天體S位于α=36.795°、β=78.169°的位置時的理想拋物面，可理解為旋轉上述理想拋物面。旋轉后的理想拋物面如圖2所示，其單位法向量為n=(-cosαcosβ,-sinαcosβ,-sinβ)。

圖2 旋轉后理想拋物面的曲面圖

以點C為頂點建立空間坐標系，令點H為拋物面的頂點。被測天體發(fā)射的電磁波的方向為A=(-cosα,-sinα，-tanβ)，有A=|A|·n。因為CH//A，故CH=k·n，且|CH|=r，可以求出旋轉后的理想拋物面的頂點坐標為（-49.385 0，-36.938 0，-294.405 7），拋物面方程為

3.2 饋源艙接收比計算

3.2.1 從被測天體發(fā)射的電磁波落在各反射面板的概率

將300 m口徑內所有反射面板在與電磁波傳播方向垂直的平面上的投影面積按大小排列在坐標軸上，依次為S1、S2、S3、…、Sn，將其運用蒙特卡洛模擬隨機取樣，從被測天體發(fā)射的電磁波中隨機挑選1條，其落在[Si-1，Si]的概率為，即落在第i塊反射面板的概率為。因為可以在數(shù)軸上隨機取1個數(shù)，所以可通過判斷該數(shù)所在區(qū)間來判斷所要選取的反射面板。

3.2.2 給定反射面板中任一點的坐標

根據(jù)線性子空間內仿射組合，三角形ABC中任一點Q可表示為AQ=γAB+μAC（0＜γ+μ＜1），可通過蒙特卡洛模擬隨機生成γ、μ的值在給定反射面板中取點。

3.2.3 饋源艙的接收比

根據(jù)光學知識（光是一種電磁波），已知入射點O、入射光線向量A和法向量B，可以求得反射光線的向量。饋源艙的有效區(qū)域可以接收到反射信號即反射線與以饋源艙（點P）為圓心、0.5 m為半徑的圓盤有交點，即

式中：m為饋源艙到反射光線的距離；θ為饋源艙到反射光線的垂線與圓盤的夾角。

饋源艙的接收比即為饋源艙有效區(qū)域可以接收到的反射信號與300 m口徑內反射面板反射出來的信號之比。

3.3 在理想模型基礎上的優(yōu)化

在獲取各主動反射面的大致位置后，可以進行通過調整促動器伸縮量以提高饋源艙接收比。為簡化變量，選擇用幾個特征量來描述調整后各個節(jié)點所處的位置特性（特征越少越好），同時建立促動器伸縮量與特征量的函數(shù)關系，最后利用粒子群算法得出函數(shù)中參數(shù)的最優(yōu)解。

由于拋物面具有很強的對稱性，因此在同一高度下各節(jié)點的促動器二次調整量應大致相同，同時在同一高度由于拋物面上各點到拋物面軸線距離相等，所以將節(jié)點到拋物面軸線的距離d作為描述其位置特征的特征量。由于促動器二次調整量一般數(shù)值較小，其與d的函數(shù)關系可以運用泰勒展開來近似，即

式中：x為促動器二次調整量；a、b、c為要求的系數(shù)。

隨機取樣，估計出a、b、c的范圍為a∈[-0.000 2，0.000 2]、b∈[-0.1，0.1]、c∈[-0.7，0.7]后，運用粒子群算法得出較為精確的結果，根據(jù)a、b、c的大致范圍確定各粒子的運動范圍。由于本研究中的二元函數(shù)不存在多個峰值，但是由于約束條件的存在往往會出現(xiàn)不符合條件的解，因此為保證盡快找出最優(yōu)解，計算時慣性系數(shù)應隨迭代次數(shù)不斷減小。最終得出使饋源艙接收比達到最高的x-d的函數(shù)關系為

饋源艙接收比最高為37.15%。

4 結束語

隨著球面射電望遠鏡“FAST”的正式落地啟用，我國的科學研究取得進一步突破。截至目前，已有數(shù)以萬計的專家學者對“FAST”做了各式研究，并且隨著科學技術的不斷進步，會有越來越多針對“FAST”的研究進行。相信在不久的將來，我國定能研究設計出比“FAST”更優(yōu)更強的射電望遠鏡。