葛書(shū)強(qiáng)，劉明敏，謝鋒

(中國(guó)船舶集團(tuán)有限公司第七一三研究所，河南 鄭州 450015)

現(xiàn)代火炮發(fā)展方向?yàn)楦叱跛?、高射頻、高射擊精度和高機(jī)動(dòng)性，用戶對(duì)火炮射擊時(shí)的穩(wěn)定性、安全性以及對(duì)高低、方位的快速響應(yīng)提出了更高的要求[1]。火炮發(fā)射時(shí)，火藥氣體壓力急劇增大，在炮膛內(nèi)產(chǎn)生極其復(fù)雜的物理化學(xué)反應(yīng)，具有時(shí)間短、壓力大、溫度高的特點(diǎn)，同時(shí)彈丸在膛內(nèi)高速運(yùn)動(dòng)，對(duì)于線膛炮，彈丸還繞身管軸線高速旋轉(zhuǎn)，再加上轉(zhuǎn)管炮身管組高速旋轉(zhuǎn)，炮尾炮閂的撞擊，火炮不可避免的面臨著剛強(qiáng)度和振動(dòng)問(wèn)題的挑戰(zhàn)，身管炮膛部位強(qiáng)度不足會(huì)引起膛炸事故，身管剛度不足、振動(dòng)過(guò)大會(huì)引起炮口不穩(wěn)，導(dǎo)致立靶密集度散布較大，對(duì)高精度射擊不利。身管過(guò)重還會(huì)使得火炮快速反應(yīng)能力下降，需要的動(dòng)力源功率增大，總體尺寸和質(zhì)量加大，進(jìn)而擠壓火炮載具(如裝甲車、艦船等)其他設(shè)備的空間和質(zhì)量，造成總體布局失調(diào)，影響裝備的總體性能。因此需要設(shè)計(jì)出有合理強(qiáng)度和振動(dòng)特性的身管[2-3]。

以往提高火炮發(fā)射穩(wěn)定性優(yōu)先考慮火炮的靜態(tài)特性，通常采用加厚身管壁、加重火炮底座(如托架、上架、旋回架等)以及提高緩沖器的阻尼系數(shù)來(lái)加強(qiáng)靜力學(xué)下的剛強(qiáng)度，過(guò)厚的身管壁以及過(guò)重的火炮底座會(huì)造成材料浪費(fèi)、制造成本變高，不利于火炮的輕量化設(shè)計(jì)。火炮設(shè)計(jì)在考慮靜態(tài)特性時(shí)，也要考慮其總體動(dòng)態(tài)特性[4]。需要合適的理論來(lái)支撐身管的設(shè)計(jì)，滿足火炮使命任務(wù)的需要，通過(guò)對(duì)比分析不同強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)的身管，尋找合適的強(qiáng)度理論及匹配的安全系數(shù)，然后分析身管的動(dòng)態(tài)特性，確保身管在射擊過(guò)程中不會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象。

我國(guó)及俄羅斯的身管設(shè)計(jì)均習(xí)慣沿用最大線應(yīng)變理論作為設(shè)計(jì)依據(jù)，同時(shí)兼顧身管質(zhì)量特性，通過(guò)設(shè)置相應(yīng)的安全系數(shù)，設(shè)計(jì)出符合工程實(shí)際的身管。但是材料力學(xué)相關(guān)理論及相關(guān)研究均表明，最大線應(yīng)變理論適用于脆性材料的破壞。我國(guó)火炮上的單筒身管，大多以炮鋼作為首選制造材料，通過(guò)在炮鋼中添加Mo、V等元素，使得炮鋼不但具有較高的強(qiáng)度，而且有良好的塑性和韌性，其實(shí)際上具有典型的塑性材料特征。此時(shí)最大線應(yīng)變理論是否仍然適用于指導(dǎo)身管設(shè)計(jì)，筆者對(duì)此問(wèn)題存疑。

國(guó)內(nèi)外對(duì)于金屬身管強(qiáng)度的研究多基于材料力學(xué)古典強(qiáng)度理論，如杜中華[5]基于第二強(qiáng)度理論對(duì)單筒、筒緊、襯管和自緊4種類型身管的應(yīng)力分布和強(qiáng)度機(jī)理進(jìn)行了比較；杜中華等[6]又基于第三和第四強(qiáng)度理論研究了適合我國(guó)使用的單筒身管設(shè)計(jì)方法及匹配的安全系數(shù)，并進(jìn)行了數(shù)值仿真驗(yàn)證。張芳添等[7]根據(jù)筒緊身管的相關(guān)理論設(shè)計(jì)了用于某火炮的筒緊身管外形尺寸并按第三強(qiáng)度理論進(jìn)行了校核。

筆者將依據(jù)厚壁圓筒理論，把雙剪強(qiáng)度理論引入身管設(shè)計(jì)中，并分別根據(jù)最大線應(yīng)變理論、Tresca強(qiáng)度理論、Mises強(qiáng)度理論以及雙剪強(qiáng)度理論對(duì)火炮身管進(jìn)行強(qiáng)度分析和安全系數(shù)計(jì)算，將不同強(qiáng)度理論結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，選擇合適的強(qiáng)度理論用于指導(dǎo)身管結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，對(duì)設(shè)計(jì)的身管進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)分析并給出相應(yīng)的結(jié)論。

1 火炮身管強(qiáng)度理論和振動(dòng)理論

1.1 三大系列強(qiáng)度理論

基于大量的理論研究和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，目前已提出了上百個(gè)強(qiáng)度模型或準(zhǔn)則，按照剪應(yīng)力可以將強(qiáng)度理論劃分為單剪強(qiáng)度理論(SSS理論，Single-Shear Strength Theory)、雙剪強(qiáng)度理論(TSS理論，Twin-Shear Strength Theory)和八面體剪應(yīng)力強(qiáng)度理論(OSS理論，Octahedral-Shear Strength Theory)三大系列強(qiáng)度理論[8]。其中，Tresca強(qiáng)度準(zhǔn)則是SSS理論的單參數(shù)準(zhǔn)則，Mises強(qiáng)度準(zhǔn)則是OSS理論的單參數(shù)準(zhǔn)則，雙剪強(qiáng)度準(zhǔn)則是TSS理論的單參數(shù)準(zhǔn)則[9]。3種強(qiáng)度理論極限面的關(guān)系如圖1(a)所示。作為3大系列強(qiáng)度理論的單參數(shù)準(zhǔn)則，在π平面上，Tresca(內(nèi)接、外切)六邊形、Mises圓和外切最大偏應(yīng)力屈服條件的關(guān)系如圖1(b)所示。

大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明靜水壓力對(duì)火炮自動(dòng)機(jī)用炮鋼的影響可以忽略不計(jì)[10]，由此，法國(guó)H. Tresca和德國(guó)R. Von Mises先后提出了相應(yīng)強(qiáng)度準(zhǔn)則的一般表達(dá)式，推導(dǎo)過(guò)程及公式詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)[11]。Tresca強(qiáng)度準(zhǔn)則一般應(yīng)力表達(dá)式是非正則的，由六個(gè)線性函數(shù)構(gòu)成，幾何上為不光滑曲面，數(shù)學(xué)處理不方便。Mises強(qiáng)度準(zhǔn)則用圓柱面代替Tresca正六邊棱柱面，數(shù)學(xué)上更易于處理。R.Schmidt最早提出了最大偏應(yīng)力屈服準(zhǔn)則，后由俞茂宏用雙剪應(yīng)力的概念對(duì)該強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行了說(shuō)明，稱為雙剪強(qiáng)度準(zhǔn)則，其一般應(yīng)力表達(dá)式詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)[11]。

最大線應(yīng)變理論在材料力學(xué)中稱為第二強(qiáng)度理論，雖然其考慮了3個(gè)主應(yīng)力的影響，但理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果卻相差較大，且按照該理論，雙向受拉比單向受拉更安全，但這與實(shí)際并不相符。Tresca強(qiáng)度理論在材料力學(xué)中稱為第三強(qiáng)度理論，其只考慮了最大主應(yīng)力σ1和最小主應(yīng)力σ3的作用，未考慮中間主應(yīng)力σ2的作用，大量理論和實(shí)驗(yàn)研究表明，中間主應(yīng)力對(duì)材料屈服確實(shí)存在一定的影響，其對(duì)材料失效破壞的影響在很多應(yīng)力狀態(tài)下是不能忽略的[12]。由Tresca屈服條件得到的強(qiáng)度條件偏保守，設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)質(zhì)量偏大，較為笨重，經(jīng)濟(jì)性偏低，不適合應(yīng)用于質(zhì)量要求較高的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。Mises強(qiáng)度理論認(rèn)為引起材料屈服的主要因素是畸變能，在材料力學(xué)中稱為第四強(qiáng)度理論，其等效應(yīng)力考慮了3個(gè)主應(yīng)力的綜合影響，也更符合大量實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的結(jié)果。對(duì)于塑性材料，其強(qiáng)度校核結(jié)果相對(duì)于Tresca屈服條件更為精確。但Mises屈服條件并不能夠?qū)Ω呷S應(yīng)力狀態(tài)下材料易于脆斷的現(xiàn)象予以解釋[13]。雙剪強(qiáng)度理論認(rèn)為當(dāng)作用于單元體上的兩個(gè)較大主剪應(yīng)力之和達(dá)到某一極限值時(shí)，材料開(kāi)始發(fā)生屈服，俞茂宏將其表述為

(1)

此準(zhǔn)則與最大應(yīng)力偏量準(zhǔn)則等價(jià)，其表達(dá)式為

(2)

這里的si(i=1,2,3)為3個(gè)主應(yīng)力偏量分量，且σ1、σ2和σ3不按大小排列，有

(3)

如圖1(b)所示，雙剪強(qiáng)度理論(或最大偏應(yīng)力屈服條件)比Tresca強(qiáng)度理論多考慮了中間主剪應(yīng)力的影響，在不同應(yīng)力狀態(tài)下二者相差最大為33.33%。在某些應(yīng)力狀態(tài)下雙剪應(yīng)力強(qiáng)度理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好，文獻(xiàn)[14]展示了實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論預(yù)測(cè)的對(duì)比，結(jié)果顯示軟鋼、鋁合金材料實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論預(yù)測(cè)吻合良好。

1.2 身管強(qiáng)度理論及分析

身管設(shè)計(jì)壓力曲線是身管各截面在任何射擊條件下所承受的火藥燃?xì)庾畲髩毫η€，是身管強(qiáng)度設(shè)計(jì)的基本依據(jù)?；诤癖趫A筒理論得到的某身管外形示意如圖2所示。厚壁圓筒的基本假設(shè)為：形狀是理想的圓筒形；材料是均質(zhì)和各向同性的；圓筒承受的壓力垂直作用于圓筒壁表面且均勻分布；圓筒受力變形后仍保持其圓筒形，任一橫截面變形后仍為平面；壓力是靜載荷，圓筒各質(zhì)點(diǎn)均處于靜力平衡狀態(tài)。

對(duì)單筒身管，除了厚壁圓筒基本假設(shè)外，為便于對(duì)比分析又作如下假設(shè)[2]：

1)單筒身管的任一橫截面是一個(gè)內(nèi)半徑為r1、外半徑為r2的厚壁圓筒。

2)身管外表面壓力為0，由于外部大氣壓遠(yuǎn)小于火炮膛壓，一般取身管外表面壓力為0。

3)忽略身管軸向力，一般軸向力較小，對(duì)強(qiáng)度影響極微，取σz=0。

考慮軸向力時(shí)，身管彈性強(qiáng)度極限比忽略軸向力的要大，因而采用忽略軸向力的身管彈性強(qiáng)度極限公式設(shè)計(jì)出的身管，其實(shí)際能承受的壓力要比設(shè)計(jì)的大一些，設(shè)計(jì)的身管偏安全[2]。

筆者將分析不同強(qiáng)度理論下單筒身管理論彈性強(qiáng)度極限，求解所用應(yīng)力分量基于厚壁圓筒理論。

1.2.1 采用第二強(qiáng)度理論求解

強(qiáng)度條件為身管壁最大應(yīng)變?chǔ)舖ax≤εe，求得身管彈性強(qiáng)度極限PⅡ?yàn)?/p>

(4)

式中：σe為材料彈性極限；ρ為身管外徑內(nèi)徑之比，ρ=r2/r1。

1.2.2 采用第三強(qiáng)度理論求解

強(qiáng)度條件為σ1-σ3≤σe，求得身管彈性強(qiáng)度極限PⅢ為

(5)

1.2.3 采用第四強(qiáng)度理論求解

身管強(qiáng)度條件詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)[2]，求得身管彈性強(qiáng)度極限PⅣ為

(6)

1.2.4 采用雙剪強(qiáng)度理論求解

將雙剪強(qiáng)度理論應(yīng)用于身管設(shè)計(jì)，其強(qiáng)度條件為兩個(gè)不等式，根據(jù)不同應(yīng)力狀態(tài)采用不同的方程，其判斷條件為

(7)

(8)

該屈服條件應(yīng)用時(shí)，不僅要求知道主應(yīng)力的方向，而且要求判斷σ1-σ2和σ2-σ3之間的大小。

對(duì)于受內(nèi)壓的長(zhǎng)厚壁圓筒，其彈性力學(xué)解為

(9)

式中：p為內(nèi)壓；b為外半徑；a為內(nèi)半徑；υ為泊松比；E為彈性模量；Fz為軸向力；ε0為截面的軸向應(yīng)變；ρ為身管外徑和內(nèi)徑之比。

為保證σ1-σ2≥σ2-σ3，即τ12≥τ23，需σ2≤(σ1+σ3)/2，即有

(10)

整理，得

Fz≤πa2p.

(11)

根據(jù)厚壁圓筒端部條件的不同，可分條件討論：

1)厚壁圓筒兩端自由時(shí)，F(xiàn)z=0；

2)厚壁圓筒兩端封閉狀態(tài)下，F(xiàn)z=πa2p。

以上兩種極端情況均滿足式(11)，故對(duì)所有端部條件，均有σθ-σz≥σz-σr成立。此時(shí)最大主偏應(yīng)力屈服條件可表示為

2σθ-σz-σr=2σe.

(12)

代入各應(yīng)力分量表達(dá)式，整理得

(13)

由式(13)可知，在內(nèi)壁r=a處，材料首先達(dá)到彈性極限狀態(tài)，隨著內(nèi)壓的不斷增大，圓筒自內(nèi)壁面開(kāi)始，逐漸進(jìn)入彈塑性階段，塑性變形區(qū)域擴(kuò)展為一個(gè)圓環(huán)形區(qū)域，若彈塑性交界面半徑記為c，則a

將身管彈性強(qiáng)度極限記為Psj，可有下列結(jié)果：

1)當(dāng)兩端自由時(shí)，F(xiàn)z=0，有

(14)

2)當(dāng)兩端封閉時(shí)，F(xiàn)z=πa2p，有

(15)

3)當(dāng)兩端固定時(shí)，F(xiàn)z=2υπa2p，有

(16)

由以上分析可知，身管彈性強(qiáng)度極限的結(jié)果與所用的屈服條件有關(guān)。如前文所述，為了方便對(duì)比分析，忽略了身管軸向力，由參考文獻(xiàn)[2,15]知，軸向力對(duì)身管強(qiáng)度的影響極小，忽略其影響會(huì)使得設(shè)計(jì)的身管偏于安全，因而根據(jù)雙剪強(qiáng)度理論求解身管強(qiáng)度極限時(shí)需采用第1種情況的討論結(jié)果，即式(14)所代表的兩端自由情況的結(jié)果。

1.2.5 4種強(qiáng)度理論的對(duì)比分析

一般說(shuō)來(lái)，要提高火炮的威力，就需要提高身管彈性強(qiáng)度極限，由上述分析可知，對(duì)于選定的某強(qiáng)度理論，身管彈性強(qiáng)度極限的大小與身管材料和壁厚有關(guān)。4種強(qiáng)度理論對(duì)應(yīng)的彈性強(qiáng)度極限隨外徑內(nèi)徑比的變化如圖3所示。

可以看出，相同材料、相同外形尺寸的身管，其彈性強(qiáng)度極限間的關(guān)系表示為

PⅡ≥Psj≥PⅣ≥PⅢ.

(17)

參考文獻(xiàn)[2]指出，身管質(zhì)量隨ρ的增大而急劇增加，對(duì)于單筒身管而言，ρ一般不會(huì)超過(guò)2.0，不同ρ值下的實(shí)驗(yàn)值和理論計(jì)算結(jié)果如圖4所示，實(shí)驗(yàn)值數(shù)據(jù)部分引自參考文獻(xiàn)[2]，實(shí)驗(yàn)值以及強(qiáng)度理論計(jì)算值如表1所示。由前文敘述，表中列出的雙剪強(qiáng)度理論計(jì)算值根據(jù)第1種情況討論的式(14)求得。

表1 實(shí)驗(yàn)值和4種強(qiáng)度理論計(jì)算結(jié)果比較 MPa

可以看出，各強(qiáng)度理論曲線分布在實(shí)驗(yàn)值的兩側(cè)，第四強(qiáng)度理論與實(shí)驗(yàn)值吻合的最好，位于實(shí)驗(yàn)值的上方。其次是雙剪強(qiáng)度理論曲線，位于實(shí)驗(yàn)值的上方，距離實(shí)驗(yàn)值比第四強(qiáng)度理論曲線略遠(yuǎn)。第二強(qiáng)度理論和第三強(qiáng)度理論曲線分別位于實(shí)驗(yàn)值的上下兩側(cè)，均距離實(shí)驗(yàn)值較遠(yuǎn)。

對(duì)于身管武器來(lái)說(shuō)，使用安全是最重要的，因此在設(shè)計(jì)時(shí)需要選取適當(dāng)?shù)陌踩禂?shù)。第二強(qiáng)度理論曲線處于身管強(qiáng)度曲線的上界，相同材料的身管，材料比例極限相同，此時(shí)身管相應(yīng)安全系數(shù)取的最大。第三強(qiáng)度理論曲線處于身管強(qiáng)度曲線的下界，相同材料，比例極限相同，此時(shí)身管相應(yīng)安全系數(shù)取的最小。第四強(qiáng)度理論曲線和雙剪強(qiáng)度理論曲線居中，身管相應(yīng)安全系數(shù)也居中，隨身管強(qiáng)度比例確定。

假定某均質(zhì)炮鋼制作的厚壁圓筒身管，其內(nèi)徑為a，外徑為b，根據(jù)不同的強(qiáng)度理論，可以得到不同的身管外徑，第二、第三、第四強(qiáng)度理論和雙剪強(qiáng)度理論對(duì)應(yīng)的身管外徑內(nèi)徑比記為ρⅡ、ρⅢ、ρⅣ和ρsj，可分別由式(4)～(6)及式(14)求得，身管外徑內(nèi)徑比ρ隨p/σe的變化如表2所示。

表2 4種強(qiáng)度理論下的內(nèi)徑外徑比

當(dāng)身管膛壓p較高(不小于0.45σe)時(shí)，假設(shè)身管材料比例極限取為885 MPa，則膛壓p≥398.25 MPa，第三強(qiáng)度理論和第四強(qiáng)度理論求得的外徑內(nèi)徑比分別為3.162 3和2.158 6，均大于2.0，身管壁厚過(guò)厚，此時(shí)第三和第四強(qiáng)度理論不適合直接應(yīng)用于較高膛壓火炮設(shè)計(jì)。

相同內(nèi)徑、同一材料的身管，其單位長(zhǎng)度質(zhì)量可表示為

m=πa2ρpg(ρ2-1).

(18)

根據(jù)式(18)和表2進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，可得無(wú)量綱單位長(zhǎng)度身管質(zhì)量隨p/σe的變化，如圖5所示。

由圖5(b)可以看出，對(duì)于相同材料的身管，第二、雙剪、第四以及第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)的身管質(zhì)量增加量依次增大，第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)的身管質(zhì)量增加最多，第四強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)的身管質(zhì)量增加居中，雙剪強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)的身管質(zhì)量增加最少。當(dāng)p/σe為0.45，第三強(qiáng)度理論結(jié)果相對(duì)第二強(qiáng)度理論計(jì)算結(jié)果增加300%，第三強(qiáng)度理論結(jié)果相對(duì)第二強(qiáng)度理論計(jì)算結(jié)果增加63%時(shí)，由雙剪切強(qiáng)度理論計(jì)算結(jié)果相對(duì)第二強(qiáng)度理論計(jì)算結(jié)果增加量只有23%，相對(duì)而言質(zhì)量增加量最小。

1.3 安全系數(shù)的確定

一般在設(shè)計(jì)身管時(shí)，依據(jù)內(nèi)彈道曲線、膛壓及材料比例極限等參數(shù)設(shè)計(jì)身管外形，如果采用同一套安全系數(shù)，則依據(jù)不同強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)的身管具有相同的彈性強(qiáng)度極限，按第二強(qiáng)度理論、雙剪強(qiáng)度理論、第四強(qiáng)度理論、第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)的身管質(zhì)量增加量依次增大，雙剪強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)的身管質(zhì)量增加量最少，且與按第二強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)的身管相比，結(jié)構(gòu)更加安全。因此，不同的強(qiáng)度理論需要匹配相應(yīng)的安全系數(shù)，得到不同的彈性強(qiáng)度極限，最終基于不同強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)的身管外形應(yīng)基本一致。

由經(jīng)典內(nèi)彈道理論得出p-l曲線，進(jìn)而可求出平均壓力曲線p-L?？紤]計(jì)算最大壓力點(diǎn)的誤差以及裝填條件的變化會(huì)引起最大壓力點(diǎn)Lmax位置的變化，通常將最大壓力值向炮口方向延長(zhǎng)(2～3)d，以保證身管工作時(shí)安全可靠，此火炮身管平均壓力曲線如圖6所示。

為了彌補(bǔ)各強(qiáng)度理論與實(shí)際的差別，在采用不同強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)身管時(shí)，都要選用相應(yīng)的安全系數(shù)，使設(shè)計(jì)盡可能地同實(shí)際情況接近。

一般將身管分為4個(gè)不同區(qū)域：藥室部、膛線起始部、膛線中段和炮口部，各部分在設(shè)計(jì)階段的安全系數(shù)不同。由文獻(xiàn)[2]知，我國(guó)在設(shè)計(jì)身管時(shí)基于第二強(qiáng)度理論，藥室部安全系數(shù)取為1.2，膛線部安全系數(shù)取為1.35，炮口部安全系數(shù)取為2.0～2.5，中間連接部位按線性變化，如圖7(a)所示。根據(jù)身管安全系數(shù)，可求得身管能承受的最大內(nèi)壓，即身管的理論強(qiáng)度曲線，其結(jié)果如圖6所示。

根據(jù)前文所述各強(qiáng)度理論間的關(guān)系，筆者在綜合分析了23 mm航炮，30、37、57和130 mm艦炮，85 mm加農(nóng)炮，100 mm坦克炮等小、中、大口徑火炮身管的外徑內(nèi)徑比，通過(guò)取其外包絡(luò)，得到了與不同強(qiáng)度理論匹配的藥室部、膛線部以及炮口部的安全系數(shù)，中間部位按線性變化曲線連接，計(jì)算結(jié)果曲線如圖7所示。

1.4 模態(tài)分析理論概述

結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)通用運(yùn)動(dòng)方程為

(19)

模態(tài)分析以各階主振型所對(duì)應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)來(lái)代替物理坐標(biāo)，從而使微分方程解耦?；鹋谏砉艿恼駝?dòng)屬于微幅振動(dòng)，身管結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)固有頻率影響很小，可不考慮外載荷和外阻尼，方程簡(jiǎn)化為

(20)

其特征方程為

(K-ω2M)φ=0，

(21)

可求出特征值和對(duì)應(yīng)特征向量，即為身管的固有頻率和模態(tài)振型。

身管安裝在炮塔上，可近似看作是懸臂梁結(jié)構(gòu)，主要產(chǎn)生橫向、縱向和徑向振動(dòng)。影響火炮穩(wěn)定射擊精度的主要是橫向振動(dòng)，來(lái)源于撞擊、動(dòng)力作用和身管彎曲。徑向和縱向振動(dòng)對(duì)火炮的射擊穩(wěn)定性并無(wú)太大影響。其振動(dòng)的固有頻率與身管的材料、剛度以及質(zhì)量分布有關(guān)，振幅與初始條件、固有頻率相關(guān)。整個(gè)橫向振動(dòng)由基階振動(dòng)和幾個(gè)高階振動(dòng)組合而成，基階振動(dòng)的頻率低、振幅大，對(duì)火炮的射擊精度影響較大，高階振動(dòng)頻率高、振幅小，對(duì)身管射擊性能影響較小。根據(jù)有限元方法求解身管前若干階固有頻率和對(duì)應(yīng)的振型，可以分析炮口振動(dòng)形式，校核身管設(shè)計(jì)的振動(dòng)特性。

2 火炮身管有限元模型

根據(jù)前述分析，設(shè)計(jì)了某火炮身管的基本外形，再根據(jù)身管與炮尾等零件的連接裝配關(guān)系、火炮對(duì)質(zhì)量及重心的總體要求、后坐復(fù)進(jìn)的導(dǎo)向要求以及加工工藝性的要求，對(duì)身管毛坯模型進(jìn)行拉伸切除及旋轉(zhuǎn)切割等加工措施后得最終身管外形。忽略身管內(nèi)壁膛線處局部幾何特征，將身管內(nèi)壁視為光滑壁面，在此光滑內(nèi)壁上加載內(nèi)彈道平均壓力，基于大型通用有限元程序ANSYS Workbench進(jìn)行仿真分析，有限元模型加載情況示例如圖8所示，劃分后的身管有限元模型含184 568個(gè)網(wǎng)格，756 737個(gè)節(jié)點(diǎn)。約束身管與炮尾抓鉤的接觸面、身管中部貼合面，身管內(nèi)壁面載荷按照平均壓力曲線逐段加載。

身管所用材料為某型炮鋼，有限元仿真分析所用材料屬性參數(shù)如表3所示。

表3 材料屬性參數(shù)

3 有限元分析結(jié)果

3.1 有限元強(qiáng)度分析

提取身管有限元計(jì)算結(jié)果，用一個(gè)經(jīng)過(guò)身管軸線且經(jīng)過(guò)最大應(yīng)力點(diǎn)的平面剖切身管，得到身管內(nèi)壁面上經(jīng)過(guò)最大應(yīng)力點(diǎn)的4條路徑，然后將路徑上的等效應(yīng)力映射到選取的路徑上并計(jì)算相應(yīng)的安全系數(shù)。選取的身管內(nèi)壁面處的路徑上雙剪強(qiáng)度理論的等效應(yīng)力分布情況如圖9所示，4種強(qiáng)度理論沿過(guò)身管軸線剖面的有限元分析應(yīng)力分布情況如圖10所示，提取4種強(qiáng)度理論結(jié)果的等效應(yīng)力分布數(shù)據(jù)并計(jì)算安全系數(shù)，整理出的強(qiáng)度分析結(jié)果曲線如圖11所示。

4種強(qiáng)度理論對(duì)比分析結(jié)果表明，第二強(qiáng)度理論校核結(jié)果等效應(yīng)力最小，對(duì)應(yīng)的安全系數(shù)最大；第三強(qiáng)度理論校核結(jié)果等效應(yīng)力最大，對(duì)應(yīng)的安全系數(shù)最??；第四強(qiáng)度理論和雙剪強(qiáng)度理論校核結(jié)果等效應(yīng)力居中，且依次減小，對(duì)應(yīng)的安全系數(shù)也居中，且依次增加，與前述理論分析結(jié)果一致。

結(jié)合前述實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算的對(duì)比，考慮到身管毛坯材料達(dá)不到理想均勻特性，會(huì)存在細(xì)小缺陷，再加上加工誤差的存在，導(dǎo)致按第二強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)的身管強(qiáng)度余量降低，雖然其質(zhì)量最小，但身管的安全余量也下降，因此可以用來(lái)指導(dǎo)身管設(shè)計(jì)的是雙剪強(qiáng)度理論和第四強(qiáng)度理論，兩種強(qiáng)度理論都考慮了中間主應(yīng)力的影響，結(jié)構(gòu)強(qiáng)度安全余量均有所提高，但據(jù)前文計(jì)算結(jié)果及分析(圖5)，第四強(qiáng)度理論與雙剪強(qiáng)度理論相比，其身管質(zhì)量增加更多，結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增大，強(qiáng)度余量過(guò)大，結(jié)構(gòu)更保守，經(jīng)濟(jì)性下降，因此雙剪強(qiáng)度理論更適合用于指導(dǎo)身管結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

3.2 有限元振動(dòng)分析

理想情況下，希望得到一個(gè)身管結(jié)構(gòu)完整的模態(tài)集，但實(shí)際應(yīng)用中既不可能也沒(méi)必要。并非所有的模態(tài)對(duì)響應(yīng)的貢獻(xiàn)都是相同的。低階模態(tài)對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的影響較大，階數(shù)越低，影響越大，階數(shù)越高，誤差越大。對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)而言，提取前幾階或十幾階模態(tài)足夠，更高的模態(tài)常常被舍棄。這種處理方法稱為模態(tài)截?cái)郲16]。因此舍棄身管的高階模態(tài)，提取身管前8階模態(tài)的固有頻率，結(jié)果如表4所示，各階振動(dòng)的參與系數(shù)如表5所示，參與系數(shù)對(duì)應(yīng)的身管坐標(biāo)系配置如圖8所示，身管前8階模態(tài)振型如圖12所示。

表4 身管前8階模態(tài)頻率和振動(dòng)周期

由表5展示的模態(tài)振型參與系數(shù)以及圖12所示的模態(tài)振型圖可知，前8階模態(tài)振動(dòng)位移最大處均在炮口，以炮口橫向振動(dòng)以及高低和方位方向的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)為主，這種振動(dòng)將嚴(yán)重影響彈丸射出炮口的初射角，影響火炮的射擊精度。

為此在炮口典型位置沿高低方向施加500 N的掃頻集中力，頻率變化范圍0～850 Hz，在該力的作用下，炮口振動(dòng)的頻率響應(yīng)結(jié)果如圖13所示。可以看出，各階模態(tài)固有頻率的模態(tài)參與因子由低頻至高頻依次減小，前3階歸一化的幅值比值近似為32∶2∶1，第3階以上振型幅值可忽略不計(jì)。

振動(dòng)力學(xué)理論指明，當(dāng)外界激勵(lì)頻率等于固有頻率時(shí)，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生共振。但由于共振帶的存在，當(dāng)外界激勵(lì)頻率接近固有頻率時(shí)，系統(tǒng)同樣會(huì)發(fā)生共振。一般計(jì)算時(shí)，共振帶取為固有頻率的40%[17]。假設(shè)自動(dòng)機(jī)射頻為4 000～4 500 發(fā)/min，發(fā)射頻率為67～75 Hz，為了設(shè)計(jì)火炮安全起見(jiàn)，取40%的最大共振帶，得到相應(yīng)的共振帶頻率范圍為40.2～105 Hz。

表5 前8階模態(tài)振型參與系數(shù)

身管的第1階和第2階模態(tài)固有頻率在33 Hz附近，比引起身管共振的最小頻率40.2 Hz低7.2 Hz，身管產(chǎn)生低階共振的可能性很??；身管的第3階和第4階模態(tài)固有頻率在120 Hz附近，比引起身管共振的最高頻率105 Hz高15 Hz，此時(shí)身管也不會(huì)產(chǎn)生3階和4階共振；由于第4階以上的固有頻率已經(jīng)遠(yuǎn)高于身管的最高共振頻率，因此更高階的共振也不會(huì)發(fā)生，身管不會(huì)產(chǎn)生共振現(xiàn)象，炮口振動(dòng)位移小，其射擊穩(wěn)定性良好，說(shuō)明身管的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)較為合理。

4 結(jié)論

筆者通過(guò)對(duì)設(shè)計(jì)的身管進(jìn)行強(qiáng)度和振動(dòng)分析得到了如下結(jié)論：

1)身管強(qiáng)度理論不同，求得的安全系數(shù)也不同，需要采用合適的安全系數(shù)來(lái)對(duì)應(yīng)不同的強(qiáng)度理論，進(jìn)而用于指導(dǎo)身管設(shè)計(jì)。筆者根據(jù)對(duì)4種強(qiáng)度理論的分析，結(jié)合多種火炮身管外徑內(nèi)徑的關(guān)系，得到了適用第三、第四、雙剪強(qiáng)度理論的安全系數(shù)。

2)雙剪強(qiáng)度理論相對(duì)第四強(qiáng)度理論更適合身管的設(shè)計(jì)指導(dǎo)，由此理論設(shè)計(jì)的身管安全性更高，強(qiáng)度盈余較大，且身管單位長(zhǎng)度質(zhì)量增加量也相對(duì)較少，綜合考慮經(jīng)濟(jì)性、安全性較好。

3)身管振動(dòng)以炮口方向的橫向振動(dòng)為主，對(duì)射擊精度的影響較大。按照雙剪強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)的身管固有頻率離共振帶較遠(yuǎn)，避開(kāi)了射擊共振頻率范圍，射擊時(shí)不會(huì)引起身管共振現(xiàn)象的發(fā)生，身管結(jié)構(gòu)較為合理。