倪曉陽，陳 宇，盛偉敏

（浙江省杭州市育才中學(xué)）

一、項(xiàng)目學(xué)習(xí)

在全球關(guān)注終身學(xué)習(xí)和核心素養(yǎng)發(fā)展的大背景下，項(xiàng)目學(xué)習(xí)受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.它是一種學(xué)習(xí)方式，也是一種教學(xué)模式，此外還是課程設(shè)計(jì)的一種方式和更綜合化的教育實(shí)踐形態(tài).

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：綜合與實(shí)踐領(lǐng)域的教學(xué)活動，以解決實(shí)際問題為重點(diǎn)，以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主，以真實(shí)問題為載體，適當(dāng)采取主題活動或項(xiàng)目學(xué)習(xí)的方式呈現(xiàn)，通過綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法解決真實(shí)問題，著力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、實(shí)踐能力、社會擔(dān)當(dāng)?shù)染C合品質(zhì).

數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)是以數(shù)學(xué)核心知識為載體，學(xué)生通過探究性等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐，對真實(shí)、具有挑戰(zhàn)性的驅(qū)動性問題進(jìn)行探究，運(yùn)用問題解決等高階認(rèn)知策略，創(chuàng)造性地解決問題，形成公開成果，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)模式.它首先是“數(shù)學(xué)”的，體會、運(yùn)用不同學(xué)科領(lǐng)域之間的相互聯(lián)系，旨在深化學(xué)生對于數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，建立數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識與數(shù)學(xué)素養(yǎng).在項(xiàng)目學(xué)習(xí)過程中，要關(guān)注情境真實(shí)性、任務(wù)挑戰(zhàn)性、過程完整性、成果創(chuàng)造性，基于核心素養(yǎng)開展項(xiàng)目學(xué)習(xí).

二、項(xiàng)目學(xué)習(xí)主題設(shè)計(jì)分析

1.學(xué)習(xí)主題成因分析

本課題源自真實(shí)情境中的問題思考，為了能夠自己制作用于計(jì)時的日晷，需要研究日晷中的共同原理.過程中要結(jié)合跨學(xué)科知識，研究水平式日晷和赤道式日晷間的要素配置，進(jìn)而搭建數(shù)學(xué)模型，研究兩類日晷之間的聯(lián)系.這是從生活實(shí)際抽象出數(shù)學(xué)的過程，通過將學(xué)科知識整合到模型建構(gòu)中，提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)和學(xué)習(xí)能力.在模型求解過程中，涉及立體幾何內(nèi)容，學(xué)生需圍繞富有挑戰(zhàn)性的驅(qū)動性問題展開探究，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)用高階認(rèn)知策略，提升學(xué)生的思維深度.通過模型應(yīng)用過程，使得整個項(xiàng)目學(xué)習(xí)過程具有完整性，讓學(xué)生能經(jīng)歷一次完整、有意義、有實(shí)效性的學(xué)習(xí).

學(xué)習(xí)活動從認(rèn)識日晷，確定水平式、赤道式日晷為重點(diǎn)研究對象，考慮其中所涉及的晷針、晷面、水平面與當(dāng)?shù)鼐暥鹊纫蛩?，從兩類日晷通性角度探究發(fā)展中的數(shù)學(xué)原理，到確定水平式日晷晷面設(shè)計(jì)，再到水平式、赤道式日晷的制作.日晷中的原理研究是三角函數(shù)、立體幾何知識的應(yīng)用；日晷的設(shè)計(jì)、制作需要用到投影、三角函數(shù)、幾何作圖等知識；日晷放置、緯度因素分析及日晷使用涉及地理學(xué)科中的黃赤交角、地球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)等.基于以上分析，本學(xué)習(xí)活動將跨數(shù)學(xué)、地理、科學(xué)這三門學(xué)科.

2.項(xiàng)目學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計(jì)

“探尋日晷中的數(shù)學(xué)”是一個綜合性項(xiàng)目課程，通過本課程的學(xué)習(xí)，能切實(shí)地為學(xué)生綜合能力提升與終身發(fā)展提供幫助.本項(xiàng)目學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計(jì)如下.

（1）通過查閱文獻(xiàn)資料、使用互聯(lián)網(wǎng)查詢等，認(rèn)識日晷，并了解水平式日晷、赤道式日晷的相關(guān)知識；

（2）結(jié)合跨學(xué)科知識對日晷組成結(jié)構(gòu)、日晷放置結(jié)構(gòu)、晷面刻度等要素的分析，抽象出數(shù)學(xué)圖形，提升從實(shí)際情境中抽象出學(xué)科問題的能力；

（3）經(jīng)歷日晷立體模型建構(gòu)的過程，提出、分析和解決數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，在探究數(shù)學(xué)原理的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；

（4）經(jīng)歷提出問題、搭建模型、求解模型、應(yīng)用模型的過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識；

（5）通過水平式日晷和赤道式日晷晷面設(shè)計(jì)、日晷制作與實(shí)踐的過程，對知識進(jìn)行綜合運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的綜合實(shí)踐能力與創(chuàng)新能力.

3.項(xiàng)目學(xué)習(xí)形式設(shè)計(jì)

本項(xiàng)目以數(shù)學(xué)核心知識為載體，活動由數(shù)學(xué)教師主導(dǎo)，學(xué)習(xí)中涉及跨學(xué)科知識，可由數(shù)學(xué)和地理學(xué)科兩位教師協(xié)作完成教學(xué)，根據(jù)學(xué)習(xí)需要，對學(xué)生項(xiàng)目學(xué)習(xí)活動進(jìn)行指導(dǎo)，解決學(xué)生在探究過程中遇到的困難.具體過程如圖1所示.

圖1 項(xiàng)目學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)圖

鼓勵學(xué)生以小組合作的形式，親歷探究、合作、交流、反思的過程，從課內(nèi)到課外，完成資料查閱、探索原理、操作實(shí)踐、交流反思、總結(jié)提升等學(xué)習(xí)任務(wù).

三、學(xué)習(xí)活動內(nèi)容設(shè)計(jì)

1.學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)

學(xué)習(xí)過程中要引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，并在解決問題的過程中去發(fā)現(xiàn)新問題.學(xué)習(xí)活動通過驅(qū)動性任務(wù)來組織學(xué)習(xí)，進(jìn)行如圖2所示的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì).

圖2 學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

2.學(xué)習(xí)過程

本項(xiàng)目的學(xué)習(xí)過程設(shè)計(jì)如表1所示.

表1 學(xué)習(xí)過程設(shè)計(jì)

四、學(xué)習(xí)評價設(shè)計(jì)分析

根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)和內(nèi)容，設(shè)計(jì)如表2所示的評價量表.

表2 學(xué)生項(xiàng)目學(xué)習(xí)活動評價量表

續(xù)表

五、關(guān)鍵教學(xué)事件與課堂實(shí)踐

以下是對“項(xiàng)目學(xué)習(xí)過程2：運(yùn)用知識、探究原理”進(jìn)行的課堂實(shí)踐.

情境引入：（教師展示日晷實(shí)物）看到老師制作的水平式日晷和赤道式日晷，同學(xué)們想不想自己動手制作呢？

活動1：確定問題

問題1：要制作水平式日晷、赤道式日晷，需要確定的關(guān)鍵問題是什么？

引導(dǎo)學(xué)生回答：（1）日晷的種類；（2）日晷的放置；（3）晷面的設(shè)計(jì).

追問1：水平式日晷晷面刻度與12點(diǎn)刻度之間的夾角如何確定？

追問2：如何用數(shù)學(xué)的方法解決這些問題？

師生活動：學(xué)生要制作日晷，需要先把問題分解，解決簡單問題（如赤道式日晷晷面可以先畫一個圓，然后用量角器將圓二十四等分畫15°）后，然后再聚焦難點(diǎn)（水平日晷晷面刻度與12點(diǎn)刻度之間的夾角如何確定？與赤道式日晷晷面為均勻的15°角有關(guān)系嗎？），教師和學(xué)生一起分析問題，助力學(xué)生完成從實(shí)際情境抽象出數(shù)學(xué)問題的過程.

【設(shè)計(jì)意圖】通過本環(huán)節(jié)的問題梳理，確定本節(jié)課所要研究的關(guān)鍵問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)核心知識來解決關(guān)鍵問題.

活動2：搭建模型

模擬太陽光線下，同一地點(diǎn)、同一時刻，晷針在兩種日晷晷面的投影，如圖3、圖4所示.

如圖3，OP是水平式日晷的晷針，與水平地面（即水平式日晷晷面）成α度（緯度），OD為正午12點(diǎn)的影子方向.經(jīng)過n小時后，影子轉(zhuǎn)過的角度為∠DODn，記為θ，無法得到具體值.

圖3

如圖4，將赤道式日晷置于同一地點(diǎn)，晷針與OP重合，晷面⊙P切地面于點(diǎn)D，PD為正午12點(diǎn)赤道式日晷晷針影子方向.經(jīng)過n小時后，影子轉(zhuǎn)過的角度為∠DPC，記為β=15n.

圖4

由于兩種日晷的晷針與地面的夾角為α，不妨讓兩種日晷的晷針重合，將兩個立體圖擬合，如圖5所示.經(jīng)過n小時后，兩種日晷對應(yīng)的時刻是一樣的，所以延長PC到地面，與點(diǎn)Dn重合.

圖5

師生活動：此環(huán)節(jié)中，學(xué)生面對的挑戰(zhàn)是理解經(jīng)過n小時后晷針影子的轉(zhuǎn)動過程，以及兩個立體圖的擬合過程.學(xué)生可利用實(shí)物模型進(jìn)行模擬，并借助手電筒演示以理解晷針影子延長線交于一點(diǎn)，逐步構(gòu)建空間結(jié)構(gòu)，在立體圖形中探索關(guān)系.教師及時鼓勵并加以指導(dǎo)，與學(xué)生共同形成解決問題的關(guān)鍵步驟.

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)定同一緯度、同一時間的條件，控制變量，為探究兩種日晷投影角度與時間的關(guān)系搭建模型基礎(chǔ).讓學(xué)生經(jīng)歷日晷立體模型建構(gòu)的過程，結(jié)合跨學(xué)科知識提出并分析數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力和問題意識.

活動3：求解模型

問題2：如何確定θ？α，β，θ之間有關(guān)系嗎？

引導(dǎo)學(xué)生回答：已知量：α（查詢了解當(dāng)?shù)鼐暥龋?15n；未知量：θ的值.

教師將問題分解：（1）△OPD，△PDDn，△ODDn是什么三角形？

（2）以上三個三角形有哪些邊角關(guān)系？

（3）α，β，θ的關(guān)系是什么？

學(xué)生小組討論與交流：（1）發(fā)現(xiàn)△POD，△PDDn，△ODDn是直角三角形.

（2）借助三角函數(shù)可以建立α，β，θ與邊PD，OD，DDn之間的關(guān)聯(lián).

（3）推導(dǎo)得出α，β，θ之間的關(guān)系.

模型求解：如圖5，在Rt△POD中，∠OPD是直角，所以.

在Rt△PDDn中，∠PDDn是直角，所以.

在Rt△ODDn中，∠ODDn是直角，.

所以tanθ=sinαtanβ.

師生活動：學(xué)生借助實(shí)物模型理解立體結(jié)構(gòu)中三個平面上的直角三角形，教師可以根據(jù)實(shí)際情況用高中數(shù)學(xué)立體幾何中的位置關(guān)系的知識加以解釋.部分學(xué)生在立體圖形中三個平面的三個直角三角形中找到邊角關(guān)系，得到α，β，θ之間的關(guān)系.也有部分學(xué)生降維思考，將立體圖形展開成平面圖形，在平面上研究α，β，θ之間的關(guān)系.如圖6，△PDDn與△P′DDn全等，所以P′D=PD，P′Dn=PDn.由此，可以驗(yàn)證tanθ=sinαtanβ的模型在平面中仍然成立.

圖6

【設(shè)計(jì)意圖】由于搭建的模型是立體圖形，對于初中學(xué)生來說有較大難度.將關(guān)鍵問題分解，借助實(shí)物模型引導(dǎo)，有助于學(xué)生理解.指導(dǎo)學(xué)生將立體圖形展開成平面圖形降維思考，利用解決平面圖形問題的方法來解決立體圖形中的關(guān)系問題.在探究數(shù)學(xué)原理的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，使學(xué)生用數(shù)學(xué)方法嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厍蠼饽Ｐ停诜e極探索和合作交流中促進(jìn)深度思維.

活動4：應(yīng)用模型

問題3：杭州位于北緯30°（α=30°），β分別取15°，30°，45°，60°，75°，你能確定θ嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生使用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算.

追問：算出θ，那么刻度線ODn也就確定，水平式日晷的晷面刻度也就可以完成.如果不借助計(jì)算器，還有其他方法嗎？

引導(dǎo)學(xué)生回答：利用幾何作圖完成.根據(jù)平面圖可以直接進(jìn)行幾何作圖.

學(xué)生活動：利用尺規(guī)進(jìn)行幾何作圖，設(shè)計(jì)制作日晷晷面.

教師活動：充分肯定學(xué)生得到的結(jié)論，在學(xué)生的生成下總結(jié)幾何作圖方法，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行幾何作圖，完成設(shè)計(jì)與制作.

預(yù)設(shè)學(xué)生幾何作圖：①利用OD和sinα來確定PD，即P′D的長度，確定⊙P′（如圖7）；

圖7

②作出15°角，并畫出刻度線P′Dn（如圖8）；

圖8

③連接ODn，確定水平式晷面刻度與12點(diǎn)刻度之間的角度（如圖9）；

圖9

④完成部分晷面刻度設(shè)計(jì)（如圖10）；

圖10

⑤完成晷面設(shè)計(jì)（如圖11）.

圖11

拓展問題：設(shè)計(jì)制作水平式日晷和赤道式日晷的晷面（以杭州位于北緯30°為例）.

師生活動：在探尋出日晷中的數(shù)學(xué)原理后，應(yīng)用求解的數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)、制作出日晷的晷面進(jìn)行小組交流分享.教師指導(dǎo)并對學(xué)生作品進(jìn)行展示，鼓勵學(xué)生進(jìn)一步實(shí)踐.

【設(shè)計(jì)意圖】通過水平式日晷和赤道式日晷晷面設(shè)計(jì)的過程，對知識進(jìn)行綜合運(yùn)用，在鞏固學(xué)習(xí)成果的同時，培養(yǎng)學(xué)生綜合實(shí)踐能力與創(chuàng)新能力.

活動5：總結(jié)反思

師生活動：本節(jié)課經(jīng)歷了從水平式日晷到赤道式日晷的演變原理的探索后，教師提出如何從數(shù)學(xué)角度反思我們學(xué)習(xí)過程中運(yùn)用的知識與方法.學(xué)生總結(jié)相關(guān)知識，并歸納問題的解決方法.

教師布置本節(jié)課的任務(wù)如下.

任務(wù)1：優(yōu)化設(shè)計(jì)，制作完整的水平式日晷、赤道式日晷；

任務(wù)2：使用日晷計(jì)時，思考模型計(jì)時的使用精確度如何提升；

任務(wù)3：探索垂直式日晷與水平式日晷、赤道式日晷的聯(lián)系（數(shù)學(xué)原理）.

師生活動：學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)活動經(jīng)歷，總結(jié)數(shù)學(xué)原理探索中運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法，對涉及的知識進(jìn)行系統(tǒng)的整理.教師在學(xué)生總結(jié)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深化知識.教師鼓勵學(xué)生再學(xué)習(xí)、再實(shí)踐，將成品再優(yōu)化、方法再推廣.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生經(jīng)歷了提出問題、搭建模型、求解模型、應(yīng)用模型的過程，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)建模意識；通過對學(xué)習(xí)活動中運(yùn)用的知識與方法的總結(jié)，鞏固學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生理解遇到問題時，如何運(yùn)用數(shù)學(xué)核心知識和數(shù)學(xué)方法來解決，并將課堂成果進(jìn)行后續(xù)延伸.通過日晷的再研究、再實(shí)踐，形成更有價值、有思考的跨學(xué)科研究性學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和學(xué)科綜合素養(yǎng)，發(fā)展創(chuàng)新意識與實(shí)踐能力.

六、教學(xué)反思

1.實(shí)施效果

與傳統(tǒng)教學(xué)相比，本項(xiàng)目學(xué)習(xí)活動更加突出學(xué)生的主體作用.整個項(xiàng)目的實(shí)施，不僅需要學(xué)生根據(jù)實(shí)際情境提出問題，還需要小組之間的通力合作.學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)原理探究之前，要先進(jìn)行文獻(xiàn)材料的整理，在認(rèn)識日晷并了解計(jì)時原理的過程中，學(xué)生主動尋求跨學(xué)科教師的幫助，本項(xiàng)目學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)和地理學(xué)科兩位教師的配合、參與，隨時為學(xué)生提供幫助.學(xué)生能夠在此環(huán)節(jié)經(jīng)歷自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)的過程.在探究數(shù)學(xué)原理的過程中，借助日晷模型的演示，學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)模型.應(yīng)用控制變量的方法，把兩種日晷放在一起研究，是打開學(xué)生探究思路的關(guān)鍵，也是探究過程中的難點(diǎn)，此時教師給予學(xué)生極大的幫助，并與學(xué)生一起構(gòu)建模型.在立體幾何的輔助下，學(xué)生快速求解了模型，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)原理，得到了極大的鼓舞，激發(fā)了學(xué)生更強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣.不僅如此，還有學(xué)生能夠跳出立體圖形的模型束縛，繼續(xù)探索出通過展開的方式可以將立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形來研究，并且總結(jié)了設(shè)計(jì)晷面的幾何作圖方法，使學(xué)生獲得了極大的成就感.用實(shí)踐任務(wù)驅(qū)動學(xué)生講理論原理并進(jìn)行應(yīng)用的過程中，學(xué)生也創(chuàng)造了許多好的作品.整個項(xiàng)目學(xué)習(xí)的開展，打開了師生對于知識教學(xué)、運(yùn)用的新思路.

2.反思調(diào)整

本項(xiàng)目學(xué)習(xí)需要調(diào)用學(xué)生較為陌生的跨學(xué)科知識，對于這部分知識內(nèi)容的滲透需要采用更具指導(dǎo)性的方式.另外，對于項(xiàng)目成果，需要給學(xué)生更充分的實(shí)踐機(jī)會，允許學(xué)生在形成更精細(xì)的實(shí)物成品后，再進(jìn)行項(xiàng)目的總結(jié)、提升，給學(xué)生時間和空間，可以通過實(shí)踐對現(xiàn)有理論進(jìn)行完善、優(yōu)化與推廣.

具體到“數(shù)學(xué)原理探究”這一過程，對于課堂中的問題是不是還有繼續(xù)分解的空間，從而讓學(xué)生有更明確的指向性.例如，模型搭建的過程中所涉及的控制變量分析可以借助真實(shí)性場景試驗(yàn)，讓學(xué)生直觀地完成對模型的基本分析.另外，利用本節(jié)課學(xué)到的方法，制作完成水平式日晷、赤道式日晷，在使用計(jì)時時是否準(zhǔn)確呢？除了緯度之外，還有哪些因素會影響到日晷計(jì)時精度呢？在人類社會發(fā)展中，除了水平式日晷、赤道式日晷之外，還有垂直式日晷等不同種類的日晷，這些日晷中又含有哪些數(shù)學(xué)原理呢？在項(xiàng)目學(xué)習(xí)的反思實(shí)踐中，師生可以對這些問題進(jìn)行持續(xù)研究.

在項(xiàng)目學(xué)習(xí)活動設(shè)計(jì)中，要更加關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的全過程，選擇最合適的時機(jī)啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生像數(shù)學(xué)學(xué)科專家那樣思考、探索、解決問題，能夠系統(tǒng)組織，完整地去做成一件事，從中將習(xí)得的知識和技能凝練為自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)會在新的情境中進(jìn)行再遷移，并進(jìn)行創(chuàng)造性應(yīng)用.

七、課例評析

“日晷中的數(shù)學(xué)”項(xiàng)目選自浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級下冊“3.1投影”中的設(shè)計(jì)題，旨在引導(dǎo)學(xué)生收集我國古代有關(guān)日晷的歷史資料，探索用日晷測定時刻的數(shù)學(xué)原理.該項(xiàng)目可以深化學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的理解，建立數(shù)學(xué)與地理的跨學(xué)科聯(lián)系，發(fā)展應(yīng)用意識.現(xiàn)從項(xiàng)目的可行性、豐富性、創(chuàng)造性和可優(yōu)化性等角度進(jìn)行評析.

1.項(xiàng)目的可行性

數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)是學(xué)生在一段時間內(nèi)對數(shù)學(xué)和跨學(xué)科有關(guān)的驅(qū)動性問題深入、持續(xù)地探索.在調(diào)動學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)和跨學(xué)科知識、能力、品質(zhì)等創(chuàng)造性地解決問題、形成公開成果的過程中，使學(xué)生形成對核心知識和學(xué)習(xí)歷程的深刻理解，能夠在新情境中進(jìn)行遷移.該項(xiàng)目所涉及的現(xiàn)實(shí)問題是制作日晷并用于實(shí)踐計(jì)時，這不得不了解日晷中所涉及的地理知識，探索計(jì)時的數(shù)學(xué)原理.這一現(xiàn)實(shí)的驅(qū)動性問題來源于學(xué)生，讓學(xué)生研究自己感興趣的問題，給學(xué)生提出問題的機(jī)會.情境具有真實(shí)性，任務(wù)具有內(nèi)源性.教師作為項(xiàng)目學(xué)習(xí)的支架，幫助學(xué)生分解問題，聚焦關(guān)鍵問題，包括日晷的放置和晷面設(shè)計(jì)，問題解決需要將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生提出合理假設(shè)、預(yù)測結(jié)果、選擇合適的數(shù)學(xué)方法，對用數(shù)學(xué)模型表達(dá)條件與結(jié)果之間的關(guān)系有清晰的認(rèn)識.因此，學(xué)生充分調(diào)動已有知識，進(jìn)行模型的構(gòu)建、模型的求解、模型的應(yīng)用，從而創(chuàng)造性地解決問題.從整個項(xiàng)目學(xué)習(xí)過程來看，以問題解決為主線，以做項(xiàng)目為明線，貫穿始終.從項(xiàng)目學(xué)習(xí)結(jié)果來看，學(xué)生可以最終形成真實(shí)產(chǎn)品，將理論與實(shí)踐相結(jié)合，多維度展示學(xué)習(xí)成果，體現(xiàn)了該項(xiàng)目學(xué)習(xí)的可行性.

2.項(xiàng)目的豐富性

新時代基礎(chǔ)教育課程改革的主旨是，改變課程結(jié)構(gòu)過于強(qiáng)調(diào)學(xué)科本位、科目過多和缺乏整合的現(xiàn)狀，設(shè)置綜合課程，淡化學(xué)科界限，強(qiáng)調(diào)學(xué)科間的聯(lián)系與綜合.一個好的跨學(xué)科項(xiàng)目應(yīng)該盡可能地讓學(xué)生發(fā)展批判性思維、科學(xué)精神，形成問題解決能力.項(xiàng)目學(xué)習(xí)還原了學(xué)習(xí)的本質(zhì)，這種基于真實(shí)情境的學(xué)習(xí)能促進(jìn)學(xué)生對信息問題的敏感性、對知識學(xué)習(xí)的掌控力、對問題求解的思考力.同時，更多地應(yīng)利用學(xué)校的教育資源，在課程的項(xiàng)目設(shè)計(jì)中盡可能地增加課程的豐富性.本次筆者所在學(xué)校推出的數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)“探尋日晷中的數(shù)學(xué)”便是一個很好的跨學(xué)科項(xiàng)目學(xué)習(xí)案例.日晷，本義是指太陽的影子.現(xiàn)代的“日晷”指的是人類古代利用日影測得時刻的一種計(jì)時儀器，又稱“日規(guī)”.其原理就是利用太陽的投影方向來測定并劃分時刻，通常由晷針（表）和晷面（帶刻度的表座）組成.因此，該項(xiàng)目涵蓋了地理、科學(xué)、數(shù)學(xué)等學(xué)科.本次項(xiàng)目活動強(qiáng)調(diào)促進(jìn)不同學(xué)科之間、各學(xué)科與學(xué)科系統(tǒng)之間在相互理解、相互促進(jìn)中的“進(jìn)化”，形成更有利于學(xué)生整體把握課程內(nèi)容的新的教學(xué)方式和課程板塊，并促進(jìn)各學(xué)科教師在思想碰撞后的“專業(yè)進(jìn)化”，加速教師專業(yè)的創(chuàng)新發(fā)展.本次項(xiàng)目學(xué)習(xí)解決問題的核心是解直角三角形與三角函數(shù)的理解、運(yùn)用.教師靈活地引導(dǎo)學(xué)生將日晷抽象成數(shù)學(xué)圖形并實(shí)現(xiàn)降維，給學(xué)生搭建了解決問題的腳手架.學(xué)生能夠批判性地學(xué)習(xí)新的思想和事實(shí)，將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，而且能夠在眾多思想間進(jìn)行聯(lián)系，將已有的知識遷移到新的情境中，做出決策并解決問題，發(fā)展高階思維能力，實(shí)現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí).

3.項(xiàng)目的創(chuàng)造性

隨著課程改革的深化，在學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的背景下，項(xiàng)目學(xué)習(xí)要發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.在項(xiàng)目教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生有一種新奇感，并且對新東西善于聯(lián)想，是進(jìn)行“創(chuàng)造性學(xué)習(xí)”的好素材.在本次項(xiàng)目學(xué)習(xí)中，學(xué)生對于水平式日晷與地平式日晷的刻度是否均勻產(chǎn)生了強(qiáng)烈的興趣.教師引導(dǎo)學(xué)生猜想投影角度與投影面的關(guān)系，學(xué)生進(jìn)行一系列具有邏輯因果關(guān)系的想象.這樣的方式改善了學(xué)生的思維空間，實(shí)現(xiàn)了認(rèn)知能力的突破和飛躍，促進(jìn)學(xué)生想象能力的不斷增長，這樣就讓學(xué)生進(jìn)行了創(chuàng)造性學(xué)習(xí)，提高了分析問題、解決問題的能力.學(xué)生在理解日晷的原理后，用自己的方式制作了各式各樣的日晷.項(xiàng)目學(xué)習(xí)的主體是學(xué)生，學(xué)生在項(xiàng)目學(xué)習(xí)中自主選擇學(xué)習(xí)方式，并通過團(tuán)隊(duì)合作發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，最后展示學(xué)習(xí)成果.在探索日晷，理解其原理的過程中，學(xué)生會有新發(fā)現(xiàn)、新創(chuàng)造、新成果，創(chuàng)造性思維也會被激發(fā).整個項(xiàng)目學(xué)習(xí)過程凸顯了學(xué)生的自主性、合作性、創(chuàng)造性.學(xué)生在學(xué)習(xí)中不斷碰撞出思維的火花，結(jié)出創(chuàng)新的果實(shí).

4.項(xiàng)目的可優(yōu)化性

該項(xiàng)目學(xué)習(xí)以跨學(xué)科的方式，實(shí)施過程中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的角度，運(yùn)用知識、獲取技能、培養(yǎng)能力，體驗(yàn)問題解決的路徑和形成問題解決的方法，在課堂上落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).但在模型的搭建、求解和應(yīng)用的探究過程中，數(shù)學(xué)味重、難度大，建議教師以問題串的形式給學(xué)生搭好腳手架，明確問題的指向，克服難點(diǎn).然后放手讓學(xué)生去做，積極探究，交流合作，讓學(xué)生在研究中有所成長.最終成品的展示是水平式日晷和赤道式日晷的制作，多維度進(jìn)行評價，建議教師設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)過程的項(xiàng)目評價表：參加這個項(xiàng)目活動的興趣；資料收集、整理、分析的能力；數(shù)學(xué)推理、建模的能力；與同學(xué)的交流、合作能力；設(shè)計(jì)、操作、實(shí)踐能力；感受數(shù)學(xué)美的能力.設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)結(jié)果的項(xiàng)目評價表：穩(wěn)定性、美觀性、準(zhǔn)確性，實(shí)踐計(jì)時的精確性.尤其是精確性，引導(dǎo)學(xué)生可以再探究影響日晷計(jì)時精確度的因素.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出：項(xiàng)目學(xué)習(xí)教學(xué)以用數(shù)學(xué)方法解決現(xiàn)實(shí)問題為主，其目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、解決現(xiàn)實(shí)問題的關(guān)鍵要素，用數(shù)學(xué)的思維分析要素之間的關(guān)系并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)模型觀念，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的過程，培養(yǎng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.因此，“探尋日晷中的數(shù)學(xué)”是一節(jié)優(yōu)質(zhì)的可供大家參考、借鑒的項(xiàng)目學(xué)習(xí)案例.