束梓豪 龐啟龍 況良杰

1.南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，南京，2100372.上海市質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)技術(shù)研究院，上海，200000

0 引言

KH2PO4(KDP)是一種具有優(yōu)越性能的電光非線性光學(xué)晶體，作為重要的光學(xué)元件廣泛運(yùn)用于高功率激光系統(tǒng)、慣性約束核聚變等領(lǐng)域[1-6]。當(dāng)超過(guò)KDP晶體的激光損傷閾值后，可能會(huì)出現(xiàn)一系列光學(xué)損傷現(xiàn)象，如燒蝕、熔融和熱損傷等，甚至直接造成晶體的破壞[7-9]。通常認(rèn)為，KDP晶體的光學(xué)損傷閾值受晶體亞表層結(jié)構(gòu)和成分的影響，例如點(diǎn)缺陷、位錯(cuò)以及晶體內(nèi)的雜質(zhì)如金屬離子、有機(jī)物、培育晶體的環(huán)境和籽晶等[10-15]。近年來(lái)，研究人員發(fā)現(xiàn)表面形貌特征也會(huì)對(duì)KDP晶體的光學(xué)損傷閾值產(chǎn)生一定的影響，如超精密單點(diǎn)金剛石飛刀切削加工的KDP晶體表面上所存在的沿切割方向的中頻波紋度誤差會(huì)引起晶體折射率畸變和相位失配，導(dǎo)致其激光損傷閾值降低[16-21]。

準(zhǔn)確提取已加工表面的形貌特征有利于進(jìn)一步分析其對(duì)材料性能的影響。目前，常用的表面形貌分析方法有功率譜密度、分形方法和小波方法等。PRABHAKAR等[22]通過(guò)傅里葉變換和離散小波變換測(cè)量了銑削部件的表面粗糙度。石愛娟等[23]采用小波分析了經(jīng)磨削加工后的復(fù)雜表面。王貴林[24]采用功率譜密度方法分析了經(jīng)超精密車削加工后的KDP晶體的加工特征和誤差形態(tài)。CHENG等[25]利用傅里葉膜法研究了經(jīng)過(guò)單點(diǎn)金剛石飛切后KDP晶體表面不同形狀的劃痕對(duì)激光損傷閾值的影響。國(guó)內(nèi)外研究者發(fā)現(xiàn)已加工表面的形貌特征對(duì)其光學(xué)性能的影響的主要因素有表面頻率、表面劃痕和表面裂紋等。陳明君等[26]研究了經(jīng)過(guò)單點(diǎn)金剛石銑削后KDP晶體表面的小尺度波紋對(duì)晶體能量透過(guò)率和抗激光損傷性的影響，發(fā)現(xiàn)小尺度波紋波長(zhǎng)對(duì)衍射效率的影響穩(wěn)定，但幅值對(duì)光強(qiáng)分布有較大的調(diào)制作用，導(dǎo)致吸收和反射效應(yīng)增強(qiáng)。任寰等[27]研究了高功率激光系統(tǒng)的表面劃痕型缺陷對(duì)其光場(chǎng)質(zhì)量的影響，發(fā)現(xiàn)隨著劃痕長(zhǎng)度、寬度和深度的增加，元件亞表層以及傳輸光場(chǎng)的峰值強(qiáng)度和對(duì)比度均會(huì)增強(qiáng)，光束近場(chǎng)的光強(qiáng)對(duì)比度也會(huì)略微增大。YANG等[28]進(jìn)行激光損傷試驗(yàn)，并觀察了KDP晶體表面的激光損傷形貌，發(fā)現(xiàn)KDP晶體表面的橫向裂紋是導(dǎo)致KDP晶體激光損傷的主要原因。CHENG等[29]研究了KDP晶體光學(xué)材料的微銑削修復(fù)過(guò)程中表面殘留刀痕對(duì)其光學(xué)性能的影響，發(fā)現(xiàn)光強(qiáng)度取決于刀痕的周期和殘留高度。LIU等[30]分析了微球頭銑削過(guò)程中刀痕的周期和剩余高度對(duì)KDP光學(xué)元件內(nèi)部光增強(qiáng)的影響，發(fā)現(xiàn)光的增強(qiáng)周期與刀痕的周期密切相關(guān)，刀痕的周期越大，光增強(qiáng)的密度越小，激光損壞的可能性就越小。CHENG等[31]使用傅里葉膜法探究了通過(guò)金剛石加工的高質(zhì)量KDP晶體表面的劃痕特征對(duì)其損傷閾值的影響，發(fā)現(xiàn)在存在2.5 μm寬度和0.1 μm深度表面劃痕的情況下，閾值強(qiáng)度將從132 TW/cm2降至102 TW/cm2。

綜上可知，目前研究表面頻率特征對(duì)光學(xué)材料光學(xué)性能的影響時(shí)，計(jì)算所使用的頻率特征大多是理想頻率特征，與表面形貌中客觀存在的實(shí)際頻率特征關(guān)聯(lián)度較小，會(huì)使分析結(jié)果產(chǎn)生一定程度上的誤差。并且分析表面頻率特征時(shí)所采用的方式大多是離散小波變換，無(wú)法提取任意頻率段的頻率特征。為更加真實(shí)準(zhǔn)確地分析KDP晶體表面頻率特征對(duì)其溫度場(chǎng)的影響，本文采用連續(xù)小波變換提取和重構(gòu)KDP晶體已加工表面上實(shí)際存在的任意頻率特征，并基于波動(dòng)光學(xué)理論分析其對(duì)KDP晶體亞表層光場(chǎng)和溫度場(chǎng)分布的影響規(guī)律，為優(yōu)化實(shí)際加工參數(shù)以獲得具有更高激光損傷閾值的KDP晶體元件提供借鑒。

1 實(shí)驗(yàn)與方法

1.1 切削實(shí)驗(yàn)

利用單點(diǎn)金剛石飛刀切削方法對(duì)KDP晶體進(jìn)行加工以獲得晶體表面形貌信息，具體切削參數(shù)及刀具參數(shù)見表1。

表1 切削參數(shù)和刀具參數(shù)

本文采用白光干涉儀對(duì)加工后的KDP晶體表面進(jìn)行測(cè)量，取樣面積為360 μm×360 μm，取樣點(diǎn)數(shù)256×256，取樣周期Δ=1.412 μm/pixel。獲得的KDP晶體已加工表面的三維表面形貌和提取的二維輪廓分別如圖1a和圖1b所示。

(a)KDP晶體已加工表面三維形貌

(b)KDP晶體已加工表面二維輪廓圖1 輪廓信息Fig.1 Profile information

1.2 表面實(shí)際頻率特征提取重構(gòu)方法

利用功率譜密度(power spectral density，PSD)方法對(duì)表面微觀形貌進(jìn)行定量頻譜描述。PSD一維形式為

(1)

式中，f為空間頻率；L為取樣長(zhǎng)度；z(f,L) 為二維輪廓數(shù)據(jù)z(x)的傅里葉變換。

根據(jù)PSD獲取的結(jié)果，可以分析表面上可能存在的頻率特征，再采用連續(xù)小波變換(continuous wavelet transform, CWT)方法，利用提取出的表面實(shí)際頻率特征進(jìn)行重構(gòu)。連續(xù)小波的定義式為

(2)

(3)

式中，Wψ為由ψ(x)確定的連續(xù)小波系數(shù)，ψ(x) 為本文中的Mexh小波基；f(x) 為原始信號(hào)；p為比例因子；b為平移因子(本文中b=0)。

連續(xù)小波變換的尺度因子a可表示為小波基與特定頻率之間的關(guān)系，在表面微觀形貌上，對(duì)頻率特征進(jìn)行小波分析時(shí)，需確定a的取值，其計(jì)算公式為

(4)

其中，fc為Mexh小波基中心頻率(fc=0.25)；Δ為測(cè)量?jī)x器的采樣周期；fs為實(shí)際頻率特征的中心頻率，與實(shí)際頻率特征關(guān)系為

fs=2fL/N

(5)

式中，f為表面的實(shí)際頻率特征；N為采樣邊界長(zhǎng)度上的采樣點(diǎn)數(shù)目。

小波系數(shù)是連續(xù)小波變換的結(jié)果，它表示原信號(hào)與小波基函數(shù)的相似性，但與實(shí)際頻率的表面輪廓并無(wú)關(guān)系。實(shí)際頻率的二維輪廓需重構(gòu)小波系數(shù)，其定義式為

(6)

式中，Cψ為允許性條件；f(t)為實(shí)際頻率特征的重構(gòu)輪廓信號(hào)。

2 光場(chǎng)及溫度場(chǎng)的仿真模型

根據(jù)功率譜密度和連續(xù)小波的計(jì)算結(jié)果所獲得的表面頻率特征對(duì)光場(chǎng)和溫度場(chǎng)的仿真示意圖見圖2。

圖2 表面頻率對(duì)溫度場(chǎng)影響的分析模型Fig.2 Analysis model for simulating the influence of frequency features on temperature field

激光束在晶體亞表層傳播的平面波方程可表示為

(7)

(8)

其中，n為折射率；J為電流密度。激光束在晶體亞表層的熱傳導(dǎo)方程可表示為

(9)

式中，ρ為密度；c為質(zhì)量熱容；T為溫度；t為時(shí)間；z為z軸方向坐標(biāo)；k為熱導(dǎo)率。

上下輪廓的邊界條件分別為

(10)

(11)

式中，h為晶體在計(jì)算模型z方向上的深度。

設(shè)定兩側(cè)邊界均處于絕熱狀態(tài)，邊界條件為

(12)

求解波動(dòng)電磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，需模擬一個(gè)帶有開放邊界的域，使計(jì)算域的邊界支持電磁波以無(wú)反射的方式通過(guò)，因此，需要使用散射邊界條件和完美匹配層。只考慮二維模型問(wèn)題時(shí)，其中電磁波在xz平面內(nèi)傳播，電場(chǎng)沿y方向極化。將假定除模型自身外其余空間完全真空(不吸收能流密度)，外部對(duì)所有輻射透明，上下邊界的散射邊界條件為

(13)

式中，Ey為電場(chǎng)y軸方向的分量。

電磁波的入射方向?yàn)閦軸負(fù)方向，當(dāng)模型上邊界距離下邊界無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，電磁波由上邊界通過(guò)晶體亞表層不發(fā)生反射，可認(rèn)為此時(shí)能量被完全吸收。根據(jù)幾何模型只在電磁場(chǎng)作用下的二維均勻吸波狀態(tài)，設(shè)定入射電磁波和熱傳導(dǎo)的參數(shù)和實(shí)驗(yàn)條件如下：采用單位線偏振光垂直入射，光束平行于晶體主軸；入射光束的功率為20 MW/μm2；入射光束的波長(zhǎng)為1.064 μm；晶體表面及亞表層的初始溫度T0=293.15 K；光束作用時(shí)長(zhǎng)t=1 ns。光束實(shí)際作用范圍決定晶體的輪廓尺寸。

本文主要研究精加工晶體表面的頻率特征對(duì)晶體亞表層電磁場(chǎng)傳播和溫度分布的影響，因此在建立模型時(shí)，不考慮晶體亞表層的結(jié)構(gòu)特征，只考慮晶體的表面形貌，以簡(jiǎn)化計(jì)算。KDP晶體相關(guān)的參數(shù)如表2所示，本文熱膨脹系數(shù)取值為13×10-6K-1。

表2 KDP晶體的參數(shù)

在理想特征情況下，分析晶體的亞表層溫度隨晶體表面頻率特征的分布規(guī)律具體可分為兩步：先根據(jù)熱傳導(dǎo)方程和設(shè)定的邊界條件對(duì)晶體內(nèi)的電磁損耗進(jìn)行求解；再根據(jù)電磁損耗的能量形式轉(zhuǎn)化為亞表層溫度變化，求解出晶體內(nèi)的經(jīng)入射光照射1 ns時(shí)的溫度分布。

3 結(jié)果與分析

3.1 實(shí)際頻率特征的獲取

圖3 已加工表面上實(shí)際存在的頻率特征Fig.3 Actual frequency features existing on the machined surface

根據(jù)PSD方法得到已加工表面上的3種較明顯的頻率f分別為0.0084 μm-1、0.0112 μm-1、0.0277 μm-1，如圖3所示。這3種較為明顯的頻率具有不同的功率密度值，其余頻率的功率量趨近于0，說(shuō)明表面微觀形貌主要由這3種頻率重構(gòu)的輪廓特征組成，其他頻率重構(gòu)輪廓對(duì)表面基本沒有影響。

功率譜密度方法只能用于識(shí)別最小采樣間隔的整數(shù)倍的頻率，而空間頻率在加工表面上是連續(xù)分布的。 連續(xù)小波方法可用于補(bǔ)償功率譜密度的這種不足，并從加工表面提取更真實(shí)的頻率特征。根據(jù)功率譜密度計(jì)算結(jié)果，通過(guò)連續(xù)小波變換對(duì)3個(gè)實(shí)際頻率特征進(jìn)行提取及重構(gòu)，其結(jié)果如圖4所示。圖4a中頻率特征的波長(zhǎng)約140 μm，振幅約30 nm；圖4b中頻率特征波長(zhǎng)約50 μm、振幅約10 nm；圖4c中頻率特征波長(zhǎng)約14 μm，振幅約5 nm。

(a)f=0.0084 μm-1的重構(gòu)曲線

(b)f=0.0112 μm-1的重構(gòu)曲線

(c)f=0.0277 μm-1的重構(gòu)曲線圖4 重構(gòu)出的表面頻率特征Fig.4 Reconstructed surface frequency features

根據(jù)已加工實(shí)際表面上存在的頻率特征，結(jié)合圖3和圖4，擬合出3種相對(duì)應(yīng)的表面頻率特征曲線進(jìn)行計(jì)算分析。擬合后的曲線呈周期性變化，為簡(jiǎn)化計(jì)算量，分別選取合適的周期進(jìn)行計(jì)算，所建立的模型參數(shù)及波形圖分別見表3和圖5，其曲線分布規(guī)律類似正、余弦三角函數(shù)，具有周期變化和幅值變化。為了更加全面地分析晶體表

表3 仿真模型輪廓參數(shù)

(a)λ=14 μm,A=5 nm

(b)λ=50 μm,A=10 nm

(c)λ=140 μm,A=30 nm圖5 用于計(jì)算的表面頻率特征曲線Fig.5 Frequency features for calculation

面頻率對(duì)其光學(xué)性能的影響，添加了理想表面(波長(zhǎng)幅值都為0)以及表面頻率波長(zhǎng)與入射光波長(zhǎng)相同的輪廓進(jìn)行光學(xué)仿真。與入射光波長(zhǎng)相同的曲線波長(zhǎng)為1.064 μm、振幅為14 μm。

3.2 光場(chǎng)和溫度場(chǎng)分析

為綜合分析表面頻率特征對(duì)晶體光學(xué)性能的影響，首先分析理想平面對(duì)KDP晶體亞表層光場(chǎng)和溫度場(chǎng)分布的影響，其結(jié)果如圖6a和圖6b所示。當(dāng)光束照射晶體后，在晶體亞表層仍然處于垂直入射的狀態(tài)，并產(chǎn)生縱向波動(dòng)，方向沿原入射方向，最高溫度出現(xiàn)在被光束照射的表面，隨著深度的增加，溫度降低，溫度變化僅有0.02 K，這主要是因?yàn)槔硐氡砻孑喞且粭l理想直線，光束在晶體亞表層傳播時(shí)不會(huì)出現(xiàn)能夠引起光場(chǎng)和溫度場(chǎng)畸變的自聚焦等現(xiàn)象。

(a)光場(chǎng) (b)溫度場(chǎng)圖6 理想輪廓對(duì)光場(chǎng)和溫度場(chǎng)的影響Fig.6 Ideal profile light field and temperature field

3.3 已加工表面上存在的頻率特征的光場(chǎng)和溫度場(chǎng)分析

KDP晶體已加工表面上實(shí)際存在的頻率特征對(duì)其亞表層光場(chǎng)的分析結(jié)果如圖7所示。表面頻率特征的波長(zhǎng)為1.064 μm、幅值為30 nm時(shí)的光場(chǎng)分布如圖7a所示，相比理想平面的光場(chǎng)，此時(shí)晶體亞表層處于相同水平位置的光場(chǎng)出現(xiàn)差異，產(chǎn)生了聚集和衰減兩種不同狀態(tài)，這說(shuō)明光束通過(guò)晶體亞表層時(shí)發(fā)生了沿x軸方向的波動(dòng)，存在明顯的光學(xué)畸變。此時(shí)，可以把波長(zhǎng)為1.064 μm的表面當(dāng)作一種光柵設(shè)備，光束通過(guò)表面進(jìn)入晶體后會(huì)發(fā)生碰撞或者偏離，即干涉或衍射現(xiàn)象。由此而產(chǎn)生的干涉條紋會(huì)妨礙光束保持沿直線傳播的狀態(tài)，具有一定的光波擾動(dòng)性。表面頻率特征實(shí)際存在的波長(zhǎng)14 μm、幅值5 nm的光場(chǎng)分布如圖7b所示，光束在晶體亞表層傳播時(shí)仍然發(fā)生波動(dòng)，并且在輪廓波峰下有能量聚集，原因是此時(shí)的輪廓表面改變了光束的聚集點(diǎn)，使其位置離輪廓邊界稍遠(yuǎn)。相比波長(zhǎng)為1.064 μm的輪廓表面對(duì)光束傳播的影響，波長(zhǎng)14 μm的輪廓表面的影響程度略小。表面頻率特征為50 μm、幅值為10 nm和波長(zhǎng)140 μm、幅值30nm的光場(chǎng)分布圖分別如圖7c和圖7d所示，光束傳播規(guī)律與波長(zhǎng)為14 μm的情況相似，光束依然在輪廓的波峰下匯聚，但是隨著波長(zhǎng)的增大，晶體表面輪廓更加接近一條水平線，光束穿過(guò)晶體時(shí)發(fā)生的畸變現(xiàn)象變?nèi)酢?/p>

(c)λ=50 μm (d)λ=140 μm圖7 已加工表面上存在的頻率特征對(duì)光場(chǎng)的影響Fig.7 Influence of frequency features on light field

(a)λ=1.064 μm (b)λ=14 μm

(c)λ=50 μm (d)λ=140 μm圖8 已加工表面上存在的頻率特征對(duì)溫度場(chǎng)的影響Fig.8 Influence of frequency features on temperature field

表面頻率對(duì)KDP晶體亞表層溫度場(chǎng)的分析結(jié)果如圖8所示。計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)表面頻率特征波長(zhǎng)與入射光波長(zhǎng)1.064 μm一致、幅值為5 nm時(shí)，如圖8a所示，KDP晶體亞表層溫升約72 K，最高溫度399 K，出現(xiàn)在晶體深度為15 μm處，主要原因?yàn)楣馐B加處會(huì)產(chǎn)生局部能量密集使溫度升高，同時(shí)產(chǎn)生的介電損耗也增加，形成了一定的溫度差。表面頻率波長(zhǎng)為14 μm、幅值為5 nm的晶體亞表層溫度分布如圖8b所示，晶體亞表層溫升約56 K，最高溫度為384 K，出現(xiàn)在晶體深度為160 μm處。表面頻率波長(zhǎng)為50 μm、幅值為10 nm的晶體亞表層溫度分布如圖8c所示，晶體亞表層溫升約20 K，最高溫度266 K，出現(xiàn)在晶體深度為160 μm處。表面頻率波長(zhǎng)為140 μm、幅值為30 nm的晶體亞表層溫度分布如圖8d所示，晶體亞表層溫升約12 K，最高溫度362 K，出現(xiàn)在晶體深度為160 μm處。當(dāng)表面頻率波長(zhǎng)分別為14 μm、50 μm和140 μm時(shí)，與表面頻率波長(zhǎng)為1.064 μm的溫度分布規(guī)律相同，具體表現(xiàn)為在輪廓波峰下面出現(xiàn)長(zhǎng)條狀的持續(xù)溫升變化。溫度場(chǎng)受到光場(chǎng)強(qiáng)度的影響，最大溫升出現(xiàn)在光束能量最密集的地方，即光束波動(dòng)的最大波峰波谷處，只考慮輪廓特征與溫度分布的位置關(guān)系的條件下，可得出結(jié)論：在輪廓特征的波峰處與其對(duì)應(yīng)的亞表層位置處溫度較高，但波谷處溫升近似為零，這表明光束在通過(guò)變化較大的輪廓特征表面后，進(jìn)入晶體亞表層的聚集點(diǎn)與離散點(diǎn)和晶體的熱透效應(yīng)相同。同時(shí)圖8b～圖8d也表明，雖然晶體的深度相同，但是表面頻率特征的波長(zhǎng)越大，溫升越小，最高溫度越低，并且隨著表面頻率特征中波長(zhǎng)的增長(zhǎng)，最大溫度點(diǎn)距離入射邊界的距離越遠(yuǎn)，會(huì)出現(xiàn)在晶體內(nèi)部的更深處，這說(shuō)明表面頻率特征影響著光束能量的聚集位置，與晶體的熱透鏡效應(yīng)相符。

為全面分析波長(zhǎng)和幅值對(duì)KDP晶體亞表層光場(chǎng)和溫度場(chǎng)的影響，選取表面頻率特征的波長(zhǎng)范圍為0～50 μm，振幅為1～200 nm，計(jì)算結(jié)果如圖9所示。計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)波長(zhǎng)越接近入射光波長(zhǎng)1.064 μm時(shí)，表面頻率特征對(duì)KDP晶體亞表層的最高溫度的影響程度越大；當(dāng)波長(zhǎng)處于1～10 μm區(qū)間時(shí)，溫度會(huì)驟降；當(dāng)波長(zhǎng)處于10～20 μm區(qū)間時(shí)，最高溫度隨波長(zhǎng)的增大緩慢下降；當(dāng)波長(zhǎng)λ>20 μm，隨著波長(zhǎng)增大且振幅沒有變化時(shí)，最高溫度基本無(wú)變化，這是由于此條件下主導(dǎo)溫度變化的因素從波長(zhǎng)變成幅值。當(dāng)處于同一波長(zhǎng)時(shí)，溫度升高伴隨著振幅的增大，兩者是一種線性關(guān)系，振幅對(duì)溫度的影響程度取決于表面頻率波長(zhǎng)與入射光波長(zhǎng)的差距，越接近入射光波長(zhǎng)，影響程度越大?？梢越忉尀榫w表面頻率的波長(zhǎng)等于入射光束基頻波長(zhǎng)1.064 μm時(shí)，衍射能級(jí)最大，能量最密集，此時(shí)溫度隨著振幅的增加而升高且上升速度最快。

圖9 頻率特征對(duì)溫度場(chǎng)的影響Fig.9 Influence of frequencies on the temperature field

以上計(jì)算分析表明，KDP晶體已加工表面上的波長(zhǎng)和幅值都會(huì)對(duì)其亞表層的光場(chǎng)和溫度場(chǎng)產(chǎn)生影響，因此，在KDP晶體加工過(guò)程中為保證其光學(xué)性能，在確保表面粗糙度滿足要求的同時(shí)應(yīng)盡量避免產(chǎn)生波長(zhǎng)在0～10 μm、振幅大于50 nm范圍內(nèi)的表面頻率特征。

4 結(jié)論

(1)表面頻率特征的波長(zhǎng)越接近入射光波長(zhǎng)時(shí)，光束通過(guò)晶體亞表層時(shí)會(huì)發(fā)生明顯的橫向波動(dòng)，能量局部聚集，使材料發(fā)生較多介電損耗，對(duì)光場(chǎng)和溫度場(chǎng)的影響最劇烈。幅值不變時(shí)，表面頻率特征的波長(zhǎng)處于1.064～10 μm時(shí)，溫度呈緩慢下降趨勢(shì)，波長(zhǎng)超過(guò)20 μm后最高溫度基本無(wú)變化。

(2)當(dāng)表面頻率的波長(zhǎng)不變時(shí)，表面頻率特征的幅值對(duì)KDP晶體亞表層的溫度場(chǎng)產(chǎn)生影響。KDP晶體亞表層溫度隨著振幅的增加而升高，兩者成線性正相關(guān)。

(3)不同波長(zhǎng)的頻率特征除對(duì)KDP晶體亞表層的溫度值具有影響外，對(duì)最高溫度值在KDP晶體內(nèi)部的位置也有影響。當(dāng)表面頻率特征的波長(zhǎng)增加時(shí)，KDP晶體內(nèi)部最高溫度點(diǎn)出現(xiàn)的位置向晶體內(nèi)部延伸。