李秋英

(黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南 駐馬店 463000)

農(nóng)業(yè)、林業(yè)、牧業(yè)等一直以來遭受鼠害帶來的巨大損失,許多流行病的病原體也以害鼠為主要宿主,這對(duì)人類健康構(gòu)成了極大的威脅.在害鼠類控制方面,傳統(tǒng)的藥物毒殺方法存在滅效短、易反彈、誤傷非靶向生物甚至還會(huì)破壞生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,而不育技術(shù)作為其補(bǔ)充和替代,具有顯著的優(yōu)勢(shì)[1-2].不育防控可以通過結(jié)扎輸卵管和輸精管實(shí)現(xiàn)[3],也可以通過投放含有不育劑的餌料,使靶向動(dòng)物通過取食而不育,還可以使靶向動(dòng)物感染特殊的病毒,而導(dǎo)致不育[4-5].室內(nèi)和田間的試驗(yàn)研究表明,對(duì)害鼠實(shí)施不育處理后,害鼠種群中能參與有效生育的個(gè)體會(huì)受到不育個(gè)體競(jìng)爭(zhēng)性干擾的影響,且不育個(gè)體還會(huì)繼續(xù)占有生存空間,使用生存資源,這就會(huì)影響害鼠種群的出生率,并且有效延緩種群數(shù)量的恢復(fù).基于此,本文分析不育控制下出生具有密度制約的單種群動(dòng)力學(xué)行為.

數(shù)學(xué)模型常被用來研究種群規(guī)模的發(fā)展變化規(guī)律[6-11],如Zhang[10]根據(jù)生態(tài)學(xué)原理,給出了關(guān)于害鼠種群穩(wěn)態(tài)的差分模型,結(jié)論表明在不考慮競(jìng)爭(zhēng)性繁殖干擾情況下,不育控制可達(dá)到單純殺滅的控制效果,若考慮不育個(gè)體對(duì)正常生育個(gè)體的競(jìng)爭(zhēng)性繁殖干擾,則不育控制的實(shí)際效果將明顯優(yōu)于單純滅殺.劉漢武等[11]建立了一類不育控制下的單種群模型(1),分析了平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性,討論了滅殺和不育劑的作用效果.

(1)

由于藥物不育劑并不能使害鼠達(dá)到終生不育,如,炔雌醚對(duì)長(zhǎng)爪沙鼠的不育效果大約維持90天[12].因此結(jié)合模型(1),建立了一類不育劑具有有效期的單種群模型(2).本模型假設(shè)t=0開始實(shí)施不育控制措施,且此時(shí)不育者數(shù)量為0.希望根據(jù)此模型,分析不育控制及藥物的有效期對(duì)種群動(dòng)態(tài)的影響,進(jìn)一步認(rèn)識(shí)不育劑對(duì)害鼠繁殖行為的影響,從而為利用不育劑防控害鼠提供理論指導(dǎo).

(2)

式中:x(t),y(t)分別表示在時(shí)刻t可育、不育的個(gè)體數(shù)量;b為種群的出生率;d1為可育個(gè)體的自然死亡率;d2為不育個(gè)體的死亡率;k為種群出生的密度制約系數(shù);μ為可育個(gè)體到不育個(gè)體的轉(zhuǎn)化率;τ為不育劑的有效期.所有參數(shù)都是正的.考慮到藥物的適口性和系數(shù)的實(shí)際含義可得,d2≥d1；且1>d2≥d1,μ<1.

本文假設(shè)系統(tǒng)(2)的初始條件滿足：x(0)>0,y(0)=0.

1 解的有界性

當(dāng)0≤t<τ時(shí),根據(jù)系統(tǒng)(2)的第二個(gè)方程可得

因此當(dāng)0≤t<τ時(shí),y(t)>0.當(dāng)t≥τ時(shí),由系統(tǒng)(2)的第四個(gè)方程可得

進(jìn)而有

定理2系統(tǒng)(2)的解是最終有界的.

證明令函數(shù)ρ(t)=x(t)+y(t),則函數(shù)ρ(t)沿著系統(tǒng)(2)的解的導(dǎo)數(shù)為

故

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

下面考慮t≥τ時(shí),系統(tǒng)(2)平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性.即考慮下面系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性.

(3)

定理3若μ>R0,則系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的.

證明易得系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)E0處的特征方程為

即(λ+(d1+μ(1-e-d2τe-λτ)-b)(λ+d2)=0.

顯然λ1=-d2是其負(fù)特征根.對(duì)于方程

λ+d1+μ(1-e-d2τe-λτ)-b=0

(4)

設(shè)其根為λ(τ).當(dāng)τ=0時(shí),根據(jù)條件可得其特征根λ(0)=b-d1≤0.當(dāng)τ>0時(shí),假設(shè)方程(4)存在純虛根λ(τ)=iw,將其代入方程(4),并分離其實(shí)部和虛部有

(5)

分別對(duì)式(5)的兩邊求平方,進(jìn)而求和可得

由條件可得w2<0,這導(dǎo)致矛盾,故方程(4)不具有非負(fù)實(shí)部的根.從而特征方程(4)的根的實(shí)部都是負(fù)的,所以零平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的.

下證平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的.

(6)

根據(jù)不等式(6),作輔助方程

(7)

式中:x(θ),θ∈[0,τ)為系統(tǒng)(2)的第一個(gè)方程的解.顯然系統(tǒng)(7)的非負(fù)平衡點(diǎn)只有零平衡點(diǎn).易得系統(tǒng)(7)的零平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.構(gòu)造函數(shù)

顯然V(z(t))為正定函數(shù),且沿著系統(tǒng)(7)的導(dǎo)數(shù)為

定理4若μ

證明易得系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)E+處的特征方程為

即

引進(jìn)記號(hào)

f(λ,τ)=(λ+μe-d2τ(1-e-λτ)+kx*)(λ+d2)+kx*μ(1-e-d2τe-λτ)

當(dāng)τ=0時(shí),有f(λ,0)=(λ+kx*)(λ+d2),顯然方程f(λ,0)=0的根都是負(fù)的.

當(dāng)τ>0時(shí),假設(shè)方程f(λ,τ)=0存在純虛根λ(τ)=iw,將其代入f(λ,τ)=0,并分離其實(shí)部和虛部得

(8)

令z=w2,分別對(duì)方程組(8)的兩等式兩邊先求平方再求和得

z2+pz+q=0

(9)

式中

若p≥0,結(jié)合q>0,則一元二次方程(9)顯然沒有正根,從而假設(shè)不成立.故超越方程f(λ,τ)=0的根都具有負(fù)實(shí)部.

若p<0,顯然有|p|<2kx*μ(1-e-d2τ),而q>k2x*2μ2(1-e-d2τ)(1+e-d2τ).從而有

因此方程(9)不存在正根,假設(shè)不成立.從而有p<0時(shí),超越方程f(λ,τ)=0根都具有負(fù)實(shí)部.綜合以上可得正平衡點(diǎn)E+是局部漸近穩(wěn)定的.

證明由系統(tǒng)(3)的第一個(gè)方程可得

(10)

由不等式(10),作輔助方程

(11)

顯然V(z(t)-z*)為正定函數(shù),且沿著系統(tǒng)(11)的導(dǎo)數(shù)為

因此系統(tǒng)(11)的正平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.從而由不等式(10)和比較定理可得

(12)

類似于解的非負(fù)性質(zhì)的證明過程,可得系統(tǒng)(3)的第二個(gè)方程的解為

(13)

由不等式(12)和等式(13)可得

(14)

結(jié)合式(14)和系統(tǒng)(3)的第一個(gè)方程可得

從而有

(15)

重復(fù)式(10～15)過程n次可得

和

無限的重復(fù)下去可得

進(jìn)而可得

綜合以上可得正平衡點(diǎn)E+是全局漸近穩(wěn)定的.

3 結(jié)論

本文通過建立模型,在理論上分析了藥物不育劑的可能控制作用,希望所得到的結(jié)論能對(duì)評(píng)價(jià)不育控制和實(shí)施不育控制有一定的指導(dǎo)作用．